2.10 二元一次方程組的應用 浙教版數(shù)學七年級下冊學案

專題2.10二元一次方程組的應用（知識講解）【學習目標】1．以含有多個未知數(shù)的實際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關系，設未知數(shù)，列方程組，解方程組和檢驗結果”的過程，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中含有多個未知數(shù)問題的數(shù)學模型；2.熟練掌握用方程組解決和差倍分，配套，工程等實際問題.【要點梳理】要點一、常見的一些等量關系（一）1.和差倍分問題：年齡差不變2.產(chǎn)品配套問題：解這類問題的基本等量關系是：加工總量成比例.3.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.要點二、實際問題與二元一次方程組1.列方程組解應用題的基本思想列方程組解應用題，是把“未知”轉換成“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關系．一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量：②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應用題的一般步驟：設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關系，根據(jù)等量關系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．特別說明：（1）解實際應用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應用題的實際意義，檢查求得的結果是否合理，不符合題意的解應該舍去；（2）“設”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設幾個未知數(shù)就應該列出幾個方程并組成方程組.【典型例題】類型一、二元一次方程組的應用??錯解復原問題??構造二元一次方程組求解1．甲、乙兩人在解方程組時，甲看錯了方程①中的a，解得乙看錯了方程②中的b，解得求原方程組的正確解．【答案】【分析】根據(jù)甲看錯a則求得的解滿足b，乙看錯了b則求得的解滿足a，據(jù)此求出a、b的值進而得到原方程組，再利用代入消元法求解即可．解：∵甲、乙兩人在解方程組時，甲看錯了方程①中的a，解得∴，解得，∵乙看錯了方程②中的b，解得∴，解得，∴原方程組為，由①得③，把③代入②得，解得，將代入③得，∴方程組的解為．【點撥】本題主要考查了二元一次方程組錯解復原問題，正確理解題意求出a、b的值是解題的關鍵．舉一反三：【變式】甲、乙兩人同時解關于、的二元一次方程組，甲解得，乙解得，甲僅因為看錯了方程組中的，乙僅因為看錯了方程組中的．試求出方程組正確的解．【答案】【分析】將甲的解代入方程組中的第二個方程，可求出b的值，再將乙的解代入第一個方程可求出a的值，進而確定出方程組，最后解方程組即可．解：將代入方程得：，解得：，將代入得：，解得：．所以原方程組為：用①－②得，再將代入②，解得，則方程組的解為：【點撥】此題主要考查了二元一次方程組的解，解題關鍵是明確方程組的解是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．2．在等式中，當時，；當時，．求k，b的值．當時，求y的值．【答案】(1)，； (2)【分析】（1）分別把x與對應的y值代入中，解二元一次方程組即可求出k與b的值；（2）將x的值代入（1）中所求得的關系式進行計算即可．（1）解：把，；，代入得：，解得，∴，；（2）解：由（1）得，∴當時，．【點撥】此題考查了代數(shù)式求值，解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．舉一反三：【變式】已知關于，的方程組若方程組的解滿足，求m的值；無論實數(shù)m取何值，方程總有一個公共解，請直接寫出這個公共解．【答案】(1) (2)【分析】（1）根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，可求得x，y的值，再將x，y代入m﹣2y+mx+9＝0，即可求得m的值．（2）將m﹣2y+mx+9＝0變形，得（1+x）m﹣2y+9＝0，由題意可得1+x＝0，可求得x的值，將所求x的值代入m﹣2y+mx+9＝0，可求得y的值，即為所求的公共解．(1)解：根據(jù)題意，聯(lián)立，①﹣②，得y＝5，將y＝5代入①，得x＝﹣5．把代入m﹣2y+mx+9＝0，可得m﹣2×5﹣5m+9＝0，解得m＝．∴m的值為．（2）解：這個公共解為．理由：將m﹣2y+mx+9＝0變形，得（1+x）m﹣2y+9＝0，∵無論實數(shù)m取何值，方程m﹣2y+mx+9＝0總有一個公共解，∴1+x＝0，解得x＝﹣1，將x＝﹣1代入m﹣2y+mx+9＝0，可得y＝．∴這個公共解為．【點撥】本題考查二元一次方程組的解、二元一次方程及同解方程，解題的關鍵是熟練掌握加減消元法．類型二、二元一次方程組的應用??由二元一次方程組的解情況求參數(shù)??同解方程組3．已知是關于x、y的方程組的解，求的值．【答案】【分析】先把，代入原方程組，再解關于a、b的二元一次方程組，代入要求的代數(shù)式即可得出答案．解：將代入得，①②，得，∴．【點撥】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．舉一反三：【變式】已知關于x，y的方程組．請直接寫出方程x+2y-6=0的所有正整數(shù)解；若方程組的解滿足x+y=0，求m的值；無論實數(shù)m取何值，關于x，y的方程m-2y+mx+4=0總有一個固定的解，請求出這個解．【答案】(1)方程x+2y-6=0的所有正整數(shù)解為：， (2)m＝﹣ (3)固定的解為：【分析】（1）將x做已知數(shù)求出y，即可確定出方程的正整數(shù)解；（2）將x+y=0與原方程組中的第一個方程組成新的方程組，可得x、y的值，再代入第二個方程中可得m的值；（3）當含m項為零時，取x=0，代入可得固定的解．（1）解：方程x+2y-6=0，即x+2y=6，解得：x=6-2y，當y=1時，x=4；當y=2時，x=2，方程x+2y-6=0的所有正整數(shù)解為：，；（2）解：由題意得：，解得，把代入x-2y+mx+4=0，得-6-12-6m+4=0，解得m=-；（3）解：∵m-2y+mx+4=0，∴（1+x）m-2y=-4，∴當1+x=0時，即x=-1時，y=2，即固定的解為：．【點撥】此題考查了解二元一次方程的整數(shù)解和二元一次方程組的解，熟練掌握運算法則和求方程組的解是本題的關鍵．4．已知關于x，y的方程組與有相同的解，求的值．【答案】1【分析】先根據(jù)題意得到方程組，解方程組求出，進而得到關于a、b的方程組，求出a、b的值即可得到答案．解：∵關于x，y的方程組與有相同的解，∴得，解得，把代入①得：，解得，∴方程組的解為，∴得，解得，把代入④得，解得，∴．【點撥】本題主要考查了同解方程組，代數(shù)式求值，正確求出a、b的值是解題的關鍵．舉一反三：【變式】已知方程組和方程組的解相同，求的值．【答案】100【分析】由題意可得方程組，則有可求出方程組的解，然后再代入進行求解a、b，進而問題可求解．解：由題意得：，解得：，∴，化簡得：，解得：，∴．【點撥】本題主要考查同解方程組的問題，熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關鍵．類型三、二元一次方程組的應用??列方程組??實際問題??幾何問題5．將含鐵72%和含鐵58%的兩種礦石，混合后配成含鐵64%的礦石70噸，若設需含鐵72%的礦石x噸，含鐵58%的礦石y噸，列出方程組．【答案】【分析】根據(jù)兩種礦石總量為70噸，含鐵量為，可得出方程組．解：設需含鐵的礦石噸，含鐵的礦石噸，由題意得，．【點撥】本題考查了由實際問題抽象二元一次方程組的知識，解題的關鍵是仔細審題，找到等量關系．舉一反三：【變式】某中學九年級畢業(yè)生在禮堂就座進行畢業(yè)典禮，若一條長椅上坐4人，就有22人沒座位；若一條長椅上坐5人，最后一條長椅上空出了3個座位，設有x條長椅，畢業(yè)生有y人，試列出方程組．【答案】【分析】設有x條長椅，畢業(yè)生有y人，根據(jù)“一條長椅上坐4人，就有22人沒座位”可得；根據(jù)“一條長椅上坐5人，最后一條長椅上空出3個座位”列出另一個關于x、y的方程，聯(lián)立上述方程組成方程組，即可解答此題．解：設有x條長椅，畢業(yè)生有y人，根據(jù)題意，列方程組得：．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用，根據(jù)題干信息找出等量關系并據(jù)此列出方程組是解題的關鍵．6．如圖：用8塊相同的長方形拼成一個寬為48厘米的大長方形，每塊小長方形的長和寬分別是多少？解：設小長方形的長是x厘米，寬是y厘米，題中的兩個相等關系：小長方形的長____________大長方形的寬，可列方程為：____________；小長方形的長____________，可列方程為：____________．【答案】(1)小長方形的一個寬；； (2)小長方形的寬；．【分析】（1）觀察圖形可知，小長方形的長小長方形的一個寬大長方形的寬，即可列出方程；（2）觀察圖形可知，小長方形的長小長方形的寬，即可列出方程．（1）解：小長方形的長小長方形的一個寬大長方形的寬；可列方程為：，故答案為：小長方形的一個寬；；（2）解：小長方形的長小長方形的寬，可列方程為：，故答案為：小長方形的寬；．【點撥】本題考查了二元一次方程的應用，從圖形中找出等量關系是解題關鍵．舉一反三：【變式】已知A、B兩個邊長不等的正方形紙片并排放置(如圖所示)(1)若m＝8，n＝3，則甲、乙兩個正方形紙片的面積之和為:______________

(2)用m、n表示甲、乙兩個正方形紙片的面積之和為:___________________(3)若A、B兩個正方形紙片的面積之和為：，且右下圖中陰影部分的面積為：，則m=___________n=_______________________

【答案】(1)36.5；(2)；(3)，【分析】（1）設A的邊長為x，B的邊長為y，列出等式組解得x、y的值，再根據(jù)面積公式計算即可.（2）由題意列出m、n的關系式，根據(jù)不等式關系進行化簡即可.（3）根據(jù)題意，列出S陰影面積與A、B面積的關系式，進行化簡求值即可.解：(1)設A的邊長為x，B的邊長為y，則①+②得：2x=11x=5.5即A和B的面積之和為36.5.(2)解得：x=,y=A、B面積之和==(3)=由題意得：解得：【點撥】本題考查二元一次方程的運用，熟練掌握計算法則是解題關鍵.類型四、二元一次方程組的應用??列方程組解應用題??方案問題??分配問題7．今年疫情期間某物流公司計劃用兩種車型運輸救災物資，已知租用2輛型車和1輛型車裝滿物資一次可運10噸；用1輛型車和2輛型車一次可運11噸．某物流公司現(xiàn)有31噸貨物資，計劃同時租用型車輛，型車輛，一次運完，且恰好每輛車都裝滿．1輛型車和1輛型車都裝滿物資一次可分別運多少噸？請你該物流公司設計租車方案；若型貨車每輛需租金120元/次，型貨車每輛租金140元/次，請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)3，4 (2)方案1：租用9輛A型車，1輛B型車；方案2：租用5輛A型車，4輛B型車；方案3：租用1輛A型車，7輛B型車． (3)租用1輛A型車，7輛B型車，最少租車費為1100元．【分析】（1）設1輛A型車裝滿物資一次可運x噸，1輛B型車裝滿物資一次可運y噸，根據(jù)“用2輛A型車和1輛B型車裝滿物資一次可運10噸；用1輛A型車和2輛B型車一次可運11噸”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）根據(jù)要一次運送31噸貨物，即可得出關于a，b的二元一次方程，結合a，b均為正整數(shù)即可得出各租車方程；（3）根據(jù)總租金＝每輛車的租車費用×租車輛數(shù)，分別求出三種租車方案所需費用，比較后即可得出結論．解：（1）設1輛A型車裝滿物資一次可運x噸，1輛B型車裝滿物資一次可運y噸，依題意：得，解得：，答：1輛A型車裝滿物資一次可運3噸，1輛B型車裝滿物資一次可運4噸．（2）依題意，得：，又∵a，b均為正整數(shù)，或或，∴該物流公司共有3種租車方案，方案1：租用9輛A型車，1輛B型車；方案2：租用5輛A型車，4輛B型車；方案3：租用1輛A型車，7輛B型車．（3）方案1所需租金為（元）；方案2所需租金為（元）；方案3所需租金為（元）．，∴最省錢的租車方案為租用1輛A型車，7輛B型車，最少租車費為1100元．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，分別求出三種租車方案所需費用．舉一反三：【變式】某校要購買一批足球運動裝備．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：甲、乙兩商場以同樣的價格出售同種品牌的足球隊服和足球，已知每套隊服比每個足球多50元，三套隊服與四個足球的費用相等．求每套隊服和每個足球的價格分別是多少元？該校計劃購買100套隊服和個足球，下表是甲、乙兩個商場的優(yōu)惠方案：商場名稱優(yōu)惠辦法甲每購買十套隊服，送一個足球乙若購買隊服超過90套，則購買足球打七折；否則按原價出售①請用含a的代數(shù)式分別表示出到甲商場和乙商場購買裝備所花費用；②當時，你認為到甲、乙哪家商場購買比較合算？說明理由．【答案】(1)每套隊服200元、每個足球的價格是150元． (2)①到甲商場所花費的錢：，到乙商場所花費的錢：；②到甲商場合算．【分析】（1）根據(jù)已知每套隊服比每個足球多50元，三套隊服與四個足球的費用相等，列出二元一次方程組，求解即可．（2）①根據(jù)圖表分別用含a的代數(shù)式分別表示出到甲商場和乙商場購買裝備所花費用；②當時，分別代入，比較即可．（1）解：設每套隊服x元，每個足球的價格為y元，解得：，，答：每套隊服200元、每個足球的價格是150元．（2）①到甲商場所花費的錢：，到乙商場所花費的錢：，②當時到甲商場所花費的錢：（元）到乙商場所花費的錢：（元）到甲商場合算．【點撥】此題考查了二元一次方程組的實際應用，解題的關鍵是根據(jù)題意找出等量關系式列出方程組．8．某蔬菜基地第一次向甲地運輸124噸蔬菜，恰好裝滿5輛大貨車和2輛小貨車；第二次向甲地運輸180噸蔬菜，恰好裝滿6輛大貨車和5輛小貨車．裝滿2輛大貨車和3輛小貨車能運輸多少噸蔬菜？第三次安排大、小貨車共12輛向甲地運輸208噸蔬菜，若要使得每輛車都裝滿，則大貨車和小貨車分別需要多少輛？【答案】(1)76噸 (2)大貨車8輛和小貨車4輛【分析】（1）設1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨x噸、y噸，根據(jù)“5輛大貨車與2輛小貨車一次可以運貨124噸，6輛大貨車與5輛小貨車一次可以運貨180噸”列方程組求解可得；（2）設安排m輛大貨車，則小貨車需要（12﹣m）輛，根據(jù)兩種貨車運送的蔬菜總質(zhì)量208噸列方程求解可得．（1）解：設1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別運貨x噸、y噸，根據(jù)題意，得：，解得：，∴答：裝滿2輛大貨車和3輛小貨車能運輸76噸蔬菜．（2）設安排m輛大貨車，則小貨車需要輛，根據(jù)題意，得：，解得：，所以則大貨車8輛和小貨車4輛．答：需要大貨車8輛和小貨車4輛．【點撥】本題考查了二元一次方程組和一元一次方程的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系和不等關系，列方程組和一元一次方程求解．舉一反三：【變式】學校6名教師和234名學生集體外出活動，準備租用45座大客車或30座小客車，若租用1輛大客車、2輛小客車共需租車費1000元；若租用2輛大客車、1輛小客車共需租車費1100元．求每輛大、小客車的租車費各是多少元？怎樣租車，正好坐滿？寫出所有的可能性．（請列方程解答）．【答案】(1)每輛大車的租車費是400元，每輛小車的租車費是300元 (2)①租用30座小客車8輛；②租用45座大客車2輛，30座小客車5輛；③租用45座大客車4輛，30座小客車2輛【分析】（1）設大車每輛的租車費是元，小車每輛的租車費是元，根據(jù)題意列出二元一次方程組并求解即可；（2）設租用45座大客車輛，30座小客車輛，根據(jù)題意列出二元一次方程，并求出非負整數(shù)解，即可解決問題．（1）解：設大車每輛的租車費是元，小車每輛的租車費是元，由題意得：，解得：，答：大車每輛的租車費是400元，小車每輛的租車費是300元；（2）設租用45座大客車輛，30座小客車輛，由題意得：，整理得：，∵、為非負整數(shù)，∴或或，∴共有三種租車方案：①租用30座小客車8輛；②租用45座大客車2輛，30座小客車5輛；③租用45座大客車4輛，30座小客車2輛．【點撥】本題主要考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題關鍵是理解題意，找準等量關系并正確列出二元一次方程（組）．類型五、二元一次方程組的應用??列方程組解應用題??行程問題??工程問題9．A市到B市的航線長1200km，一架飛機從A市順風飛往B市需2小時30分，從B市逆風飛往A市需3小時20分．求飛機的速度與風速．【答案】飛機的速度為，風速為【分析】設飛機的速度為，風速為，根據(jù)路程=速度×時間列出方程組求解即可．解：設飛機的速度為，風速為，由題意得，解得，∴飛機的速度為，風速為，答；飛機的速度為，風速為．【點撥】本題主要考查了二元一次方程組的應用，正確理解題意找到等量關系列出方程組是解題的關鍵．舉一反三：【變式】橋長1000米，現(xiàn)有一列勻速行駛的貨車從橋上通過，測得貨車從上橋到完全過橋共用了60秒，而整個貨車在橋上的時間是40秒，求貨車的長度和速度．【答案】貨車的長度為200米，速度為20米/秒【分析】通過理解題意可知本題存在兩個等量關系，即整列火車過橋通過的路程=橋長+車長，整列火車在橋上通過的路程=橋長車長，根據(jù)這兩個等量關系可列出方程組．解：設貨車的長度為米和速度米/秒，由題意得：，解得：，答：貨車的長度為200米，速度為20米/秒．【點撥】此題考查了二元一次方程的應用，解題關鍵是弄清題意，合適的等量關系，列出方程組．弄清橋長、車長以及整列火車過橋通過的路程，整列火車在橋上通過的路程之間的關系．10．閱讀理解：為打造陶子河沿岸的風景帶，有一段長為360米的河道整治任務由A、B兩個工程隊先后接力完成，A工程隊每天整治24米，B工程隊每天整治16米，共用20天.根據(jù)題意，甲乙兩個同學分別列出了尚不完整的方程組如下：甲：

乙：根據(jù)甲、乙兩名同學所列的方程組，請你分別指出未知數(shù)，表示的意義，并且補全甲、乙兩名同學所列的方程組：甲：表示___________________，表示_______________；乙：表示___________________，表示_______________；求出其中一個方程組的解，并回答A、B兩工程隊分別整治河道多少米？【答案】(1)A隊的工作時間，B隊的工作時間；A隊的工作量，B隊的工作量；補全所列方程組見分析 (2)A隊整治河道120米，B隊整治河道240米【分析】（1）根據(jù)甲、乙兩名同學所列的方程組可得，甲：x表示A隊的工作時間，y表示B隊的工作時間；乙：x表示A隊的工作量，y表示B隊的工作量，補全方程組即可；（2）根據(jù)二元一次方程組的解法求解方程組甲．（1）解：甲：，乙：；甲：x表示A隊的工作時間，y表示B隊的工作時間；乙：x表示A隊的工作量，y表示B隊的工作量；故答案為：A隊的工作時間，B隊的工作時間；A隊的工作量，B隊的工作量．（2）解：得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程組的解為：，則，，答：A隊整治河道120米，B隊整治河道240米．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，正確找出題目中的相等關系，列方程組求解．舉一反三：【變式】一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元．甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元；已知甲單獨完成需12天，乙單獨完成需24天，單獨請哪個組，商店所需費用少？若裝修完后，商店每天可盈利200元，現(xiàn)有如下三種方式裝修：①甲單獨做；②乙單獨做；③甲乙合做，你認為如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）問的條件及結論）【答案】(1)甲組工作一天，商店應付300元，乙組工作一天，商店應付140元(2)單獨請乙組，商店所需費用少 (3)安排甲乙合作施工更有利于商店【分析】（1）根據(jù)題意建立方程組并求解；（2）將單獨請甲乙組的費用計算出來，再進行比較，得出答案；（3）將三種方案損失費用計算出來進行比較，得出答案．解：（1）設甲組工作一天，商店應付x元，乙組工作一天，商店應付y元，依題意得：，解得：．答：甲組工作一天，商店應付300元，乙組工作一天，商店應付140元．（2）300×12＝3600（元），140×24＝3360（元）．∵3600＞3360，∴單獨請乙組，商店所需費用少．（3）選擇①：（300+200）×12＝6000（元）；選擇②：（140+200）×24＝8160（元）；選擇③：（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴安排甲乙合作施工更有利于商店．【點撥】本題考查了二元一次方程組的實際運用，熟練掌握方程組的實際運用是本題解題關鍵．類型六、二元一次方程組的應用??列方程組解應用題??數(shù)字問題??年齡問題11．已知下表內(nèi)的各橫行中，從第二個數(shù)起的數(shù)都比它左邊相鄰的數(shù)大m；各豎列中，從第二個數(shù)起的數(shù)都比它上邊相鄰的數(shù)大n．求m，n的值．【答案】m=15，n=9【分析】右邊的數(shù)為，的相鄰右邊是18，正下方的第三個數(shù)是30，根據(jù)題意列出方程組即可求解．解：根據(jù)題意以及表格數(shù)據(jù)，有：，解得，答：m的值為15，n的值為9．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用，明確題意，列出二元一次方程組是解答本題的關鍵．舉一反三：【變式】小明的爸爸騎著摩托車帶著小明在公路上勻速行駛，小明每隔一段時間看到的里程碑上的數(shù)（單位：公里）如下：時刻9：009：4811：00里程碑上的數(shù)是一個兩位數(shù)，它的兩個數(shù)字之和為6也是一個兩位數(shù)，十位與個位數(shù)字與9：00時所看到的正好互換了是一個三位數(shù)，比9：00時看到的兩位數(shù)的數(shù)字中間多了個0如果設小明9：00時看到的兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，那么：小明9：00時看到的兩位數(shù)為______；小明9：48時看到的兩位數(shù)為______，11：00時看到的三位數(shù)為______；請你列二元一次方程求小明在9：00時看到里程碑上的兩位數(shù)．【答案】(1) (2)；(3)小明在9：00時看到里程碑上的兩位數(shù)是15【分析】（1）根據(jù)數(shù)位的概念用十位數(shù)字的10倍加上個位數(shù)字即是此兩位數(shù)；（2）同樣用數(shù)位的概念進行表達即可，9：48時十位與個位數(shù)字與9：00時所看到的正好互換了，則十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為x，11：00時看到的三位數(shù)百位數(shù)字是x，十位數(shù)字是0，個位數(shù)字是y；（3）分別根據(jù)兩位數(shù)的兩個數(shù)字之和為6和行駛過程中速度不變兩個等量關系列出方程，解出方程即可．解：（1）∵兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，∴兩位數(shù)可表示為；故答案為；．（2）∵9：48時看到的兩位數(shù)十位與個位數(shù)字與9：00時所看到的正好互換了∴十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為x，∴兩位數(shù)可表示為；∵11：00看到的數(shù)字是一個三位數(shù)，比9：00時看到的兩位數(shù)的數(shù)字中間多了個0，∴此三位數(shù)百位數(shù)字是x，十位數(shù)字是0，個位數(shù)字是y，∴11：00時的三位數(shù)可表示為：；故答案為；；．（3）根據(jù)題意可知行駛速度不變，從9:00到9:48用時48分鐘，到11:00用時120分鐘，列方程如下：，解得：．∴小明在9：00時看到里程碑上的兩位數(shù)是15．答：小明在9：00時看到里程碑上的兩位數(shù)是15．【點撥】本題考查了數(shù)位的概念和二元一次方程組的應用，理解數(shù)位的概念和表達方法，找到題中的等量關系列出方程是解題的關鍵．12．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復辦學40周年校慶日，我校初一年級數(shù)學興趣小組的小明同學發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學子？【答案】(1)爸爸36歲，爺爺76歲 (2)爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學子【分析】（1）設今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲，根據(jù)“爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40”列出二元一次方程組求解即可．（2）用現(xiàn)在年份減去年齡加15即可得到答案．解：（1）設今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲．．解得：答：今年小明的爸爸36歲，爺爺76歲；（2）（年）（年）小明的爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學子．【點撥】本題主要考查了二元一次方程組的應用，正確找出等量關系是解答本題的關鍵．舉一反三：【變式】一名34歲的男子帶著他的兩個孩子一同進行晨跑，下面是兩個孩子與記者的對話：根據(jù)對話內(nèi)容，請你用方程的知識幫記者求出哥哥和妹妹的年齡．【答案】妹妹的年齡是6歲，哥哥的年齡是10歲．【分析】設妹妹的年齡是x歲，哥哥的年齡是y歲，根據(jù)“今年妹妹和哥哥的年齡和是16歲，兩年后，妹妹年齡的3倍和哥哥的年齡相加等于爸爸的年齡”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．解：設妹妹的年齡是x歲，哥哥的年齡是y歲，依題意，得：，解得：．答：妹妹的年齡是6歲，哥哥的年齡是10歲．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．類型七、二元一次方程組的應用??列方程組解應用題??銷售問題??幾何問題13．為喜迎元旦，某超市推出A類禮盒和B類禮盒，每個A類禮盒的成本為120元，每個B類禮盒的成本為160元，每個B類禮盒的售價比每個A類禮盒的售價多80元，售賣2個A類禮盒獲得的利潤和售賣1個B類禮盒獲得的利潤相同．求每個A類禮盒的售價；(2)該超市購進A類禮盒800個和B類禮盒1000個，進行促銷活動．超市規(guī)定，每人每次最多購買A類禮盒1個或B類禮盒1個，每個A類禮盒直接參與店內(nèi)“每滿100元減a元”的活動，每個B類禮盒在售價的基礎上打九折后再參與店內(nèi)“每滿100元減a元”的活動．活動結束時，所有禮盒全部售賣完．若該超市獲得的利潤為48800元，求a的值．【答案】(1)每個A類禮盒的售價為160元 (2)14【分析】（1）設每個A類禮盒的售價為x元，每個B類禮盒的售價為y元，根據(jù)“每個B類禮盒的售價比每個A類禮盒的售價多80元，售賣2個A類禮盒獲得的利潤和售賣1個B類禮盒獲得的利潤相同”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）由每個B類禮盒售價的九折大于200元，可得出每個B類禮盒的活動價為元，利用總利潤等于每個的銷售利潤乘以銷售數(shù)量，可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．（1）解：設每個A類禮盒的售價為x元，每個B類禮盒的售價為y元，根據(jù)題意得：，解得：．答：每個A類禮盒的售價為160元．（2）解：∵（元），，∴每個B類禮盒的活動價為元．根據(jù)題意得：，解得：．答：a的值為14．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用以及一元一次方程的應用，解題的關鍵是：明確題意，準確得到等量關系是解題的關鍵．舉一反三：【變式】某服裝店用5700元購進A，B兩種新式服裝，按標價售出后可獲得毛利潤3600元（毛利潤＝售價－進價），這兩種服裝的進價，標價如表所示．類型價格A型B型進價（元/件）60100標價（元/件）100160請利用二元一次方程組求這兩種服裝各購進的件數(shù)；如果A種服裝按標價的9折出售，B種服裝按標價的8折出售，那么這批服裝全部售完后，服裝店比按標價出售少收入多少元？【答案】(1)購進A型服裝45件，購進B型服裝30件(2)服裝店比按標價出售少收入1410元【分析】（1）設購進A型服裝x件，B型服裝y件，根據(jù)“某服裝店用5700元購進A，B兩種新式服裝，按標價售出后可獲得毛利潤3600元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）利用少收入的錢數(shù)=每件A型服裝少掙的錢數(shù)×銷售數(shù)量+每件B型服裝少掙的錢數(shù)×銷售數(shù)量，即可求出結論．解：（1）設購進A種服裝x件，購進B種服裝y件，根據(jù)題意得：，解得：答：購進A型服裝45件，購進B型服裝30件；（2）=450+960（元）．答：服裝店比按標價出售少收入1410元．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用以及有理數(shù)的混合運算，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．14．用一元一次方程解決問題：某藥業(yè)集團生產(chǎn)的某種藥品包裝盒的側面展開圖如圖，如果長方體盒子的長比寬多，求這種藥品包裝盒的體積．【答案】【分析】要求長方體的體積，需知長方體的長、寬、高，再結合圖形尋找等量關系，求出后代入長方體體積公式，即可得出結果．解：設這種藥品包裝盒的寬為，高為，則長為，根據(jù)題意可得，解得，∴長為，寬為，高為，則體積，則這種藥品包裝盒的體積為．【點撥】本題主要考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是用寬表示出長．舉一反三：【變式】∠α是∠β的3倍，且∠β的補角比∠α的余角大110°，求∠α的度數(shù)．【答案】∠α＝30°【分析】根據(jù)余角和補角的定義，結合∠α是∠β的3倍，∠β的補角比∠α的余角大110°，列出二元一次方程組，解方程組即可求解．解：由題意得，．解得∠α＝30°，∠β＝10°．∴∠α＝30°．【點撥】本題主要考查余角與補角，解二元一次方程組，熟練掌握余角和補角的定義是解決本題的關鍵．類型八、二元一次方程組的應用??列方程組解應用題??和差倍分問題??古代問題15．小明和小紅各有一些巧克力，如果小紅把她巧克力數(shù)量的一半分給小明，那么小明就有40顆巧克力；如果小明把他巧克力數(shù)量的分給小紅，那么小紅也有40顆巧克力，求小明、小紅原本各有多少顆巧克力．【答案】小明原有巧克力30顆，小紅原有巧克力20顆【分析】設小明原有巧克力x顆，小紅原有巧克力y顆，由小明原來有的加上小紅分給的共40顆，小紅原來有的加上小明分給的共40顆，再列方程組即可．解：設小明原有巧克力x顆，小紅原有巧克力y顆根據(jù)題意，可列方程組，解得答：小明原有巧克力30顆，小紅原有巧克力20顆．【點撥】本題考查的是二元一次方程組的應用，理解題意，確定相等關系列方程是解本題的關鍵．舉一反三：【變式】甲、乙兩倉庫共存糧95噸，現(xiàn)從甲倉庫運出存糧的，從乙倉庫運出存糧的，這時甲倉庫剩下的糧和乙倉庫剩下的糧同樣多，甲、乙兩倉庫原來各存糧多少噸？【答案】甲、乙兩倉庫原來各存糧噸，噸．【分析】設甲、乙兩倉庫原來各存糧噸，根據(jù)題意，列二元一次方程組，求解即可．解：設甲、乙兩倉庫原來各存糧噸，由題意可得：，解得答：甲、乙兩倉庫原來各存糧噸，噸．【點撥】此題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是理解題意，找到等量關系，正確列出方程組．16．驢和騾子馱著貨物走在路上，驢不停的埋怨自己馱的貨物太重了，壓得受不了．騾子對驢說：“你發(fā)什么牢騷啊！我馱的貨比你重，如果你馱的貨給我一袋子，那我馱的比你多一倍，而如果我馱的貨給你一袋子，咱倆馱的才一樣多”請問你知道驢和騾子各馱了多少袋子貨物嗎？【答案】驢子原來所馱貨物為5袋，騾子原來所馱貨物為7袋．【分析】根據(jù)題意可知，本題中的相等關系是“如果你馱的貨給我一袋子，那我馱的比你多一倍”和“如果我馱的貨給你一袋子，咱倆馱的才一樣多”，列方程組求解即可．解：設驢子原來所馱貨物為x袋，騾子原來所馱貨物為y袋．由題意得

，解得，即：驢子原來所馱貨物為5袋，騾子原來所馱貨物為7袋．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用．利用二元一次方程組求解的應用題一般情況下題中要給出2個等量關系，準確地找到等量關系并用方程組表示出來是解題的關鍵．舉一反三：【變式】我國古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》卷中記載有“多人共車”問題，原文如下：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？”意思是：今有若干人乘車，每3人乘1車，所乘車都坐滿，最終剩余2輛車；若每2人共乘1車，最終剩余9個人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？【答案】39人，15輛車【分析】設共有x人，y輛車，由題意：每3人共乘一車，所乘車都坐滿，最終剩余2輛車，若每2人共乘一車，最終剩余9個人無車可乘．列出二元一次方程組，解方程組即可．解：設共有人，輛車，根據(jù)題意得：，解得：，答：共有39人，15輛車．【點撥】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．類型九、二元一次方程組的應用??列方程組解應用題??信息問題??開放問題17．根據(jù)圖提供的信息，求杯子和茶瓶的價格．【答案】杯子8元，茶瓶35元【分析】設茶瓶每個元，杯子每個元，結合1個茶瓶，2個杯子共51元，2個茶瓶，3個杯子共94元，再列方程組，再解方程組即可．解：設茶瓶每個元，杯子每個元，則②①得：③①③得：，把代入③得：，∴方程組的解為；，答：杯子每個8元，茶瓶每個35元．【點撥】本題考查的是二元一次方程組的應用，根據(jù)圖片信息確定相等關系是解本題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，在的方格內(nèi)，填寫了一些代數(shù)式和數(shù)．在圖1中各行、各列及對角線上三個數(shù)之和都相等，請你求出，的值；把滿足（1）的其它6個數(shù)填入圖2中的方格內(nèi)．【答案】(1)(2)見分析【分析】（1）根據(jù)等量關系“各行、各列及對角線上三個數(shù)之和都相等”，列出方程組求解即可；（2）根據(jù)計算出的x、y值，求出其它6個數(shù)即可．（1）解：由已知條件可得，解得：．（2）解：如圖所示：【點撥】本題主要考查了二元一次方程組的應用，根據(jù)“各行、各列及對角線上三個數(shù)之和相等”從而列出關于x、y的二元一次方程組，是解題的關鍵．18．由大小兩種貨車，3輛大車與4輛小車一次可以運貨22噸，2輛大車與6輛小車一次可以運貨23噸．請根據(jù)以上信息，提出一個能用二元一次方程組解決的問題，并寫出這個問題的解答過程．【答案】問題：1輛大車與1輛小車一次可以運貨多少噸?(本題的答案不唯一)，答案：6.5噸.【分析】1輛大車與1輛小車一次可以運貨多少噸？根據(jù)題意可知