2023-2024學(xué)年重慶市高三沖刺押題聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題（二）（含解析）

2023-2024學(xué)年重慶市高三沖刺押題聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題(二)

一、單選題

1.已知集合月=卜卜|<1},8=}1=2'+1},貝lJ(QA)cB=()

A.B.C.(-1,1)D.(2,+oo)

【正確答案】A

【分析】化簡(jiǎn)集合A,B,利用集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算定義求解.

【詳解】由|#1可得一1<》<1,所以A={x[T<x<l},

因?yàn)楹瘮?shù)y=2'+l的值域?yàn)?1,KO)，所以8=(1,+?>)

所以44={小《-1或QI},所以虱A)3=(1,物).

故選：A.

2.若復(fù)數(shù)智(i為虛數(shù)單位，”，匕wR且6*0)為純虛數(shù)，則:=()

4+31b

4433

A.-B.—C.-D.—

3344

【正確答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)鬻,根據(jù)其為純虛數(shù)可得等二°且等即可求得

答案.

a+bi(a+bi)(4-3i)4〃+4bi-3ai+3Z?(4a+3b)+(4Z?-3a)i

【詳解】由題意得

4+3i(4+3i)(4-3i)2525

4。+38+(4〃-3a)i

2525

..〃為純虛數(shù)

?4+3?

.4。+3b_54b-3a_.a3

??---------=0且------工0,一一,

2525h4

另解：設(shè)'+〃=疝(加工0),則=一3m+4%，

4+3i

即a=-3m,b=4m,

.a_3

，9b~~4

故選：D.

3.生物學(xué)家為了了解抗生素對(duì)生態(tài)環(huán)境的影響，常通過檢測(cè)水中生物體內(nèi)抗生素的殘留量來(lái)進(jìn)行判

斷.己知水中某生物體內(nèi)抗生素的殘留量》(單位：mg)與時(shí)間，(單位：年)近似滿足關(guān)系式

o

y=4（l—3"）（/lw0）,其中X為抗生素的殘留系數(shù)，當(dāng)r=8時(shí)，y=-2,則4=（）

V

A"B.-C.-D.-

2334

【正確答案】D

Q

【分析】根據(jù)題意得?幾=/1（1-3.），從而可求出人

【詳解】解：因?yàn)榭股氐臍埩袅縴（單位：mg）與時(shí)間，（單位：年）近似滿足關(guān)系式

丫=4（1-3-''）（2x0）,當(dāng)f=8時(shí)，

所以，1/1=2（1-3-84）,

所以3-8，=』=3一2,即一8九=一2,解得a=L

94

故選：D

4.角谷猜想，也叫3〃+1猜想，是由日本數(shù)學(xué)家角谷靜夫發(fā)現(xiàn)的，是指對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它

是奇數(shù)，則對(duì)它乘3再加1；如果它是偶數(shù)，則對(duì)它除以2,如此循環(huán)最終都能夠得到1,如：取〃=10,

根據(jù)上述過程，得出10,5,16,8,4,2,1,共7個(gè)數(shù).上述過程得到的7個(gè)整數(shù)中，隨機(jī)選取

兩個(gè)不同的數(shù)，則兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率為（）.

A.1B.2C.-LD.2

15152121

【正確答案】C

【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?0,5,16,8,4,2,1,這7個(gè)數(shù)中，有2個(gè)奇數(shù)，

C；_1_1

所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，則兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率為a=21，

故選：c

5.在BBC中，D為線段BC上一點(diǎn)，且BD=2CD,則A￡>=（）

31132112

A.-AB+-ACB.-AB+-ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44443333

【正確答案】D

【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算求得正確答案.

2

【詳解】AD=AB+BD=AB+-BC

3

=AB+-（AC-AB\=-AB+-AC.

3、133

故選：D

6.在二>45。中，“tanAtan8=1"是"sin?A+sin?8=1”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式分別證明充分性和必要性，進(jìn)而得出結(jié)果.

【詳解】若tanAtanB=l,則絲A?絲0=1,

cosAcosB

即cosAcosB-sinAsinB=cos(A+3)=-cosC=0,

所以c=],所以A+8=],即A所以sinA=sin(1-B),

222

所以sin?A=sin?-s]=cosB=i-sinB,所以sit?A+sin8=1,

所以“tanAtan8=l"是"sin?A+sin?5=]”的充分條件.

若sin?A+sin25=1,貝llcos2A+cos?3=1,則——3cosA$_+——3cosJ=1，

sin-A+cos'Asin'3+cos~B

即一一;+—二=1,所以tai?Atai?B=l,所以tanAtan8=l或tanAtan8=-1,

tan-A+]tan~8+l

所以“tanAtan8=1"不是“cos?A+cos?B=1"的必要條件，

所以“tanAtanB=1”是"cos2A+cos?5=1”的充分不必要條件.

故選：A.

m

7.設(shè)a=0.98+sin0.01,b=^,c=^(log20222023+log20232022),則()

A.a>b>cB.b>a>cC,c>a>hD.c>h>a

【正確答案】D

【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及基本不等式判斷出4,4c的大小關(guān)系.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(x)=e*+sinx—2x-l,/'(x)=e*+cosx-2,

當(dāng)x<0時(shí)，e*<l,cosx<0,/,(x)=e,+cosx-2<0,

所以在(v,0)上單調(diào)遞減，/(0)=0,

所以/(-0。1)>0,即+sin(-0.01)-2x(-0.01)-l=e^01-sin0.01-0.98>0,

也即e4s>sin0.01+0.98,/?>a,則

c=3(l°g2O222023+log20232022)>gx2Jlog20222023/%期2022=1,

所以c>b>a.

故選：D

8.已知函數(shù)./1（力=$出（21+9+酬時(shí)苦）的一個(gè)極大值點(diǎn)為》=?，若〃》）在區(qū)間［-4,可（4＞0）上

單調(diào)遞增，則。的最大值為（）

【正確答案】A

【分析】先根據(jù)極大值點(diǎn)的條件求出?，再根據(jù)單調(diào)性求出”的范圍，從而得到〃的最大值.

【詳解】依題意/（己）=1=5也（夕+g）,于是夕+/=2E+］,kwZ,即夕=2E一keZ,結(jié)

合|同＜=可得，％=0,于是夕=4,此時(shí)〃x）=sinhx+m］，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間得：“X）

2616，

的單調(diào)遞增區(qū)間滿足2E-二42》+342反+巴,AeZ,即E-巴4x4E+巴,上eZ,即〃x）在

26236

+專?eZ上遞增,令&=0,則“X）在一找上遞增,又f（x）在區(qū)間［一。,句（。＞0）上

單調(diào)遞增，故四，結(jié)合。＞0得

636

故選：A

二、多選題

9.已知48是拋物線。:丁二以上兩動(dòng)點(diǎn)，產(chǎn)為拋物線C的焦點(diǎn)，則（）

A.直線A8過焦點(diǎn)廠時(shí)，|4邳最小值為4

B.直線A3過焦點(diǎn)尸且傾斜角為60時(shí)（點(diǎn)A在第一象限），卜日=2怛日

C.若A3中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3,則|4B|最大值為8

D.點(diǎn)A坐標(biāo)（4,4）,且直線AEA3斜率之和為0,AF與拋物線的另一交點(diǎn)為。，則直線，雙）方程

為：4x+8y+7=0

【正確答案】ACD

【分析】對(duì)于A,由題意，過焦點(diǎn)，則垂直x軸時(shí)最小，可得答案；

對(duì)于B,已知直線的傾斜角，可根據(jù)拋物線焦半徑公式，可得答案；

對(duì)于C,根據(jù)三角形三邊性質(zhì)，可得不等式，由于中點(diǎn)坐標(biāo)已知，根據(jù)拋物線定義與梯形中位線，

可得答案；

對(duì)于D,利用中點(diǎn)弦的斜率公式，可求得點(diǎn)。的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得該點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)可以，求得A8

的斜率，同樣方法，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，可得答案.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線AB過焦點(diǎn)F，當(dāng)A3垂直于x軸時(shí)，|A網(wǎng)取最小值4,故正確:

對(duì)于B選項(xiàng)，由題意，作圖如下:

則8=60，AG_Lx軸，應(yīng)：_Lx軸，BP|GF\=|AF\cos0,|EF\=|cos<9,

\AC\=\GF\-^pf\BH\=p-\EF\,即|Ab|=|G月+〃，忸耳=〃—|即|,

|AF|=|AF|COS^+p,|BF|=p-\BF\cos0\AF\=-R—]BF\=-R—

f1-cos。l+cos。

IM=F=4,|BF|=』]'故錯(cuò)誤:

對(duì)于C選項(xiàng)，由于45為兩動(dòng)點(diǎn)，所以|A回,，|AF|+忸q=4+/+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)直線AB過焦點(diǎn)廠

時(shí)等號(hào)成立，故正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，依題意，后"=[=＞匚里=—^―,故%=-1,即由題意,

3xA-xnyA+yn（4J

M=0-L=T，同理可得8件-7）,故直線8。方程為4x+8y+7=0,故正確.

故選：ACD.

10.如圖，已知正四棱臺(tái)45CD—A￡GP的上、下底面邊長(zhǎng)分別為近，2夜，其頂點(diǎn)都在同一球

面上，且該球的表面積為2（比，則側(cè)棱長(zhǎng)為（）

D.710

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)球的表面積公式可求得球的半徑R;作出截面BQQg,設(shè)外接球球心為。，棱臺(tái)底面

的中心分別為G,。，分別討論。在四邊形內(nèi)和。在四邊形內(nèi)外兩種情況，結(jié)合勾股定

理可求得棱臺(tái)的高GG-進(jìn)而可得側(cè)棱長(zhǎng).

【詳解】正四棱臺(tái)的外接球表面積5=4萬(wàn)/?2=20萬(wàn)，解得：R=5即球的半徑為逐；

BD=78+8=4,BR=j2+2=2,

作出截面設(shè)外接球球心為。，棱臺(tái)底面的中心分別為G，G，

若。在四邊形83。片內(nèi)，如下圖所示，

.?.%=JR?-B]G；=7^1=2,OGAR2-BG。=>5-4=1，

，GG[=OG[+OG=3,

+GG；=Vl+9=M,即棱臺(tái)側(cè)棱長(zhǎng)為M;

若。在四邊形片外，如下圖所示，

；.OG|=RW=\Z5M=2，OG=>]R2-BG2=^/5^4=l.

.?.GG|=OG「OG=1,

BB］=yJ(BG-B,G,)2+GG-=Vl+T=應(yīng),即棱臺(tái)側(cè)棱長(zhǎng)為6;

綜上所述：側(cè)棱長(zhǎng)為舊或近.

故選：AD.

11.已知R上的偶函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且恒有/(l—x)+/(l+x)=O成立，則下

列說法正確的是()

A.“X)在口，2］上是增函數(shù)B.“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

C.函數(shù)“X)在X=2處取得最小值D.函數(shù)y=沒有最大值

【正確答案】BC

【分析】由“l(fā)-x)+/(l+x)=0得函數(shù)f(x)圖象關(guān)于點(diǎn)。，0)對(duì)稱，再結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)的周

期性，從而可得函數(shù)的單調(diào)性，然后可判斷各選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)橛?(x)是偶函數(shù)，且在［-1,0］上單調(diào)遞增，則f(x)在［0,1］上單調(diào)遞減，

,//(l-x)+/(l+x)=0,Af(\+x)=-f(\-x-),

設(shè)P(x,y)是y=/⑺上任一點(diǎn)，它關(guān)于(1,0)的對(duì)稱點(diǎn)是Q(2-x,-y),

/(2-x)=/［l+(l-x)］=-/(l-(l-x)］=-fM=-y,即。(2-x,y)也是函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)，

函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對(duì)稱，B正確；

從而/*)在口,2］上單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；

由上推導(dǎo)知在［0,2］上遞減，由對(duì)稱性知/(x)在［-2,0］上遞增，

又

/(4+x)=/(I+3+x)=-/［I-(3+x)］=—/(-2—x)=-f(2+x)

=-/(I+1+X)=/(I-(1+x)］=f(-x)=f{x),即f(x)是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期，

從而/(x)在［4k-2,4k］(keZ)上遞增，在［4k,4k+2］(AreZ)上遞減，

因此/(2)是函數(shù)的最小值，/(0)是函數(shù)的最大值，C正確，D錯(cuò)誤.

故選：BC.

12.若實(shí)數(shù)x,y滿足41nx+2111(2)，)2父+8丫-4,則()

A.xy=立-B.x+y=>/2C.x+2y=—+\/2D.x2y=l

42

【正確答案】AC

【分析】化簡(jiǎn)已知不等式，利用換元法以及構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得乂上進(jìn)而判斷出正確答案.

【詳解】依題意可知x>0,y>0,

不等式41nx+21n(2y)Nx?+8y-4可化為Inj(4y)>-^x2+4y-2,

設(shè)a=；x2,6=4y,則ln(a。)Na+A-2,

Hpintz-<7+l+(ln/?-/?+l)>0,

設(shè)/(x)=lnx-x+l(x>0),J"(x)=q,

所以〃x)在區(qū)間(0,1)，/(x)>O,/(x)遞增:在區(qū)間(l,”),f'(x)<0J(x)遞減.

所以⑴=0,

所以要使/⑷+/僅)2。成立，則a=b=l,

即。=［小=］力=4),=1,由于》>0,故解得》=夜,〉=_1,

則孫=也，x+y=42+-,x+2y=-+\/2,x2y=-,

4'42-2

所以AC選項(xiàng)正確.

故選：AC

求解不等式恒成立問題，可先化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)造函數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)研究所

構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等性質(zhì)，從而將問題求解出來(lái).

三、填空題

13.已知二項(xiàng)式(五+j)的展開式中最后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為79,則〃=.

【正確答案】12

【分析】根據(jù)后三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為79,建立等式，解出即可.

【詳解】解:由題知二項(xiàng)式的展開式中最后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為79,

所以C；2+C：T+C：=79,

n\n\,”

即7----;---+7---；——+1=79

1(n-2)!x2!(n-l)!xl!，

八］八

化簡(jiǎn)2可r得9:△n(——n-\^+〃+1=79,

2

解得:〃=一13(舍)或77=12.

故答案為:12

14.已知函數(shù)〃x)=sinx+cosx+2sinxcosx+2,則/(x)的最大值為.

【正確答案】3+V2/V2+3

【分析】設(shè)，=sinx+cosx,用換元法化為二次函數(shù)求解.

【詳解】設(shè)1=sinx+cosx,則sinxcosx=(sin-+cos.)——1L,

22

^2^2兀

E=sinx+cosx=V2(——sinx+——cosx)=V2sin(x+—)G[-V2,y/2],

224

,1,3

fW=gQ)=.+/-i+2=(r+-)2+-,

24

及時(shí)，g(f)1mx=&+2+l=3+0,即f(x)皿=3+而.

故3+0?

15.邊長(zhǎng)為2的正方形，經(jīng)如圖所示的方式裁剪后，可圍成一個(gè)正四棱錐，則此正四棱錐的外接球

的表面積的最小值為.

【正確答案】心

9

【分析】設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2x,利用勾股定理求得外接球的半徑R的表達(dá)式，利用換元法以

及導(dǎo)數(shù)求得R2的最小值，從而求得正四棱錐的外接球的表面積的最小值.

【詳解】如圖所示，設(shè)圍成的四棱錐為P-ABCD,尸尸是正四棱錐P-A8C。的高，

2-2x

作FE上BC交BC于E,連接PE,設(shè)AB=2x,則七/=x,PE=-^—=1—九，

l-x>x=>0<x<—,

所以PF={PE?—EF2=Jl_2x，BF=叵x,

設(shè)外接球的球心為。，半徑為R,

2

則R=(仿:丫+(71-2x-,

令=貝IJR=L

構(gòu)造函數(shù)〃/)=萼,;(「)=加

令r⑺=0可解得產(chǎn)=立，

由5a）＞0，爪）遞增,

/（f）在區(qū)間,/'（，）＜0,/（，）遞減：在區(qū)間

所以當(dāng)時(shí)R取得最小值，所以R?的最小值為

3

所以正四棱錐的外接球的表面積的最小值為幽.

9

故晅

9

14

AF.AFf-5^過原點(diǎn)的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，則商行+時(shí)的取值范圍為__________.

"-D|FM||FN\

-321

【正確答案】

,j1414

【分析】根據(jù)已知先求出“，c的值，i^\FM\=m,得到加目1,5］，忻間+網(wǎng)=2+六，記

/⑻=5一高,“叩，句，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值得解,

【詳解】解：由題可知（—c+a）（—c—“）=5,即/一。2=5,

］時(shí)|+|/加|=6....

由題可知，\\F'M\=\FN\忻兇=6,

..,1414

記.M=m則收r間C1函+網(wǎng)=

J4

記〃加）=

mm-6

,fZx-143（次-2）（加+6）一「一

則/⑹=式4鏟=以上6）2＜°在S）上恒成立，

3（〃;2）（，：：6）20在Rs］上恒成立，

Q71

故/⑻在［1,2）上單調(diào)遞減，在［2,5］上單調(diào)遞增，=/（5）=y,

213

5W2

=/（）=y'/（）min=/（）=-

四、解答題

17.已知數(shù)列｛”,｝的前〃項(xiàng)和為s“，4=1,4尸0,a?an+l=ASn-］,其中2為常數(shù).

（1）證明：4"+2-“"=兀；

（2）當(dāng)數(shù)列｛q｝為等差數(shù)列時(shí)，記數(shù)列［爭(zhēng)｝的前”項(xiàng)和為［，證明：T?<1.

【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】⑴根據(jù)由的,田=25,-1，得。向。,+2=25用-1，兩式相減后可得%+|（%+2-4）=急褊，進(jìn)一

步分析可得結(jié)論；

（2）設(shè)等差數(shù)列｛〃,,｝的公差為4根據(jù)題意有心4-。2=。2-可,從而解出2與d的值;再利用等差數(shù)列的

通項(xiàng)公式可得利用錯(cuò)位相減法求得1,可分析證明力,<1.

【詳解】⑴由%%=犯-1，得%*凡+2=3+1-1,

兩式相減得：（為+2-4,）=久+1，

由于a“#0，所以。,+1力0，所以?！?2-?！?4，即證.

（2）設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,由。色=玷-1=為-1;0=1，得/=2-1,

又a,-a［=入,得4=［+/.由d=a3-a2=?2-a/,Wl+2-（A-l）=A—1-1,解得2=4；所以2d=%-4=4,

解得占2,所以4=1+2（〃-1）=2〃-1.

令b.吟,則2=（2〃-1噂1,

所以7；=1x（/+3x出+…+（21陪）①

①x部—1x（升3、?+...+（2〃一1唔「

兩式相減，得:

一（2〃7Mq

-T=-+2x

3tl3如?-3

2n-1

-（2〃-嗚）n+1

=—+2x

3

彳（3+2〃-嗚），

所以7；=l-3（〃+l）［g）<1

18.如圖，在多面體A8CDEF中，四邊形ABCQ是正方形，AF//DE,DE=2AF=2AD,DELAD,

ACLBE.

（1）證明：平面ADEF1?平面ABCD

（2）求平面ACE與平面ABF所成銳二面角的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

（2）1

【分析】（1）由線面垂直即可證明面面垂直.

（2）由向量法只需求平面4CE與平面AB/的法向量即可求解.

【詳解】Q）證明：如圖，連接BD

四邊形ABC。是正萬(wàn)形，

又AC1BE,BE,BDu平面BDE,且BDcBE=B,

；.AC_L平面BDE,

r>Ec￥?BDE,所以AC_LOE,

X-.DEA.AD,ARACu平面ABC。，且ADcAC=A,

￡>EJ_平面ABCD,

又小匚平面山9底尸，

?1?平面AOEF_L平面ABCD.

(2)由題意可得ZM,DC,?！陜蓛纱怪保?/p>

故以。為原點(diǎn)，分別以D4，DC-OE的方向?yàn)閤,>?,z軸的正方向,

建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.

設(shè)31,則A(1,O,O),C(O,1,O),0(0,0,0),￡(0,0,2),

故AC=(—1,1,0),AE=(—1,0,2),ft4=(l,0,0),

設(shè)平面ACE的法向量為〃=(x,y,z),

則，,令產(chǎn)2,得〃=(2,2,1),

n-AE=-x+2z=0

由A尸〃￡>E得AD1.AF,又A￡>_LA8,

AF,ABu平面ABF,所以AO_L平面ABF,

則平面ABF的一個(gè)法向量為D4=(1,0,0),

設(shè)平ACE與平面A2F所成的二面角為仇

則8s俎a“卜普=

2

即平面ACE與平面ABF所成銳二面角的余弦值為］.

UUUU

19.在工ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且2smA-sinC=f您

sinCBABC

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若。是AC邊上的一點(diǎn)，且AE>:E>C=1:2,BD=\,當(dāng)a+3c取最大值時(shí)，求ABC的面積.

TT

【正確答案】(1)8=3

⑵速

14

【分析】(1)先由向量的數(shù)量積及余弦定理求得2shMt叱=1+￡-：；,再由正弦定理化簡(jiǎn)得

sinCa~+c-b~

a123+c2-b2=ac9即可求出cos5,進(jìn)而求出5；

(2)先由ZA￡>8+NC￡)B=7c結(jié)合余弦定理得(a+c)2+3c?=9,令。+c=3cose,Gc=3sin。，借助輔

助角公式得a+3c=后sin(e+0,求出取最大值時(shí)4c的值，即可計(jì)算面積.

/+〃一/

uuruuriinri.uuri4+從"2

【詳解】（1）由C4?C8=C4?C3cosC="?

lab2

uiruun|iiiri?muI々222a2^c2-b2

=網(wǎng)也qcos8=的；

2

ULIULI

fuii2sinA—sinCCA.,CBci~+h~-c+工^方小工田,旦2?！猚（1+b~—c,上位x?2,2

貝I」-----------=uiruun=———-——，由正弦定理倚-----=-------，化a-b=ac，

sinCBABCa+c-b7-ca+c-b

故cosBJ+1'-=L又Be（（U）,故B=W；

2ac23

（2）

12

易得=§"C￡>=§〃，由NA￡>8+NCQ8=7i,可得

17724-1-c2%2+]―〃2

cosZADB+cos/CDB=-------+--------=0,

-b-b

33

整理得|尸="2+2'2—3,y.a2+c2-b2=ac,整理可得（a+c?+3c?=9,

令ci+c=3cosO,J^c=3sin。,

則a+3c=2GsinO+38se=V^lsin(e+e),其中sing=,COS°=

當(dāng)sin(O+0)=l,即夕+e=1時(shí)，Q+3。取最大值，

2721

此時(shí)a+c=3cos=3sin=3sin=3cos(p-,解得〃

7

ABC的面積為,acsinB=1x@x3包x立=邁.

2277214

20.為了檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行動(dòng)物與人體試驗(yàn).研究人員將疫苗注射到200

只小白鼠體內(nèi),一段時(shí)間后測(cè)量小白鼠的某項(xiàng)指標(biāo)值,按小20鼠[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]

分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)小白鼠體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160只，其中該項(xiàng)指標(biāo)

值不小于60的有110只.假設(shè)小白鼠注射痕苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立.

(1)填寫下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后小白

鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān).

單位：只

指標(biāo)值

抗體合計(jì)?

小于60不小于60

有抗體

沒有抗體

合計(jì)

(2)為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40只小白鼠進(jìn)行第二次

注射疫苗，結(jié)果又有20只小白鼠產(chǎn)生抗體.

①用頻率估計(jì)概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率p；

②以①中確定的概率P作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，進(jìn)行人體接種試驗(yàn)，記〃個(gè)人注

射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量X.試驗(yàn)后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，當(dāng)X=99時(shí)，P（X）取最大值,

求參加人體接種試驗(yàn)的人數(shù)〃及E（X）.

n(ad-bc)2

參考公式：Z2=（其中〃=a+O+c+d為樣本容量）

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

尸年認(rèn)）0.500.400.250.150.1000.0500.025

k。0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.024

【正確答案】（1）列聯(lián)表見解析；認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，此推斷犯

錯(cuò)誤的概率不大于0.05；

⑵①0.9；②接受接種試驗(yàn)的人數(shù)為109或110；當(dāng)接種人數(shù)為109時(shí)，E（X）=98.1；當(dāng)接種人數(shù)為

10時(shí),E（X）=99

【分析】（1）先根據(jù)題中數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，計(jì)算/的數(shù)值，分析即可得出結(jié)果；

（2）①根據(jù)對(duì)立事件的概率求解即可;②不同小老鼠之間的實(shí)驗(yàn)顯然無(wú)關(guān)，于是可近似看成二項(xiàng)分

P(X=99)>P(X=98)

布,由題意可知解出〃的范圍即可求解

P(X=99)>P(X=100)

【詳解】（1）由頻率分布直方圖，知200只小白鼠按指標(biāo)值分布為：

在［0,20）內(nèi)有0.0025x20x200=10（只）；在［20,40）內(nèi)有0.00625x20x200=25（只）；

在［40,60）內(nèi)有0.00875*20x200=35（只）；在|60,80）內(nèi)有0.025*20x200=100（只）；

在［80,100］內(nèi)有O.（X）75x20x200=30（只）.

由題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50只：而指標(biāo)值小于60的小白鼠共有10+25+35=70只，所

以指標(biāo)值小于60且沒有抗體的小白鼠有20只，同理，指標(biāo)值不小于60且沒有抗體的小白鼠有20

只，故列聯(lián)表如下：

指標(biāo)值

抗體合計(jì)

小于60不小于60

有抗體50110160

沒有抗體202040

合計(jì)70130200

零假設(shè)為〃。：注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無(wú)關(guān)聯(lián).

根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得72=200x(50x20-201101，4.945>3.841,

160x40x70x130

根據(jù)夕=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷〃。不成立，即認(rèn)為注射疫苗后小白鼠產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60

有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05；

(2)①令事件A="小白鼠第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件3="小白鼠第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”,

事件C="小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”，

記事件4,B,C發(fā)生的概率分別為P(A),P?,P(C),

16020-

則P(A)=礪=0.8,P(B)=—=0.5,P(C)=l-P(A)P(B)=l-0.2x0.5=0.9,

所以一只小白鼠注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率為0.9.

②由題意，知隨機(jī)變量X~8(〃,0.9),P(X=Z)=Cx09x0/i(A=0,l,2,,?),

因?yàn)镻(X=99)最大，

一、rP(X=99)>P(X=98)./JefX0.9"x0.1n-99>C：x0.998x0.1"-98

所以由1P(X=99)2P(X=100)可得jC：>x0.9"xO.r-99>x0,9l()oxO.l"-'00'

991

解得1094〃41-,因〃是整數(shù)，故”=109或〃=110,

所以接受接種試驗(yàn)的人數(shù)為109或110,

當(dāng)接種人數(shù)為109時(shí)，E(X)="p=109x0.9=98.1；

當(dāng)接種人數(shù)為110時(shí)，E(X)=〃p=110x0.9=99

22

21.已知雙曲線C：WT=l(a>0,6>0)的離心率是石，點(diǎn)F是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)F到雙曲

線C的一條漸近線的距離是2.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑵設(shè)點(diǎn)〃在直線》=，上，過點(diǎn)M作兩條直線直線4與雙曲線C交于AB兩點(diǎn)，直線4與雙

4

MA\ME

曲線。交于。，七兩點(diǎn).若直線八8與直線。石的傾斜角互補(bǔ)，證明舄二Gk

MD\MB

【正確答案】⑴人上】

（2）證明見解析

【分析】（1）由題知進(jìn)而解方程即可得答案;

c2=a2+b2

（2）由題設(shè)直線；）+，,4（占,乂）,8（馬,乂），進(jìn)而與雙曲線聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)

,,,,仰+1）（4/+15）,,,,優(yōu)2+［）（4/+15）

定理得|朋4也用=^~我4直線4的斜率為太，同理可得-4|^_,一L,

進(jìn)而根據(jù)k2=k'2可得=\MD\-\ME\,進(jìn)而可證明結(jié)論.

【詳解】（1）解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)尸（c,0）,其漸近線方程為法土沖=0,

因?yàn)榻裹c(diǎn)廠到雙曲線C