2022-2023學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）（含詳細(xì)答案解析）

2022-2023學(xué)年上海市楊浦區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（一模）

一、選擇題：本題共6小題，每小題4分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.下列各組圖形一定相似的是（）

A.兩個菱形B.兩個矩形C.兩個直角梯形D.兩個正方形

2.在RtAABC中，ZC=90°,如果4C=8,BC=6,那么NB的余切值為（）

A4B-3C-|D-5

3.拋物線丫=一3（>:+1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（1,2）B.（1,-2）C.（-1,2）D.（-1,-2）

4.已知不為非零向量，a=3c,b=-2c，那么下列結(jié)論中錯誤的是（）

\.a//bB.|a|=||K|C.3與3方向相同D.方與3方向相反

5.單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項(xiàng)目之一，運(yùn)動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建

立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，從起跳到著陸的過程中，運(yùn)動員的豎直高度y（單位：機(jī)）與水平距離工（單

位：機(jī)）近似滿足函數(shù)關(guān)系丫=以尤+M）2+做（1<0）.某運(yùn)動員進(jìn)行了兩次訓(xùn)練.第一次訓(xùn)練時，該運(yùn)動員

的水平距離尤與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如圖.根據(jù)上述數(shù)據(jù)，該運(yùn)動員豎直高度的最大值為（）

第一次訓(xùn)練數(shù)據(jù)

水平距離x/m02581114

豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

A.23.20cmB.22.75cmC.21.40cmD.23cm

6.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在A5和AC邊上且DE〃BC,點(diǎn)”為

邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)5、。重合），聯(lián)結(jié)AM交OE于點(diǎn)N,下列比例式一定成立

的是（）

竺="

,ANAE

口DN_BM

'~NE~~CM

「DN_AE

DNNE

nD.--=---

MCBM

二、填空題:本題共12小題，每小題4分，共48分。

7.已知？=,,則名;的值為___.

b4a+b

8.已知線段AB=8czn,點(diǎn)C在線段AB上，S.AC2=BC-AB,那么線段AC的長cm.

9.若兩個相似三角形的面積比為3：4,貝沱們的相似比為.

10.小杰沿坡比為1：2.4的山坡向上走了130米.那么他沿著垂直方向升高了米.

11.若點(diǎn)4（—3,月）、B（0,%）是二次函數(shù)y=2（%-I）2-1圖象上的兩點(diǎn)，那么乃與治的大小關(guān)系是

（填為>昌2、71=兆或?yàn)?lt;y2）-

12.如果將拋物線y=X2+2X-1先向右平移1個單位，再向上平移2個單位，那么所得的新拋物線的頂點(diǎn)

坐標(biāo)為.

13.如圖，△力BC中，NB4C=90。，點(diǎn)G是AABC的重心，如果4G=4,那么BC的長為.

15.如圖，已知4D〃EF〃BC,AE=3BE,AD=2,EF=5,那么BC=.

R

16.如圖，在△力BC中，AD1BC,sinB=BC=13,AD=12,則tanC的值

17.如圖，已知tan/。=$點(diǎn)P在邊。4上，0P=5,點(diǎn)M,N在邊上，PM=PN,如果MN=2,

那么PM=.

18.如圖，已知在中，NC=90。，AC=BC=1,點(diǎn)。在邊BC上，將小

ABC沿直線AQ翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處，聯(lián)結(jié)力C',直線4C'與邊CB的延長線相交

于點(diǎn)尸.如果NDA8=^BAF,那么BF=.

三、計(jì)算題：本大題共1小題，共10分。

1。斗筲sin60°+3tan30o-cos60o

以什舁：(2cos45°-l)-cot30°,

四、解答題：本題共6小題，共68分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

20.(本小題10分)

如圖，在梯形ABC。中，AD/IBC,BC=2AD,對角線AC、8。相交于點(diǎn)O,設(shè)而=五，四=石，試用

a,3的式子表示向量同.

21.（本小題10分）

如圖，已知AABC是等邊三角形，力B=6,點(diǎn)。在AC上，AD=2CD,CM是N4CB的外角平分線，連接

3。并延長與CM交于點(diǎn)E.

⑴求CE的長；

（2）求NE8C的正切值.

22.（本小題10分）

如圖，高壓電線桿垂直地面，測得電線桿A8的底部A到斜坡C的水平距離AC長為15.2米，落在斜坡

上的電線桿的影長C。為5.2米，在。點(diǎn)處測得電線桿頂8的仰角為37。.已知斜坡C￡）的坡比i=1：2.4,

求該電線桿A8的高.（參考數(shù)據(jù)：sin370=0.6）

23.（本小題12分）

如圖，RtAABC^,A.ACB=90°,。是斜邊AB上的中點(diǎn)，E是邊BC上的點(diǎn)，AE與C。交于點(diǎn)R且

AC2=CE-CB.

(1)求證：AE1CD-,

(2)連接BF,如果點(diǎn)E是8C中點(diǎn)，求證：Z.EBF=^EAB.

24.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=aK2久過點(diǎn)人(_1,0)、B(3,0),C(2,3)三點(diǎn)，且與y軸交

于點(diǎn)D.

(1)求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對稱軸；

(2)分別聯(lián)結(jié)A。、DC,CB,直線y=4x+m與線段。C交于點(diǎn)E,當(dāng)此直線將四邊形ABC。的面積平分

時，求機(jī)的值；

(3)設(shè)點(diǎn)尸為該拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)A、B、C、F為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時，請直接寫出所有

滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).

1234

25.(本小題14分)

如圖，在RtaABC中，AACB=90°,AB=13,CD〃4B,點(diǎn)E為射線C。上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合)，聯(lián)結(jié)

AE,交邊BC于點(diǎn)尸,NB4E的角平分線交8c于點(diǎn)G.

(1)當(dāng)CE=3時，求SACEF：SA“F的值；

(2)設(shè)CE=x,AE=y,當(dāng)CG=2G8時，求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)2C=5時，聯(lián)結(jié)EG,若△AEG為直角三角形，求8G的長.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4任意兩個菱形，邊的比相等、對應(yīng)角不一定相等，不一定相似，本選項(xiàng)不合題意;

員任意兩個矩形，對應(yīng)角對應(yīng)相等、邊的比不一定相等，不一定相似，本選項(xiàng)不合題意；

C.任意兩個直角梯形，形狀不一定相同，不一定相似，本選項(xiàng)不合題意；

D任意兩個正方形的對應(yīng)角對應(yīng)相等、邊的比相等，一定相似，本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

形狀相同的圖形稱為相似圖形.結(jié)合圖形，對選項(xiàng)一一分析，排除錯誤答案即可.

本題考查的是相似形的定義，相似圖形的形狀必須完全相同；相似圖形的大小不一定相同.

2.【答案】A

【解析】解：如圖，在Rt△48c中，rNC=90。，AC=8,BC=6,

故選：A.

根據(jù)余切函數(shù)的定義解答即可.

本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

3.【答案】C

【解析】解：???>=-3。+1)2+2,

???頂點(diǎn)為(-1,2),

故選：C.

由函數(shù)解析式直接可得頂點(diǎn)坐標(biāo).

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)由解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷

即可.

【解答】

解：va=3c,b=-2c，

???a=—|K,

：.a//b，\a\^l\b\,五與另方向相反，

??.4B,。正確，C錯誤.

5.【答案】A

【解析】解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（8,23.20）,

???k=23.20,

即該運(yùn)動員豎直高度的最大值為23.20小，

故選：A.

根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出頂點(diǎn)坐標(biāo).

6.【答案】B

【解析】解：???DE〃BC,

??.AABM,△ANE^^AMC,

_DN_ANNE_AN

"~BM~AM'~MC—AM'

.DN_NE

"'BM~記

即”=嗎

NECM

故選：B.

根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)分析即可.

此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，牢記定理是解決此題的關(guān)鍵.

7.【答案】1

【解析】解：?.《=',

b4

,4

???b=-a,

2a2a6

故答案為：號

用a表示出6,然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

本題考查了比例的性質(zhì)，用。表示出6是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】4V-4

【解析】"AC2=BC-AB,

.??點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC>BC,

：.AC=存。B=告x8=(4A<5-4)cm-

故答案為：475-4.

根據(jù)黃金分割的定義得到點(diǎn)C是線段A8的黃金分割點(diǎn)，根據(jù)黃金比值計(jì)算得到答案.

本題考查的是黃金分割的概念和性質(zhì)，掌握黃金比值為小是解題的關(guān)鍵.

2

9.【答案】氣2

【解析】【分析】

根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方計(jì)算.

本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

【解答】

解：???兩個相似三角形的面積比為34,

???它們的相似比為2,

故答案為：V-3：2.

10.【答案】50

【解析】解：設(shè)他沿著垂直方向升高了x米，

???坡比為1：2.4,

???他行走的水平寬度為2.4x米，

由勾股定理得，%2+(2.4%)2=1302,

解得,刀=50,即他沿著垂直方向升高了50米，

故答案為：50.

設(shè)他沿著垂直方向升高了x米，根據(jù)坡度的概念用尤表示出他行走的水平寬度，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度是坡面的鉛直高度〃和水平寬度/的比是解題

的關(guān)鍵.

11.【答案】為>為

【解析】解：???點(diǎn)4(—3,月)、8(0,%)是二次函數(shù)y=2Q-1)2-1圖象上的兩點(diǎn)，

22

.-.%=2(x-1)2—1=2(-3-1)2—1=31；y2=2(x-l)-1=2(0-l)-1=1,

???yi>y2-

故答案為為>y2.

分別計(jì)算出自變量為-3和o所對應(yīng)的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值的大小即可.

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式.

12.【答案】(0,0)

【解析】解：y=/+2久一1=(%+1)2-2,

???拋物線y=x2+2x-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,一2),

把點(diǎn)(-1,-2)先向右平移1個單位，再向上平移2個單位得到點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0),

即新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0).

故答案為：(0,0).

先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平移的規(guī)律得出平移后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用平移規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵.

13.【答案】12

【解析】解：如圖，延長AG交于點(diǎn)D.

?.?點(diǎn)G是AABC的重心，AG=4,\

.?.點(diǎn)。為8C的中點(diǎn)，且4G=2DG=4,\

DG=2,B---------------------------------’

AD=AG+DG=6,

中，/.BAC=90",是斜邊的中線，

BC=2AD=12.

故答案為12.

延長AG交2C于點(diǎn)。，根據(jù)重心的性質(zhì)可知點(diǎn)。為BC的中點(diǎn)，且4G=2DG=4,貝以。=6,再根據(jù)直

角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.

本題考查了三角形重心的定義及性質(zhì)，三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離與重心

到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1,同時考查了直角三角形的性質(zhì).

14.【答案］2VI0

【解析】解：-：AD//BC,

/-DAC—Z-ACB,

???Z-BAC=乙D,

???△/￡)—△CAB,

AC_AD

?t?,

BCAC

,AC_±_

**To-7c,

解得：AC=2/10.

故答案為：2，IU.

根據(jù)平行線的性質(zhì)得出口"=乙4CB,根據(jù)相似三角形的判定得出△ADCs^cZB,得出比例式，代入求

出即可.

本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，能求出是解此題的關(guān)鍵.

15.【答案】y

【解析】解：延長BA與CD相交于點(diǎn)G,§

t

iI1

?：ADI回IIBC,：\

r?

4t

；△GADs工GEF,△GAD^AGBC,:?

??

??

*?

#AD_GA_AD\

''~EF='GB=~BC".：\

/--------------fn

???AD=2,EF=,AE=9,/\

.2^GA/\

5

G4+9，EL--------------------\p

解得：GA—6,/\

GB=GA+AE+BE=18,BC

__6___2_

“話一前‘

解得：BC=6.

故答案為：6.

首先延長54與C。，相交于點(diǎn)G,由2D〃￡T〃BC,可得AGADS^GEF,AGAD^AGBC,又由A。=

2,EF=5,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得8C的長.

此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作

法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

16.【答案】3

【解析】解：ADIBC,AD=12,sinB=^,

,AD_4

?'AB=5f

解得48=15,

BD=JAB2-AD2=J152-122=9.

???BC=13,

DC=BC-BD=4,

AD12

??"=配=彳=3.

故答案為：3.

先在母△ABD中利用三角函數(shù)求出A8,再根據(jù)勾股定理求出8。，進(jìn)而可得出。C的值，即可求出tan/C

的值.

本題主要考查了解直角三角形，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出BD的值.

17.【答案】717

【解析】【分析】

本題考查銳角三角函數(shù)的定義，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理

是解本題的關(guān)鍵.

過尸作PD10B于點(diǎn)。，在直角AP。。中，利用銳角三角函數(shù)定義及勾股定理求出尸。的長，再由PM=

PN,PD1OB,利用三線合一得到3為MN中點(diǎn)，根據(jù)MN求出的長，然后由勾股定理可求PM的

值.

【解答】

解：過P作PD10B于點(diǎn)，

..pn4

?.?在RtAPOD中，tanzo=器=導(dǎo)

.?.設(shè)PD=4久，則0P=3%,

0P=5,由勾股定理得：(3x)2+(4x)2=52,

X=1,

??.PD=4,

???PM=PN,PD1OB,MN=2,

MD=ND=|MW=1,

在RtAPMD中，由勾股定理得：PM=VMD2+PD2=

故答案為：V17.

18.【答案】

【解析】解：,??在中，ZC=90°,AC^BC=1,

.-.NCAB=4ABC=45",

?■?A4DC'是將AABC沿直線翻折得到的，

.-./.CAD="'AD,

???乙DAB=/.BAF,

11

?-,NBA。=^DAC=^/.BAC=15°,

???^ABF=135°,

ZF=30",

BF=CF-BC=6-1,

故答案為：V~3—1.

在RtAABC中，NC=90。，AC^BC=1,得到/CAB=/ABC=45。，由△4DC'是將△48C沿直線A。翻

折得到的，求出Nd。=NC%。，于是得到N4BF=135。，求得NF=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得

到結(jié)果.

本題考查了翻折變換-折疊問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

原式=卓堯￡

19.【答案】解:

(2xY-l)x/3

V3

-(AA2-1)X/3

1

-71-1

=+1.

【解析】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

直接將特殊角的三角函數(shù)值代入求出答案

20.【答案】解：-：AD//BC,BC=2AD,

AO_AD_1

'OC=~BC=2'

喋=［即。4

???AD^a,AB=K（就與而同向，

BC=2a.

■■■AC=AB+BC=b+2a.

AO=-/?+-a.

【解析】根據(jù)平面向量定理即可表示.

本題考查了梯形、平面向量定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形法則.

21.【答案】解：（1）在BC延長線上取一點(diǎn)F

???△ABC是等邊三角形，

.-.乙ABC=^ACB=60°,AB=BC=6,AACF=120",

???CM是乙4cB的外角平分線，

1

???乙ECF=RACF=60°,

???Z-ECF=Z.ABC,

CE//AB,

.剪_絲

?'AB=ADf

XvAD=2CD,AB=6,

,CE_1

*'-6"=2?

??.CE=3.

(2)過點(diǎn)E作E”1BC于點(diǎn)兒

vZECF=60°,￡.EHC=90°,CE=3,

???CH=3,EH=浮,

又：BC=6,

BH=BC+CH=專

???乙EHB=90°,

+，口_EH

??tSLXlZ-EBC=TTT-=—T-.

DH5

【解析】（1）首先證明CE〃4B,貝IUABDSACED,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解；

（2）過點(diǎn)E作E”1BC于點(diǎn)X,在直角ACE”中，利用三角函數(shù)求得CH和利的長度，即可求得28的大

小，即可求得三角函數(shù)值.

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角函數(shù)值的求法，求三角函數(shù)值的問題常用的方法是轉(zhuǎn)化為

求直角三角形的邊的問題.

22.【答案】解：過點(diǎn)。作。E垂直AC的延長線于點(diǎn)E,DF垂直

AB于點(diǎn)F,

則四邊形AEOF為矩形，AF^DE,AE=DF,I

??,斜坡CD的坡比:1：2.4,CD=5.2米，|

...........衛(wèi)漢

:設(shè)DE=x,CE=2.4%,Iz=l.-2^xz*

CD=yjCE2+DE2=2.6久=5.2米，ACE

解得：久=2,

則DE=AF=2,CE=4.8,

AE=DF=AC+CE=15.2+4.8=20（米），

在小BDF中，

Z.BDF=37°,DF=20米，sin37°=0.6,

cos37°=J1-（0,6）2=o.8,

BF=DFtan37°==20x感=15（米），

AB=AF+BF=2+15=17（米）.

答：該電線桿AB的高為17米.

【解析】過點(diǎn)。作DE垂直AC的延長線于點(diǎn)E,垂直于點(diǎn)孔根據(jù)斜坡CD的坡比i=1：2.4,

CD=5.2米，求出CE、OE的長度，然后求出AE和。尸的長度，在ABOF中，求出3尸的長度，即可求出

AB的長度.

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡度和仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知

識求解，難度一般.

23.【答案】證明：(1)AC2=CE-CB,

,AC=CB\\\

"CE~AC\J\D

又：乙ACB=^ECA=90°少

???△ACBsAECA,\

CEB

???Z-ABC=Z-EAC.

???點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

.?.CD=AD,

???Z-ACD=乙CAD

???ACAD+乙ABC=90°,

???"CD+^EAC=90°

??.AAFC=90°,

**-AEJ_CD；

(2)???AE1CD,

???乙EFC=90°,

???Z-ACE=乙EFC

又???/.AEC=乙CEF,

???△ECFs>EAC

EC_EF

：'~EA=~EC

■.?點(diǎn)E是3C的中點(diǎn)，

???CE=BE,

.蛙_竺

?'~EA=~BE，

???Z-BEF=Z-AEB,

???△BEFs/^AEB

???Z-EBF=Z-EAB.

【解析】(1)先根據(jù)題意得出△4CBSAEC4再由直角三角形的性質(zhì)得出CD=AD,由4c4。+乙4BC=

90°可得出NACO+/.EAC=90°,進(jìn)而可得出N4FC=90°；

(2)根據(jù)AE_LC?？傻贸鯝ETC=90。，乙ACE=LEFC,故可得出△ECFs^R4C,再由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)可

知CE=BE,故胃=ff，根據(jù)NBEF=N4EB得出△BEFs^AEB,進(jìn)而可得出結(jié)論.

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

24.【答案】解:⑴???拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)4(—1,0),B(3,0),C(2,3)三點(diǎn),

(CL-b+c=0a=-1

???j9a++c=0解得：b=2,

(4a+2b+c=3L=3

??.所求拋物線的表達(dá)式為y=-/+2%+3,其對稱軸是直線1=1,

(2)由題意,得：。(0,3),

???DC//AB,AB=4,CD=3,

???直線y=4%+血與線段DC交于點(diǎn)E,且將四邊形ABCD的面積平分，

??.直線y=4%+租與邊A5相交，設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)G,

???點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是3,點(diǎn)G的縱坐標(biāo)是0,

???可求得E(竿,3),G(-pO),

由題意，得：S四邊形ABCD=2s四邊形AG￡D，

：.AB+CD2(4G+DE)

...4+2=2(—/+1+空，

解得:m=—|.

(3)當(dāng)CF〃A8時，點(diǎn)廠在線段CD上，

當(dāng)明Z/BC時，

直線的解析式為；y=-3%+9,

???直線A尸的解析式為y=—3x—3,

當(dāng)％=1時，y=—6,

???F(L—6),

當(dāng)