2022-2023學(xué)年廣西欽州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣西欽州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.一個幾何體由6個面圍成，則這個幾何體不可能是（）

A.四棱臺B.四棱柱C.四棱錐D.五棱錐

2.若a是第二象限角，則一三一戊是（)

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

3.已知四邊形4BCD是平行四邊形,則前+BA-DC=()

A.DAB.DBC.ADD.BD

4.“aG（三,2兀）”是ucosa>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知P為平面a外一點，則下列判斷錯誤的是（）

A.過點P只能作一個平面與a平行B.過點P可以作無數(shù)條直線與a平行

C.過點P只能作一個平面與a垂直D.過點P只能作一條直線與a垂直

6.tan350—tan800+tan350tan800=（）

A.—1B.1C.—V3D.V3

7.已知一個底面半徑為2,高為2/3的圓錐，被一個過該圓錐高的中點且平行于該圓錐底面

的平面所截，則截得的圓臺的體積為（）

7<3TTB音C.3yJ~3nD.6兀

3

8.武當(dāng)山，位于湖北省西北部十堰市境內(nèi)，其自然風(fēng)光，以雄為主，兼

有險、奇、幽、秀等多重特色.主峰天柱峰猶如金鑄玉掾的寶柱雄峙蒼穹，

屹立于群峰之巔,環(huán)繞其周圍的群山，從四面八方向主峰傾斜，形成獨特

的“七十二峰朝大頂，二十四澗水長流”的天然奇觀，被譽為“自古無

雙勝境，天下第一仙山”.如圖，若點P為主峰天柱峰的最高點，M,N為

觀測點，且P,M,N在同一水平面上的投影分別為Q,E,F,乙QEF=30°,

NQFE=45。，由點M測得點N的仰角為15。，NF-ME=200米，由點N測得點P的仰角為位且

tana=口，則P,M兩點到水平面QEF的高度差約為（參考數(shù)據(jù)：?1.732）（）

A.684米B.732米C.746米D.750米

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知函數(shù)/(x)=cos］-l,貝IJ()

A./(%)的最小正周期為47r

B./(%)為奇函數(shù)

C.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為［一兀+妹產(chǎn),兀+44兀］,kEZ

D./(x)的最小值為一2

10.已知角a的頂點為坐標原點，始邊與久軸的非負半軸重合，終邊上存兩點力8(41)

且Sina=3貝U()

A.a=一卒B.h=—2AA_2C.cosa=D.tana=一?

434

11.已知的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,b=4,銳角C滿足sinC=①，

4

則()

A.△4BC的面積為367^B.cosC=

C.c=V19D.cosB-

12.已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4,圓心角為微的扇形，將該圓錐加工打磨成一個球

狀零件，貝火)

A.該圓錐的底面半徑為2B.該圓錐的高為E

C.該圓錐的表面積為57rD.能制作的零件體積的最大值為勺票

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

14.已知△ABC為邊長為1的等邊三角形，~BD=^BA,則方.石？=.

15.在44BC中，角A、B、C所對的邊分別為Q、b、c,且bcosC+ccosB=1,則a=

.若cos^=￥，c=2,則6=_____.

24

16.在數(shù)學(xué)探究活動課中，小華進行了如下探究：如圖，這是注入D,C,

了一定量水的正方體密閉容器，現(xiàn)將該正方體容器的一個頂點4固定A,4——4/

在地面上，使得AD,AB,A4三條棱與水平面所成角均相等，此時因二2M

AB

水平面恰好經(jīng)過BBi的中點，若4B=1,則該水平面截正方體力BCD-aBiCi。1所得截面的

面積為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知向量五=(i,o),I=(2,m),且a與丁的夾角為宗

(1)求m的值；

(2)求益+后在B方向上的投影向量的模.

18.(本小題12.0分)

已知sin(0+?)=?

63

⑴求COS育+2。)的值;

(2)若。G(0,,求sin。.

19.(本小題12.0分)

如圖，在三棱錐P-4BC中，已知P4=PB=AC=BC=4,PC=4/7,且=60°,E、

F分別為4P、AC的中點.

(1)證明：PC〃平面EBF；

(2)求異面直線PC與EB所成角的余弦值.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=2sin(>x+0)(3>0,取<》的部分圖象如圖所示.

(1)求/(X)的解析式；

(2)將/(x)的圖象向右平移居個單位長度，再將得到的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的右

縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在［。,守上的值域.

21.(本小題12.0分)

從①2cos4(ccosB+bcosC)=a；②，與asinC—b=c—acosC這兩個條件中任選一個，補

充在下面橫線上，并加以解答.

在A/IBC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,

(1)求角A；

(2)若△ABC為銳角三角形，求比盧的取值范圍.

注：如果選擇多個條件解答，按第一個解答計分.

22.(本小題12.0分)

如圖，在長方體4BCD-4/1的￡)1中，點G在平面的射影為

(1)證明：H為△GCA的垂心.

(2)若ZB=2BC=2BBi=4,且點4在平面%。氏的射影為點G,求三棱錐A-的體積.

AB

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4四棱臺是上下兩個四邊形，四個側(cè)面有七個面，滿足題意；

對于8,四棱柱是上下兩個四邊形，四個側(cè)面有6個面，滿足題意；

對于C,四棱錐有一個底面，四個側(cè)面有5個面，不滿足題意；

對于D,五棱錐有一個底面，五個側(cè)面有6個面，滿足題意.

故選：C.

根據(jù)題意，由棱柱，棱臺和棱錐的面的個數(shù)，結(jié)合選項得出答案即可.

本題考查棱臺、棱錐、棱柱的結(jié)構(gòu)特征，注意常見幾何體的面、棱、頂點的數(shù)目，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由Q與-a的終邊關(guān)于%軸對稱，可知若a是第二象限角，則-a是第三象限角，

所以一a是第二象限角.

故選：B.

先判斷角-a終邊的位置，然后再判斷出角a終邊的位置.

本題主要考查象限角，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：由向量加法法則，可得：

AC+BA-DC=BC+CD=BD-

故選：D.

利用平面向量加法法則可化簡m+~BA-~DC.

本題考查平面向量的加法法則，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由。6年,2兀)，得cosa>0,

但由cosa>0,得2時-5<”>2卜兀(卜€(wěn)2),不能推出a6管,2兀)，

所以“ae年,2兀)”是“cosa>0”的充分不必要條件.

故選:A.

由a€(當(dāng),2兀)，得cosa>0,充分性成立；由cosa>0,得2k?r-5<a<]+2/OT(/C6Z),必要

性不成立，從而可判斷.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)三角函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵,

是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：對于4過平面a外一點P只能作一個平面與a平行，故A正確；

對于B,平面a外一點P可以作無數(shù)條直線與a平行，故B正確；

對于C,平面a外一點P可以作無數(shù)個平面與a垂直，故C錯誤；

對于。，平面a外一點P只能作一條直線與a垂直，故。正確.

故選：C.

利用空間中線與面的平行關(guān)系與垂直關(guān)系進行判斷即可.

本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：因為tan(35。-80。)=罌更洸嚅，

\'l+tan35tan80

即tan350—tan80°=tan(35°—80°)(l+tan35°tan80°),

所以tcm35°—tan800+tan350tan800=tan(35°—80°)(l+tan35°tan80°)+tan350tan800

=-tan45°(l+tan35°tan800)+tan350tan80Q=-1.

故選:A.

根據(jù)tan35。-tan80°=tan(35°-80°)(l+tan35°tan80°),代入從而可求解.

本題主要考查了兩角差的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：???圓錐的底面半徑為2,高為2/耳，

???可得的圓臺的下底面半徑為2,上底面半徑為1,高為，弓,

故該圓臺的體積V=；（兀+4兀+V71-47T）-A/-3=—-Y~~

故選：A.

利用臺體的體積公式計算即可.

本題考查臺體的體積的計算，屬基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：若點P為主峰天柱峰的最高點，M,N為觀測點，且P,M,N在同一水平面上的投影

分別為Q,E,F,LQEF=30°,“FE=45。,

由點M測得點N的仰角為15。，NF-ME=200米，由點N測得點P的仰角為a且tana=<2，

如圖，過M作MC_LNF交NF于C,itN^ND1PQ^PQ^D,

如圖所示，因為NF-ME=200,所以NC=200,

又NNMC=15°,則tanl5°=tan(60°-45°)==2-

tanl5''l+tan60tan451+V3

則EF=MC=產(chǎn)%=200(2+C),

z—v3

又4QEF=3。。,Z.QFE=45°,所以4FQE=105。，

由正弦定理號=占,得喘2=盤,

sinl050=sin(60°+45°)=sm60°cos45°+cos60°sin45°=、’2r6,

即FQ='客拿1=lOOC+100C，又乙PND=a,所以tana=C，

4-

所以PD=ND-tana—FQ-tana=200+200V"3，

則P,M兩點到平面QEF的高度差為P。+NC=200+200「+200=400+200V-3=200(2+

C)x746米.

故選：c.

過M作MC1NF交NF于C,過N作NDJLPQ交PQ于。，根據(jù)正弦定理即可求解.

本題考查了正弦定理在實際生活中的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：對于4"X)的最小正周期丁=丁=4兀，A正確；

2

對于B,/(-x)=cos(-i)-1=cos|-1=/(x),所以/"(x)為偶函數(shù)，B錯誤；

對于C,令2/CTT工］工yr+2/CTT,々€Z,解得41兀三工工2TT+4/czr,kEZ,

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為［4/52TT+4Znr］,k￡Z,C錯誤;

對于D,當(dāng)搟=兀+2kmkWZ,即％=2zr+4/CTT,/C€Z時，/(%)的最小值為一2,D正確.

故選：AD.

對于4利用周期公式即可判斷；對于B,利用奇函數(shù)的判定方法即可判斷；對于C,令2kn咨0

n+2kn,keZ,求解后即可判斷；對于D,由余弦函數(shù)的性質(zhì)，可求得最小值，從而可判斷.

本題考查了三角函數(shù)的周期性，單調(diào)性以及奇偶性，考查了學(xué)生的運算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

10.【答案】BCD

【解析】解：???角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上存兩點4(-l,a),B(b,l)

且sizia=I，

a_1_1

解得a2=：/2=8,

由/：2=I，可知a>0,

V1+a2§

???角a為第二象限的角，所以bvO,

/.a=>b——2\/~~2f故A錯誤，B正確；

又cosa="pT==F-,柩7^=：=-余=一￥，故C、。均正確.

JB+lb2<24

故選:BCD.

根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義列方程可求出a,b的值，從而可求出角a的其它三角函數(shù)值.

本題考查任意角的三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用I,屬于中檔題.

11.【答案】BC

【解析】解：在AZBC中，因為a=3,b=4,且sinC=5，

4

由三角形的面積公式，可得品48c=gabsinC=：x3x4xf=@J，所以A錯誤；

由C為銳角，且sinC=匚至，可得cosC=Vl—sin2(?=>所以8正確；

44

由余弦定理得=a24-Z?2—2abcosC=9+16—2x3x4x"=19,可得c=V19,所以。正

確；

由余弦定理得COSB=層+c2f2=9+19二￡="變,所以。不正確.

2ac2X3X<T919

故選：BC.

由三角形的面積公式，可判定A錯誤；由三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可判定8正確，由余弦定理,

可判定C正確，。錯誤.

本題考查了三角形的面積公式，三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查

了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】BCD

【解析】解：由題意得該圓錐的母線長為4,

設(shè)圓錐的底面半徑為R,高為伍

由27rR=4x],得R=1,A錯誤：

則八=7儼_R2=式正,8正確；

所以該圓錐的表面積為兀/?2+兀&=5兀，C正確:

如圖，圓銖P。內(nèi)切球的半徑等于（軸截面）△P4B內(nèi)切圓的半徑，

設(shè)APAB的內(nèi)切圓為圓。'，其半徑為r,

由SMAB=S2pAO,+S^PBO,+S&AB0Q

得2x2x<15=1x4r+|x4r+|x2r,得「=早，

故能制作的零件體積的最大值為《兀廠3=%詈，。正確.

故選：BCD.

根據(jù)側(cè)面展開圖和圓錐的關(guān)系可求得圓錐底面圓的半徑以及圓錐的高，進而可求圓錐的表面積,

再根據(jù)圓錐內(nèi)切球的半徑與軸截面內(nèi)切圓的半徑相等即可求出能制作的零件體積的最大值.

本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了球的體積公式，屬于中檔題.

13.【答案】1

3

Mlcosa+2cos(加+a)_cosa-2cosa_-cosa_1

【解析】解：由題可知4-

tana=4sin(2n+a)+2cosa4sina+2cosa4sina-i-2cosa4tana+2

3=1.

故答案為：L

由題可知tcma=-3再借助誘導(dǎo)公式，結(jié)合弦化切即可求解.

本題考查了弦化切公式，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】|

【解析】解：因為前=:瓦?，

所以而=而+前=方+；說=而+：(區(qū)一屈)=|cX+

|CF,

又△ABC為邊長為1的等邊三角形，則(荏,6?>=半

所以而.獷=+1方)?

=1C42+|CS-C4

1,211

=3+3X1X1X2

2

=3*

故答案為：

把向量而用基底就，而表示，再進行計算即可.

本題考查平面向量的夾角與數(shù)量積，屬基礎(chǔ)題.

15.【答案】12/2

【解析】解：設(shè)△4BC的外接圓半徑為r,

則bcosC+ccosB

=2r(sinBcosC+cosBsinC)

=2rsin(B+C)

=2rsinA

=a

=1>

由二倍角的余弦公式可得cosB=2cos23-1=2x—1=—

由余弦定理可得〃=a2+c2—2accosB=14-4—2xlx2x(-1)=8,

故b=2/I?

故答案為：1,2y/~2-

設(shè)△ABC的外接圓半徑為r,由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得出a的值，利用二倍角的

余弦公式求出cosB的值，利用余弦定理可求得b的值.

本題考查了正弦定理，兩角和的正弦公式，二倍角的余弦公式以及余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,

考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

16.【答案】十

4

【解析】解：根據(jù)題意，在正方體4BC。-中，AD,AB,441三

條棱與平面&BD所成角均相等，

又由ZD,AB,三條棱與水平面所成角均相等，

則平面4BD與水平面平行，

而水平面恰好經(jīng)過BBi的中點，則水平面截正方體所得截面為如圖過棱

的中點的正六邊形，

由于AB=1,則該正六邊形的邊長為華，其面積S=6X《X2XCX￥)=^1

2、2222/4

故答案為：卑.

4

根據(jù)題意，先根據(jù)三條棱與水平面所成角均相等，得出水平面與平面4BD平行，再根據(jù)特點得出

截面為正六邊形，然后可得答案.

本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特稱，涉及平面與正方體的關(guān)系，屬于中檔題.

17.【答案】解:(1)由題可知五不=2+0=2，|a|=1,|K|=V4+m2.

由數(shù)量積公式可知方-b=\a\-\b\-cos永即2=J4廣2,

解得m=+2A/-3;

(2)由⑴可得@+b)-b=a-b+b2=2+16=18，

所以a+另在B方向上的投影向量的模為?絲好?=￥=?.

|D|4乙

［解析】(1)根據(jù)數(shù)量積的坐標表示及定義列式求解即可；

(2)先計算0+石)4=18,再計算|寄獨|即可.

本題主要考查了向量數(shù)量積的運算，考查了投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解:(l)cos(y+20)=-cos(14-20)=-cos[2(^+0)]

=2sm2(0+*)—1=2x(半＞一1=一"；

(2)因為。6(0,今，所以8+旌愿爭，又sin(e+3)=?v?，

則e+苴€(^W),所以cos(e+看)=J1—siM(e+弓)=?,

所以sin。=sin(0+7_7)=sin(0+?)cosg—cos(0+￡)sin￡==x學(xué)-邙x1=3-^6.

66666632326

【解析】⑴先利用誘導(dǎo)公式可得cos(竽+2。)=—cos?+2。)，再結(jié)合倍角余弦公式即可求解；

(2)根據(jù)同角基本關(guān)系可得cos(8+》=學(xué)，再利用加。=sin(0+”勺結(jié)合差角正弦公式即可

求解.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)的值，角的恒等變換，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，屬

于中檔題.

19.【答案】(1)證明：取BC的中點Q,連接NQ,MQ,

因為M,Q分別為PB,8c的中點，所以MQ〃PC,

因為E,F分別為4P,4C的中點，所以EF〃PC,所以MQ〃EF,

MQ，平面EBF,EFu平面EBF,所以MQ〃平面EBF,

因為N,Q分別為FC,BC的中點，所以NQ〃尸B,

NQ仁平面EBF,FBu平面EBF,所以NQ//平面EBF,

因為MQCNQ=Q,所以平面MNQ〃平面EBF.

因為MNu平面MNQ,所以MN〃平面EBF.

(2)解：因為E/7/PC,所以4FE8(或其補角)即異面直線PC與EB所成的角，

因為P4=PB=AC=BC=4,且N2PB=60°,

所以△ABC,△4BP均為等邊三角形，EB=BF=2C,EF=；PC="1■,

根據(jù)余弦定理可得8S4FEB=，富=華，

2x2v2x2V36

所以異面直線PC與EB所成角的余弦值為

6

【解析】(1)根據(jù)題干證出面面平行，再根據(jù)兩個平面平行，則一個平面的任意一條直線都與另一

個平面平行的性質(zhì)證出線面平行.

(2)結(jié)合余弦定理，即可求出異面直線PC與EB所成角的余弦值.

本題考查立體幾何的綜合知識，屬于中檔題.

20.【答案】解:⑴由圖象可知I,函數(shù)/⑶的最小正周期為7=4x(段-步=兀=條則3=竿=2,

所以/(%)=2sin(2x+(p).

因為f(今=2sin(,+w)=2,可得sin(竽+9)=1,

因為斗<9<3,則《〈年+w<g所以亭+*=：解得3=Y，

乙Z63632o

故/(x)=2sin(2x-^).

(2)將/。)=2sin(2x-弓)的圖象向右平移需個單位長度，

可得到函數(shù)y=2sin[2(x-^)-1]=2sin(2x-步的圖象；

再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的右縱坐標不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，

則g(x)=2sin(4x-'

當(dāng)OSxW即寸，—^<4x—^<則—苧4sin(4x—今工1,所以—Wg(x)V2,

因此，g(x)在[0幣上的值域為[一二,2].

【解析】(1)由圖象可得出函數(shù)f(x)的最小正周期，可求得3的值，由/?)=2結(jié)合s的取值范圍可

求出9的值，由此可得出函數(shù)f(x)的解析式；

(2)利用三角函數(shù)圖象變換可得出函數(shù)g(x)的解析式，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)g(x)

在上的值域.

本題主要考查根據(jù)函數(shù)y=Asin(<a)x4-乎)的部分圖象求函數(shù)的解析式，函數(shù)y=Asin(a)x+租)的

圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

21.【答案】解:(1)若選擇條件①,因為2cosA(ccos5+bcosC)=a,

由正弦定理得2cos4(ccosB+bcosC)=2cosA(sinCcosB+sinBcosC)=2cosAsin(<B+C)=sinA,

所以2cosAsi?i(7r—A)=2cosAsinA=sinA,

因為(0,兀),

所以sim4豐0,

所以cosA=

則4=1;

若選擇條件②，因為-b=c-acosC,

所以由正弦定理可得V"弓sin/sinC—sinB=sinC—sinAcosC,

即V^sinAsinC+sinAcosC=sinC+sin(A+C)，

所以，~5si?vlsi7iC=sinC+sinCcosA,

因為sinC>0,

所以V~無譏/=1+cosA,

所以sin(/

又因為0V4V7T,

所以4=基

(2)由余弦定理，可得cosA=工=此止一包,

22bc

則可得兒=/+。2一小，

222

所以be—c=b—af

則與=、與一1，

aLaL'a，

由正弦定理，得2=呀=*5譏8，

astnA3

因為A=*B+C=^,0