2022-2023學(xué)年福建省福州四十中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年福建省福州四十中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.直線X-Cy+1=0的傾斜角為（）

A.30oB.450C.120oD.150°

22

2.”是“曲線上+仁=1表示橢圓”的（）

tι-t

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知/■（%）=代+￡^2+3工一9在刀=一3處取得極值，則＜1值為（）

A.5B.4C.3D.2

4.若直線，1：2x-3y-3=0與，2互相平行，且辦過點（2,1），則直線。的方程為（）

A.3x+2y-7=0B.3x-2y+4=0C.2x-3y+3=0D.2x-3y-1=0

5.已知O。的圓心是坐標(biāo)原點。，且被直線，耳x-y-2/?=0截得的弦長為6,則。。的

方程為（）

A.X2+y2=4B.X2+y2=8C.x2+y2=12D.x2+y2=216

6.如圖已知正方體ABCD-公BlClDl,點M是對角線ACI上的一點且祠=2何，λ∈(0,1),

則()

D

Cl

A.當(dāng)；I=T時，AC11平面&DMB.當(dāng)；I=M寸，DM〃平面CBlCl

C.當(dāng)叫DM為直角三角形時，λ=iD.當(dāng)ZIAlDM的面積最小時，λ=∣

7.唐代詩人李頑的詩ιf?■從軍行J＞開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩

中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處

出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍

營所在位置為B(2,4),若將軍從點4(-2,0)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為X-2y+8=0,

則“將軍飲馬”的最短總路程為()

AB.10C.IoyriD.4√^

8.已知橢圓C：總+，=l(α>b>0)的左，右焦點&,F2,過原點的直線，與橢圓C相交于

M，N兩點.其中M在第一象限，IMNl=Ia尸2|,制≥?,則橢圓C的離心率的取值范圍

為()

A.(θ,??1]B.(0,√^6-2]C.(0,0-1]D.(亨,<3—1]

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知空間中三點4(0,1,0),B(l,2,0),C(-l,3,l),則正確的有()

A.南與前是共線向量B.平面48C的一個法向量是(1,一1,3)

C.四與FC夾角的余弦值是-CD.與荏方向相同的單位向量是(LLO)

6

10.設(shè)三次函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為(。)，函數(shù)y=χf'(χ)的圖象的一部分如圖所示，則()

A.函數(shù)f(x)有極大值f(3)B.函數(shù)/(x)有極小值/(-C)

C.函數(shù)/(X)有極大值/(C)D.函數(shù)/(x)有極小值/(-3)

11.已知直線，：mx+y-l+m=O,圓E：x2+y2—2x—4y+1=0,則下列說法正確

的是()

A.直線2與圓E一定有公共點

B.當(dāng)m=-T時直線，被圓E截得的弦最長

C.當(dāng)直線，與圓E相切時，m=∣

D.圓心E到直線，的距離的最大值為，虧

12.如表所示的數(shù)陣成為“森德拉姆素數(shù)篩”，由孟加拉過學(xué)者森德拉姆于1934年創(chuàng)立.表

中每行每列的數(shù)都成等差數(shù)列，且第n行從左至右各數(shù)與第H列從上至下各數(shù)對應(yīng)相等，則下

列結(jié)論正確的是（）

234567—

35791113—

4710131619

5913172125

61116212631

71319253137

A.第10行第10列的數(shù)是99B.數(shù)字69不在數(shù)表中

C偶數(shù)行的數(shù)都是奇數(shù)D.數(shù)字86在數(shù)表中共出現(xiàn)4次

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.在空間直角坐標(biāo)系。一XyZ中，向量乞=（1,-1,-√^N）,B=（1,3,0）分別為異面直線匕，

。方向向量，則異面直線匕，6所成角的余弦值為.

14.在等比數(shù)列｛%l｝中，若%=：,q=2,則a,與的等比中項是.

15.已知Fi，F(xiàn)2為橢圓C：鳥+4=1的兩個焦點，P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，

164

且IPQl=∣F1F2∣,則四邊形PFIQF2的面積為.

16.過圓久2+y2=4內(nèi)點MQq）作圓的兩條互相垂直的弦AB和CD,則48+CD的最大值

為.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知在等差數(shù)列｛arl｝中，Ci5=1,ɑ9--7.

（1）求數(shù)列｛αn｝的通項公式;

（2）若數(shù)列｛ajl｝的前n項和右,則當(dāng)n為何值時Sn取得最大，并求出此最大值.

18.（本小題12.0分）

樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，己

形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此，某網(wǎng)站推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情

況的調(diào)查，現(xiàn)從參與調(diào)查的人群中隨機(jī)選出20人的樣本，并將這20人按年齡分組：第1組

［15,25),第2組［25,35),第3組［35,45),第4組［45,55),第5組［55,65］,得到的頻率分布直方

(1)求α的值.

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計參與調(diào)查人群的樣本數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)(保留兩位小數(shù)).

(3)若從年齡在［15,35)的人中隨機(jī)抽取兩位，求兩人恰有一人的年齡在［25,35)內(nèi)的概率.

19.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=Asin(^ωx+￠)(其中X∈β,?>0.ω>0,0<ζp<今的部分圖象如圖所示,

P是圖象的最高點，Q為圖象與％軸的交點，。為坐標(biāo)原點.若OQ=6,OP=4,PQ=2√^7.

(1)求NPoQ的大小;

(2)求函數(shù)y=/(x)的解析式;

(3)若αe[-2,2],f(α)=?,求Sii^a的值.

20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，P4_L底面4BCD,ABLAD,BC//AD,PA=AB=BC=2,

AD=4,E為棱P。的中點，F(xiàn)是線段PC上一動點.

(1)求證：平面PBC1平面P4B；

(2)若直線BF與平面ABCD所成角的正弦值為分時，求平面AE尸與平面ZnE夾角的余弦值.

P

21.(本小題12.0分)

己知函數(shù)/^(x)=ex-X2+a,X∈R的圖象在點X=0處的切線為y=bx.

(I)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)設(shè)g(x)=f(x)+/-X,求證：g(χ)≥0；

(3)若華>k對任意的X∈(0,+8)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

已知拋物線C：y2=2pχ(p>0)上的點M與焦點戶的距離為|,且點M的縱坐標(biāo)為2戶.

(1)求拋物線C的方程和點M的坐標(biāo)；

(2)若直線I與拋物線C相交于4,B兩點,且MAJ.MB,證明：直線1過定點.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：直線方程可化為：y=.χ+殍，則直線的斜率/￡=?,

???直線的傾斜角為30。.

故選:A.

由直線方程可求得直線斜率，根據(jù)斜率和傾斜角關(guān)系可得結(jié)果.

本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

?9

【解析】解：?.,曲線2+A=I表示橢圓，

tIT

t>0

**?1-t>0>

.t≠l-t

.?.0<t<1且t≠?.

.?.u0<t<Γ是“曲線正+拉=1表示橢圓”的必要而不充分條件.

故選：B.

本題考查的判斷充要條件的方法，我們可以根據(jù)充要條件的定義進(jìn)行判斷.

本題考查充要條件的判斷，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查函數(shù)的極值的性質(zhì)的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運用.

由∕^(x)=爐+a/+3x—9,知/'(X)=3/+2αx+3,由f(x)在X=—3處取得極值，能求出ɑ.

【解答】

解：f(x)=X3+αχ2+3%—9,

：.∕,(x)=3x2+2ax+3,

?.?f(x)在X=—3處取得極值，

.?.[(-3)=27-6α+3=0,

解得α=5,

經(jīng)檢驗符合題意.

故選：A.

4.【答案】D

【解析】解：直線人：2x-3y—3=。與。互相平行，故設(shè)直線，2的方程為2x—3y+c=0,(c≠-3),

由于直線。過點(2,1),

故4-3+c=0,解得C=-1,

故直線L的方程為2x—3y—1=0.

故選：D.

直接利用平行直線系求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：直線的方程的求法，平行直線系，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能力，

屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：因為圓心是坐標(biāo)原點。，直線方程為∕?c一y-2C=0,

所以圓心到直線的距離為IL22='3,

JO2+(-1)2

因為圓。被直線Cx-y-2y∏,=0截得的弦長為6,弦長的一半為3,

所以圓O的半徑r=J(「)2+32=2，百，

則圓。的方程為χ2+y2=i2.

故選：C.

本題首先可以求出圓心到直線Cx-y-2y∏=0的距離,然后根據(jù)圓。被直線截得的弦長為6求

出圓。的半徑，即可求出圓。的方程.

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：由題可知，當(dāng);l=g時，才有AC11平面DM〃平面CBlD1，故A,B均錯誤;

當(dāng)為直角三角形時，有MOIMA1，

設(shè)AB=1,則。"2=-4ILM2,

A

X

以Dl為原點，/久為X軸，Dlcl為y軸，DlD為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則4(1,0,1),C1(0,1,0),41(1,0,0),

設(shè)M(α,b,c),則由4M=A4Cι'λ∈(0,1)>得(a—1,b,c—1)=(-4,2,—4),

解得M(I-4,4,1—2),

222222

?^DM=(1-4)2+λ+(-Λ)=3λ-2λ+l-而/=(_2)2+Λ2+(1-Λ)=3Λ-2λ+1>

3"-22+1=2-(3A2-2λ+1),解得4=|，故C錯誤；

設(shè)M到IMl的距離為k,則好=DM2-∣=3λ2-2λ+∣=3(λ-?)2+?,

二當(dāng)△M的面積最小時，Λ=?,故。正確.

故選：D.

當(dāng);I=g時，才有4G1平面&OM,DM〃平面C&Di，由此判斷4,B-,當(dāng)4AιOM為直角三角形

2

時，有MD1MA1,設(shè)=1,求出;1=|,判斷C；設(shè)M到Z的距離為鼠則1=DM-∣=3(λ-

?)2+?,求出當(dāng)△&DM的面積最小時，λ=i

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查運算求解能力，是

中檔題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)點4關(guān)于直線的對稱點為4(a,b),

則WBI即為“將軍飲馬”的最短總路程，

則?I2j+8-0,解得a=_等，b=g,

l?×Φ=-155

則IABl=J(2+?)2+(g-4)2=號1

故“將軍飲馬”的最短總路程為史言.

故選：A.

設(shè)點4關(guān)于直線的對稱點為4'(α,b),則IdBl即為“將軍飲馬”的最短總路程，根據(jù)對稱的性質(zhì),

求出對稱點，即可求

本題主要考查關(guān)于直線對稱點的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.

由題意MFINF2為矩形，由勾股定理可得IMFII2+∣MF2∣2=4C2,可得2∣%∣Z-4a∣MFz∣+4α2=4c2,從

而得∣MF2∣的值，又由∣MF2∣的范圍，可得α,C的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率.

【解答】

解：

因為IMNl=IaF2∣,再由橢圓的對稱性可得四邊形MFINF2為矩形，則|N&|=IMF2∣,

2222

因為IMFlI2+∣MF2∣=4c,可得2因尸2『-4a?MF2?+4a=4c,

且M在第一象限，整理可得：∣MF2∣2-2a∣MF2∣+2^2=0,

?=4a2-4×2b2>0,可得α?>2b2=2α2-2c2,

所以∣MF2∣=a-√a2-2b2,又解=器｛≥?,

可得a>∣MF2∣≥(<3-l)ɑ,

所以怨F2∣=αP,整理可得：l<e2=Ξ∣≤4-2√^.

U2>2α2-2c22。2

解得ee（苧,√3-1］，

故本題選D.

9.【答案】BC

【解析】解：根據(jù)題意,空間中三點A(0,1,0),B(l,2,0),C(-l,3,l),

則四=(1,1,0),AC=(-1,2,1)'^BC=(-2,1,1).

依次分析選項：

對于4,荏=(LL0)，AC=(-1,2,1).南與而不是共線向量，A錯誤；

對于B,設(shè)元=(L-1,3),則記.而=0,n?AC=0,則平面ABC的一個法向量是(1,一1,3),8正

確；

對于C,cos<荏'BC>=簫=VH]?]+4+ι=-C正確；

對于D,(1,LO)不是單位向量，。錯誤；

故選：BC.

根據(jù)題意，由4、B、C的坐標(biāo)求出荏=(1,1,0),AC=(-1,2,1)>豆？=(-2,1,1)，由此分析選項

是否正確，即可得答案.

本題考查空間向量的應(yīng)用，涉及向量數(shù)量積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：依題意，三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)是二次函數(shù)，

觀察圖象知，-3,3是函數(shù)y=1。)的兩個零點，

當(dāng)X<-3或X>3時，∕,(x)<0,當(dāng)一3<X<3時，∕,(x)>0,

所以函數(shù)/0)有極小值/(-3),有極大值/(3),

則選項A、。正確，選項8、C錯誤.

故選：AD.

根據(jù)給定條件，結(jié)合圖象求出函數(shù)/'(X)的零點，再求出f'(x)大于0、小于。的X取值區(qū)間即可判斷

作答.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】BCD

【解析】解：由題意知直線，過定點M(—1,1)，且點M在圓E外部，故A錯誤；

當(dāng)n?=-T時，直線/的方程為X—2y+3=0,

當(dāng)直線/過圓心EQ2)時，截得的弦恰為直徑，故B正確；

當(dāng)，與圓E相切時，可得ImyWnl=2,解得7n=',故C正確；

當(dāng)/與ME垂直時，圓心E到，的距離取得最大值，

此時最大值為IMEl=/虧，故。正確.

故選：BCD.

由圓的方程可得圓心的坐標(biāo)及半徑，因為直線2過定點，且點在圓E外，可得4不正確；

當(dāng)爪=一；時可得直線2過圓心，所以B正確；

直線，與圓相切時可得τn=%,所以C正確，

當(dāng)ME與直線1垂直時，圓心到直線的距離最大，且為，虧，判斷。正確.

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

12.【答案】CD

【解析】

【分析】

本題考查歸納推理，考查學(xué)生推理能力，等差數(shù)列的通項公式，屬于中檔題.

設(shè)表中第i行第/列的數(shù)記作a“，根據(jù)表中的規(guī)律可得第i行等差數(shù)列的公差為i,第/列等差數(shù)列的

公差等于/,利用等差數(shù)列的通項公式先求得%/=/+1,再求得c??=iX/+1,然后可對各選擇

依次分析并作出判定.

【解答】

解：表中第i行第j列的數(shù)記作t??,

根據(jù)表中的規(guī)律可得第i行等差數(shù)列的公差為i,第7列等差數(shù)列的公差等于人

所以第1行數(shù)組成的數(shù)列首項為2,公差為1,

所以通項為a”=2+(j-l)×l=y+l,

再根據(jù)第j列等差數(shù)列的首項為a”=/+1,公差等于/,

所以見/=/+1+(i—1)X/=iXj+1.

.?.第10行第10列的數(shù)是IOXlo+1=101,故A錯誤；

因為69=2x34+1=4x17+1=1x68+1,

所以69是數(shù)表中的第2行第34列、第4行第17列、第1行第68列的數(shù)、第34行第2列、第17行第4列、

第68行第1列的數(shù)，故B錯誤；

對于偶數(shù)行，設(shè)行號i=2n(n∈N*),：?aij=2n×j+l,由于2nXj=2n∕為偶數(shù)，:?%為奇數(shù)，

故C正確；

因為86=85+l=l×85+l=85×l+l=5×17+l=17×5+l,由于5和17都是素數(shù)，不

可以再分解為兩個不等于1的正整數(shù)的乘積，

所以86只能是第1行第85個數(shù)、第85行第1個數(shù)、第5行第17個數(shù)、第17行第5個數(shù)，共出現(xiàn)了4次，

故。正確.

故選CD

13.【答案】答

【解析】解:因為方=(1,-1,-<2)5=(1,3,0).

則c°s位㈤="+晶ι+9=-?F-

而異面直線匕，％所成角的范圍為(0,夕，

所以異面直線%所成角的余弦值為音.

故答案為：￡12.

直接利用空間向量的夾角公式求解求解作答.

本題考查了異面直線所成角的求法，重點考查了空間向量的坐標(biāo)運算，屬基礎(chǔ)題.

14.【答案】±4

【解析】解：等比數(shù)列｛a｝中，α=J,q=2,

7l1O

所以=1，。8=16,

則與。8的等比中項±4?

故答案為：±4.

由已知先求出。4,Q8,然后結(jié)合等比中項的定義即可直接求解.

本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式及等比中項的定義，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】8

【解析】

【分析】

本題主要考查橢圓的性質(zhì)，橢圓的定義，考查方程思想與運算求解能力.

判斷四邊形PFlQF2為矩形，利用橢圓的定義及勾股定理求解即可.

【解答】

解：因為P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且IPQl=I&Fz|,

所以四邊形PFlQF2為矩形，

設(shè)IPFll=m,∣PF2∣=n,

由橢圓的定義可得IPFll+∣PF2∣=m+n=2a=8,

所以τ∏2+2mn+n2=64,

22222

因為IPFIl2+∣PF21=∣F1F2∣=4c=4(α-b)=48,

即τ∏2+n2=48,

所以mn=8,

所以四邊形PFlQF2的面積為IPFIlIPF2∣=mn=8.

故答案為：8.

16.［答案】2?ΛT6

【解析】解：當(dāng)4C的斜率為O或不存在時，可求得4C+BD=2(√^2+C)

當(dāng)AC的斜率存在且不為O時，

設(shè)直線AC的方程為y—V-2=k(x—1),

直線BD的方程為=-?(?-1),

由弦長公式/=2√r2-d2

可得：AC=2I

.3k2+2√^2k+22fc2-2√^2fc+3

VAC2+BD2=4(-■)=20

.?.(AC+Bn)2=AC2+BD2+2AC×BD≤2(ΛC2+BD2)=40

故AC+BD≤2∕Tθ

即AC+BD的最大值為2「工.

故答案為：2/TU

由于直線AC、BD均過M點，故可以考慮設(shè)兩個直線的方程為點斜式方程，但由于點斜式方程不能

表示斜率不存在的情況，故要先討論斜率不存在和斜率為0的情況，然后利用弦長公式，及基本不

等式進(jìn)行求解.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線方程的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，點到直線的距離公式，考

查轉(zhuǎn)化思想與計算能力.

17.【答案】解：(I)沒等差數(shù)列｛an｝的公差為d,

則=c?+4d=1+4d=-7,解得：d=-2,

則｛%l｝的通項公式為Qn=αs+(n-5)d=1-2(n-5)=11-2n；

(2)因為n∈N*,

令an=11—2n>0得：1≤n≤5,令an=11—2n<0得：n>6,

故當(dāng)n=5時，Sjt取得最大值，

其中%=9,α5=l,故最大值為S5=叫迎=駕曳=25.

【解析】(1)設(shè)出公差，利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算出公差，從而求出通項公式；

(2)令斯>0,an<0,解不等式，求出當(dāng)n=5時，Sn取得最大值，并用等差數(shù)列求和公式求出

最大值.

本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式，求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖得：

(0.010+0.015+α+0.030+0.010)×10=1,

解得α=0.035.

(2)由頻率分布直方圖得[15,35)的頻率為(0.010+0.015)×10=0.25,

[35,45)的頻率為0.035×10=0.35,

.??估計參與調(diào)查人群的樣本數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)為：

35+球票Xloy42.14.

(3)20人中，從年齡在［15,25)的有0.01×10×20=2人,

年齡在［25,35)的有0.015×10×20=3人,

從年齡在［15,35）的5人中中隨機(jī)抽取兩位,

基本事件總數(shù)n=CJ=10,

兩人恰有一人的年齡在［25,35）中包含的基本事件總數(shù)Tn=C；屐=6,

兩人恰有一人的年齡在［25,35）的概率P=≡=?=∣

故答案為：|.

【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出α?

⑵由頻率分布直方圖得［15,35）的頻率為0.25,［35,45）的頻率為0.35,由此能估計參與調(diào)查人群的

樣本數(shù)據(jù)的50%分位數(shù).

（3）20人中，從年齡在［15,25）的有2人，年齡在［25,35）的有3人，從年齡在［15,35）的5人中中隨機(jī)

抽取兩位，基本事件總數(shù)n=Cl=10,兩人恰有一人的年齡在［25,35）中包含的基本事件總數(shù)Tn=

禺禺=6,由此能求出兩人恰有一人的年齡在［25,35）的概率.

本題考查頻率、50%分位數(shù)、概率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求

解能力，是基礎(chǔ)題.

222

19.【答案】解：(1)由題意知CoSNPoQ=4+6-(2<7)=1,

2×4×62

又乙POQ∈(0,π),所以"4Q=全

(2)由X=OPCOS乙POQ=4X；=2,y=OPsin?POQ=4X?=2√^3-

所以P(2,2√-5);

由此可得振幅4=2y∕~3,周期7=4×(6-2)=16,

又逝=16,解得3=余

ω8

將點P(2,2√^3)代入/(X)=2√^3sin(^x+￠)中，得SinGX2+￠)=1,

因為O<0<g所以w=2，

Z4

所以f(x)=2√^^3sin(ξX+,

(3)由題意可得/(α)=2√-3sin(→+7)=

O44

所以SinGa+》=|；

又αe[-2,2],所以稱a+36[0,芻，

所以COSGa+≡)=JIY)2=竿，

所以S嗚α=sin[(≡a+≡)-≡]

n∏n

=SinCgafRcos.一

1√^7√^T5>J~2

——S/__________y____

4242

8

[解析】(I)利用余弦定理求出COSNPoQ和"AQ的值；

(2)求出點P的坐標(biāo)，得出A、T、3和R的值，寫出/^(x)的解析式：

(3)由f(α)得出SinGa+：)的值，利用三角恒等變換求出S嗚α的值.

本題主要考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了三角恒等變換及三角函數(shù)求值問題,

是中檔題.

20.【答案】(1)證明：---ABLAD,BC//AD,.-.BCLAB,

又P力，平面ABCD,BCU平面ABCD,.?.BCJLP力，

?.?PAΓ?AB=A,PA,ABU平面P48,?BC_L平面P4B,

又BCU平面PBC,.?.平面PBCI5FEPzlB.

(2)解：?；P41底面4BCD,ABLAD,.?.AB.AD,ZP兩兩互相垂直.

以4為坐標(biāo)原點，分別以AB、AD.AP所在直線分別為x、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0)、B(2,0,0)?C(2,2,0)?D(0,4,0)、E(0,2,1)、P(0,0,2),

設(shè)尿=λPC=Λ(2,2,-2)=(2λ,2λ,-2λ),

則崩=前+而=(24-2,22,2-22)，其中0≤∕l≤1,

平面ABCD的一個法向量為丘=(0,0,1)，

???直線BF與平面力BCD所成角的正弦值為?,

回函_2-2/1_√^^3

∣cos<it,BF>I=

InUBFlJ2(2Λ-2)2+4λ23解得4=

于是尸為PC的中點，即尸(1,1,1)，

設(shè)平面AEF的法向量為記=(X,y,z),AE=(0,2,1).方=(1,1,1)，

由嚴(yán)亞=2y+z=0,取—=(LI「2),

(m?AF=x+y÷z=0

而平面AOE的一個法向量為元=(1,0,0),

平面4EF與平面4DE夾角的余弦值為ICoSmt,元)|=牌篇=

【解析】(1)證明出BCJ_平面R4B,利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立;

(2)以點A為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量結(jié)合線面角的正弦求出點F的坐標(biāo)，再

利用空間向量求夾角的余弦作答.

本題考查平面與嗎垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,

是中檔題.

21.【答案】解：(l)∕(x)=e*-χ2+α,∕,(x)=ex-2x,

由已知,得匕喋=：+：=°，解得｛廣；1，

?(0)=1=D3=1

?,?函數(shù)/(%)的解析式為/(%)=ex—X2-1.

2x

(2)證明：jg(x)=/(x)+x-x=β-%-l,則g'(x)=e"-l,

令g'(%)=o,則％=0，

當(dāng)％VO時,g'(%)V0,此時g(%)單調(diào)遞減;

當(dāng)%>0時，g,(x)>0,此時g(%)單調(diào)遞增，

???g(%)min=g(0)=°，???e(?)≥0?