6.4.1平面幾何中的向量方法5題型分類

6.4.1平面幾何中的向量方法5題型分類一、向量方法解決平面幾何問題的步驟用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.二、向量在平面幾何中常見的應(yīng)用已知．證明線段平行、點(diǎn)共線問題及相似問題常用向量共線的條件：．證明線段垂直問題，如證明四邊形是正方形、矩形，判斷兩直線（或線段）是否垂直等常用向量垂直的條件：（其中為非零向量）．求夾角問題，若向量與的夾角為利用夾角公式：（其中為非零向量）．求線段的長度或說明線段相等可以用向量的模：，或（其中兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．對于有些平面幾何問題，如載體是長方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐標(biāo)法，建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示出來，通過代數(shù)運(yùn)算解決綜合問題．（一）利用向量證明平面幾何問題1、向量方法解決平面幾何問題的步驟用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題.(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.2、用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路及步驟(1)利用線性運(yùn)算證明的四個步驟:①選取基底.②用基底表示相關(guān)向量.③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找出相應(yīng)關(guān)系.④把幾何問題向量化.(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算證明的四個步驟:①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.②把相關(guān)向量坐標(biāo)化.③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找出相應(yīng)關(guān)系.④把幾何問題向量化.題型1：用向量證明線段垂直11．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求證：DE⊥AF.【答案】證明見解析【分析】利用平面向量加法、數(shù)乘的幾何意義有·＝·，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，線段的位置、數(shù)量關(guān)系可得·＝0，即可證結(jié)論.【詳解】∵·＝·＝2－2，而，∴·＝0，∴⊥，即DE⊥AF.12．（2023·高一課時練習(xí)）如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2AC2=DB2DC2，求證：AD⊥BC.【答案】證明見解析【分析】設(shè)=，=，=，=，=，根據(jù)向量加法得=+，=+，計算2﹣2結(jié)合條件可得·=·，即可證明.【詳解】設(shè)=，=，=，=，=，則=+，=+，所以2﹣2=(+)2(+)2=2+2e·2·2，由條件知：2=2﹣2+2，所以·=·，即·()=0，即，所以AD⊥BC.13．（北京市豐臺區(qū)20222023學(xué)年高一下學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（A）試題）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)（，）.設(shè)，.(1)用表示；(2)如果，用向量的方法證明：.【答案】(1)，.(2)證明見解析.【分析】（1）利用平面向量基本定理表示出；（2）利用數(shù)量積為0證明.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?所以.所以，.（2）由（1）可得：，.因?yàn)椋?，所?14．（2023下·福建泉州·高一泉州五中校考期中）在中，，對任意，有.（1）求角；（2）若，，且、相交于點(diǎn).求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）將不等式兩邊平方可得，可得出，求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）將、用、表示，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)計算得出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）等價于，等價于，等價于.所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?；?）先證明結(jié)論：已知為直線外一點(diǎn)，、、為直線上三個不同的點(diǎn)，若，則.因?yàn)?、、為直線上三個不同的點(diǎn)，則，可設(shè)，即，所以，，所以，，結(jié)論成立.本題中，由（1）知，是邊長為的等邊三角形，.因?yàn)樵谏希O(shè)，又因?yàn)樵谏?，所以，所以，，解?因?yàn)椋?，所?故，得證.15．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知P是正方形ABCD對角線BD上一點(diǎn)，且四邊形PFCE為矩形．求證：且【答案】見解析【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為，；可表示出坐標(biāo)，從而得到，驗(yàn)算出模長相等，數(shù)量積等于零即可證得結(jié)論.【詳解】證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

設(shè)正方形邊長為，則，，，，，，即又，即【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算證明長度關(guān)系和位置關(guān)系的問題，關(guān)鍵是通過建立平面直角坐標(biāo)系，用參數(shù)表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，再利用向量模長和數(shù)量積運(yùn)算證得結(jié)論.題型2：用向量證明平行問題21．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）在中，點(diǎn)，分別在線段，上，，.求證：.【答案】證明見解析【分析】設(shè)，，即可表示出，再由，，即可表示出，從而得到，即可得證；【詳解】證明：設(shè)，，則.又，.所以，.在中，，所以，即與共線，故.22．（2023·河北衡水·高二周測）已知，為兩個不共線的向量，若四邊形滿足，，．(1)將用表示；(2)證明：四邊形為梯形．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)向量加法運(yùn)算法則，代入即可.（2）根據(jù)向量的數(shù)乘定義可知，且，從而可證出為梯形.【詳解】（1）．（2）因?yàn)?，所以根?jù)數(shù)乘向量的定義知與同向，且，所以在四邊形中，，且，所以四邊形為梯形．23．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)P，Q分別是梯形ABCD的對角線AC與BD的中點(diǎn)（1）試用向量證明：PQAB；（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）用向量表示，得出向量與、的關(guān)系，再根據(jù)向量與共線，得出向量與共線即可；（2）根據(jù)向量與反向，且||=3||得出向量與的數(shù)量關(guān)系，即得PQ：AB的值.【詳解】（1）∵Q為BD中點(diǎn)，∴，又P為AC中點(diǎn)，∴；∴2()，又向量與共線，設(shè)向量，則2(1+λ)，∴①，又梯形ABCD中||≠|(zhì)|，∴λ≠﹣1，∴，即PQAB；（2）∵向量與反向，且||=3||；所以，即λ代入①式，得，∴PQ：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握平面向量的線性運(yùn)算是解題關(guān)鍵.24．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，已知是的三條高，且交于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：．【答案】證明見解析【解析】先由題意，得到，設(shè)，根據(jù)三角形相似，推出，，再由向量的線性運(yùn)算，得到，即可得出結(jié)論成立．【詳解】證明：由題意，，，∴．設(shè)，則．同理．于是．∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的應(yīng)用，熟記向量的共線定理，以及向量的線性運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型．（二）利用向量解決平面幾何求值問題(1)用向量法求長度的策略①根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇基底，利用向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2＝a2求解.②建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)用向量法解決平面幾何問題的兩種思想①幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)求解.②坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算.題型3：平面幾何的長度、夾角求值問題31．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）設(shè)點(diǎn)是的中線上一個動點(diǎn)，的最小值是，則中線的長是.【答案】3【分析】設(shè)出的長度，由化簡，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及的最小值來列方程，從而求得.【詳解】設(shè)，則因?yàn)闉檫呏悬c(diǎn)，所以，即.于是.當(dāng)，即點(diǎn)是中線的中點(diǎn)時，取得最小值即因此故答案為：32．（2023下·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第70中?？计谀┰谒倪呅沃校?，則該四邊形的面積為（

）A． B． C．5 D．10【答案】D【分析】由得到，則四邊形的面積．【詳解】解：，，，，，，四邊形的面積，故選：D．33．（2023下·江西九江·高一九江一中?？计谥校┰谥校?，點(diǎn)滿足，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取中點(diǎn)O，由已知可確定，利用向量的運(yùn)算和長度關(guān)系將轉(zhuǎn)化為，由此構(gòu)造方程求得.【詳解】取中點(diǎn)O，連接，，即，M為BC邊上靠近C的三等分點(diǎn)，，，，，又，，.故選：C.34．（2023下·湖北·高一校聯(lián)考期中）如圖，在中，已知，，，，，線段AM，BN相交于點(diǎn)P，則的余弦值為.【答案】【分析】依次算出、、，然后可得答案.【詳解】由已知，，，，得，又由得，因?yàn)?，所以所以故答案為?5．（2023下·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┮阎菪沃?，，，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為與的交點(diǎn)，．(1)求和的值；(2)若，，，求與所成角的余弦值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由向量的運(yùn)算得出，進(jìn)而得出和的值；（2）由向量的運(yùn)算得出，，進(jìn)而得出，，，再由數(shù)量積公式求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意，梯形中，，，E為的中點(diǎn)則又由可得，（2）是與所成的角，設(shè)向量與所成的角為，則，則則，因?yàn)樗运耘c所成角的余弦值為.36．（2023下·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）如圖，在中，已知，，，且.求.【答案】【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算結(jié)合已知可得故，，平方后利用數(shù)量積的運(yùn)算法則求得，再利用向量的夾角公式即可求得答案.【詳解】由題意得，的夾角為，，則，又，所以，故，同理于是，，，.37．（2023下·重慶·高一校聯(lián)考期末）如圖，在中，已知，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn).(1)求線段，的長；(2)求的余弦值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求解；（2）由與的夾角即為，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）解：由題意，，，又，所以，，即，

=，，即；（2）解：，==，

與的夾角即為，.題型4：判斷三角形的形狀41．（2023·高一單元測試）已知位置向量,,的終點(diǎn)分別為,,,試判斷的形狀.【答案】為等腰直角三角形【分析】根據(jù)題意可設(shè)，，,根據(jù)平面向量的加法幾何意義可以求出,求出它們的模以及計算出它們的數(shù)量積,最后可以判斷出的形狀.【詳解】，，，，,,所以為等腰直角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查了利用平面向量的模和平面向量的數(shù)量積判斷三角形形狀問題,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.42．（2023下·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，若，則△ABC的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由已知平方可得，得出可判斷.【詳解】，，則，，，則△ABC為直角三角形.故選：B.43．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知點(diǎn)，則是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)各個點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，根據(jù)兩個向量的數(shù)量積可得為直角三角形，再計算，即可得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，即，又有，所以，所以是直角三角?故選：C題型5：平面幾何中的最值問題51．（2023上·福建三明·高三階段練習(xí)）已知是內(nèi)的一點(diǎn)，且，若和的面積分別為，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算求得bc的值，利用三角形的面積公式求得x+y的值，進(jìn)而把轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求得的最小值即可．因?yàn)?，，所以故選B．考點(diǎn)：平面向量；均值不等式52．（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知和是平面內(nèi)兩個單位向量，且，若向量滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先設(shè)，，，畫出圖形，根據(jù)已知條件得到在以為直徑的圓上，再結(jié)合圖形求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)，，，則，，因?yàn)?，所以，?所以在以為直徑的圓上.設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)楹褪瞧矫鎯?nèi)兩個單位向量，且，所以，.所以.故選：B53．（2023·湖南）已知點(diǎn)A,B,C在圓上運(yùn)動，且ABBC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則的最大值為A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【詳解】由題意，AC為直徑，所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B為（1，0）時，取得最大值7，故選B.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.由平面幾何知識知，圓上的一點(diǎn)與圓外一定點(diǎn)距離最值在定點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個交點(diǎn)處取到．圓周角為直角的弦為圓的半徑，平面向量加法幾何意義這些小結(jié)論是轉(zhuǎn)化問題的關(guān)鍵.54．（2023上·湖南長沙·高三校考階段練習(xí)）在中，滿足，是的中點(diǎn)，若是線段上任意一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得為等腰直角三角形，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得向量的數(shù)量積，進(jìn)而可得最值.【詳解】由，，為等腰直角三角形，以為原點(diǎn)，，為軸和軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，是的中點(diǎn)，，是線段上任意一點(diǎn)，可設(shè)，，，，，，，故當(dāng)時，的最小值為，故選：C．一、單選題1．（2023下·河北保定·高一?？计谥校┰凇鰽BC中，已知，則BC邊的中線AD的長是A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到，求解即為結(jié)果.【詳解】由題意知：中點(diǎn)為本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．（2023下·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期中）在平面四邊形ABCD中，，，則該四邊形的面積為（

）A． B． C．13 D．26【答案】C【分析】根據(jù)判斷AC與BD關(guān)系，根據(jù)對角線互相垂直的四邊形面積為對角線乘積的一半即可求解.【詳解】∵，∴AC⊥BD，所以四邊形ABCD面積為：.故選：C.3．（2023下·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知的面積為2,在所在的平面內(nèi)有兩點(diǎn)、,滿足,,則的面積為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】畫出,通過,標(biāo)出滿足題意的位置,利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】解:由題意可知,為的中點(diǎn),,可知為的一個三等分點(diǎn),如圖：因?yàn)?所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用,三角形的面積的求法,考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力.4．（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）已知向量，向量，則的形狀為(

)A．等腰直角三角形 B．等邊三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形【答案】A【分析】由向量的模求得三角形三邊長后，再判斷三角形形狀．【詳解】由題意，，，，而，∴是等腰直角三角形．故選：A．5．（2023·廣東佛山·高三階段練習(xí)）在中，若，則的形狀是（

）A．為鈍角的三角形B．為直角的直角三角形C．銳角三角形D．為直角的直角三角形【答案】D【分析】由條件求得，可得，故，由此可得的形狀．【詳解】在中，，，，則為直角三角形，故選：D．6．（2023下·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學(xué)校考期末）中,設(shè),若,則的形狀是A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定【答案】C【解析】有題意可得，從而可判斷出，得為鈍角，從而得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴角為鈍角，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)向量的數(shù)量積判斷角的大小，進(jìn)而判斷三角形的形狀，屬于基礎(chǔ)題．7．（2023下·上海寶山·高一上海交大附中?？茧A段練習(xí)）若,且,則四邊形是A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形【答案】C【解析】由題意可知，且，而對角線，由此可知四邊形為等腰梯形．【詳解】解：∵，∴，，∵，∴四邊形是等腰梯形，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．（2023·遼寧）若函數(shù)的圖像按向量平移后，得到函數(shù)的圖像，則向量（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖像的平移變換即可求得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像向右平移1個單位，再向下平移2個單位，得到函數(shù)的圖像，所以.故選：A9．（2023上·廣東佛山·高二校考期中）以為頂點(diǎn)的三角形是（

）A．銳角三角形 B．以為直角頂點(diǎn)的直角三角形C．以為直角頂點(diǎn)的直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【分析】根據(jù)向量的模的關(guān)系即可確定三角形的形狀.【詳解】，，，，滿足,且，所以是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形.故選：C10．（2023上·河北·高三期中）在梯形ABCD中，，，，，若EF在線段AB上運(yùn)動，且，則的最小值為（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【分析】利用坐標(biāo)法，以為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，得到相關(guān)向量，再求解二次函數(shù)最值即可.【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系,則,設(shè),則,且,故當(dāng)時,的最小值為,故選：D.11．（2023上·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得點(diǎn)C的軌跡，進(jìn)而根據(jù)三角形相似將轉(zhuǎn)為求線段和最短，即可將根據(jù)圖形求解【詳解】建立如圖所示直角坐標(biāo)系，由題意可設(shè)，，則，，由得，故C在以為圓心，半徑為1的圓上，取，則在AD上，則，又，∴，∴，即，∴.故選：D12．（2023·陜西·模擬預(yù)測）已知菱形中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，則的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式可得答案.【詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在的直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則點(diǎn)，，，∴，，則，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵點(diǎn)是建立平面直角坐標(biāo)系，考查了學(xué)生的計算能力.13．（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）在中，，，，，，CN與BM交于點(diǎn)P，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將三角形放到直角坐標(biāo)系當(dāng)中，利用坐標(biāo)法求向量夾角，即可求解.【詳解】解：建立如圖直角坐標(biāo)系，則,得,所以，故選：D.14．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知H為的垂心，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】，，利用、得，，解得，再利用平方共線可得答案.【詳解】依題意，，同理．由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故選：C．15．（2023下·河南南陽·高一南陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直角三角形ABC中，斜邊BC長為a，A是線段PE的中點(diǎn)，PE長為2a，當(dāng)最大時，與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)與的夾角為，由，可得，利用的范圍可得答案.【詳解】如圖所示，設(shè)與的夾角為，，所以，因?yàn)锳是線段PE的中點(diǎn)，PE長為2a，所以，，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時最大，此時，最大的值為.故選：A.16．（2023上·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）已知非零向量，滿足，且，則為（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】由左右互除得出，再由，得出，即可得出答案.【詳解】，，，，為等腰三角形，又，，，又，所以，為等邊三角形，故選：D.17．（2023下·上海浦東新·高一上海市建平中學(xué)?？计谀M足的△ABC（

）A．一定為銳角三角形 B．一定為直角三角形C．一定為鈍角三角形 D．可能為銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形【答案】C【分析】由向量數(shù)量積的定義及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，即可判斷三角形形狀.【詳解】由，而，所以且，故.所以△ABC一定為鈍角三角形.故選：C18．（2023下·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)校考期中）在△ABC中，若，則△ABC的形狀一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】C【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接CD，由已知向量等式可得AB與CD垂直，從而得到三角形為等腰三角形.【詳解】若，取AB的中點(diǎn)D，連接CD，則，即AB與CD垂直且D為AB的中點(diǎn)，所以可得CB=CA，即三角形為等腰三角形.故選：C19．（2023下·寧夏銀川·高一銀川一中?？计谥校┰谒倪呅沃校?，則四邊形為（

）A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形【答案】D【分析】依據(jù)向量相等的幾何意義和向量數(shù)量積的幾何意義去判斷四邊形的形狀.【詳解】由，可得，即，則四邊形為平行四邊形；又由，可得，則平行四邊形四邊形為菱形故選：D20．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）如圖，在中，，，，為邊的中點(diǎn)，且，則向量的模為（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】由條件可得，然后用、表示出，然后可算出答案.【詳解】因?yàn)?，，，所?因?yàn)椋怨蔬x：B21．（2023上·河南鄭州·高三溫縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知四邊形是矩形，，，，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，進(jìn)而利用坐標(biāo)法求解即可；解法二：用為基底表示向量，，再根據(jù)得得，，再根據(jù)計算得，進(jìn)而得答案.【詳解】解：解法一如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，.∴，，，.∴，.∴，.∵，∴，即.又，所以，.∴.∴.∵，∴.故選：C.解法二：∵，，∴.∵，∴，得.∴，.∴.故選：C.22．（2023下·福建三明·高一統(tǒng)考期末）中，若，，點(diǎn)滿足，直線與直線相交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題首先可構(gòu)建直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意得出、、，然后根據(jù)、、三點(diǎn)共線以及、、三點(diǎn)共線得出，再然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則得出、，最后根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸構(gòu)建直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋?，所以，，，設(shè)，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，所以，，，因?yàn)椋?、、三點(diǎn)共線，所以，聯(lián)立，解得，，，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查向量的幾何應(yīng)用，可借助平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行解題，考查應(yīng)用向量的數(shù)量積公式求夾角，考查向量共線的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，是難題.23．（2023下·江蘇南京·高一?？茧A段練習(xí)）已知非零向量和滿足，且，則為(

)A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．三邊均不相等的三角形【答案】A【分析】根據(jù)向量加法和線性運(yùn)算可知向量與的平分線共線，根據(jù)可知的平分線與對邊垂直，由此可知△ABC是等腰三角形；再由和向量數(shù)量積的定義可求出的大小，從而可判斷△ABC的形狀．【詳解】即方向上的單位向量，即方向上的單位向量，∴向量與的平分線共線，又由可知的平分線與對邊垂直，則△ABC是等腰三角形，即，，∴，∵，∴，∴△ABC為等邊三角形．故選：A．24．（2023下·四川涼山·高一寧南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．無法判斷【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義可得，利用誘導(dǎo)公式得到，即可判斷的范圍，從而得解；【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)?，所以，即為鈍角，故三角形為鈍角三角形；故選：B25．（2023下·山西晉中·高一榆次一中?？计谥校┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，M、N分別在BC、CD上，且滿足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，則△AMN的形狀是(

)A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰三角形【答案】C【分析】由圖猜測AN與MN垂直，故驗(yàn)證是否為零即可.【詳解】∵.∴，∴是直角三角形.故選：C.26．（2023下·四川·高一四川省峨眉第二中學(xué)校校考階段練習(xí)）若平面四邊形ABCD滿足：，，則該四邊形一定是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【答案】B【分析】根據(jù)向量相等可證明四邊形為平行四邊形，再由向量數(shù)量積為0知對角線互相垂直可知為菱形.【詳解】，,所以四邊形ABCD為平行四邊形，,，所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.故選：B27．（2023下·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)?？茧A段練習(xí)）直角三角形中，，，，M為的中點(diǎn)，，且P為與的交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，且與的夾角為，由此可表示出和；結(jié)合已知可求出和，由此可求出，接下來根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算公式即可解答.【詳解】設(shè)，，則，，，設(shè)與的夾角為，∵，，∴，∴|，，∴，.∵，∴.∵即為向量與的夾角，∴，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的計算，掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算公式是關(guān)鍵，屬于常考題.28．（2023下·浙江溫州·高二樂清市知臨中學(xué)?？计谥校┢矫鎯?nèi)不同的三點(diǎn)O，A，B滿足，若，的最小值為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，如圖根據(jù)向量的線性運(yùn)算化簡題中的等式，利用點(diǎn)關(guān)于直線的對稱性可得，結(jié)合余弦定理可得出，利用二倍角的余弦公式求出，最后根據(jù)即可求解.【詳解】解：由題意得：如圖所示：設(shè)，則點(diǎn)在線段OB上運(yùn)動故設(shè)，即作關(guān)于的對稱點(diǎn)，設(shè)，即在中，，，由余弦定理可得：，解得：故選：C二、多選題29．（2023上·山東濟(jì)寧·高三?？计谥校┐盎ㄊ琴N在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長為1，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則（

）A．與能構(gòu)成一組基底 B．C．在向量上的投影向量的模為 D．的最大值為【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，證明出，從而建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到與平行，故A錯誤；B選項(xiàng)，求出得到B正確；C選項(xiàng)，求出，，利用投影向量的計算公式求出答案；D選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，得到，求出的最大值，從而得到的最大值.【詳解】連接AF，因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，故，以所在直線為軸，所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則故，故，所以與平行，不能構(gòu)成一組基底，A錯誤；，，，，故，B正確；，，，故在向量上的投影向量的模長為，C正確；取的中點(diǎn)，則，，則，，兩式相減得：，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或重合時，最大，最大值為，則的最大值為，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識進(jìn)行求解.30．（2023上·廣東廣州·高二廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，已知，BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點(diǎn)P，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．的余弦值為 D．【答案】BD【分析】畫出圖形，由同時平方可求；同理由同時平方可求；由，代換成基底向量可求的余弦值；結(jié)合重心性質(zhì)全部代換成可驗(yàn)證選項(xiàng)D.【詳解】如圖所示：由題可知，分別為中點(diǎn)，則，同時平方得，則，故A錯誤；又，同時平方得，則，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：BD31．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知AB，CD為圓O的直徑，P為圓O內(nèi)一點(diǎn)，，，則（

）A．B．C．D．的最大值是1【答案】ABD【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)、正弦定理進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)锳B，CD為圓O的直徑，所以O(shè)是AB，CD是中點(diǎn)，所以，因此選項(xiàng)A正確；，因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，AB，CD為圓O的直徑，所以，于是所以選項(xiàng)B正確；由：，所以有，因此選項(xiàng)C不正確；設(shè)，，所以的最大值是1，因此選項(xiàng)D正確，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.32．（2023下·河南商丘·高一商丘市第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）在直角梯形中，，，，，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)，滿足，若M是的中點(diǎn)，則的取值可能是（

）A．7 B．10 C．13 D．16【答案】BC【分析】根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，由，可確定點(diǎn)P在以D為圓心，1為半徑的圓上，設(shè)，由三角恒等變換與平面向量模長坐標(biāo)運(yùn)算即可化簡為正弦型三角函數(shù)，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)可得其取值范圍，從而得答案.【詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則點(diǎn)P在以D為圓心，1為半徑的圓上，可設(shè)，由題意知，，則，所以，則，其中，所以.故選：BC.三、填空題33．（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知平面向量，，滿足，且，則的最大值為．【答案】/2.5【分析】由，可求得，再求解，結(jié)合向量模長的三角不等式，即得解.【詳解】由題意，，又，故，故，由向量模長的三角不等式，，即，解得：，則的最大值為.故答案為：34．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃┮阎狾是內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，又，則的面積為.【答案】【分析】由，可知O為的重心，則，再由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)合三角形面積公式求解即可.【詳解】由及得，所以，所以.又，且O在內(nèi)，所以O(shè)為的重心，所以.故答案為：35．（2023·全國·安陽市第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知與為相反向量，若，，則，夾角的余弦的最小值為．【答案】1【分析】先根據(jù)向量模長相關(guān)不等式得到，解出，設(shè)，，夾角為，將兩邊平方，得到，結(jié)合，求出，得到答案.【詳解】，故，因?yàn)?，所以，又，所以，解得：，不妨設(shè)，，夾角為，則，兩邊平方得：，即，解得：，因?yàn)?，所以，故，夾角的余弦的最小值為1.故答案為：136．（2023上·福建泉州·高三校聯(lián)考期中）若，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)出，，得到，平方后得到的最大值和最小值，從而求出答案.【詳解】不妨設(shè)，，則，，故，則，因?yàn)椋?dāng)時，取得最大值，，故的最大值為，當(dāng)時，取得最小值，，故的最小值為，故的取值范圍為.故答案為：.37．（2023下·北京西城·高三北京市第一六一中學(xué)開學(xué)考試）向量，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則向量，所成角的余弦值是；向量，所張成的平行四邊形的面積是．【答案】/3【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，不妨取，，利用向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、平行四邊形面積計算公式即可得出．【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，不妨取，，則．向量，所張成的平行四邊形的面積．故答案分別為：，3．【點(diǎn)睛】本題考查了向量夾角公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、平行四邊形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題38．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，AD＝1，AB＝2，對角線BD＝2，求對角線AC的長．【答案】【分析】設(shè)，則，由，求得，然后由，求得．【詳解】設(shè)，則，，而，，又，，即．39．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于點(diǎn)E，求BE∶EC.【答案】2:3【分析】設(shè)出及，將作為基底表示，根據(jù)得出，即可得出結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，，則，由題知，則，設(shè)，所以，因?yàn)锳E⊥BD，所以，即，即，解得，所以，即.40．（2023·高一課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是平行四邊形的中心，分別在邊上，且，求證點(diǎn)在同一直線上.【答案】證明見解析【解析】設(shè)，則，，即，即可證明.【詳解】證明：設(shè)，，由，知分別是的三等分點(diǎn)，所以，.所以.又為