人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第十八章 平行四邊形第2課時(shí) 菱形的判定（課件）

第十八章平行四邊形菱形的判定

前面我們學(xué)習(xí)平行四邊形和矩形時(shí),都可以用性質(zhì)得出相應(yīng)的判定,那么我們學(xué)習(xí)菱形的判定時(shí)是否也可以反推菱形的性質(zhì)來(lái)得到它的判定呢?我們大家一起來(lái)嘗試一下吧!類(lèi)比導(dǎo)入類(lèi)比導(dǎo)入圖形性質(zhì)定理判定定理平行四邊形對(duì)邊平行兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形對(duì)邊相等兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形對(duì)角相等兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形對(duì)角線(xiàn)互相平分對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形類(lèi)比導(dǎo)入圖形性質(zhì)定理判定定理矩形四個(gè)角都是直角有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形對(duì)角線(xiàn)相等對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形菱形兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角？四條邊都相等兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角新知探究探究點(diǎn)1

對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.

如圖,用一長(zhǎng)一短兩根木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的十字,四周?chē)弦桓鹌そ?做成一個(gè)四邊形.

(1)轉(zhuǎn)動(dòng)木條,這個(gè)四邊形總有什么特征?它是什么四邊形?這個(gè)四邊形的對(duì)角線(xiàn)總是互相平分,它是平行四邊形．新知探究探究點(diǎn)1

對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.

如圖,用一長(zhǎng)一短兩根木條,在它們的中點(diǎn)處固定一個(gè)小釘,做成一個(gè)可轉(zhuǎn)動(dòng)的十字,四周?chē)弦桓鹌そ?做成一個(gè)四邊形.

(2)繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)木條,觀(guān)察橡皮筋圍成的四邊形什么時(shí)候變成菱形?當(dāng)這個(gè)四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直時(shí)變成菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=CO．∵BD⊥AC,∴AB=BC(線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等).∴?ABCD是菱形.猜想：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.下面我們來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證：新知探究已知：如圖，在?ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,且BD⊥AC.求證：?ABCD是菱形.BACDO歸納總結(jié)：對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是菱形.幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形,且BD⊥AC.

∴?ABCD是菱形．歸納總結(jié)例1

如圖，ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O,

且AB=5,AO=4,BO=3.

求證：ABCD是菱形.ABCDO證明：∵AB=5,AO=4,BO=3,∴.∴△OAB是直角三角形.

∴AC⊥BD.

∴ABCD是菱形.例題精析

1.如圖,在?ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC與BD交于點(diǎn)O,若添加一個(gè)條件,可推出?ABCD是菱形,則該條件可以是()A.AB=ACB.AC=BD

C.AC⊥BDD.AB⊥ACC對(duì)應(yīng)訓(xùn)練ABCDO2.一個(gè)平行四邊形的一條邊長(zhǎng)是9，兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別是12和，這是一個(gè)特殊的平行四邊形嗎？為什么？求出它的面積.ABCDO解：如圖，由題意得：AB=9,AC=,BD=12.∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AO=AC=,BO=BD=6.∴.∴△OAB是直角三角形.

∴AC⊥BD.∴ABCD是菱形.∴.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練【選自教材P58，練習(xí)第2題】新知探究探究點(diǎn)2

四條邊相等的四邊形是菱形.

老師拿四根長(zhǎng)度一樣的新粉筆,首尾順次相接拼成一個(gè)四邊形,在黑板上畫(huà)出相應(yīng)的圖形并標(biāo)上字母(如圖),得到的四邊形ABCD是菱形嗎?猜想：四條邊相等的四邊形是菱形．四邊形ABCD是菱形.猜想：四條邊相等的四邊形是菱形.下面我們來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證：新知探究已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD.求證：四邊形ABCD是菱形.BACD證明：∵AB=CD，BC=AD,∴四邊形ABCD是平行四邊形.又AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形.歸納總結(jié)：四條邊相等的四邊形是菱形.幾何語(yǔ)言：∵AB=BC=CD=AD,

∴四邊形ABCD是菱形.歸納總結(jié)解：證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠B=∠C=∠D

=90°,AD=BC，AB=CD.∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD

，AD的中點(diǎn)，∴AH=DH=BF=CF,AE=BE=CG=DG.∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，∴HE=FE=FG=HG，∴四邊形EFGH是菱形.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1.如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD

，AD的中點(diǎn).求證：四邊形EFGH是菱形.FEHGCBAD2.如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD是一個(gè)菱形嗎？為什么？對(duì)應(yīng)訓(xùn)練【選自教材P58，練習(xí)第3題】ABCD解：四邊形ABCD是一個(gè)菱形.理由：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,作AF⊥CD于點(diǎn)F.∵AD∥BC，AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D.又∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形.EF例2

如圖，在?ABCD中,BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F,AE⊥BF于點(diǎn)O,交BC于點(diǎn)E,連接EF.(1)求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若AE=6,BF=8,CE=3,求?ABCD的面積.例題精析ABCDOEF(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=EO,AD∥BC,∴∠EBF=∠AFB．∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBF,

∴∠ABF=∠AFB,∴AB=AF．∵BO⊥AE,AO=EO,∴AB=EB,∴BE=AF．∵BE∥AF,∴四邊形ABEF是平行四邊形．又AB=AF,∴?ABEF是菱形．例題精析ABCDOEF(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G．∵四邊形ABEF是菱形,AE=6,BF=8,∴OE=AE=3,OB=BF=4.在Rt△BOE中,BE=

==5.∵S菱形ABEF=AE·BF=BE·FG,∴×6×8=5FG,∴FG=.∵BC=BE+CE=5+3=8，∴S?ABCD=BC·FG=8×=.例題精析ABCDOEFG矩形和菱形小結(jié)：課堂總結(jié)圖形概念性質(zhì)定理判定定理矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形四個(gè)角都是直角有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形對(duì)角線(xiàn)相等對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形四條邊都相等四條邊相等的四邊形是菱形兩條對(duì)角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角對(duì)角線(xiàn)互相垂直的平行四邊形是矩形知識(shí)結(jié)構(gòu)四邊形兩條邊都相等平行四邊形對(duì)角線(xiàn)相等互相垂直有一組鄰邊相等菱形菱形菱形課后作業(yè)1.教材P60習(xí)題18.2第6,10題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練.1.如圖，AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于點(diǎn)C,BD平分∠ABC,且交AE于點(diǎn)D,連接CD.求證：四邊形ABCD是菱形.角相等邊相等菱形ABCD

平行線(xiàn)+角平分線(xiàn)

點(diǎn)擊查看解題過(guò)程課后作業(yè)【選自教材P60，習(xí)題18.2第6題】FDCBAOE證明：∵AC平分∠BAD,

∴∠1=∠2.

又AE∥BF,∴∠2=∠3，AD∥BC.

∴∠1=∠3.∴BA=BC.同理可得：AB=AD.

∴AD=BC.∴四邊形ABCD為平行四邊形.

∴四邊形ABCD為菱形.課后作業(yè)FDCBAO123E2.如圖，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)M，N分別在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB；點(diǎn)F，G分別在BC，CD上，MG與NF相交于點(diǎn)E.求證：四邊形AMEN，EFCG都是菱形.課后作業(yè)【選自教材P61，習(xí)題18.2第10題】ABMFCGDNE課后作業(yè)證明：∵四邊形ABCD是菱形,

∴AB=DA=BC=CD.

∵BM=DN,

∴AB-BM=DA-DN,即AM=AN.

∵M(jìn)G∥AD，NF∥AB,∴四邊形AMEN是平行四邊形.

∴?AMEN是菱形.同理可證：四邊形EFCG是菱形.ABMFCGDNE

3.已知平行四邊形ABCD,下列條件:

①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC=BD.其中能使平行四邊形ABCD是菱形的有()A.①③B.②③C.③④D.①②③A課后作業(yè)4.如圖，在ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC的垂直平分線(xiàn)分別與AD,AC,BC相交于點(diǎn)E,O,F.求證：四邊形AFCD是菱形.FEDCBAO三角形全等菱形AECF

平行四邊形

邊相等角相等AECF+垂直(AC⊥EF)點(diǎn)擊查看解題過(guò)程課后作業(yè)證明：∵四邊形ABCD為平