2022-2023學(xué)年上海飛飛中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

2022-2023學(xué)年上海飛飛中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知圓,圓,分別是圓上的動(dòng)點(diǎn),為軸上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為()

A．

B．

C．

D．參考答案：A2.設(shè)a＞0，b＞0．若是3a與3b的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A．1 B．2 C．8 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用等比中項(xiàng)的定義即可得出a、b的關(guān)系式，再利用基本不等式的性質(zhì)即可求出其最小值．【解答】解：由題意知3a?3b=3，∴3a+b=3，∴a+b=1．∵a＞0，b＞0，∴+=（+）（a+b）=2++≥2=4．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立．故選D．3.已知點(diǎn)A（3，2），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

）（A）（0，0）；

（B）（2，2）；

（C）（－2，－2）（D）（2，0）參考答案：

B略4.若.則下列不等式中成立的是(A)

(B)

(C)

(D)

參考答案：A略5.復(fù)數(shù)z=1﹣i，則=（） A． B． C． D．參考答案：D考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．專題： 計(jì)算題．分析： 把復(fù)數(shù)z代入后前一部分采用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，然后在把實(shí)部和實(shí)部相加，虛部和虛部相加．解答： 解：因?yàn)閦=1﹣i，所以=．故選D．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法采用的是分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，是基礎(chǔ)題．6.在中，若為的中點(diǎn)，則類似地，在空間中，為不共線向量，若則點(diǎn)為的（

）A.內(nèi)心

B.外心

C.重心

D.垂心參考答案：C略7.古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家怕普斯(Pappus,約300~約350)在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)定理:“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”如圖，半圓O的直徑AB=6cm，點(diǎn)D是該半圓弧的中點(diǎn)，那么運(yùn)用帕普斯的上述定理可以求得，半圓弧與直徑所圍成的半圓面(陰影部分個(gè)含邊界)的重心G位于對(duì)稱軸OD上，且滿足OG=(

)A．2cm

B．

C.

D．參考答案：B以為軸，旋轉(zhuǎn)題設(shè)半圓所得的球的體積為。運(yùn)用提供的定理求得，，解得，所以選8.已知命題：，，則為（

）A．， B．，C．， D．，參考答案：B全稱命題的否定為存在命題，命題：，，則為，，選B.

9.如圖ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，B1E1=D1F1=，則BE1與DF1所成的角的余弦值是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】先通過(guò)平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)E1，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．【解答】解：如圖先將F1D平移到AF，再平移到E1E，∠EE1B為BE1與DF1所成的角設(shè)邊長(zhǎng)為4則，E1E=E1B=，BE=2cos∠EE1B=，故選A10.已知數(shù)列{an}中，，若{an}為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（

）A.(－∞,3) B.(－∞,3]C.(－∞,2) D.(－∞,2]參考答案：A【分析】由已知得，根據(jù)為遞增數(shù)列，所以有，建立關(guān)于的不等式，解之可得的取值范圍.【詳解】由已知得，因?yàn)闉檫f增數(shù)列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)：遞增性，根據(jù)已知得出是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從1至200的整數(shù)中，任意取出3個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成以整數(shù)為公比的等比數(shù)列，其取法有

種．參考答案：112．解析：若首項(xiàng)、公比確定，這三個(gè)數(shù)就確定．當(dāng)q=2時(shí)，=1，2，…，50，共50種；當(dāng)q=3時(shí)，=1，2，…，22，共22種；當(dāng)q=4時(shí)，=1，2，…，12，共12種；當(dāng)q=5時(shí)，=1，2，…，8，共8種；……；當(dāng)q=14時(shí)，=1，共1種．∴取法共有12.已知函數(shù)，若對(duì)任意，存在，使得方程有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.參考答案：【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，得出在，上的值域，從而得出的范圍.【詳解】，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，所以，則在上單調(diào)遞增，所以在的值域?yàn)椋驗(yàn)閷?duì)任意，存在，使得方程有解，所以，解得：.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和值域、方程有解問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意恒成立與有解的區(qū)別.13.如圖所示，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一粒豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則P（B|A）=．參考答案：【考點(diǎn)】CM：條件概率與獨(dú)立事件．【分析】根據(jù)幾何概型計(jì)算公式，分別算出P（AB）與P（A），再由條件概率計(jì)算公式即可算出P（B|A）的值．【解答】解：根據(jù)題意，得P（AB）===，∵P（A）===，∴P（B|A）==故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題給出圓內(nèi)接正方形，求條件概率P（B|A），著重考查了幾何概型和條件概率計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．14.已知P為橢圓+=1上的一個(gè)點(diǎn)，M，N分別為圓（x+3）2+y2=1和圓（x﹣3）2+y2=4上的點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值為．參考答案：7【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由橢圓的定義：|PF1|+|PF2|=2a=10．圓（x+3）2+y2=1和圓（x﹣3）2+y2=4上的圓心和半徑分別為F1（﹣3，0），r1=1；F2（3，0），r2=2．由|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．【解答】解：由橢圓+=1焦點(diǎn)在x軸上，a=5，b=4，c=3，∴焦點(diǎn)分別為：F1（﹣3，0），F(xiàn)2（3，0）．|PF1|+|PF2|=2a=10．圓（x+3）2+y2=1的圓心與半徑分別為：F1（﹣3，0），r1=1；圓（x﹣3）2+y2=4的圓心與半徑分別為：F2（3，0），r2=2．∵|PM|+r1≥|PF1|，|PN|+r2≥|PF2|．∴|PM|+|PN|≥|PF1|+|PF2|﹣1﹣2=7．故答案為：7．15.已知某人連續(xù)5次投擲飛鏢的環(huán)數(shù)分別是8，9，10，10，8，則該組數(shù)據(jù)的方差為

▲

.參考答案：16.曲線在點(diǎn)（1,2）處的切線方程為 參考答案：x-y+1=0略17.把6本書平均送給三個(gè)人，每人兩本的不同送法種法有

（用數(shù)字作答）。參考答案：90略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.，為正實(shí)數(shù)（1）當(dāng)，求極值點(diǎn)；（2）若為R上的單調(diào)函數(shù)，求的范圍．參考答案：（1）∵，∴，當(dāng)，若，則，解得，，列表可知↗極大值↘極小值↗

∴是極小值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)；（2）若為上的單調(diào)函數(shù)，則在上不變號(hào)，又∵，∴在上恒成立，∴，∴．19.（本小題滿分13分）已知圓x2+y2-6x-8y+21=0和直線kx-y-4k+3=0.(1)若直線和圓總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求k的取值集合(2)求當(dāng)k取何值時(shí)，直線被圓截得的弦最短，并求這最短弦的長(zhǎng).參考答案：（1）已知圓的方程為（x-3）2+（y-4）2=4，其圓心（3，4）到直線kx-y-4k+3=0的距離為.直線和圓總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以＜2，即（k+1）2＜4（1+k2），即3k2-2k+3＞0.而3k2-2k+3=3（k-）2+＞0恒成立.所以k的取值集合為R（方法二：直線過(guò)定點(diǎn)（4,3），可以判斷點(diǎn)（4,3）在圓的內(nèi)部，從而確定直線和圓總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以k的取值集合為R）（2）由于當(dāng)圓心到直線的距離最大時(shí)，直線被圓截得的弦最短，而d=,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，“=”成立，即k=1時(shí)，dmax=.故當(dāng)k=1時(shí)，直線被圓截得的弦最短，該最短弦的長(zhǎng)為（注：由（1）可以確定圓心到直線的距離最大為圓心與點(diǎn)（4,3）的距離，從而確定最短弦;在上面的解法中對(duì)k的分類討論用對(duì)勾函數(shù)求解也可.）20.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且4an＋1－anan＋1＋2an＝9(n∈N)．(1)求a2，a3，a4的值；(2)由(1)猜想{an}的通項(xiàng)公式，并給出證明．參考答案：略21.如圖所示，正方形ABCD和矩形ADEF所在平面相互垂直，G是AF的中點(diǎn)．（I）求證：ED⊥AC；（Ⅱ）若直線BE與平面ABCD成45°角，求異面直線GE與AC所成角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（I）由矩形ADEF可知ED⊥AD，又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，得到ED⊥平面ABCD，從而有ED⊥AC．（Ⅱ）由（I）ED⊥平面ABCD，可知∠EDB是直線BE與平面ABCD所成的角，又由AM∥GE，知∠MAC是異面直線GE與AC所成角或其補(bǔ)角然后在△MAC中用余弦定理求解．【解答】（I）證明：在矩形ADEF中，ED⊥AD∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD∴ED⊥平面ABCD∴ED⊥AC

（Ⅱ）由（I）知：ED⊥平面ABCD∴∠EBD是直線BE與平面ABCD所成的角，即∠EBD=45°（8分）設(shè)取DE中點(diǎn)M，連接AM∵G是AF的中點(diǎn)∴AM∥GE∴∠MAC是異面直線GE與AC所成角或其補(bǔ)角（10分）連接BD交AC于點(diǎn)O∵，O是AC的中點(diǎn)∴MO⊥AC∴cos∠MAC===，∴異面直線GE與AC所成角的余弦值為．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線線垂直，線面垂直，面面垂直間的轉(zhuǎn)化以及異面直線所成的角的求法．22.在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．（1）求證PA∥平面EDB；（2）求二面角C﹣PB﹣D的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．【分析】（1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，則OE∥PA，由此能證明PA∥平面EDB．（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的大?。窘獯稹孔C明：（1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中點(diǎn)，∵點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，∴OE∥PA，∵OE?平面EBD，PA?平面EBD，∴PA∥平面EDB．解：（2）