中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型20 軸對(duì)稱-婆羅摩笈多模型-（原卷版+解析）

軸對(duì)稱模型(二十)——婆羅摩笈多模型模型解密【證明】如圖，(知垂直得中點(diǎn)，一線三垂直)過A作AP⊥MN,垂足為P,過D作DQ⊥MN交MN的延長(zhǎng)線于Q,③如圖，由①得，PN=QN,【證明】如圖，(知中點(diǎn)得垂直，倍長(zhǎng)中線)證明：延長(zhǎng)BP至點(diǎn)M,使PM=BP,連結(jié)ME,易證：△PBC≌PME又∵∠ABC=∠DBE=90°易證：△ABD≌△MEB,③如圖，由①知AD=MB=2BP,得證。若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線相互垂直，則垂直于一邊且過對(duì)角線交點(diǎn)的直線將平分對(duì)邊。這個(gè)定理有另一個(gè)名稱，叫做“布拉美古塔定理”(1)若M是BC的中點(diǎn)，則①AD=20M,②Sop=Sw=SABOC·1.(河北省石家莊市石家莊外國(guó)語學(xué)校2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)閱讀情境：在綜合實(shí)踐如圖1,△ABC≥△ADE,其中∠B=∠D=90,AB=BC=AD=DE=2,此時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，操作探究1:(1)小凡將圖1中的兩個(gè)全等的△ABC和△ADE按圖2方式擺放，點(diǎn)B落在AE上，CB所在直線交DE所在直線于點(diǎn)M,連結(jié)AM,求證：BM=DM.DE,它們相交于點(diǎn)F.如圖3,在操作中，小彬提出如下問題，請(qǐng)你解答：①α=30°時(shí)，求證：△CEF為等邊三角形；②當(dāng)a=時(shí)，AC//FE.(直接回答即可)于點(diǎn)F,在操作中，小穎提出如下問題，請(qǐng)你解答：①如圖4,當(dāng)β=60°時(shí)，直接寫出線段CE的長(zhǎng)為②如圖5,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)F是邊DE的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段CE的長(zhǎng)為2.(重慶市沙坪壩區(qū)第一中學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題)已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D線段BC中點(diǎn)，連接AD.E為平面內(nèi)一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF,連接DF,圖1圖2圖3(2)如圖2,若點(diǎn)E在△ACD的內(nèi)部連接AE、CE,線段AE交線段DF于點(diǎn)H,當(dāng)∠CDE=∠ACE時(shí)，(3)如圖3,過A作DE的平行線，交直線DF于點(diǎn)M.連接BM.將△AMD沿BM翻折得到△A'MD,當(dāng)線段BM最短時(shí)，直接寫出此時(shí).的值. 真題熱身 1.(2023年四川省達(dá)州市開江縣永興中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試題)我們定義：如圖1,在△ABC中，把AB繞點(diǎn)①如圖2,當(dāng)△ABC為等邊三角形，且BC=6②如圖3,當(dāng)∠BAC=90°,且BC=7時(shí)，則AD長(zhǎng)為(2)[猜想論證]在圖1中，當(dāng)△ABC為找到證明思路，可以考慮延長(zhǎng)AD或延長(zhǎng)BA,…)(3)[拓展應(yīng)用]如圖4,在四邊形ABCD中，∠BCD=150°,AB=12,CD=6,以CD為邊在四邊形ABCD內(nèi)四邊形ABCD的邊AD長(zhǎng).2.(2023年湖北省隨州市曾都區(qū)九年級(jí)升學(xué)適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題)我們定義：如圖1,在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0<α<180)得到AB,把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC,連接BC.當(dāng)a+β=180時(shí)，【特例感知】①如圖2,當(dāng)AABC為等邊三角形，且BC=6時(shí)，則AD長(zhǎng)為②如圖3,當(dāng)∠BAC=90,且BC=7時(shí)，則AD長(zhǎng)為_.【猜想論證】(2)在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.(如果你沒有找到證明思路，可以考慮延長(zhǎng)AD或延長(zhǎng)BA,……)【拓展應(yīng)用】(3)如圖4,在四邊形ABCD中，∠BCD=150,AB=12,CD=6,以CD為邊在四邊形ABCD內(nèi)部作等ABCD的邊AD長(zhǎng).模型解密易證：△ABP≌△BCM,AP=BM,△DQB≌△BME,DQ=BM易證：△APN≌△DQN【結(jié)論2】如圖，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，點(diǎn)P是C證明：延長(zhǎng)BP至點(diǎn)M,使PM=BP,連結(jié)ME,易證：△PBC≌PME易證：△ABD≌△MEB,②如圖，由①知SAC=SACap+SAp=SAEMp+SABp=SMEB=SAAD,得證.③如圖，由①知AD=MB=2BP,得證。(又譯《卜拉美古塔定理”)。拓展2:如圖，△AOB和△COD是等腰三角形，∠AOB+∠COD拓展3:如圖，△A0B≌△COD且∠AOB=∠COD=180,MN過點(diǎn)0.拓展4:如圖，在△AOB、△COD中，1.(江西省南昌市第十九中學(xué)2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題)如圖，分析延長(zhǎng)AM至N,使MN=AM,證△AMC≌△NMB,【詳解】延長(zhǎng)AM至N,使MN=AM,連接BN,【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，延長(zhǎng)AM至N,使MN=AM,再只證AN=DE即可，這就是“中線倍長(zhǎng)”,實(shí)質(zhì)是“補(bǔ)1.(河北省石家莊市石家莊外國(guó)語學(xué)校2019-2020學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題)閱讀情境：在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們探究“全等的等腰直角三角形圖形變化問題”如圖1,△ABC=△ADE,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=AD=DE=2,此時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)E重操作探究1:(1)小凡將圖1中的兩個(gè)全等的△ABC和AADE按圖2方式擺放，點(diǎn)B落在AE后，分別延長(zhǎng)BC,DE,它們相交于點(diǎn)F.如圖3,在操作中，小彬提出如下問題，請(qǐng)你①α=30°時(shí)，求證：△CEF為等邊三角形；②當(dāng)a=時(shí)，AC//FE.(直接回答即可)操作探究3:(3)小穎將圖1中的AABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角度β(0?<β<90°),線段BC和DE相交于點(diǎn)F,在操作中，小穎提出如下問題，請(qǐng)你解答：①如圖4,當(dāng)β=60°時(shí)，直接寫出線段CE的長(zhǎng)為②如圖5,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E是邊DE的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段CE的長(zhǎng)為分析(1)證明Rt△AMB≌Rt△AMD即可解決問題.(2)①證明∠FCE=∠FEC=60°即可解決問題.②根據(jù)平行線的判定定理即可解決問題.(3)①連接EC,證明△AEC是等邊三角形，利用勾股定理求出AE即可解決問題.②如圖5中，連接AF,BD交于點(diǎn)O.首先證明EC=BD,再證明OB=OD,利用面積法求出OB即可解決問題.【詳解】(1)證明：如圖2,(2)①證明：如圖3中，AB=AD,∴△EFC是等邊三角形.故答案為45°.(3)①解：如圖4中，連接EC,②解：如圖5中，連接AF,BD交于點(diǎn)O.BC=2,∴AF垂直平分線段BD,在Rt△ABF中，故答案為.質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.2.(重慶市沙坪壩區(qū)第一中學(xué)校2021-2022學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題)已知△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D線段BC中點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段圖2圖1圖2為平面內(nèi)一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)(2)如圖2,若點(diǎn)E在△ACD的內(nèi)部連接AE、CE,線段AE交線段DF于點(diǎn)H,當(dāng)(3)如圖3,過A作DE的平行線，交直線DF于點(diǎn)M.連接BM.將△AMD沿BM翻折得到△A'MDY,當(dāng)線段BM最短時(shí)，直接寫出此時(shí)的值.分析(1)過D作DH⊥AC交AC于H,根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半、直角三角形30°角所對(duì)直角邊等于斜邊一半及等腰直角三角形關(guān)系結(jié)合勾股定理即可求出三角形的底和高，即可得到答案；角得到角度的等量關(guān)系，再根據(jù)兩次三角形全等即可得到線段相等；(3)根據(jù)等腰直角三角形及線平行得到角度數(shù)，再根據(jù)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形與圓內(nèi)接四邊形關(guān)系等到點(diǎn)M在圓上，根據(jù)圓外一點(diǎn)與圓的距離關(guān)系找到最小點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱找到相等從而得到三角形相似得出線段與半徑的關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理求出平方值即可得到比值.【詳解】(1)解：如圖所示過D作DH⊥AC交AC于點(diǎn)H,DG2-GE2=DE2(2)證明：延長(zhǎng)CE交DF于K,過A作AG⊥DF交DF于G,∴△AHG≌△EHK(AAS),(3)解：過D作DH⊥AC,∵AM//DE,∴HB=√(2r2+F2=√5r,連接AA'交BH于點(diǎn)O,,,在Rt△OA'M中根據(jù)勾股定理可得，【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)、圓的有關(guān)計(jì)算、等腰三角形有關(guān)計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理，解題的難點(diǎn)主要是根據(jù)性質(zhì)作出相應(yīng)輔助線，巧妙靈活的運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，第三問中最難點(diǎn)是找到最短距離點(diǎn). 真題熱身 1.(2023年四川省達(dá)州市開江縣永興中學(xué)中考數(shù)學(xué)模擬試題)我們定義：如圖1,在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0?<a<180°)得到AB',把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到圖3圖3①如圖2,當(dāng)△ABC為等邊三角形，且BC=6時(shí)，則AD長(zhǎng)為②如圖3,當(dāng)∠BAC=90°,且BC=7時(shí)，則AD長(zhǎng)為(2)[猜想論證]在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.(如果你沒有找到證明思路，可以考慮延長(zhǎng)AD或延長(zhǎng)B'A,…)(3)[拓展應(yīng)用]如圖4,在四邊形ABCD中，∠BCD=150°,AB=12,CD=6,以CD為邊在四邊形ABCD內(nèi)部作等邊△PCD,連接AP,BP.若△PAD是△PBC的“旋補(bǔ)三角形”,請(qǐng)直,證明見解析分析(1)①首先證明。ADB'是含有30°是直角三角形，可得即可解決問題.②首先證明。BAC=△BAC,根據(jù)直角三角形斜邊中線定理即可解決問題.(2)結(jié)論：如圖1中，延長(zhǎng)AD到M,使得AD=DM,連接B'M,CM,首先證明四邊形ACMB'是平行四邊形，再證明。BAC=AB'M,即可解決問題.(3)如圖4中，過點(diǎn)P作PH⊥AB于H,取BC的中點(diǎn)J,連接PJ.解直角三角形求出BC,PJ,利用(2)中結(jié)論解決問題即可.解：①如圖2中，·AD⊥B'C故答案為：3.②如圖3中，故答案為：3.5.理由：如圖1中，延長(zhǎng)AD到M,使得AD=DM,連接B'M,CM∴四邊形AC'MB'是平行四邊形，AB=AB,如圖4中，過點(diǎn)P作PH⊥AB于H,取BC的中點(diǎn)J,連接PJ.,①如圖2,當(dāng)AABC為等邊三角形，且BC=6時(shí)，則AD長(zhǎng)為②如圖3,當(dāng)∠BAC=90,且BC=7時(shí)，則AD長(zhǎng)為【猜想論證】(2)在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.(如果你沒有找到證明思路，可以考慮延長(zhǎng)AD或延長(zhǎng)BA,……)(3)如圖4,在四邊形ABCD中，∠BCD=150,AB=12,CD=6,以CD為邊在四邊形ABCD分析(1)①由旋補(bǔ)三角形的概念可證明△ADB′是含有30°是直角三角形，