壓軸小題07 三維想象解決立體幾何綜合問題（解析版）

壓軸小題07三維想象解決立體幾何綜合問題壓軸壓軸秘籍立體幾何基礎(chǔ)公式所有椎體體積公式：，所有柱體體積公式：，球體體積公式：球體表面積公式：，圓柱：圓錐：長方體（正方體、正四棱柱）的體對角線的公式已知長寬高求體對角線：已知共點三面對角線求體對角線：棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為.歐拉定理(歐拉公式)(簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)E和面數(shù)F).（1）=各面多邊形邊數(shù)和的一半.特別地,若每個面的邊數(shù)為的多邊形，則面數(shù)F與棱數(shù)E的關(guān)系：；（2）若每個頂點引出的棱數(shù)為，則頂點數(shù)V與棱數(shù)E的關(guān)系：.5．空間的線線平行或垂直設(shè)，，則；.夾角公式設(shè)，b＝，則.6．異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）7．直線與平面所成角，(為平面的法向量).8..二面角的平面角（，為平面，的法向量）.異面直線間的距離(是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).點到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.球的表面積和體積公式球的表面積：S＝4πR2球的體積：V＝eq\f(4,3)πR3球的切接概念空間幾何體的外接球：球心到各個頂點距離相等且等于半徑的球是幾何體的外接球空間幾何體的內(nèi)切球：球心到各面距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R，①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.墻角模型（三條直線兩兩垂直）補形為長方體，長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).直棱柱外接球之漢堡模型（1）補型：補成長方體，若各個頂點在長方體的頂點上，則外接球與長方體相同（2）作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理直三校柱內(nèi)接于一球（棱柱的上下底面為直角三角形）R底面外接圓的半徑r的求法（1）正弦定理（2）直角三角形：半徑等于斜邊的一半（3）等邊三角形：半徑等于三分之二高（4）長（正）方形：半徑等于對角線的一半正棱錐類型h-R2+側(cè)棱垂直與底面-垂面型R側(cè)面垂直與底面-切瓜模型如圖：平面PAC⊥平面BAC,AB⊥BC(AC為小圓直徑)

（1）由圖知球心O必為△PAC的外心,即△PAC在大圓面上,先求出小圓面直徑AC的長;

（2）在△如圖：:平面PAC⊥平面BAC（1）確定球心O的位置,由圖知P,O,H三點共線;

（2）算出小圓面半徑AH=r,算出棱錐的高PH=h

（3內(nèi)切球如圖：求任意三棱雉的內(nèi)切球半徑(等體積法)

（1）先求出四個表面的面積和整個椎體的體積;

（2）設(shè)內(nèi)切球半徑為r,建立等式:VP?

（3）解出r結(jié)論：若棱錐的體積為V，表面積為S，則內(nèi)切球的半徑為.壓軸訓(xùn)練壓軸訓(xùn)練一、單選題1．（2023秋·江蘇常州·高三常州高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）將一個半徑為的球削成一個體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，表示出圓錐的體積，換元后利用導(dǎo)數(shù)可求出體積的最大值，從而可求出圓錐的底面半徑和高，再求出母線長，作出圓錐的截面，然后利用三角形相似可求出圓錐內(nèi)切球的半徑.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，所以圓錐的體積為，令，得，所以，則，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞增，在上遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，即時，圓錐的體積最大，此時圓錐的高為，母線長為，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為，圓錐的軸截面圖如圖所示，則，因為，所以，所以,即，解得，故選：D

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查圓錐的內(nèi)切球問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是表示出圓錐的體積，化簡后利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，從而可確定圓錐的大小，考查空間想象能力和計算能力，屬于難題.2．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知正四面體的棱長為，為棱上的動點（端點、除外），過點作平面垂直于，與正四面體的表面相交．記，將交線圍成的圖形面積表示為的函數(shù)，則的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】取線段的中點，連接、，證明出平面，分析可知平面與平面平行或重合，分、、三種情況討論，計算出的面積，利用三角形相似可得出的表達(dá)式，即可得出合適的選項.【詳解】取線段的中點，連接、，因為、為等邊三角形，為的中點，則，，，、平面，平面，因為平面，所以，平面與平面平行或重合，且，取的中點，連接，則，且，故.①當(dāng)時，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可知，，，所以，，故，如下圖所示：則，則；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，平面平面，平面平面，平面平面，，同理可知，，，所以，，故，如下圖所示：則，則.綜上所述，，故函數(shù)的圖象如C選項中的圖象.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)圖象的識別，解題的關(guān)鍵對分類討論，求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而辨別出函數(shù)的圖象.3．（2023·江蘇南通·三模）已知三棱錐，為中點，，側(cè)面底面，則過點的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，，，設(shè)三棱錐外接球的球心為，設(shè)過點的平面為，則當(dāng)時，此時所得截面的面積最小，當(dāng)點在以為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，再結(jié)合球的截面的性質(zhì)即可得解.【詳解】連接，，由，可知：和是等邊三角形，設(shè)三棱錐外接球的球心為，所以球心到平面和平面的射影是和的中心，，是等邊三角形，為中點，所以，又因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，所以底面，而底面，因此，所以是矩形,和是邊長為的等邊三角形，所以兩個三角形的高，在矩形中，，連接，所以，設(shè)過點的平面為，當(dāng)時，此時所得截面的面積最小，該截面為圓形，，因此圓的半徑為：，所以此時面積為，當(dāng)點在以為圓心的大圓上時，此時截面的面積最大，面積為：，所以截面的面積范圍為.故選：A．【點睛】關(guān)鍵點點睛：幾何體的外接球問題和截面問題，考查空間想象能力，難度較大．4．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖①，已知邊長為4的等邊分別為邊的中點，現(xiàn)以為折痕將折起為四棱錐，使得，如圖②，則四棱錐的外接球體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，結(jié)合等腰三角形三線合一性質(zhì)、余弦定理和勾股定理可分別證得，，從而得到平面；根據(jù)可知為梯形外接圓圓心，設(shè)外接圓圓心為，由球的性質(zhì)可確定球心位置，根據(jù)長度關(guān)系可得半徑，代入球的表面積公式即可.【詳解】取中點，連接，分別為中點，，，是邊長為的等邊三角形，是邊長為的等邊三角形，為中點，，，即，；，，，，，，平面，平面，，，為等邊三角形，，同理可得：，，為梯形的外接圓圓心，設(shè)的外接圓圓心為，則，分別過作的平行線，交于點，則點即為四棱錐的外接球球心，即為外接球半徑，，，四棱錐的外接球體積為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點睛；本題考查立體幾何中的多面體外接球相關(guān)問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直關(guān)系確定外接球球心的位置，從而根據(jù)長度關(guān)系求得外接球半徑.5．（2023·江蘇南京·南京市第九中學(xué)校考模擬預(yù)測）三面角是立體幾何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問題的重要依據(jù).三面角是由有公共端點且不共面的三條射線，，以及相鄰兩射線間的平面部分所組成的圖形，設(shè)，，，平面與平面所成的角為，由三面角余弦定理得.在三棱錐中，，，，，，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，，，，平面與平面所成的角為，作，平面，則該二面角的平面角為.要解決三棱錐體積的最大值，需要先把體積用函數(shù)式表示出來，即，接下來就根據(jù)條件把和用同一個變量表示出來即可求解.【詳解】由題意得：.==，=當(dāng)時，的最大值為故選：C6．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，，，，，點M在該三棱錐的外接球O的球面上運動，且滿足，則三棱錐的體積最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先通過和可知三棱錐的外接球O為的中點，在△中，由正弦定理可得△的外接圓的半徑，進(jìn)而可得球心到面的距離，從而得，再由解三角形知識求解△的面積最大即可.【詳解】

該三棱錐的外接球O為的中點，下證：因為平面，平面，所以，所以，又，即，所以，即三棱錐的外接球球心為的中點，球半徑.點M在該三棱錐的外接球O的球面上運動，且滿足，在△中，由正弦定理可得△的外接圓的半徑為，球心到平面的距離為，因為O為的中點，所以到平面的距離為，，要使三棱錐的體積最大，只需△的面積最大即可.在△中由余弦定理可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時,三棱錐的體積取到最大值.故選：A.二、多選題7．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正四面體的棱長為2，下列說法正確的是（

）A．正四面體的外接球表面積為B．正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為定值C．正四面體的相鄰兩個面所成二面角的正弦值為D．正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，則正四面體的體積最大值為【答案】ABD【分析】根據(jù)正四面體的外接球、內(nèi)切球、體積以及二面角等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A.棱長為2的正四面體的外接球與棱長為的正方體的外接球半徑相同，設(shè)為R，則：，所以，所以A對.

B.設(shè)正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離分別為，，，，設(shè)正四面體的高為d，由等體積法可得：，所以為定值，所以B對.C.設(shè)中點為D，連接，，則，則為所求二面角的平面角，，所以，所以正弦值為，所以C錯.

D.要使正四面體在四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，則正四面體的外接球在四面體內(nèi)切球內(nèi)部，當(dāng)正四面體的外接球恰好為四面體內(nèi)切球時，正四面體的體積最大值，由于正四面體的外接球與內(nèi)切球半徑之比為，所以正四面體的外接球半徑為，設(shè)正四面體的邊長為a，則，所以，故體積，所以D對.故選：ABD8．（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在中，，，D是AB的中點．將沿CD翻折，得到三棱錐，則（

）A．B．當(dāng)時，三棱錐的體積為C．當(dāng)時，二面角的大小為D．當(dāng)時，三棱錐的外接球的表面積為【答案】ACD【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理判斷A；根據(jù)等體積法可判斷B；確定二面角的平面角，解三角形可得其大小，判斷C；確定三棱錐的外接球的球心位置，求出外接球半徑，即可求得外接球表面積，判斷D.【詳解】對于A，中，，，D是AB的中點，

故,且，，則在三棱錐中，，而平面，故平面，平面，故，A正確；對于B，當(dāng)時，,由于平面，故，B錯誤；對于C，當(dāng)時,,則,而，故，由于平面，故即為二面角的平面角，故當(dāng)時，二面角的大小為，C正確；對于D，當(dāng)時，，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為r，則，因為平面，所以三棱錐的外接球的球心位于過垂直于平面的直線上，且在過CD的中點E垂直于CD的平面上，設(shè)球心為O，由于平面，則,故過E作的垂線，垂足即為O，即三棱錐的外接球的球心，則四邊形為矩形，故，設(shè)棱錐的外接球的半徑為R，連接OD，故，故三棱錐的外接球的表面積為，D正確，故選：ACD【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于選項D的判斷，解答時要能根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，確定外接球的球心所在的位置，從而求得外接球半徑，即可判斷D選項.9．（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱柱分別為棱的中點，則（

）A． B．面C． D．面【答案】BD【分析】利用異面直線的定義、線面平行的判定定理、線線垂直的性質(zhì)及判定、線面垂直的判定定理分析運算推理判斷即可得解.【詳解】對于選項A，顯然與異面，故A錯誤；對于選項B，取中點，連接，

因為、為、中點，所以，又因為且為中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為面，面，所以面，故B正確；對于選項C，如圖，連接，取中點，連接，

假設(shè)，則垂直平分，則，設(shè)，則，在正中高，在矩形中對角線.在矩形中，，，則對角線，則，矛盾，故C錯誤；對于選項D，如圖，設(shè)，則，在側(cè)面上，以點為原點、為橫軸、為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，，，，所以有，，所以，所以，即有.在正三棱柱中為中點，所以，又由面可得，且面，所以面，又因面，所以，又因面，所以面，故D正確.故選：BD.10．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？级＃┮阎襟w的棱長均為為線段的中點,,其中,則下列選項正確的是（

）A．當(dāng)時,B．當(dāng)時,的最小值為C．若直線與平面所成角為,則點的軌跡長度為D．當(dāng)時,正方體被平面截的圖形最大面積為【答案】AD【分析】將代入,將用表示,計算其數(shù)量積是否為0即可證明;將代入可知點在上,且在平面上,將沿著向下翻折至與平面共面,點翻折后變?yōu)?過向作垂線,垂足為,可知在上,且為中點,所以最小值為,根據(jù)長度關(guān)系解出即可;由直線與平面所成角為可得為等腰直角三角形,即,可得的軌跡為以為圓心為半徑的圓上,且在平面內(nèi),進(jìn)而可求其軌跡長度,判斷正誤;由,可得三點共線,分在上運動和在上運動兩種情況下,討論截面面積的大小情況,求出最值,即可判斷正誤.【詳解】由題知正方體的棱長均為2,當(dāng)時,,此時,所以,即選項A正確;當(dāng)時,,所以點在上,且點在平面上,分別將,延長至,使得,將沿著向下翻折至與平面共面,點翻折后變?yōu)?過向作垂線,垂足為,如圖所示:因為,所以,因為,所以為中點,且,因為平面平面,且平面平面,,所以平面,所以,又因為,所以在上,且為中點,,在平面中,連接交于點時,取最小值,因為,所以,此時,故選項B錯誤;因為面，所以為直線與面的平面角，當(dāng)直線與平面所成角為時,即,因為,所以,所以為等腰直角三角形,因為,所以,因為,由平面向量基本定理可知在平面內(nèi),所以的軌跡為以為圓心為半徑的圓上,且在平面內(nèi),所以點的軌跡長度為,故選項C錯誤;因為,其中,因為,所以三點共線,連接交于點,當(dāng)點在上運動時,延長交于點,則正方體被平面截的圖形為,由圖可知,當(dāng)點運動到點時,截面為,此時截面積最大,因為正方體棱為2,所以,此時截面積最大為,當(dāng)點在上運動時,延長交于點,過點做的平行線交于點,連接,再過點做的垂線,垂足為,如圖所示:由題可知,此時截面為等腰梯形,記,則,,,所以,,所以,令,所以,所以在單調(diào)遞增,所以,故,因為,所以正方體被平面截的圖形最大面積為,即選項D正確.故選:AD【點睛】思路點睛:該題考查立體幾何的綜合問題,屬于難題,關(guān)于求兩距離和的最小值的思路有:(1)找對稱點,將兩距離中一個距離轉(zhuǎn)化為另一距離,根據(jù)三角形兩邊和大于第三邊,兩邊差小于第三邊解得;(2)將兩距離通過側(cè)面展開,翻折等,轉(zhuǎn)為到一個平面內(nèi),根據(jù)兩點之間,線段最短解得;(3)建系,用坐標(biāo)表示距離和,變?yōu)殛P(guān)于變量的函數(shù),分析函數(shù)性質(zhì),求出最值.11．（2023秋·江蘇揚州·高三儀征市第二中學(xué)?？计谥校┮阎襟w的棱長為4，正四面體的棱長為a，則以下說法正確的是（

）A．正方體的內(nèi)切球直徑為4B．正方體的外接球直徑為C．若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最大值是D．若正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，則a的最小值是【答案】ACD【分析】求得正方體外接球的直徑判斷選項A、B，對于C，即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球；對于D，即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球.【詳解】對于A，正方體的內(nèi)切球直徑即其棱長，所以直徑為4，A正確；對于B，正方體的外接球直徑即其體對角線，所以直徑為，B錯誤；正四面體的棱長為a

因為正四面體的外接球的球心O到點F、G、H的距離相等，所以O(shè)在平面BCD內(nèi)的射影，到點F、G、H的距離相等，又因為在正四面體中是正三角形，所以是的中心，進(jìn)而在正四面體中，有平面，所以球心O在高線上，同理：球心O也在其它面的高線上，又正四面體中各面上的高都相等，所以由得，點O到正四面體各面的距離相等，所以點O也是正四面體的內(nèi)切球的球心，這樣正四面體的內(nèi)切球的球心與外接球的球心重合．記正四面體的高為，則.因此，只要求出其中一個，則另一個也出來了.因為在正四面體中，是正三角形，是其中心，所以，因為平面,平面，所以，在中，由勾股定理，得，所以，解得，，故所求的外接球的半徑和內(nèi)切球的半徑分別為.對于C，若正四面體可以放入正方體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正四面體的外接球小于等于正方體內(nèi)切球，又由棱長為a的正四面體的外接球半徑，C正確；對于D，正方體可以放入正四面體內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，即正方體的外接球小于等于正四面體內(nèi)切球，又由棱長為a的正四面體的內(nèi)切球半徑，D正確.故選：ACD.12．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知正方體的棱長為，，，其中，，則下列說法中正確的有（

）A．若平面，則 B．若平面，則C．存在，，使得 D．存在，使得對于任意的，都有【答案】AD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，根據(jù)共面向量定理可判斷選項A，利用直線方向向量和面法向量垂直可判斷線面平行，可判斷選項B，通過向量求得模長，根據(jù)條件判斷方程是否有解，可判斷C，向量數(shù)量積為，可判斷D.【詳解】以為原點，所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系.因為正方體的棱長為，面為點，.設(shè)，又,又因為點面，所以若平面，則，故A正確.面的法向量，,,,平面,，，故B錯誤.,若,,,,令，易得，，，在無解，故C錯誤.,,,故D正確.故選：AD13．（2023春·江蘇揚州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）在四面體的四個面中，有公共棱的兩個面全等，，，，二面角大小為，下列說法中正確的有（

）A．四面體外接球的表面積為B．四面體體積的最大值為C．若，，則D．若，，則【答案】ACD【分析】選項A：找出四面體得外接球得外接圓圓心和半徑即可；選項B：先確定底面，底面積確定，利用夾角的變化確定體積最大的時候的高即可；選項C：直接畫出二面角，然后計算其夾角即可；選項D：先過點畫的垂線，垂足為;過點畫的垂線，垂足為，然后二面角為與的夾角，利用基底法計算長度即可.【詳解】由題的示意圖，畫中點為，連接選項A：由題可知在中，，所以,又因為有公共棱的兩個面全等,，故,由直角三角形的性質(zhì)可知，,故該三棱錐的外接球球心為點，直徑為，所以外接球表面積為，故A正確；選項B：要使四面體的體積最大，則只需以為底面，在邊上的高為高即可；因為公共棱的兩個面全等，所以，所以有，已知，所以，所以體積最大時，該四面體的體積為，故B錯誤；選項C：分別過點畫邊的垂線，顯然垂足均為，則,得示意圖由選項B可知，又，，所以,由余弦定理的，因為在三角形中，所以，故C正確；選項D:如圖所示，過點畫的垂線，垂足為;過點畫的垂線，垂足為，因為，所以,因為，所以與的夾角為，由選項B可知，,所以,同理,由選項A可知所以，,所以得，所以，故D正確；故選：ACD14．（2023春·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）六面體中，底面ABCD、分別是邊長為4和2的正方形，側(cè)面、側(cè)面均是直角梯形，且，．若該六面體為臺體，下列說法正確的是（

）A．六面體的體積為28B．異面直線與的夾角的余弦值為C．二面角的正弦值為D．設(shè)P為上底面上一點，且，則P的軌跡為一個圓【答案】AB【分析】對于選項A：根據(jù)已知證明六面體為棱臺，高，即可根據(jù)棱臺的體積公式得出答案判斷；對于選項B：建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線所成角的向量求法求出答案判斷；對于選項C：根據(jù)二面角的向量求法求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系得出答案判斷；對于選項D：設(shè)出點，根據(jù)空間向量垂直數(shù)量積為0，列式化簡即可判斷.【詳解】對于選項A：底面ABCD是的正方形，，，且，平面，平面，，側(cè)面、側(cè)面均是直角梯形，，，，，面ABCD，面，面面，則六面體為棱臺，且高，則，故A正確；對于選項B：根據(jù)選項A的過程可得兩兩相互垂直，以點為坐標(biāo)原點，以方向為軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，則異面直線與的夾角的余弦值為，故B正確；對于選項C：根據(jù)選項B的過程得出：，，，則，，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，則，面為面，為面的一個法向量，則二面角的余弦值為，則二面角的正弦值為，故C錯誤；對于選項D：根據(jù)已知設(shè)點，其中根據(jù)選項B過程可得，，則，，，，即無解，則上底面不存在點，使得，故D錯誤；故選：AB.15．（2023春·江蘇南京·高三南京市第五高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正四棱臺的上下底面邊長分別為4，6，高為，E是的中點，則（

）A．正四棱臺的體積為B．平面平面C．AE∥平面D．正四棱臺的外接球的表面積為104π【答案】BCD【分析】對于A：直接代入正四棱臺的體積公式即可求解；對于B：先證BD⊥平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；對于C：取的中點F，連接AF，EF，，連接AG，先證四邊形是平行四邊形，易得GA平面，EF平面，根據(jù)面面平行判定定理可證平面平面，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可證明AE平面；對于D：分球心在正四棱臺內(nèi)、外兩種情況討論，且球心必在上或的延長線上，再利用勾股定理列出關(guān)于球半徑的方程即可求解.【詳解】依題意，對于A，正四棱臺的體積為，故錯誤；對于B，易知BD⊥AC，BD⊥，又，平面，平面，則BD⊥平面，又BD平面，所以平面⊥平面，故B正確；對于C，取的中點F，連接AF，EF，，連接AG，所以EF，又因為E是的中點，所以，所以G是的中點，因為，所以，又，所以，又因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，又GA?平面，?平面，所以GA平面，因為BD，所以EFBD，EF?平面，BD?平面，所以EF平面，因為EF∩AG＝G，所以平面平面，因為AE?平面AEF，所以AE平面，故C正確；對于D，連接AC、BD相交于，連接，相交于，如果外接球的球心O在正四棱臺的內(nèi)部，則O在上，，因為上下底面邊長分別為4，6，所以，，設(shè)外接球O的半徑為R，所以，即，無解，所以外接球的球心O在正四棱臺的外部，如圖：則O在延長線上，，因為上下底面邊長分別為4，6，所以，，設(shè)外接球O的半徑為R，所以，即，解得＝26，所以正四棱臺的外接球的表面積為4π＝104π，故D正確；故選：BCD．【點睛】方法點睛：證明線面、面面的平行垂直關(guān)系時，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為線與線的平行垂直關(guān)系，常用的方法有：平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線、對角線、勾股定理以及向量法等；外接球問題，根據(jù)幾何圖形的對稱性確定球心是關(guān)鍵，熟悉常見外接球的模型可以提升解題速度.16．（2023·江蘇南通·二模）如圖，正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側(cè)棱長均為，BC2．若將正三棱錐A-PBC繞BC旋轉(zhuǎn)，使得點A，P分別旋轉(zhuǎn)至點處，且，B，C，D四點共面，點，D分別位于BC兩側(cè)，則（

）A．B．平面BDCC．多面體的外接球的表面積為D．點A，P旋轉(zhuǎn)運動的軌跡長相等【答案】BC【分析】由已知可得，正三棱錐側(cè)棱兩兩互相垂直，放到正方體中，借助正方體研究線面位置關(guān)系和外接球表面積.【詳解】正三棱錐A-PBC和正三棱錐D-PBC的側(cè)棱長均為，BC2，則正三棱錐A-PBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，正三棱錐D-PBC中側(cè)棱兩兩互相垂直，則正三棱錐可以放到正方體中，當(dāng)點A，P分別旋轉(zhuǎn)至點處，且，B，C，D四點共面，點，D分別位于BC兩側(cè)時，如圖所示，連接，，如圖所示正方體中且，四邊形為平行四邊形，則有為等邊三角形，則與夾角為，，有與夾角為，選項A錯誤；，平面BDC，平面BDC，平面BDC，選項B正確；多面體的外接球即棱長為的正方體的外接球，外接球的半徑為，表面積為，選項C正確；點A，P旋轉(zhuǎn)角度相同，但旋轉(zhuǎn)半徑不同，所以運動的軌跡長不相等，選項D錯誤.故選：BC【點睛】思路點睛：本題的關(guān)鍵在于作出旋轉(zhuǎn)后的圖形，根據(jù)圖形研究相關(guān)的性質(zhì)，而正三棱錐中側(cè)棱兩兩互相垂直，圖形放到正方體中，又使判斷線面位置關(guān)系和運算變得更簡便.17．（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，沿對角線將△折起到△的位置，使得平面平面，下列說法正確的有（

）A．三棱錐四個面都是直角三角形 B．平面平面C．與所成角的余弦值為 D．點到平面的距離為【答案】ABD【分析】先根據(jù)勾股定理判斷，再由面面垂直得線線垂直，可判斷A、B，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可計算線線角判斷C，應(yīng)用向量法求點面距離可判斷D.【詳解】△中，，，由余弦定理得，故，所以，因為平面平面，平面平面，面，所以平面，平面，則；同理平面，因為平面，所以平面平面，A、B正確；以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，因為，，所以，即與所成角的余弦值為，C錯誤；由上知：，若為面的法向量，所以，令，則，而，則到平面的距離為，D正確.故選：ABD.18．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點M是棱長為l的正方體中的側(cè)面上的一個動點（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在點M滿足平面B．存在無數(shù)個點M滿足C．當(dāng)點M滿足時，平面截正方體所得截面的面積為D．滿足的點M的軌跡長度是【答案】BCD【分析】對于A：根據(jù)線面垂直關(guān)系可得，分析判斷；對于B：根據(jù)線面垂直關(guān)系可得，分析判斷；對于C：根據(jù)平行線的性質(zhì)以及利用空間向量分析運算求截面，進(jìn)而可求截面面積；對于D：利用空間向量求點M的軌跡，進(jìn)而求點M的軌跡長度.【詳解】對于選項A：連接，因為四邊形ABCD是正方形，所以，∵，且平面，所以，，平面，所以平面，且平面，可得，同理可證，，平面，所以，又點M是面上的一個動點（包含邊界），所以當(dāng)M與A1重合時，故A錯誤；對于選項B：連接，，，則，又因為，，，所以，可知當(dāng)M在線段上時，有故存在無數(shù)個點滿足，故B正確；對于選項C：延長交于點，∵，則為線段靠近點的三等分點，且，則，則為線段的中點，如圖，以D點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即，設(shè)平面，點，則，則，解得，則，故，可得，即，且，故截面面積，故C正確；對于選項D：因為正方體的棱長為l，所以設(shè)所以，，因為，所以化簡得：，所以點M的軌跡是一段以為圓心，半徑為的圓弧，設(shè)圓弧與分別交于點，取，則，即；取，則，即；則，則，且，即，∴軌跡長度是，故D正確．故選：BCD.19．（2023·江蘇·統(tǒng)考二模）在正四棱柱中，已知，，則下列說法正確的有（

）A．異面直線與的距離為B．直線與平面所成的角的余弦值為C．若該正四棱柱的各頂點都在球O的表面上，則球O的表面積為D．以A為球心，半徑為2的球面與該正四棱柱表面的交線的總長度為【答案】ACD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法求異面直線與的距離和直線與平面所成的角的余弦值，由此判斷A，B，再確定正四棱柱的外接球的球心和半徑求球的表面積判斷C，確定以A為球心，半徑為2的球面與正四棱柱表面的交線，求其長度判斷D.【詳解】由已知兩兩垂直，故以為原點，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故，，設(shè)向量，，則，取，可得，所以滿足條件的一個向量，所以向量在向量上的投影向量的模為，A正確；設(shè)平面的法向量為，，則，又，所以，令，則，所以為平面的一個法向量，又，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，則，又，所以，B錯誤；由正四棱柱的性質(zhì)可得其外接球的球心為的中點，為外接球一條直徑，因為，所以正四棱柱的外接球的半徑為，其表面積為，C正確；如圖，以A為球心，半徑為2的球面與該正四棱柱表面的交線由四段圓弧組成，由已知，，所以，所以圓弧的長為，因為，所以，所以圓弧的長為，又圓弧的長為，圓弧的長為，所以以A為球心，半徑為2的球面與該正四棱柱表面的交線的總長度為，D正確.故選：ACD.【點睛】【點睛】20．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知四棱柱的底面為正方形，，，則（

）A．點在平面內(nèi)的射影在上B．平面C．與平面的交點是的重心D．二面角的大小為【答案】ACD【分析】設(shè)，，，正方形的邊長為1，根據(jù)對稱性得到A正確，計算得到B錯誤，根據(jù)相似得到得到C正確，確定為二面角的平面角，計算得到D正確，得到答案.【詳解】設(shè)，，，正方形的邊長為1，則，，，對選項A：，，根據(jù)對稱性知，點在平面內(nèi)的射影在的角平分線上，即在上，正確；對選項B：，，，錯誤；對選項C：設(shè)，相交于，與交于點，即為與平面的交點，則，為中邊上的中線，故為的重心，正確；對選項D：連接與相交于，連接，根據(jù)對稱性知，又，平面，平面，故為二面角的平面角，，故，故，，，故，正確故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了空間幾何投影，垂直關(guān)系，二面角，意在考查學(xué)生的計算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力，其中，把空間關(guān)系的證明轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，可以簡化過程，是解題的關(guān)鍵.21．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點分別在半圓?。ň缓它c）上，且在球上，則（

）

A．當(dāng)點在的三等分點處，球的表面積為B．球的表面積的取值范圍為C．當(dāng)點在的中點處，過三點的平面截正四棱柱所得的截面的形狀都是四邊形D．當(dāng)點在的中點處，三棱錐的體積為定值【答案】BD【分析】先求出外接球的球心O所在的直線，根據(jù)幾何關(guān)系求出外接球半徑與Q點位置的關(guān)系，可以解出A，B選項，對于C選項，作平行線求出截面的形狀，對于D選項運用等體積法直接求解.【詳解】

如圖，設(shè)的中點為E，的中點為F，的中點為G，，由題意圓G和圓E的半徑均為1，，是直角三角形，平面，外接球的球心O必定在上，設(shè)，則，則，為外接球O的半徑，在中，由余弦定理得，又，，當(dāng)Q在圓弧三等分點處時，，，外接球的表面積，A錯誤；令，則，，B正確；對于C，如圖：

過Q點作的平行線，交于H，交AD于M，連接，過P點作的平行線交AB于N，連接MN，，五點共面，又N點在平面上，即平面與四棱柱的截面是五邊形，錯誤；對于D，P點在的中點，平面平面，則不論Q點在何位置，Q點到平面的距離，即三棱錐的高為1，，三棱錐的體積，D正確；故選：BD.22．（2023秋·江蘇蘇州·高三江蘇省梁豐高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，矩形中，為邊的中點，沿將折起，點折至處平面分別在線段和側(cè)面上運動，且，若分別為線段的中點，則在折起過程中，下列說法正確的是（

）

A．面積的最大值為B．存在某個位置，使得C．三棱錐體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為D．三棱錐體積最大時，點到平面的距離的最小值為.【答案】ACD【分析】A選項，利用三角形面積公式，，當(dāng)時，最大，且最大值為，故A正確；B選項，取的中點，易證，易判斷B錯誤；C選項，三棱錐體積最大時，平面，，找到球心求出半徑得解；D選項，由，得，所以點在以為球心，1為半徑的球面上，求出點到平面的距離得解.【詳解】對于A，由，，則，所以當(dāng)時，最大，且最大值為，故A正確；

對于B，取的中點，連接，顯然，且，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，又，且，為的中點，則與不垂直，所以與不垂直，故B錯；

對于C，易知三棱錐體積最大時，平面平面，交線為，作，因為平面，則平面，取中點，連接，，，則，由勾股定理可得，又，故點為三棱錐的外接球的球心，所以其外接球的半徑為，表面積為，故C正確；對于D，由選項C可知，，點在以為球心，1為半徑的球面上，設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，易知，，，，，，所以點到平面的距離的最小值為，選項D正確.故選：ACD.23．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）用一個平行于正三棱錐底面的平面去截正三棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做正三棱臺.如圖，在正三棱臺中，已知，則（

）

A．在上的投影向量為B．直線與平面所成的角為C．點到平面的距離為D．正三棱臺存在內(nèi)切球，且內(nèi)切球半徑為【答案】BCD【分析】根據(jù)投影向量的定義和線面角的定義以及線面平行線間的點到平面距離以及內(nèi)切球的大圓切面求法即可求解.【詳解】在上的投影向量即為在上的投影向量,即為，故A錯；

過作直線的垂線，交直線AC于點M，過作直線的垂線，交直線AC于點N，連接，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，同理可得，所以，平面，所以直線與平面所成的角為，故B正確；

取中點，因為，所以，所以，又平面，所以平面，所以點到平面的距離為，且，所以點到平面的距離等于點到平面的距離等于，故選項C正確；

取中點H，中點，的外心為，的外心為，過作垂線交于點，所以，，所以，所以，所以，即，故選項D正確；故選：BCD.24．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在邊長為2的菱形ABCD中，，將菱形ABCD沿對角線BD折成空間四邊形A'BCD，使得．設(shè)E，F(xiàn)分別為棱BC，A'D的中點，則（

）A． B．直線A'C與EF所成角的余弦值為C．直線A'C與EF的距離為 D．四面體A'BCD的外接球的表面積為【答案】AC【分析】對于A項，取CD中點G，構(gòu)建BD、的中位線，將EF放在直角三角形中，根據(jù)勾股定理求出EF長度；對于B項，確定平行線FG，與EF在同一個三角形中，求出FG與EF夾角余弦值即可；對于C項，根據(jù)線面平行判定定理確定平面，求出線面距離即為異面直線距離，作出平面EFG的垂線HN，通過勾股定理求解；對于D項，通過三角形邊長符合勾股定理確定均為直角三角形，根據(jù)直角三角形性質(zhì)確定外接球球心及半徑，即可計算外接球表面積.【詳解】設(shè)菱形ABCD中，AC與BD交于點O，取CD中點G，連接EG、FG，得到如下圖所示四面體.

在菱形ABCD中，，，則為等邊三角形，所以，.在空間四邊形中，，，則.因為ABCD是菱形，所以、，即在空間四邊形中，、，則平面，所以.對于A項：因為E、F、G分別為BC、、CD，所以且，且，因為，所以，則，故A項正確；對于B項：因為，所以直線與EF所成角為，又因為，所以，直線與EF所成角的余弦值為，故B項錯誤；對于C項：因為，平面，所以平面，設(shè)與OC交于點H，因為為等邊三角形、，所以CO為的中線，又因為EG為中位線，所以H為中點.作于點M、于點N，則且、，又因為平面、，所以平面,平面，所以，則平面，即HN為到平面距離.如下圖所示，在等腰中，，則點H到直線距離為，即直線與平面距離為，又因為平面，所以直線與EF的距離為，故C項正確；

對于D項：因為、，所以均為直角三角形，取中點P，由直角三角形性質(zhì)可得，則P點為四面體的外接球球心，外接球半徑，則外接球表面積為，故D項錯誤.故選：AC.25．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃┮阎襟w的棱長為1，為棱（包含端點）上的動點，下列命題正確的是（

）A．B．二面角的大小為C．點到平面距離的取值范圍是D．若平面，則直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ACD【分析】根據(jù)幾何體為正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)后利用數(shù)量積可判斷A的正誤，求出平面的法向量和平面的法向量可利用數(shù)量積計算夾角的余弦值后可判斷B的正誤，利用點到平面的距離的公式計算后可判斷C的正誤，最后利用直線和平面的法向量計算線面角的正弦值后可判斷D的正誤.【詳解】

由正方體可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，其中，對于A：，故即，故A正確.對于B：，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.故，而二面角為銳二面角，故其余弦值為，不為，故二面角的平面角不是，故B錯誤.對于C：，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，故.而，故到平面的距離為，故C正確.對于D：設(shè)直線與平面所成的角為.因為平面，故為平面的法向量，而，故，而，故D正確.故選：ACD.【點睛】思路點睛：空間中位置關(guān)系的判斷、角的計算或范圍的判斷，可結(jié)合幾何體的規(guī)則性建立合適空間直角坐標(biāo)系，通過向量的共線、向量的數(shù)量積等來判斷位置關(guān)系，通過平面的法向量、直線的法向量等來處理相關(guān)角的計算或范圍問題.26．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體中，，，分別為棱，，的中點，為的中點，是平面內(nèi)異于點的一點，則（

）A．存在點，使得直線與平面相交B．對任意點均有C．線段長度的最小值為D．過的平面截三棱錐的外接球所得的截面面積可能為【答案】BCD【分析】A選項，建立空間直角坐標(biāo)系，得到平面與平面的法向量，得到平面平面，從而A錯誤；B選項，由得到B正確；C選項，求出點到平面的距離，得到C正確；D選項，作出輔助線，得到三棱錐的外接球半徑，進(jìn)而得到三棱錐的外接球截面的最大面積和最小面積，從而得到D正確.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，A選項，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，由于，故平面平面，因為平面，所以平面，故不存在點，使得直線與平面相交，A錯誤；B選項，，因為，故，因為平面，故對任意點均有，B正確；C選項，點到平面的距離，故線段長度的最小值為，C正確；

D選項，連接，與平面相交于點，其中，故與平面垂直，由C選項可知，，連接，則，又，故三棱錐為正三棱錐，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，由勾股定理得，即，解得，則三棱錐的外接球的最大截面面積為，連接，當(dāng)截面與垂直時，此時截面面積最小，由于，所以，則此時截面半徑為，故過的平面截三棱錐的外接球所得的最小截面面積為，因為，故過的平面截三棱錐的外接球所得的截面面積可能為，D正確；

故選：BCD【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于內(nèi)切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于外接的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑.27．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）圓柱高為1，下底面圓的直徑長為2，是圓柱的一條母線，點分別在上、下底面內(nèi)（包含邊界），下列說法正確的有（

）．A．若，則點的軌跡為圓B．若直線與直線成，則的軌跡是拋物線的一部分C．存在唯一的一組點，使得D．的取值范圍是【答案】BC【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩點間距離公式以及向量夾角公式列式計算可得點的軌跡方程判斷選項A和選項B，假設(shè)，根據(jù)勾股定理列式結(jié)合均值不等式計算最值，即可判斷選項C，計算的最大值判斷選項D.【詳解】對B，如圖，不妨以為原點，以的垂直平分線，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，由題意，，化簡得，，由于點在上底面內(nèi)，所以的軌跡是拋物線的一部分，故B正確；對A，，化簡得，即點的軌跡為橢圓，故A錯誤；

對C，設(shè)點在下平面的投影為，若，則，則，當(dāng)在線段上時，可取最小值，由均值不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即，而點只有在與點重合時，才能取到，此時點與點重合，點與點重合，故C正確；對D，當(dāng)點與點，點與點重合，的值為，故D錯誤.故選：BC【點睛】判斷本題選項B時，利用定義法計算線線所成的角不好計算時，可通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量夾角的計算公式列式計算.28．（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測）棱長為1的正方體中，點為線段上一點（不包括端點），點為上的動點，下列結(jié)論成立的有（

）A．過的截面截正方體所得的截面多邊形為等腰梯形B．的最小值為C．當(dāng)點為線段中點時，三棱錐的外接球的半徑為D．兩點間的最短距離為【答案】ABD【分析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)可判斷A；將兩半平面折成一個平面，從而求得線段和的最小值，判斷B；確定三棱錐的外接球的球心位置，列式求解，可判斷C；求解異面直線的公垂線段的長可判斷D.【詳解】在正方體中，平面平面，

設(shè)過的截面截正方體所得的截面為，M為截面與的交點，因為平面平面，平面平面，所以，又，故，即∽，而，則，又點為線段上一點（不包括端點），，即過的截面截正方體所得的截面多邊形為等腰梯形，A正確；根據(jù)正方體性質(zhì)可知≌，

故可將沿轉(zhuǎn)到和重合位置，則的最小值為的長，而正方體棱長為1，故，即的最小值為，B正確；當(dāng)點為線段中點時，設(shè)的中點為N，連接，

由于，故，連接交于G，連接，則四邊形為矩形，故，平面，故平面，又，則N為的外心，故三棱錐的外接球的球心在上，設(shè)為H，而,，則，設(shè)三棱錐的外接球半徑為r，則，解得，C錯誤；當(dāng)分別為的中點時，由C的分析可知Q位于N點位置，此時，即此時間距離最短，最短距離為，D正確，故選：ABD【點睛】難點點睛：本題綜合考查了幾何體截面問題、線段和最小以及外接球半徑和異面直線間的最短距離問題，難度較大，解答時要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的位置關(guān)系，特別是求外接球半徑時，要確定球心位置，再列式求解.29．（2023秋·江蘇南京·高三南京市第九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，點分別在線段和上．給出下列四個結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號是（

）

A．的最小值為1B．四面體的體積為C．存在無數(shù)條直線與垂直D．點為所在邊中點時，四面體的外接球半徑為【答案】AC【分析】由公垂線的性質(zhì)判斷A；由線面平行的性質(zhì)及錐體的體積公式判斷B；根據(jù)線面垂直的判定及面面平行的判定定理結(jié)合條件判斷C；利用坐標(biāo)法，根據(jù)正弦定理及球的性質(zhì)結(jié)合條件可求四面體的外接球半徑判斷D.【詳解】對于A：因為是正方體，所以平面，平面，又因為平面，平面，所以，，即是與的公垂線段，因為公垂線段是異面直線上兩點間的最短距離，所以當(dāng)分別與重合時，最短為1，故A正確；對于B：因為是正方體，所以平面平面，且平面，所以平面，當(dāng)點在上運動時，點到平面的距離不變，距離，由可知，當(dāng)點在上運動時，到的距離不變，所以的面積不變，所以，所以B錯誤；對于C：連接，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，當(dāng)不在線段端點時，過作交于，過作交于，平面交線段于，

因為平面，平面，故平面，同理平面，又平面，所以平面平面，故平面，又平面，所以，因為點在線段上，所以存在無數(shù)條直線與垂直，故C正確；對于D：如圖以點為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，

故的外接圓半徑為，所以可得等腰的外接圓圓心為，設(shè)四面體的外接球球心為，則平面，所以可設(shè)四面體的外接球球心為，由，可得，解得，所以四面體的外接球的半徑為，故D錯誤.故選：AC．【點睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑．三、填空題30．（2023·江蘇徐州·江蘇省沛縣中學(xué)?？寄M預(yù)測）在三棱錐中，，且，則直線PC與平面ABC所成角的余弦值為.【答案】【分析】先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理證得面，從而得到為直線PC與平面ABC所成角的平面角，再利用余弦定理與勾股定理求得，從而求得，由此得解.【詳解】記的中點為，連結(jié)，過作交的延長線于，如圖，因為，為的中點，所以，因為，，，所以，則，又為的中點，所以，因為面，所以面，又面，所以，因為，面，所以面，所以為直線PC與平面ABC所成角的平面角，不妨設(shè)，在中，，則，，在中，，在中，，則，即，故，在中，，所以在中，，又，則，即，所以，所以，故直線PC與平面ABC所成角的余弦值為.故答案為：.31．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在棱長為6的正四面體中，已知點為該四面體的外接球的球心，則以為球心，為半徑的球面與該四面體的表面形成的交線長為．【答案】/【分析】求出球心到平面的距離，確定截面圓的半徑，計算截面圓與交線的長度，從而求得球面與該四面體的表面形成的交線長.【詳解】取的中點，的中心，則，，．因為，所以，．設(shè)球面與平面形成的交線上一點，則，即，所以．所以點在以為圓心，為半徑的圓上，如圖2：設(shè)此圓與的邊交于，與邊交于，于，于，由得同理又所以所以球面與底面形成的交線是三段圓心角為的圓弧，所以結(jié)合對稱性可知球面與該四面體的表面形成的交線長度為．故答案為：【點睛】方法點睛：平面截球所得軌跡長度求法：先作球心到平面的垂線，垂足即為截面圓的圓心，可以建立球半徑與截面圓半徑的關(guān)系：，若截面只是多邊形，需要計算截面圓與多邊形的交線，可用平面幾何求解.32．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級中學(xué)?？级＃┰谡睦馀_中，，，M為棱的中點，當(dāng)正四棱臺的體積最大時，平面截該正四棱臺的截面面積是.【答案】【分析】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，，過作，該四棱臺的高，可求得該四棱臺的體積為，利用基本不等式可得該四棱臺的體積的最大值，此時，，.取，的中點，，連接，，可得平面就是截面，求解即可.【詳解】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，，過作，該四棱臺的高，在上下底面由勾股定理可知，.在梯形中，，所以該四棱臺的體積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，，.取，的中點，，連接，，顯然有，由于平面，平面，所以平面，因此平面就是截面.顯然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，設(shè)，，則，，所以梯形的面積為.故答案為:.【點睛】總結(jié)點睛：解決與幾何體截面的問題，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）根據(jù)空間中的線面關(guān)系，找到線線平行或者垂直，進(jìn)而確定線面以及面面關(guān)系，（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求長度下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于長度的方程，并求解.33．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）三棱錐中，，為邊長為2的等邊三角形，二面角的余弦值為，①三棱錐的體積最大為；②當(dāng)三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積為.【答案】【分析】空1：根據(jù)題意利用三垂線定理找出二面角的平面角，即可求出三棱錐的高，然后利用利用基本不等式即可確定三棱錐的體積最大值；空2：根據(jù)題意求出各棱的長度，最后根據(jù)球的幾何性質(zhì)，利用球心距、半徑和底面半徑之間的關(guān)系即可求出三棱錐的外接球的表面積.【詳解】空1：過點作平面ABC，垂足為E，過點E作，交AC于點D，連接PD，因為平面ABC，且平面ABC，則，，平面，可得平面，且平面，則，則為二面角的平面角的補角，即,因為，且三角形PAC為等邊三角形，則D為AC的中點，設(shè)，則，可得，故三棱錐的體積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故三棱錐體積的最大值為；空2：若三棱錐體積取到最大值，則三點共線，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，半徑為，過點作于，則四邊形為矩形，可得，在Rt中，因為,解得,所以三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：；．

【點睛】方法點睛：多面體與球切、接問題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解；（2）若球面上四點P、A、B、C構(gòu)成的三條線段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長；（4）球和正方體的棱相切時，球的直徑為正方體的面對角線長；（5）利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．34．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知菱形ABCD的邊長為1，，將沿AC翻折，當(dāng)三棱錐表面積最大時，其內(nèi)切球表面積為.【答案】【分析】求內(nèi)切球的表面積，只需根據(jù)等體積法求出內(nèi)切球的半徑即可求解.【詳解】

因為菱形的四條邊相等，對角線互相垂直三棱錐中，面與面的面積是確定的，所以要使三棱錐表面積最大，則需要面與面最大即可，而且；，當(dāng)時，取得最大值.過點向平面作垂線，設(shè)的中點為垂足為，

因為，，所以由余弦定理知，所以，易得.所以.因為，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則根據(jù)等體積法，有：，即，解之得，所以其內(nèi)切球的表面積為故答案為：35．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知四面體各頂點都在半徑為3的球面上，平面平面，直線與所成的角為，則該四面體體積的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，探求四面體體積的表達(dá)式，并確定體積最大時四面體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合球半徑、球心到平面和平面的距離及長表示出最大體積的關(guān)系式，再利用均值不等式、導(dǎo)數(shù)求最值求解作答.【詳解】在中，過作于，連接，因為，平面，則平面，顯然平面，有，而平面平面，則，四面體的體積，

當(dāng)長固定時，經(jīng)過的外接圓圓心時，最大，此時為中點，并且經(jīng)過外接圓圓心，四面體的體積最大，令四面體外接球球心為，連接，則平面，平面，令，顯然四邊形是矩形，于是，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，，因此，令，，由，得，當(dāng)時，，時時，，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，取得最大值，因此的最大值為.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.36．（2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)?？既＃┮阎?/p>