2023年上海市崇明區(qū)初三3月線下中考一模數學試卷含詳解

2023年3月學業(yè)質量調研

九年級數學

（滿分150分，時間100分鐘）

一、選擇題：（本題共6題，每小題4分，滿分24分）每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.兩個矩形B.兩個菱形C.兩個正方形D.兩個等腰梯形

2.將函數y=α√+法+c（α≠o）圖像向右平移2個單位，下列結論中正確的是（）

A.開口方向不變B.頂點不變C.對稱軸不變D.與y軸的交點不變

3.在Rt二ASC中，NC=90°,A3=4,AC=3,那么COSA的值是（）

3√7-34

A.-B.?-C,-D.-

5443

4.已知e為單位向量，向量α與e方向相反，且其模為H的4倍；向量8與e方向相同，且其模為H的2倍，則

下列等式中成立的是（）

11-

Aa=2bB?a=—2bC.?D.a=~~b

5.四邊形ABC。中，點尸在邊AO上，■的延長線交CQ的延長線于E點，下列式子中能判斷AZ）〃BC的

式子是（）

FDEDrAFBFCAB_AFCEFED

A.-----——------B.-----——------D.-----——------

BCECDFEF~ED~~FDBEEC

6.如圖，在＜48。中,CDA.AB,垂足為點O,以下條件中不能推出,ABC為直角三角形的是（）

CDBDAB_BCACAD

A.ZA=ZBCDB.--------------C~BC~~BDD.-----=------

ADCDBCBD

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.若γ3=V3且DC≠0,則x+一y=.

23y

8.計算：5a—3（2a—Z?）=.

9.點P是線段MN的黃金分割點，如果MN=IoCm,那么較長線段MP的長是cm.

10.如果拋物線y=（〃L2）f有最高點，那么加的取值范圍是.

11.如果拋物線y=2Y一灰+1的對稱軸是y軸，那么它的頂點坐標為.

12.己知點4（—2,y）、3（—3,%）為二次函數丁=（》+1）2圖像上的兩點，那么Xy2?（填“>”、

“=”或）

13.若兩個相似三角形周長比是4：9,則對應角平分線的比是.

14.飛機離水平地面的高度為3千米，在飛機上測得該水平地面上的目標A點的俯角為α,那么此時飛機與目標

A點的距離為千米.（用。的式子表示）

15.如圖，在梯形ABCO中，AD/∕BC,NB=ZAer）=90°,"=45°,則迫C=.

16.如圖，4ABC的兩條中線AZ）和8E相交于點G,過點E作所〃BC交A。于點凡那么——=

AG

17.如圖，菱形ABe。的邊長為8,E為8C的中點，AF平分NE4D交Co于點F,過點尸作/=6〃AZ）,

18.如圖，在RtZ?A3C中，NC=90°,AC=4,8C=3,點。在AC邊上，點E在射線AB上，將VADE沿

DE翻折，使得點A落在點A處，當AT）_LAC且C4'〃A3時，BE長為.

B

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.計算：4cos300-cot45otan600+2sin2450

20.如圖，在梯形A88中，AD//BC,且BC=34）,過點A作A七〃。C,分別交BCBD于點

E、F,若A5=α,5C=0.

（1）用以6表示8。和AF；

（2）求作B尸在aS方向上的分向量.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結論的分向量）

3

21.如圖，。是上WC邊上的一點，CD=2AD,AELBC,垂足為點E，若AE=9,SinNCBo=2.

（1）求Bo的長；

（2）若BD=CD,求tan∕B4E的值.

22.如圖，一根燈桿AB上有一盞路燈A,路燈A離水平地面的高度為9米，在距離路燈正下方B點15.5米處有

4

一坡度為i=l：g的斜坡CD,如果高為3米的標尺E/豎立地面BC上，垂足為尸，它的影子的長度為4米.

圖1圖2

（1）當影子全在水平地面BC上（圖1）,求標尺與路燈間的距離；

（2）當影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡。。上（圖2）,求此時標尺與路燈間的距離為多少米？

23.已知：如圖，在梯形ABCf)中，AD//BC,ADBC,對角線AC與BO交于點/，點G是AB邊上的中

2

點，連接CG交8。于點E,并滿足以不=GE?GC.

(1)求證：ZGAE=ZGCA;

(2)求證：AD-BC=2DF?DE

3

24.如圖，在直角坐標平面Xoy中，對稱軸為直線X=1的拋物線曠=加+a+2經過點A(4,0)、點M(I,加),

與y軸交于點B.

(1)求拋物線的解析式，并寫出此拋物線頂點。的坐標；

(2)聯結Aδ,AM,BM,求SABM；

(3)過M作X軸的垂線與AB交于點P,Q是直線MP上一點，當-BMQ與,.AMP相似時，求點。的坐標.

25.已知RtΔA5C中，NBAC=90°,AB=AC=4,AO〃Be,點E為射線上的一個動點(不與A重

(2)在(1)的情況下，射線C4與BE的延長線交于點。，設AE=X,QF=y,求y關于X的函數解析式，并

寫出定義域；

(3)當BE=3時，求CF長.

2023年3月學業(yè)質量調研

九年級數學

（滿分150分，時間100分鐘）

一、選擇題：（本題共6題，每小題4分，滿分24分）每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.兩個矩形B.兩個菱形C.兩個正方形D.兩個等腰梯形

【答案】C

【分析】根據相似圖形的定義，四條邊對應成比例，四個角對應相等，對各選項分析判斷后利用排除法解答.

【詳解】A、兩個矩形四個角相等，但是各邊不一定對應成比例，所以不一定相似，故不符合題意；

B、兩個菱形，對應邊成比例，對應角不一定相等，不符合相似的定義，故不符合題意；

C、兩個正方形，對應角相等，對應邊一定成比例，一定相似，故符合題意；

D、兩個等腰梯形同一底上的角不一定相等，對應邊不一定成比例，不符合相似的定義，故不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了相似形的定義，熟練掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性質是解題的關鍵.

2.將函數y=0√+加+c（α≠0）的圖像向右平移2個單位，下列結論中正確的是（）

A.開口方向不變B.頂點不變C.對稱軸不變D.與V軸的交點不變

【答案】A

【分析】根據二次函數圖象的平移規(guī)律：左右平移，X改變：左加右減，y不變，即可判定B、C、D選項錯誤；開

口方向與。有關，“不變，則開口方向不變，則A正確.

【詳解】開口方向與。有關，。不變，則開口方向不變，A選項正確；

左右平移，X改變，則頂點改變，B選項錯誤；

左右平移，X改變，則對稱軸改變，C選項錯誤；

左右平移，X改變，則與了軸的交點改變，D選項錯誤.

故答案為：A.

【點睛】本題考查了二次函數圖象的平移規(guī)律：左右平移，X改變：左加右減，y不變；上下平移，X不變，》改

變，上加下減；同時考查了二次函數圖象開口方向，開口方向與。有關，“不變，則開口方向不變.

3.在RtABC中，NC=90°,A3=4,AC=3,那么COSA的值是（）

3√734

A.-B.—C.-D.-

5443

【答案】C

【分析】先畫出圖形，再由銳角三角函數定義求解即可.

AΓ3

【詳解】解：CoSA=—=—,

AB4

故選：C.

?.'1

【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，解答本題的關鍵是余弦的定義.

4.已知e為單位向量，向量&與e方向相反，且其模為H的4倍；向量人與e方向相同，且其模為H的2倍.，則

下列等式中成立的是（）

--I,1,

Aa=2bB.a=—2bC?a~~^D.a=~~b

【答案】B

［分析］根據平面向量的性質得到d=Te,b=2e，從而得到a=-2b-

【詳解】解：根據題意知，α=Te,b=2e，

貝IJe=---α,e=-b,

42

則a=-2。，觀察選項，只有選項B符合題意.

故選：B.

【點睛】此題考查了平面向量的知識.此題比較簡單，注意掌握單位向量的知識.

5.四邊形ABCQ中，點F在邊AD上，版的延長線交CZ）的延長線于E點，下列式子中能判斷AO〃BC的

式子是（）

FDEDAFBFCAB_AFEFED

A.B.----——-----D.----——-----

~BC~~ECDFEF'~ED~~FDBEEC

【答案】D

【分析】根據相似三角形的判定與性質、平行線的判定方法逐項判斷即可.

FDED

【詳解】解：A.—=——，結合NEED=NBEC不能證明右FEZABEC,不能推出NMD=N,因

BCEC

此不能判斷4）〃BC,不合題意;

?pBF

B.——=——，結合HB=ND-石，可證一可得NA=NH）E，可以判斷A8〃DC,不能判

DFEF

斷A￡>〃BC,不合題意;

ABAF

C.—,結合ZAFB=ZDFE,不能證明AAyBS二￡）方打，不能判斷Ai9〃。。，也不能判斷

AD//BC,不合題意;

EFFD

D.—=—,結合NKED=NBEC可證，FED^BEC,推出NEFD=NEBC,能夠判斷AO〃BC,符

BEEC

合題意;

故選D.

【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法.

6.如圖，在中，CDA.AB,垂足為點D,以下條件中不能推出UWC為直角三角形的是（）

CDBDAB_BCACAD

A.ZA=ZSCDB.-------------C~BC~~BDD.-------------

ADCDBCBD

【答案】D

【分析】此題根據直角三角形的定義和相似三角形的判定方法判斷即可.

【詳解】A.因為NA=ZBCZ）,ZA+ZACD=90°,所以NSC。+/48=90°,即一ABC為直角三角

形，故A正確.

B.因為02=的，而且NBOC=NADC=90°,所以ZkADCS那么NB=NACD,因為

ADCD

ZS+ZBCZ）=90°,所以NBCD+NACD=90°,即ABC為直角三角形，故B正確.

ΛDBC

C.因為——=——，而且NB=N所以CCoBSAe8,那么NACB=NBOC=90。，即ABC為直角三

BCBD

角形，故C正確.

AQΛΓ)

D.—=——，而且NBoC=NADC=90°,所以△">CS?sg,因為CD=Cr),所以兩三角形全等,

BCBDJz

只能說明一ABC為等腰三角形，無法說明是直角三角形，故D錯誤.

故選：D

【點睛】此題考查相似三角形，解題關鍵是熟練掌握相似三角形的判定方法.

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.若］=］，且孫工0,則T

5,2

【答案】-##1-

33

由等式兩邊同時除以占X2

【分析】可得一二彳，進而根據分式的性質求解即可

y3

【詳解】灣,且孫≠o,

x2

—二—

y3

故答案為：I

3

【點睛】本題考查了分式的性質，等式的性質，掌握分式的性質是解題的關鍵.

8.計算：5a-3(2a-b^=.

【答案】-a+3b

【分析】直接利用實數與向量相乘及平面向量的加減運算法則去括號求解即可求得答案.

【詳解】解：5a-3(2a-b^

=5a-6a+3h

=-ci+3b`

故答案為：-α+30?

【點睛】此題考查了平面向量的運算法則.注意掌握去括號時的符號變化是解此題的關鍵.

9.點尸是線段MN的黃金分割點，如果MN=IOCm,那么較長線段MP的長是cm.

【答案】(5百—5)

【分析】根據黃金分割點的定義，得到竺I=正二1,求解即可.

MN2

【詳解】解：由題意，得：二1,即："￡=立二1,

MN2102

.?.MP=(5√5-5)cmi

故答案為：(5√5-5).

【點睛】本題考查黃金分割點.熟練掌握黃金分割點的定義，是解題的關鍵.

10.如果拋物線y=(m-2)f有最高點，那么m的取值范圍是.

【答案】m<2

【分析】根據二次函數y=(m-2)f有最高點，得出拋物線開口向下，即m—2<0,即可得出答案.

詳解】解：：拋物線y=(加一2)f有最高點，

???拋物線開口向下，

m-2<0，

.*.m<2,

故答案為：m<2.

【點睛】此題主要考查二次函數的圖象與性質，解題的關鍵是熟知二次函數的最值與開口方向的特點.

11.如果拋物線y=2f-"+i的對稱軸是y軸，那么它的頂點坐標為.

【答案】（Ql）

【分析】由題意知X=——=0,即可解得拋物線為y=2∕+i,將X=O代入即可求得頂點坐標.

2a

【詳解】解：?.?y=2f一法+1的的對稱軸是y軸,

?b~b∩

Ia2x2

解得：h=0

二拋物線為：y=2x2+↑,

2

將X=O代入y=2∕+ι得：y=2×0+l=l,

.?.頂點坐標為（0』）.

故答案為：（0,1）.

h

【點睛】本題主要考查了二次函數的圖象及其性質，二次函數y=GJ+∕χ+c的對稱軸為直線X=——,與）,軸

72a

的交點為（0,c）.

12.已知點A（—2,y）、3（—3,%）為二次函數丁=（》+1）2圖像上的兩點，那么My2.（填“>”、

“=”或）

【答案】<

【分析】由于知道二次函數的解析式，且知道A、B兩點的橫坐標，故可將兩點的橫坐標代入二次函數解析式求出

%、為值，再比較即可

【詳解】解：當x=-2時，

X=（-2+1）2=1,

當X=—3時，

%=（-3+1）2=4,

X<%?

故答案為：<.

【點睛】本題考查了二次函數圖像上的兩點y值的大小，這類題目的一種算法是將兩點的橫坐標代入二次函數解

析式求出y值.

13.若兩個相似三角形的周長比是4：9,則對應角平分線的比是.

【答案】4:9

【詳解】試題解析：兩個相似三角形的周長比是4:9.

這兩個三角形的相似比是4:9.

對應角平分線的比等于相似比,是4:9.

故答案是：4:9.

點睛：相似三角形的周長比等于相似比.對應角平分線，中線，高之比都等于相似比.面積比等于相似比的平方.

14.飛機離水平地面的高度為3千米，在飛機上測得該水平地面上的目標A點的俯角為α,那么此時飛機與目標

A點的距離為千米.（用α的式子表示）

3

【答案】--

s?na

【分析】構造直角三角形，利用銳角三角函數表示邊長即可.

【詳解】如圖所示，飛機在8點處，AC為水平線，則3C±AC

BD//AC

Z.BAC-ZABD-a

,BC33

.?.sina=——=——，解得AB=------

ABABSina

3

故答案為：--

C：?A

【點睛】此題考查解直角三角形，解題關鍵是知道俯角是哪個角，然后利用正弦值求解.

S

15.如圖，在梯形ABCO中，AD/∕BC,/B=NACD=90°,ND=45°,則產C=

【答案】y##05

ΛΓ

【分析】證明，ABCSACr＞，AC與AO為對應邊，相似三角形的面積比等于相似比的平方，因此只需求出二三

即可.

【詳解】解：∕A8=90°,ZD=45o,

NC4Z>=NO=45°,

ACCD,

AD=yjAC2+CD2=√2AC?

,AC√2

?----=----.

AD2

AD//BC,

ZBC4=NCAD=45。，

又ZB=ZACD=90o,

ABC^.ACD,AC與AO為對應邊,

.SAAfl2j餌11

,Sg[AD)[2J2

故答案為：?.

【點睛】本題考查勾股定理、等腰三角形的判定、相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握相似三角形的面

積比等于相似比的平方.

FG

16.如圖，4ABC的兩條中線和BE相交于點G,過點E作EF〃BC交AD于點F,那么F=.

AG

4

【分析】根據重心的性質得到AG=2DG,BG=2GE,根據平行線分線段成比例定理計算即可.

【詳解】解：YAABC的兩條中線AD和BE相交于點G,

點G是aABC的重心，

.?.AG=2DG,BG=2GE,

VEF√BC,

.FG_EGX

故答案為T.

【點睛】本題考查的是三角形的重心的概念和性質、平行線分線段成比例定理的應用，三角形的重心是三角形三

條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍.

17.如圖，菱形ABCD的邊長為8,E為BC的中點，A尸平分NE4。交Co于點尸，過點尸作EG〃AD,

交AE于點G,若CoS8=工，則FG的長為.

【分析】作A”垂直BC于”，延長AE和QC交于點時，然后通過證明A”是BE的垂直平分線，進而證明

MGFMEC,即可得出答案.

【詳解】如圖，作A”垂直BC于“，延長AE和。。交于點M，

菱形ABCo的邊長為8,

.AB=AD=BC=8，

CBH1

COSD==—,

AB4

???BH=2,

E為BC的中點，

BE=CE=4,

EH=BE-BH=2,

；?AH是BE的垂直平分線，

AE—AB=8，

BE=CE,ZAEB=ZCEM,

又AB//DM,

.?./B=/MCE,

-NABE^MCE

AE=AB=EM=CM=8,

設GF-x,

AZ7平分ZE4T),

ZGAF=ZFAD,

又FG//AD,

ZGFA=ZFAD,

■.ZGAFZAFG,則AG=G/,

則AG=X,GE=S-x,

GF//BC,

^MGF_MEC,

,4_8

,?一=，

X16-x

解得：X=—

3

故答案為：—.

3

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質使用、垂直平分線的性質以及菱形的性質，作輔助線是本題的

關鍵.

18.如圖，在RtzλA8C中，NC=90°,AC=4,8C=3,點。在AC邊上，點E在射線AB上，將VA￡>E沿

OE翻折，使得點A落在點A'處，當A。_LAC且C4'〃AB時，的長為.

254

【答案】—##3-

77

【分析】求出tan4=gg=3,勾股定理求出AB，根據題意，易得：AD=AD'>

AC4

?,Γ)3

tanZDCA'=IanA=——=-,進而求出A。,CD的長，過H作A'”〃AC,過點E作EHLA'H,過點8

CD4

作BM上EH，交EH于點、M,延長BC交A歸于點N,易得四邊形ANCD,四邊形NHA/均為矩形，分別

FM3

求出AN,CN,M",得到tanNEBM=tanA=——=-,設EM=3x,=4x,貝ij：BE=5x,分別用含X

BM4

的式子，表示出AE,E",A'H,利用勾股定理求出X的值，進而得解.

【詳解】解：在RtAABC中，NC=9()o,AC=4,5C=3,

I-------------“BC3

?AB^^AB2+BC2=5；tanA=-?-,

AC4

???將VAr)E沿Z)E翻折，使得點A落在點A'處，當A。，AC且C4'〃AS,

???A0=AO',NeZM'=90。,NoG4=ZA,

,A'D3

tanZDCA=tanA=-----=—,

CD4

3

.?.AD=ArD=-CD,

4

3

.?.AD+CD=-CD+CD=AC=4,

4

.?.AD=A'D=-

7

過A作A'H〃AC,過點E作石Hj_A7f,過點8作BΛ∕J>EH,交EH于點M,延長BC交A'”于點N,

E

VZC=90o,

.,.ABNA!=ADCN=ZCNH=90o,

.?.四邊形A1NCD,四邊形NHMB均為矩形，

.?.A'N=CD=-,CN=A'D=-,MH=BN=BC+CN=-,BM//NH//AC,

777

NEBM=ZA，

/lc*..EM3

tanZ.EBM=tanA=-----=—,

BM4

設EM=3x,5M=4x,則：BE=5χ,

ΛAE=AB+BE=5+5x,A'H=A'N+NH=A'N+BM=-+4x,EH=EM+MH=-+3x,

77

連接AE,貝I：AE=AE=5+5x,

、2、2

3+4X+史+3x

在Rt-ATffi中,A!E2=AH2+EH2即:（5+5x）2

I7

777

解得：X——,

7

25

BE=5×-

7T

故答案為：—.

7

【點睛】本題考查折疊的性質，矩形的判定和性質，解直角三角形.本題難度大，綜合性強，根據題意，準確的

作圖，構造特殊圖形，是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）

19.計算：4cos300-cot45otan600+2sin245°

【答案】l+√3

【分析】因為cos30。=且，cot45M,tan60o=√3-sin450=—，然后代入計算式即可得出答案.

22

【詳解】CoS30°=，^，cot45o=l.tan60o=V3>sin45°=?^,

22

n（萬丫

.?.原式=4xt—1XG+2X—=l+√3,

2I2）

故答案為：1+J5?

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數值，熟記特殊角的各種三角函數值是解題的關鍵.

20.如圖，在梯形ABCz）中，AD//BC,且BC=3AD,過點A作AE〃OC,分別交BC、BD于點

E、F,若AB=a,BC=b.

A_D

Aκ

（1）用α力表示8。和AF；

（2）求作BF在αg方向上的分向量.（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結論的分向量）

.12I-

【答案】（1）BD=-b-a,AF^-h+-a

393

（2）見解析

【分析】（1）利用向量的表示方法，由Bo=B4+AO即可求出80,利用平行線分線段成比例，求出AF=；AE,

即可求出AF；

（2）過點F1作G尸〃BC交AB于點G,FH〃AB交BC于點、H,則BG、即為所求.

【小問1詳解】

解：AB=-BA

BD=BA+AD=-AB+AD

AB=a,BC=b,BC=3AD

111

:.BD=-AB+AD^-AB+-BC--a+-h=-h-a

333

AD//BC,AE//DC

.?.四邊形ADCE是平行四邊形，AD=EC,AE=DC

BC=3AD,

BC=3EC,

.?.BE=2EC,

AD=EC,

BE=2AD?

?AD∕/BC,

；.二ADFs..EBF

.λd-λf_1

,~BE~^FE~2,

：.AF=-AE,

3

AE=DC,

：.AF=-AE^-DC=-(DA+AB+BC?=-(-AD+AB+BC?,

333、>3v>

AB=a,BC=b,BC=3AD,

.?.AF=-?--BC+AB+Bc]^-?-BC+AB?^-?-b+a?=-b+-a,

3(3J3(3)3UJ93

【小問2詳解】

解：如圖所示，過點r作G/〃BC交AB于點G,FH〃AB交BC于點、H,

BF在a、b方向上的分向量如圖所示，BG-BH即為所求；

【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，平面向量的線性計算，掌握平面向量的線性計算解題的關

鍵.

3

21.如圖，。是邊上的一點，CD=2A。,AELBC,垂足為點E,若A￡=9,SinZCBD=-.

（1）求BD的長；

（2）若BD=CD,求tanNB4E的值.

【答案】（1）8（2）J

9

r?τ~>-?

【分析】（1）作。E1BC于點F,通過AE〃。尸可得一?=——，求出。尸的長度，根據SinNC80=二，

ACAE4

即可求解；

（2）先利用勾股定理求出CE的長度，根據等腰三角形三線合一可得3斤=。尸，再根據平行線分線段成比例求出

EF,進而求由BE,即可求出tan∕54E的值.

【小問1詳解】

解：如圖，作"'1BC于點、F,

DF工BC,AELBC,

???AE//DF,

：.-C-D=-D--F,

ACAE

CD^2AD,

AC=AD+CD=3AD,

CDDF2

"AC^ΛE^3'

AE=9,

：.DF=-AE=6,

3

3

SinNCBQ=-,

4

DF3

.?.——=-,

BD4

44

.?.BD=-DF=—乂6=8；

33

【小問2詳解】

解：BD=CD=8,

由（1）知DF—6,

?.在Rt△。尸C中，CF=?JCDr-DF2=√82-62=2√7-

BD=CD,DF1BC,

?BF=CF=2√7，

AE//DF,

CFCDC

EFAD

EF=布,

?BE=BF-EF=S，

「/3.BE

AE9

【點睛】本題考查平行線的判定，平行線分線段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質等，難度

一般，解題的關鍵是利用平行線分線段成比例得出相應線段的比例關系.

22.如圖，一根燈桿AB上有一盞路燈A,路燈A離水平地面的高度為9米，在距離路燈正下方B點15.5米處有

（1）當影子全在水平地面BC上（圖1）,求標尺與路燈間的距離；

（2）當影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CO上（圖2）,求此時標尺與路燈間的距離為多少米？

【答案】（1）標尺與路燈間的距離為8米；

（2）此時標尺與路燈間的距離為14米.

【分析】（1）由題意可知，AB_L8C,EPLBC得到A8〃七尸，則4EFGs∕?ABG,把數值代入

EFFG

即可得到答案;

~?B~BF+FG

（2）連接AE交C。于點過點M作MNIBC交BC延長線于點N,過點M作MGLAB于點G,交EF

于點“，設CM=X米，則/7C=（4—x）米，可證明，AGMsGHM,得到必=也，求出

v7EHHM

AG=（9—∣x1米，GM=115.5+gx）米，E"=（3—∣x）米，HM=（^4-x+∣A代入比例式得到關于X

的一元二次方程，解方程求得X的值，即可得到答案.

【小問1詳解】

圖1

由題意可知，ABLBC,EFLBC,

'.AB//EF，

：.AEFGs必BG,

.EFFG

"~AB~BF+FG

由題意可知，E尸=3,AB=9,FG=4,

.3=4

,,9^BF+4

解得BF=8,

即標尺與路燈間的距離為8米；

【小問2詳解】

如圖，連接AE交Co于點M，過點M作MNJ.BC交BC延長線于點N,過點M作MG，AB于點G,交EF

圖2

???影子長為4米，

.?.FC+CM=4米,

設CM=X米，

.^.FC=(4-x)米，

?：BC=I5.5米,

?：AB?BC,EF±BC,

；?AB//EF，

：.ZAGH=AEHM,ZBAE=ZFEM,

：.UAGMSJEHM,

.AGGM

—''~EH~~HM,"

43

.?.CN=—X米，MN--x,

55

3

GB=彳X米,

：.AG=(9——X)米，GM=115.5+—龍)米，EH=(3—∣??τ)米，HM=f4-x+-?

34

9--x15.5+-x

5=5

o34

55

.,.2X2+9X-35=0.

解得芯=-7（不合題意，舍去），W=I

經檢驗X=-是方程的解且符合題意，

2

3

???尸。=4一次=一米，

2

.?.=15.5-之=14米，

2

.?.此時標尺與路燈間的距離為14米.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質、解分式方程、解直角三角形的坡度問題，熟練掌握相似三角形的

判定和性質是解題的關鍵.

23.己知：如圖，在梯形ABeO中，AD//BC,AD=-BC,對角線AC與80交于點/，點G是AB邊上的中

2

點，連接CG交BD于點E,并滿足BG?=GE.GC.

（1）求證：ZGAE=ZGCA;

（2）求證：AD?BC=2DF?DE

【答案】（1）見解析（2）見解析

【分析】（1）根據線段中點得出AG=BG,再由相似三角形的判定和性質證明一GC4sG4E即可；

（2）根據相似三角形的判定和性質得出NGBE=NGCB,再由（1）得NGAE=NGc4,利用三角形外角的性質

得出NA￡尸=NAC8,再由相似三角形的判定和性質得出AASdCB/，BF=2DF，繼續(xù)利用相似三角形的

判定得出「ADES_FBC,再由其性質即可證明.

【小問1詳解】

證明：：點G是AB邊上的中點，

.*.AG=BG，

BG2=GE.GC，

AG2=GE.GC

.AGGE

''~GC~~AG'

又：NCG4=NAGE,

?,?.-GCAoσ..GAE.

/GAE=NGCA.

【小問2詳解】

證明：=8G2=GE?GC,

.BGGE

,"GC~~BG'

又：/CGB=/BGE,

：.aGCBSGBE.

??.NGBE=NGCB.

由（1）得NGAE=/GCA,

?.?ZAEF=ZABE+ZBAE,ZACB=ZACG+NBCG,

?.ZAEFZACB,

?：AD//BC,

:?」ADFs^CBF.

?,AD=-BC,

2

.ADDFAF_]

''~BC~~BF~~CF~2,

??.BF=2DF,

'：AD//BC,

：.ZADB=/DBC,

?.?ZAEF=ZACB

.?..ADEs-FBC.

?∩rip

.叱=把即Az）BC=OE?B∕7,

BFBC

BF=2DF,

.?.AD.BC=2DF?DE.

【點睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質，三角形外角的定義、平行線的性質，熟知相似三角形的判定與性

質是解答此題的關鍵.

24.如圖，在直角坐標平面Xoy中，對稱軸為直線X=]的拋物線），=以2+-+2經過點A（4,0）、點M（I,加），

與y軸交于點8.

(1)求拋物線的解析式，并寫出此拋物線頂點。的坐標;

(2)聯結AB,AW,6M,求SABM；

(3)過”作1軸的垂線與AB交于點P,Q是直線MP上一點，當?BMQ與二AMP相似時，求點Q的坐標.

?3(325、

【答案】(1)y—~~χ+?~x+2,頂點。的坐標為；,?^^^；

22<28J

(2)3(3)(1,-1)或(1,∣?

?Z)

b3

【分析】(1)由對稱軸為直線X=—的拋物線y=∕+fof+2經過點A(4,0),可列方程組，2a2,解方

2[16α+4"2=0

程組后即可得到函數解析式，化成頂點式求出定點坐標即可；

(2)求出點M和點B的坐標，作MNd.y軸于點M利用梯形面積減去兩個直角三角形面積即可；

(3)過點M作MELy軸于點E,設直線MP交X軸于點C,先求出ΔAfiW各邊的長度，證明NAMB=90°,

分兩種情況分別求解即可.

【小問1詳解】

_±_2

解：由題意得到＜^2∑-2f

16o+4h+2=0

1

a-——

解得彳2

b=-

2

1

拋物線的解析式為y=-5/9+-x+2,

2

..1?????If3Y25

.y=——X+—x+2=——X——)+,

222T

(325、

，頂點。坐標為彳,M；

12oy

【小問2詳解】

1,3

當X=I時，y=——X+-x+2=：3,

22

.?.點M(1,3),

1,3

當X=O時，y=一—%2+-x+2^=2,

22

8(0,2),

如圖，聯結A8,AM,,作MNJ.y軸于點N,

則ON=3,08=2,OA=4,MN=I,BN=ON-OB=T,

則梯疇X

SABM=SCW