概率與統(tǒng)計的綜合應用-2021-2022學年高二數(shù)學題型練習（人教A版2019選擇性必修第三冊）

專題強化二概率與統(tǒng)計的綜合應用

概率與統(tǒng)計內容在考試考查中逐步呈現(xiàn)出綜合性、應用性和創(chuàng)新性等特點，該題目的設置常常以社會、經(jīng)濟、

科技發(fā)展為背景，以考生比較熟悉的實際應用問題為載體，考查學生統(tǒng)計圖表的識別，應用基礎知識和基本方法分

析問題和解決問題的能力，充分體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性.

一、統(tǒng)計圖表與正態(tài)分布

1.為建立健全國家學生體質健康監(jiān)測評價機制，激勵學生積極參加身體鍛煉，教育部印發(fā)《國家學生體質健康標

準（2014年修訂）》（簡稱《標準》），要求各學校每學年開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作，并依據(jù)學生

學年總分評定等級.某市在高三年級開展了一次體質健康模擬測試（滿分100分），從中隨機抽取了200名學生的測

試成績，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）估計這200名學生測試成績的平均數(shù)最和方差同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.

（2）由頻率分布直方圖知，該市高三學生的健康指數(shù)X服從正態(tài)分布NJ。?），其中〃近似為樣本平均數(shù)σ2

近似為樣本方差J.

①求P（63.4<X≤98.2）;

②已知該市高三學生約有IOOOO名，記測試成績在區(qū)間（63.4,98.2］的人數(shù)為求EJ.

附：參考數(shù)據(jù)4行=1.16.若隨機變量X服從正態(tài)分布則P（M-<τ<X≤〃+。卜0.6826,

P{μ-2σ<X</∕+2σ）≈0.9544,P{μ-3σ<X≤//+3σ）≈0.9974.

二、統(tǒng)計圖表與統(tǒng)計分析

2.2022年2月1日是春節(jié)，百節(jié)年為首，春節(jié)是中華民族最隆重的傳統(tǒng)佳節(jié)，它不僅集中體現(xiàn)了中華民族的思想

信仰、理想愿望、生活娛樂和文化心理，而且還是祈福攜災、飲食和娛樂活動的狂歡式展示.為調查某地從外地工

作回來過年的市民（以下稱為“返贛人員”）人數(shù)情況，現(xiàn)對某一區(qū)域的居民進行抽樣調查，并按年齡（單位：歲）

分成五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中年齡在［20,25）內的人數(shù)為10.

(1)請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)補充完成2x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為是否是從外地回來過年與性別相關;

返贛人員本地人員合計

男15

女1040

合計

⑵據(jù)了解’該地區(qū)今年返贛人員占現(xiàn)從該社區(qū)居民中隨機抽取3人進行調查’記X為這3人中今年是返贛人員

的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望.

n(ad-bc)'

參考公式：K-其中〃=α+b+c+4.參考數(shù)據(jù):

(α+?)(c+d)(α+C)S+d)

P(K2≥%)0.100.050.0100.001

%2.7063.8416.63510.828

三、概率統(tǒng)計中的決策問題

3.某冰糖橙是甜橙的一種，以味甜皮薄著稱.該橙按照等級可分為四類：珍品、特級、優(yōu)級和一級.某采購商打算訂

購一批橙子銷往省外，并從采購的這批橙子中隨機抽取IOO箱(每箱有5kg),利用橙子的等級分類標準得到的數(shù)據(jù)

如下表：

等級珍品特級優(yōu)級一級

箱數(shù)40301020

(1)若將頻率作為概率，從這100箱橙子中有放回地隨機抽取4箱，求恰好有2箱是一級品的概率；

(2)利用樣本估計總體，果園老板提出兩種方案供采購商參考：方案一：不分等級出售，價格為27元/kg；方案二:

分等級出售，橙子價格如下表.

等級珍品特級優(yōu)級一級

價格/(元4<g)36302418

從采購商的角度考慮，應該采用哪種方案？

(3)用分層隨機抽樣的方法從這IOO箱橙子中抽取10箱，再從抽取的10箱中隨機抽取3箱，X表示抽取的珍品的箱

數(shù)，求X的分布列及均值E(X).

四、概率統(tǒng)計中的最值問題

4.在中國共產(chǎn)黨的正確領導下，我國順利實現(xiàn)了第一個百年奮斗目標——全面建成小康社會.某地為了鞏固扶貧成

果，決定繼續(xù)對甲、乙兩家鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)進行指導.指導方式有兩種，一種是精準指導，一種是綜合指導.已知對甲企業(yè)

采用精準指導時，投資50萬元，增加100萬元收入的概率為0.2,增加200萬元收入的概率為0.8,采用綜合指導

時，投資100萬元，增加200萬元收入的概率為0.6,增加400萬收入的概率為0.4；對乙企業(yè)采用精準指導時，投

資50萬元，增加100萬元收入的概率為0.3,增加200萬元收入的概率為0.7,采用綜合指導時，投資100萬元，

增加200萬元收入的概率為0.7,增加400萬元收入的概率為0?3.指導結果在兩家企業(yè)之間互不影響.

(1)若決策部門對甲企業(yè)進行精準指導、對乙企業(yè)進行綜合指導，設兩家企業(yè)增加的總收入為X萬元，求X的分布

列；

(2)若有150萬元無息貸款可供甲、乙兩家企業(yè)使用，對兩家企業(yè)應分別進行哪種指導總收入最高？請說明理由.

【過關訓練】

1.科研小組為提高某種水果的果徑，設計了一套實驗方案，并在兩片果園中進行對比實驗.其中實驗園采用實驗方

案，對照園未采用.實驗周期結束后，分別在兩片果園中各隨機選取IOO個果實，按果徑分成5組進行統(tǒng)計：[21,26),

[26,31),[31,36),[36,41),[41,46](單位：mm).統(tǒng)計后分別制成如下的頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達到36mm

及以上的為“大果”.

實驗園果徑

(I)請根據(jù)題中信息完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認為“大果”與"采用實驗方案”有關;

采用實驗方案未采用實驗方案合計

大果

非大果

合計IOOIOO200

(2)根據(jù)長期種植經(jīng)驗，可以認為對照園中的果徑X服從正態(tài)分布其中〃近似為樣本平均數(shù)1(τ≈5.5,

請估計對照園中果徑落在區(qū)間(39,50)內的概率.(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)

附:①)…________________________________________________

P(κ1≥k)0.1000.0500.0100.∞50.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

②若X服從正態(tài)分布N(M(√),則P("-b<X<n+σ)=0.683,P(〃一2σ?<X<4+2b)=0.954,

P(μ-3b<X<〃+3b)=0.997.

2.中國人民解放軍裝甲兵學院(前身蚌埠坦克學院)，建校至今為我國培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的軍事人才.在今年新入學

的學生中，為了加強愛校教育，現(xiàn)在從全體新入學的學生中隨機的抽取了IOO人，對他們進行校史問卷測試，得分

在45~95之間，分為[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中

第三組的頻數(shù)為40.

(1)請根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)N和方差S?(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)；

(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認為新人學的學生校史問卷測試分數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(Mb2),其中〃近似為樣本平

均數(shù)又，σ2近似為樣本方差S?.

(i)求P(47.2<X<79.9);

(ii)在某間寢室有6人，求這6個人中至少有1人校史問卷測試分數(shù)在90.8分以上的概率.

參考嗷據(jù)：若XN(∕∕,σ2),則PQLb<X<〃+b)=0.6826,P("-2b<X<〃+2b)=0.9544,√∏9≈10.9,

0.95446≈0.76,0.97725≈0.89,0.97726≈0.87.

3.2019年某地區(qū)初中升學體育考試規(guī)定：考生必須參加長跑、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試.某學校在九年級上

學期開始，就為掌握全年級學生1分鐘跳繩情況，抽取JZIOo名學生進行測試，得到下面的頻率分布直方圖.

(1)規(guī)定學生1分鐘跳繩個數(shù)大于等于185為優(yōu)秀.若在抽取的IOO名學生中，女生共有50人，男生1分鐘跳繩個數(shù)

大于等于185的有28人.根據(jù)已知條件完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)這IOO名學生的測試成績，判斷能否有99%

的把握認為學生1分鐘跳繩成績是否優(yōu)秀與性別有關.

鐘跳繩成績

優(yōu)秀不優(yōu)秀合計

人數(shù)

男生人數(shù)28

女生人數(shù)50

合計IOO

(2)根據(jù)往年經(jīng)驗，該校九年級學生經(jīng)過訓練，正式測試時每人1分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步.假設正式測試時每人1

分鐘跳繩個數(shù)都比九年級上學期開始時增加10個，全年級恰有2000名學生，若所有學生的1分鐘跳繩個數(shù)X服從

正態(tài)分布用樣本數(shù)據(jù)的平均值和標準差估計〃和。，各組數(shù)據(jù)用中點值代替，估計正式測試時1分鐘跳

繩個數(shù)大于183的人數(shù)(結果四舍五入到整數(shù)).

附：K'商磊篇E其中哼α+Kc+d?

P(K2≥K))0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k°2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

若隨機變量X月艮從正態(tài)分布N(〃,b?),貝I]P(〃-b<XM〃+。)a0.6827,P(∕∕-2σ<X≤∕∕+2σ)≈0.9545,

P(χ∕-3σ<X≤∕∕+3σ)≈0.9973.√252×0.14+152×0.22+52×0.64≈12?

4.浙江省東魁楊梅是現(xiàn)在世界上最大果形的楊梅，有“乒乓楊梅”、“楊梅之皇”的美譽.東魁楊梅始于浙江黃巖區(qū)江

口街道東岳村一棵樹齡約120多年的野楊梅樹，經(jīng)過東番村和白龍眷村村民不斷改良，形成了今天東魁楊梅的品種.

栽培東魁楊梅一舉多得，對開發(fā)山區(qū)資源，綠化荒山，保持水土，增加山區(qū)經(jīng)濟收入具有積極意義.根據(jù)多年的經(jīng)驗,

可以認為東魁楊梅果實的果徑X~N（〃,b2）（單位：mm）,但因氣候、施肥和技術的不同，每年的〃和b都有些變

化.現(xiàn)某農(nóng)場為了了解今年的果實情況，從摘下的楊梅果實中隨機取出IOOo顆，并測量這IOoO顆果實的果徑，得到

近似代替b，已知s=0.3.根據(jù)以往經(jīng)驗，把果徑與

〃的差的絕對值在2。內的果實稱為“標準果”.現(xiàn)從農(nóng)場中摘取20顆果，請問這20顆果恰好有一顆不是“標準果”的

概率；（結果精確到0.01）

（2）隨著直播帶貨的發(fā)展，該農(nóng)場也及時跟進.網(wǎng)絡銷售在大大提升銷量的同時，也增加了壞果賠付的成本.現(xiàn)該農(nóng)場

有一款“9A20”的主打產(chǎn)品，該產(chǎn)品按盒銷售，每盒20顆，售價80元，客戶在收到貨時如果有壞果，每一個壞果

該農(nóng)場要賠付4元.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，知若采用A款包裝盒，成本”（l≤α≤5）元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)J滿足

(+=123,4

Pe=i)=??"=°，若采用B款包裝盒，成本線元，且每盒出現(xiàn)壞果個數(shù)“滿足

Io7

0,i=5,6,…,20

P(η=i)=<m?j.)3=，，2,3,(機為常數(shù))，請運用概率統(tǒng)計的相關知識分析，選擇哪款包裝盒可以獲得更大利潤?

0,i=0,4,5,6,???,20

參考數(shù)據(jù)：

36.2×0.2+36.4×0.25+36.6×0.7+36.8×0.8+37×1.1+37.2×0.8+37.4×0.65+37.6×0.4+37.8×0.05+38×0.05=185；

P<μ-σ<X<μ+σ)=0.6826；-2σ≤X<μ+2σ)=0.9544；P{μ-2>σ≤X≤μ+3σ)=0.9974；().954419≈0.412；

O.954420≈0.393.

5.某種產(chǎn)品的質量以其質量指標值衡量，質量指標值越大表明質量越好，記其質量指標值為4,當A≥85時，產(chǎn)

品為一級品；當75≤A<85時，產(chǎn)品為二級品：當70≤氏<75時，產(chǎn)品為三級品.現(xiàn)用兩種新工藝(分別稱為A工

藝和B工藝)做實驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質量指標值，得到下面實驗結果：(以下均

視頻率為概率).

A工藝的頻數(shù)分布表:

指標值分組[75,80)[80,85)[85,90)[90,95]

頻數(shù)10304020

8工藝的頻數(shù)分布表:

指標值分組[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95]

頻數(shù)510154030

(1)若從B工藝產(chǎn)品中有放回地隨機抽取4件，記“抽出的B工藝產(chǎn)品中至多有.2件二級品”為事件C,求事件C的概

率；

,t,k≥85

(2)若兩種新產(chǎn)品的利潤率y與質量指標值Z滿足如下關系：>=卜產(chǎn),75≤%<85,(其中［</<；).應用統(tǒng)計知識，

t2,10≤k<15

請說明最好投資哪種工藝？

6.某企業(yè)發(fā)明了一種新產(chǎn)品，其質量指標值為〃z(me[70,100]),其質量指標等級如下表:

質量指標值膽[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,l∞]

質量指標等級良好優(yōu)秀良好合格廢品

為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟效益并及時調整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取了IOOo件，將其

質量指標值m的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：

(1)若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機抽取2件產(chǎn)品，求抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品的概率；

(2)若從質量指標值m≥85的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求

m∈[90,95)的件數(shù)X的分布列及數(shù)學期望；

(3)若每件產(chǎn)品的質量指標值機與利潤)，(單位：萬元)的關系如下表(0<f≤l):

質量指標值m[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,l∞]

5戶

利潤y(元)4/9/472/------1

3

試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請說明理由；若能，試確定，為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤達到最大.

7.某校高三年級舉行元宵喜樂會，兩人一組猜燈謎，每輪游戲中，每小組兩人各猜燈謎兩次，猜對燈謎的次數(shù)之

和不少于3次就可以獲得“最佳拍檔''稱號.甲乙兩人同一小組，甲和乙猜對燈謎的概率分別為《，Λ.

(1)若片=(,Λ=∣,求在第一輪游戲中他倆就獲得“最佳拍檔”稱號的概率；

(2)若4+鳥=],且在前〃輪游戲中甲乙兩人的小組獲得“最佳拍檔”稱號的次數(shù)的期望為16次,則〃的最小值是多

少？并求此時的4，8的值.

8.某超市計劃按月訂購一種冰激凌，每天進貨量相同，進貨成本為每桶5元，售價為每桶7元，未售出的冰激凌

以每桶3元的價格當天全部處理完畢，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關，如果最高

氣溫不低于25℃,需求量為600桶，如果最高氣溫(單位：°C)位于區(qū)間[20,25),需求量為400桶，如果最高氣溫低

于20℃,需求量為200桶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻

數(shù)分布表：

最高

氣溫[10,15)Γ15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]

(℃)

天數(shù)216362574

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種冰激凌一天的需求量X(單位：桶)的分布列；

(2)設六月份一天銷售這種冰激凌的利潤為%單位：元)，當六月份這種冰激凌一天的進貨量〃(單位：桶)為多少時,

Y的均值取得最大值？

【答案詳解】

1.【詳解】

(1)由頻率分布直方圖可知，各區(qū)間對應的頻數(shù)分布表如下:

成績區(qū)間[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,l∞]

頻數(shù)51540754520

-/1

：.x=(45×5+55×15+65×40+75×75+85×45+95×20)×-=75,

2=(45-75)2χf→(55-75>X至+(65-75)2X%+(75-75『χ21+(85-75)2χfl+(95-75)2χ2L=135.

'7200v'200v7200v,200v7200v7200

(2)①由(1)知X服從正態(tài)分布N(75,135),且b≈11.6,

≈-×0.9544+k0.6826=0.8185

P(63.4<X≤98.2)=P(∕/-σ<X≤//+2σ)

22

②依題意，知J~3(10000,0?8185),

則Eq=IoOOoXO.8185=8185.

2.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可知年齡在［20,25)上的占比為1-(0.02x2+0.06+0.075)x5=0.125,

根據(jù)已知人數(shù)為10計算可得總人數(shù)為80,列聯(lián)表如下：

返贛人員本地人員合計

男251540

女103040

合計354580

.“280x(25x30-15x10)280×6002，…C

-----------------≈11.429>10.828,

35×45×40×4035×45×16×100

所以有99.9%的把握認為是否是從外地回來過年與性別相關.

(2)X的取值可為0,1,2,3,

P(X=O)=≡'S=G%)宅

2

391

p(x=2)=c；區(qū),P(X=3)=

64

故分布列為:

X0123

272791

P

64646464

日…、

于T是E(X)=Ocx—27÷11×——27+-2×9—+c3×—1=4—8=3—

64646464644

201

3.【詳解】⑴設“從這100箱橙子中隨機抽取1箱，抽到一級品”為事件4,β∣JP(Λ)=-=-,

1005

現(xiàn)有放回地隨機抽取4箱，設抽到一級品的箱數(shù)為久R∣J?-B∣4,-

2

4

所以恰好有2箱是一級品的概率為P(ξ=2)=C;.j=步

5I625

(2)設方案二中每千克橙子的價格為〃元,

EL/\”40”30-10IC20…

則E(/7)=36×------F30×-----1-24×------F!8×----=29.4,

100100100100

因為29?4>27,所以從采購商的角度考慮應該采用方案一.

(3)用分層隨機抽樣的方法從這100箱橙子中抽取10箱，其中珍品4箱，非珍品6箱,

再從中隨機抽取3箱，則珍品的箱數(shù)X服從超幾何分布，其中N=10,M=4,N=3,

P(X=。晦J,P(X=I)=等jPg)二警*P(X=3)嚕*

X的分布列為:

X0123

?3I

P

6~21030

E,(X)=0×-?+l×-^+2×-^-+3×-J-=-

v76210305,

4.【詳解】⑴由題意知X可能取值為300,400,500,600,

則P(X=300)=0.2x0.7=0.14,P(X=400)=0.8×0.7=0.56,

P(X=500)=0.2X0.3=0.06,P(X=600)=0.8χ0.3=0.24,

且尸(Y=200)=0.2×0.3=0.06,P(Y=300)=0.2x0.7+0.8χ0.3=0.38,

P(r=4∞)=0.8×0.7=0.56,E(K)=200×0.06+300x0.38+4OoX0.56=350(萬元)；

指導方案2：對甲企業(yè)進行精準指導、對乙企業(yè)進行綜合指導.

由⑴得E(X)=300*0.14+400x0.56+500x0.06+600x0.24=440(萬元)；

指導方案3：對甲企業(yè)進行綜合指導、對乙企業(yè)進行精準指導.

設兩家企業(yè)增加的總收入為Z,則Z的可能取值為300,400,500,600,

且P(Z=3∞)=0.6×0.3=0.18,P(Z=400)=0.7X0,6=0.42,

P(Z=500)=0.4×0.3=0.12,P(Z=6∞)=0.4×0.7=0.28,

E(Z)=300X0.18+400X0.42+500X0.12+6∞X0.28=450(萬元).

V350<440<450,

.?.指導方案3：對甲企業(yè)進行綜合指導、對乙企業(yè)進行精準指導總收入最高.

【過關訓練】

1.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得：

采用實驗方案大果的數(shù)量為5x(0110+0.010)x100=60個,

則非大果數(shù)量為100-60=40個，

未采用實驗方案大果的數(shù)量為5x(0?040+0?020)xl00=30個,

則非大果數(shù)量為100-30=70個，

列聯(lián)表如下：

采用實驗方案未采用實驗方案合計

大果603090

非大果4070IlO

合計100100200

六=200(60x70-30x40)'=剪>]0828,所以有99.9%的把握認為兩者有關；

100×100×90×11011

(2)由題中數(shù)據(jù)，%=23.5×0.1+28.5×0.2÷33.5×0.4+38.5×0.2+43.5×0.1=33.5,

則μ=33.5,

OOQ7—O64?

則P(39<X<50)=P(//+σ<X<μ+3σ)==0.157.

2.【詳解】(1)由題意得各組的頻率依次為0.1,0.25,0.4,0.15,0.1,

則平均數(shù)又=0.1x50+0.25x60+0.4x70+0.15x80+0.1x90=69;

方差M=0.1x(50-69)2+0.25x(60-69)2+0.4x(70-69)2+0.15x(80-69)2+(Mx

(90-69)2=119.

2

(2)(i)由(1)得〃=N=69,σ-√=ll9,故學生校史問卷測試分數(shù)X近似服從正態(tài)分布N(69,10.9?),

則P(47.2<X<79.9)=P(69-2×10.9<X<69+1Q.9)=P(μ-2σ<X<μ+σ)

=g[P(〃-2cr<X<∕√+2σ)+P(χ√-σ<X<〃+<τ)]=0.8185.

(ii)P(X>90.8)=P(X>〃+2b)=；[l-P(〃-2b<X<〃+2b)]=0.0228,

故隨機抽取一名學生，測試分數(shù)在90.8分以上的概率為0.0228.

設“這6個人中至少有1入校史問卷測試分數(shù)在90.8分以上”為事件A,

則P(A)=I-P(A)=1-(1-0.0228)6≈1-0.87=0.13,

故這6個人中至少有1入校史問卷測試分數(shù)在90.8分以上的概率為0.13.

3.【詳解】(1)由頻率分布直方圖得樣本中1分鐘跳繩個數(shù)大于等于185的人數(shù)為

IOO×(0.030+0.010+0.∞8)×10=48.

補充完整的2×2列聯(lián)表如下表所示：

中跳繩成績

優(yōu)秀不優(yōu)秀合計

人數(shù)

男生人數(shù)282250

女生人數(shù)203050

合計4852100

由公式可得κ?=100x(28x3。-22x2(√“

50×50×48×52

因為2.564<6.635,所以沒有99%的把握認為學生1分鐘跳繩成績是否優(yōu)秀與性別有關.

(2)由題知，訓練后學生1分鐘平均跳繩數(shù)比訓練前學生1分鐘平均跳繩數(shù)大10,方差不變.

由直方圖計算可得訓練前學生1分鐘跳繩數(shù)的平均數(shù)為：

160×0.()6+170×0.12+180×0.34+190×0.3+2∞×0.1+210×0.08=185,

所以M=I85+10=195.

訓練前學生1分鐘跳繩數(shù)的方差為：252χ0.06+152χ0.12+52χ0.34+52χ0.3+152χ0.1+252χ0.08

=252×0.14+152×0.22+52×0.64

所以CT=√252×0.14+152×0.22+52×0.64≈12

故X服從正態(tài)分布N(195,122).

P(x>183)=P(x>∕7-σ)≈0.84135,2000×0.84135=l682.7≈1683.

故估計正式測試時1分鐘跳繩個數(shù)大于183的人數(shù)約為1683.

4.【詳解】(1)由題意得:4=185x0.2=37,所以〃=37,Cr=S=O.3,則〃-2cr=37-0.6=36.4,

〃+2b=37+0.6=37.6,所以P(36.4≤X≤37.6)=0.9544,設從農(nóng)場中摘取20顆果，這20顆果恰好有一顆不是“標

準果”為事件A,則P(A)=?×(1-0.9544)×0.954419=20×0.0456×0.412≈0.38

(2)由；機+：機=1,解得：，"=。，所以尸⑺=。=^(，［,，=1,20,采用4款包裝盒獲得利潤的數(shù)學期望

24X7712;

147

Et=80-4E(?)-a=80-4×梟呢卜嗯-a=----a

K+Mj2

采用B款包裝盒獲得利潤的數(shù)學期望E?=80-4Ee)-ga=80-4x1×→2×→3×i=

?14751683

令一?-a=----a,解得：a=—,

2772

,,U人1475168,(31

由于τl≤α≤5,令--a>—---a>解ω3得s：α∈l-.5,

人1475168,I3)

令?--a<----a,解a7z得h：α∈1,-,

故當“=|時，采用兩種包裝利潤一樣，當"e1,|卜寸，采用B款包裝盒，當αe(∣,5時，采用A款包裝盒.

5.【詳解】(1)抽中二級品的概率尸=25H=1:，沒抽中二級品的概率尸3=巳

10044

1Y_243

所以抽出的8工藝產(chǎn)品中至多2件二級品的概率P(C)=I

I*4)^256

(2)A的分布列為:

yt5產(chǎn)

P0.60.4

則E(A)=0.6/+0.4*5f2=06+2?,

B的分布列為:

yt5尸t2

P0.70.250.05

則E(B)=0.7r÷0.25×5r2+0.05r=0.7,+1.3”,

7

所以歷

E(A)-E(B)=0.7--Qh=r7

由于:<f<!時，所以E(A)-E(B)>0,所以從長期來看，投資A工藝的產(chǎn)品平均利潤率較大，最好投資A工藝.

7O

6.【詳解】(1)設抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品為事件A的，其概率為P(A),則由頻率分布直方圖可得，抽出

1件產(chǎn)品為廢品的概率為P=5X(0.04+0.02)=0.3,

則P(A)=I-0.3?=1-0.09=0.91,

(2)由頻率分布直方圖得指標值大于或等于85的產(chǎn)品中,

w∈[85,90)的頻率為0.08x5=0.4,

w∈[90,95)的頻率為0.04x5=0.2,

wιe[95,100]的頻率為0.02x5=0.1,

二利用分層抽樣抽取的7件產(chǎn)中，me[85,90)的有4件，^∈(90,95)的有2件，，[95,IoO)的有1件,

從這7件產(chǎn)品中，任取3件，質量指標值機以90,95)的件數(shù)X的所有可能取值為O,1,2,

則P(X=O)P(X=I)=警q，P*")=警=；,

二X的分布列為：

X012

24?

P

777

—、八214c16

E(X)=OX—FlX—F2×一=一.

7777

(3)解：由頻率分布直方圖可得該產(chǎn)品的質量指標值，”與利潤》(元)的關系與表所示(o<∕≤ι),

質量指標值

9(族粒10085,,mv908Q,m<8575,,m<8070,,m<75

m

5?

利潤y—IIt4/9t4/

3

P0.30.40.150.10.05

每件產(chǎn)品的利潤: