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13三月2024Ch2234極限性質(zhì)運(yùn)算定理(局部保號性定理）4.局部保序性3、局部保號性推論說明：以上3個(gè)定理及推論在的其它趨限過程中，即在的情況下都有類似的結(jié)論成立.四、無窮小、無窮大1、無窮小:無窮小或無窮小量.例如,注意（1）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2、無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性意義（1）將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);3、無窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理在自變量的同一變化過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證稱之為極限基本定理（對自變量的其它趨限同樣成立）定理證推論1常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小4、無窮大絕對值無限增大的變量稱為無窮大或無窮大量.特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大．注意（1）無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;（3）無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.不是無窮大．無界，證5、無窮大的運(yùn)算性質(zhì):性質(zhì)1性質(zhì)26、無窮小與無窮大的關(guān)系定理在自變量同一趨限過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.證五、極限運(yùn)算法則定理證由無窮小運(yùn)算法則,得1.極限四則運(yùn)算法則推論1常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2例1解小結(jié):解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關(guān)系,得例2解例3(消去零因子法)解:例5解例6解：小結(jié):無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.例7解2、復(fù)合函數(shù)求極限的變量代換（換元）法則定理設(shè)例8.求解:令∴原式=3、極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則1（夾逼準(zhǔn)則）且例9利用夾逼準(zhǔn)則解：單調(diào)有界數(shù)列必有極限

例11注意：利用遞推式求極限是以極限存在為前提的，不能作為極限存在的證明過程！解例12已知計(jì)算考慮單調(diào)性

假設(shè)xn>xn-1,由xn>0,有根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法知{xn}單調(diào)增.又單調(diào)增有上界收斂設(shè)在兩邊取極限,有解得所以4、兩個(gè)重要極限(1)例9解注意：極限可寫為例10求（m,n為正整數(shù)）解：例11求解：例12求解：例13解：(2)例14解例14解例15解例16解注意還可利用公式:思考與練習(xí)填空題

(1～4)求極限思考題解答解練習(xí)如果計(jì)算顯然對一切nN,an>0下證:對一切nN,an<3當(dāng)n=

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