高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3作業(yè)1-2-2組合1

1.2.2組合一、選擇題1．若Ceq\o\al(8,n)＝Ceq\o\al(2,n)，則n＝()A．2 B．8C．10 D．12[答案]C[解析]由組合數(shù)的性質(zhì)可知n＝8＋2＝10.2．以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有()A．70個(gè) B．64個(gè)C．58個(gè) D．52個(gè)[答案]C[解析]四個(gè)頂點(diǎn)共面的情況有6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面共12個(gè)，∴共有四面體Ceq\o\al(4,8)－12＝58個(gè)．故選C.3．某城市的汽車牌照號(hào)碼由2個(gè)英文字母后接4個(gè)數(shù)字組成，其中4個(gè)數(shù)字互不相同英文字母可以相同的牌照號(hào)碼共有()A．(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)個(gè) B．Aeq\o\al(2,26)Aeq\o\al(4,10)個(gè)C．(Ceq\o\al(1,26))2104個(gè) D．Aeq\o\al(2,26)104個(gè)[答案]A[解析]∵前兩位英文字母可以重復(fù)，∴有(Ceq\o\al(1,26))2種排法，又∵后四位數(shù)字互不相同，∴有Aeq\o\al(4,10)種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有不同牌照號(hào)碼(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)個(gè)．4．6人站成一排，若調(diào)換其中的三個(gè)人的位置，有多少種不同的換法()A．40 B．60C．120 D．240[答案]A[解析]先從6人中選取3人確定調(diào)換他們的位置，而這三人的位置全換只有2種不同方法，故共有2Ceq\o\al(3,6)＝40種．故選A.5．若從1,2,3，…，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有()A．60種 B．63種C．65種 D．66種[答案]D[解析]本題考查了排列與組合的相關(guān)知識(shí).4個(gè)數(shù)和為偶數(shù)，可分為三類．四個(gè)奇數(shù)Ceq\o\al(4,5)，四個(gè)偶數(shù)Ceq\o\al(4,4)，二奇二偶，Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4).共有Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,4)＝66種不同取法．分類討論思想在排列組合題目中應(yīng)用廣泛．6．12名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是()A．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6,6)C．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6) D．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,5)[答案]C[解析]第一步從后排8人中抽2人有Ceq\o\al(2,8)種抽取方法，第二步前排共有6個(gè)位置，先從中選取2個(gè)位置排上抽取的2人，有Aeq\o\al(2,6)種排法，最后把前排原4人按原順序排在其他4個(gè)位置上，只有1種安排方法，∴共有Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6)種排法．7．(2015·青島市膠州市高二期中)在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的不同取法的種數(shù)是()A．Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,94) B．Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,99)C．Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,94) D．Aeq\o\al(3,100)－Aeq\o\al(3,94)[答案]C[解析]從100件產(chǎn)品中抽取3件的取法數(shù)為Ceq\o\al(3,100)，其中全為正品的取法數(shù)為Ceq\o\al(3,94)，∴共有不同取法為Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,94).故選C.二、填空題8．從一組學(xué)生中選出4名學(xué)生當(dāng)代表的選法種數(shù)為A，從這組學(xué)生中選出2人擔(dān)任正、副組長的選法種數(shù)為B，若eq\f(B,A)＝eq\f(2,13)，則這組學(xué)生共有________人．[答案]15[解析]設(shè)有學(xué)生n人，則eq\f(A\o\al(2,n),C\o\al(4,n))＝eq\f(2,13)，解之得n＝15.9．某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位，該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有________種．[答案]42[解析]若甲在第一位有Aeq\o\al(4,4)種方法；若甲在第二位有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＝18種方法，故共有18＋24＝42種方法．三、解答題10．有4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)：(1)共有幾種放法；(2)恰有1個(gè)空盒，有幾種放法；(3)恰有2個(gè)盒子不放球，有幾種放法．[解析](1)由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有44＝256種放法．(2)先從4個(gè)小球中取2個(gè)放在一起，有Ceq\o\al(2,4)種不同的取法，再把取出的兩個(gè)小球與另外2個(gè)小球看作三個(gè)，并分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子里，有Aeq\o\al(3,4)種不同的放法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,4)＝144種不同的放法．(3)恰有2個(gè)盒子不放球，也就是把4個(gè)不同的小球只放入2個(gè)盒子中，有兩類放法：第一類，1個(gè)盒子放3個(gè)小球，1個(gè)盒子放1個(gè)小球，先把小球分組，有Ceq\o\al(3,4)種，再放到2個(gè)盒子中有Aeq\o\al(2,4)種放法，共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)種放法；第二類，2個(gè)盒子中各放2個(gè)小球有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)種放法，故恰有2個(gè)盒子不放球的方法共有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)＝84種．一、選擇題1．圓周上有12個(gè)不同的點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)作弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是()A．Aeq\o\al(4,12) B．Aeq\o\al(2,12)Aeq\o\al(2,12)C．Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(2,12) D．Ceq\o\al(4,12)[答案]D[解析]圓周上每4個(gè)點(diǎn)組成一個(gè)四邊形，其對(duì)角線在圓內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)．∴交點(diǎn)最多為Ceq\o\al(4,12)個(gè)．故選D.2．有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A．60種 B．70種C．75種 D．150種[答案]C[解析]本題考查了分步計(jì)數(shù)原理和組合的運(yùn)算，從6名男醫(yī)生中選2人有Ceq\o\al(2,6)＝15種選法，從5名女醫(yī)生選1人有Ceq\o\al(1,5)＝5種選法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有15×5＝75種不同的選法．3．為促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展，某學(xué)校將2名女教師，4名男教師分成2個(gè)小組，分別安排到甲、乙兩地參加城鄉(xiāng)交流活動(dòng)，若每個(gè)小組由1名女教師和2名男教師組成，不同的安排方案共有()A．12種 B．24種C．9種 D．8種[答案]A[解析]不同的安排方案共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)＝12種．二、填空題4．n個(gè)不同的球放入n個(gè)不同的盒子中，如果恰好有1個(gè)盒子是空的，則共有________種不同的方法．[答案]Ceq\o\al(2,n)Aeq\o\al(n－1,n)[解析]有一個(gè)盒子中放2個(gè)球，先選出2球有Ceq\o\al(2,n)種選法，然后將2個(gè)球視作一個(gè)整體，連同其余的n－2個(gè)球共有n－1個(gè)，從n個(gè)不同盒子中選出n－1個(gè)，放入這n－1個(gè)不同的球有Aeq\o\al(n－1,n)種放法，∴共有Ceq\o\al(2,n)Aeq\o\al(n－1,n)種．5．有6名學(xué)生，其中有3名會(huì)唱歌，2名會(huì)跳舞，1名既會(huì)唱歌也會(huì)跳舞．現(xiàn)在從中選出2名會(huì)唱歌的，1名會(huì)跳舞的去參加文藝演出，則共有選法________種．[答案]15[解析]Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝15種．三、解答題6．一個(gè)口袋里裝有7個(gè)白球和2個(gè)紅球，從口袋中任取5個(gè)球．(1)共有多少種不同的取法；(2)恰有1個(gè)為紅球，共有多少種取法？[解析](1)從口袋里的9個(gè)球中任取5個(gè)球，不同的取法為Ceq\o\al(5,9)＝Ceq\o\al(4,9)＝126(種)；(2)可分兩步完成，首先從7個(gè)白球中任取4個(gè)白球，有Ceq\o\al(4,7)種取法，然后從2個(gè)紅球中任取1個(gè)紅球共有Ceq\o\al(1,2)種取法，∴共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,7)＝70種取法．7．解方程：Aeq\o\al(4,2x＋1)＝140Aeq\o\al(3,x).[解析]根據(jù)原方程，x(x∈N＋)應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1≥4，,x≥3，))解得x≥3.根據(jù)排列數(shù)公式，原方程化為(2x＋1)·2x·(2x－1)(2x－2)＝140x·(x－1)·(x－2)，∵x≥3，兩邊同除以4x(x－1)，得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)，即4x2－35x＋69＝0，解得x＝3或x＝eq\f(23,4)(因x為整數(shù)，應(yīng)舍去)．∴原方程的解為x＝3.8．有五張卡片，正、反面分別寫著0與1,2與3,4與5,6與7,8與9.將其中任意三張并排放在一起，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？[解析]解法1：從0和1兩個(gè)特殊值考慮，可分三類：第一類，取0不取1，可先從另四張卡片中任選一張作百位，有Ceq\o\al(1,4)種方法；0可在后兩位，有Ceq\o\al(1,2)種方法；最后需從剩下的三張中任取一張，有Ceq\o\al(1,3)種方法；除含0的那張外，其他兩張都有正面或反面兩種可能，因此可組成不同的三位數(shù)Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,3)·22個(gè)．第二類：取1不取0，同上分析可得不同的三位數(shù)有Ceq\o\al(2,4)22Aeq\o\al(3,3)個(gè)．第三類：0和1都不取，有不同的三位數(shù)Ceq\o\al(3,4)23Aeq\o\al(3,3)個(gè)．綜上所述，不同的三位數(shù)共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)22＋Ceq\o\al(2,4)22