直線及直線與圓位置關(guān)系2023年高考數(shù)學(xué)考試（新高考）（解析版）

專題12解析幾何

易磊合折

一、使用兩平行線間距離公式忽略系數(shù)相等致錯(cuò)

1.求兩條平行直線y=3x+5與6x—2y+3=0間的距離.

【錯(cuò)解】直線方程y=3x+5可化為3χ-y+5=0,

則直線3χ-y+5=0與6χ-2y+3=0間的距離d-P一=

√3Γ7F10

【錯(cuò)因】6χ-2y+10=0與6χ-2y+3=0中x、y的系數(shù)不對應(yīng)相等，不能直接用公式。在使用兩

條平行直線間的距離公式時(shí)，一定要注意：兩條直線方程均為一般式，且x、y的系數(shù)

對應(yīng)相等，而不是對應(yīng)成比例，因此當(dāng)直線方程不滿足此條件時(shí)，應(yīng)先將方程變形.

【正解】經(jīng)變形得兩條平行直線的方程為6χ-2y+10=0和6x—2y+3=0,

故它們之間的距離為」∕io~^3∣=Z叵

√62+2220

二、有關(guān)截距相等問題忽略截距為零致錯(cuò)

2、直線/過點(diǎn)P(l,3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,則直線I的方程為

【錯(cuò)解】因?yàn)橹本€/過點(diǎn)尸(1,3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,設(shè)直線/的方程為土+』=1,

aa

3v

則丁廣1,所以4=4,故直線/的方程x為；=即x+y-4=0.【答案】x+y-4=0

【錯(cuò)因】錯(cuò)誤原因是忽略直線/過原點(diǎn),截距為零的情況.

【正解】若直線/過原點(diǎn).滿足題意,此時(shí)自線/的方程為y=3x；

Yγ1?

若直線/不過原點(diǎn),設(shè)直線/的方程為一+2=1,則一+—=1,所以α=4,

aaab

故直線/的方程為二+2=1,即x+y—4=0.

44

綜上，直線/的方程為y=3x或x+y-4=().

3.過點(diǎn)M(—3,5)且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為

【錯(cuò)解】設(shè)直線方程為“+工-=1,即χ-y=”,代入點(diǎn)(一3,5),得。=一8,

ci—a

即直線方程為r—y+8=0.答案：x—y+8=0

【錯(cuò)因】未考慮直線過原點(diǎn)的情況。

【正解】①當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線方程為y=-∣x,即5x+3y=0:

γV

②當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為zi+,=l,即Λ-y=α,

a—a

代入點(diǎn)(一3,5),得。=一8,即直線方程為χ-y+8=O.

綜上，直線方程為5x+3y=O或x—y+8=O.

三、已知兩直線平行求參數(shù)的值未驗(yàn)證致錯(cuò)

4.已知直線以+3y+l=0與x+(4—2)y+α=0平行，則”的值為.

【錯(cuò)解】令3Xl=”(α-2),解得。=-1或“=3.答案：-1或3

【錯(cuò)因】未驗(yàn)證α的值會不會使兩直線平行。

【正解】令3Xl="(α—2),解得“=-1或〃=3.

當(dāng)α=-l時(shí)，兩條直線的方程都為χ-3y—1=0,即兩條直線重合，故舍去；

當(dāng)α=3時(shí)，兩條直線的方程分別為3x+3y+l=O,x+y+3=0,兩條直線平行.

：.a的值為3.

四、未討論參數(shù)的取值致錯(cuò)

5.已知直線∕∣:/?u+γ-1=0,l2?.(2m+3)x+my-↑=0,m≡R,則“加=一2"是"∕∣_L4''

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

一2加一3

【錯(cuò)解】C,因?yàn)閯t(-m)x----------=-1，即2根+3=—1,解得加=一2,

m

所以"=一2''是"機(jī)=0或根=一2”的充要條件.

【錯(cuò)因】未考慮/”=0的情況，

—2m—3

【正解】A,(1)+加≠0時(shí)，因?yàn)?_L4，則(―m)X----------=-1，即2m+3=—1.解得m=一2.

m

(2)當(dāng)加=0時(shí),直線一/2的方程分別為=-1=0,3左一1=0.顯然4，/2,

山上可知I,??∕l?∕2.!Si.m=0<m=-2?

所以“m=-2"是-W=O或m=一2’的充分不必要條件.

五、誤用點(diǎn)線距離公式致錯(cuò)

6.點(diǎn)(1,-1)到直線χ-y+l=O的距離是()

?1R3√23√2

2222

［錯(cuò)解】由點(diǎn)到直線的距離公式知"當(dāng)（T）Xl+"=W.故選C

√12+I22

【錯(cuò)因】在運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，沒有理解直線Ax+By+C=O中，B的取值，B應(yīng)取T,而

不是取1.

【正解】由點(diǎn)到直線的距離公式知=坐故選D

√ι2+ι22

7.“a=b”是“直線、=丹2與圓（工-〃）2+"+力）2=2相切的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

【錯(cuò)解】當(dāng)α=b時(shí)圓心坐標(biāo)為（a,-。），圓心到直線的距離為任二戶=也與半徑相等，

√2

故α=b是直線和圓相切的充分條件，同理直線與圓相切時(shí)，

圓心（",-b）到y(tǒng)=x+2的距離為正出W=√Σna=Z?,

√2

故α=b是直線y=χ+2與圓（X—a）?+（y+b）2=2相切的充分必要條件.選A。

【錯(cuò)因】在運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí),y=x+2應(yīng)先變?yōu)閤-y+2=0再計(jì)算.這里y的系數(shù)應(yīng)

為-1而不是未變形前的I.

∣a+a+2∣

【正解】C,'?a=b?i'J■圓心（a,-a）到立線x-y+2=0的距離為不一定剛好等于我,

故不是充分條件，當(dāng)直線與圓相頻（…）到直線x-y+2=0的距離應(yīng)等于半徑,

=0、解得。+〃=0或a+〃=T.

lψ故也不是必要條件,

綜上可得,a=b是“線y=χ+2I州（Aa）2+（y+bf=2相切的既不充分也不必要條件.

六、忽視切線斜率不存在致錯(cuò)

8.過點(diǎn)P（2,4）作圓。-1）2+。-1）2=1的切線，則切線方程為（）

A.3x+4y-4=0

B.4χ-3y+4=0

C.x=2或4x—3y+4=0

D.y=4或3x+4y-4=0

K-I+4-2川

【錯(cuò)解】選B,設(shè)切線方程為.y-4=歐χ-2）,即履一y+4-2A=0,則

y∣∣c+↑

4

解得％=不得切線方程為4χ-3y+4=0.

【錯(cuò)因】沒考慮斜率不存在的情況。

【正解】(1)當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線x=2與圓相切；

(2)當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-4=k(x—2),即fcι-y+4-2k=0,

改一1+4—2川4

則=I,解得k=q,得切線方程為4Λ-3y÷4=0.

√∕r+l

綜上，得切線方程為X=2或4.r-3y+4=0.

9.已知直線/過點(diǎn)(5,10),且到原點(diǎn)的距離為5,則直線/的方程為.

【錯(cuò)解】設(shè)其斜率為左,則所求直線方程為.y-10=&(χ-5),即日一y+10-5L=0,

110—Q

由點(diǎn)到直線的距離公式得I、：=5,解得攵=1.故所求直線方程為3x—4y+25=0.

??∕Zr+14

答案：3χ-4y+25=0

【錯(cuò)因】沒考慮斜率不存在的情況。

【正解】(1)當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線的方程為χ-5=0,滿足題意；

(2)當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k,則所求直線方程為y—IO=Mx—5),

即AΛ~y+10—5?=0,由點(diǎn)到直線的距離公式得耳;^^=5,解得A=?

λ∕∕r+14

故所求直線方程為3.r-4y+25=0.

綜上，得切線方程為x—5=0或3Λ~4y+25=0.

10.若直線過點(diǎn)尸(4,1)且被圓/+產(chǎn)=25截得的弦長是6,則該直線的方程為

I—4k+ll

【錯(cuò)解】設(shè)直線的方程為V-I=JIa—4),即fcv-y-4fc+l=0,圓心到直線的距離d=r?-；

y∣kz+l

(\—4A+1∣?15

則252一口2=6,解得Z=一9，所以直線方程為15Λ?+8J-68=0.

答案：15x+8y-68=0

【錯(cuò)因】沒考慮斜率不存在的情況。

【正解】(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，該直線的方程為x=4,代入圓的方程解得y=±3,

故該直線被圓截得的弦長為6,符合題意.

(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為y-1=Mx—4),即kχ-y-4k+?=0,

∣

4&+]1-4?+l∣λ215

-2——-∣=6,解得女=一1,

圓心到直線的距離d=/?則25—2

??2+l?√?+I

所以直線方程為15x+8y-68=O.

綜上所述，所求直線方程為x—4或15x+8.y-68=0.

答案：x=4或I5x+8y-68=θ

七、混淆直線與圓有公共點(diǎn)與直線與圓相交致錯(cuò)

11.若曲線C：d+(y+l)2=l與直線/:x+y+a=O有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)α的取值范圍為—

【錯(cuò)解】因?yàn)榍€C與直線/有公共點(diǎn)，故聯(lián)立方程得『耳()'+I'='

[x+γ+a=O

消去X,化筒得.2y*+2(a+l)y+a2=0,則A>0=>五-IVaVvΞ+l.

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為√2-l<α<√2+l

【錯(cuò)因】忽略了直線與圓相切時(shí)的情況。

【止解】因?yàn)榍€C與直線/有公共點(diǎn)，故聯(lián)立方程得*+s+ιγ=ι,

消去x>化簡得2y2+2(a+l)y-^t∣=0,則△≥O=JΣ—1≤α≤>∕2+1.

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為JΣ-1≤a≤√Σ+1.

八、忽略方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件致錯(cuò)

12、已知圓C的方程為Λ2+y2+辦+2y+α2=0,過點(diǎn)A(l,2)作圓的切線有兩條,求”的取值范圍.

【錯(cuò)解】將圓C的方程配方有(x+32+。+1)2=生三二

.?.圓心C的坐標(biāo)為(一/一1),半徑/=.4丁[

當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí),過點(diǎn)A可以作圓的兩條切線，

.?.?AC?>r,即J(l+.)2+(2+1)2A*”,

化簡得〃+。+9>0∕=1—4x9=—35<0,二α∈R

【錯(cuò)解】錯(cuò)解中只考慮了點(diǎn)A在圓C外部,而忽視了方程x2+y2+αx+2y+α2=0表示圓的條件.

注意，二元二次方程x2+y2+Dr+Ey+F=0表示圓的條件是D2+E2-4QO.

〃

【正解】將圓C的方程配方有(x+}∩+(y+l)24=—r3-α???4?F—^3>2°，①

.?.圓心C的坐標(biāo)為(一余一1),半徑r=業(yè)”

當(dāng)點(diǎn)A在圓外時(shí),過點(diǎn)A可作圓的兩條切線，

：.\AC∣>r,即J(l+∣)2+(2+1)2N.M，化簡得a2+a+9>0.②，

由①②得一￥<。<羋,.?.?的取值范圍是一￥<〃<￥.

九、忽視隱含條件致錯(cuò)

13.若點(diǎn)(1,2)在圓(x+α)2+0-α)2=2/的外部，則實(shí)數(shù)α的取值范圍是(

D.(θ,|)

【錯(cuò)解】選A,：點(diǎn)(1,2)在圓的外部，.?.(l+α)2+(2-a)2>24,即5—2α>0,α<∣,

實(shí)數(shù)”的取值范圍為(一8,習(xí)

【錯(cuò)因】忽略了隱含條件"WO,

【正解】選B：點(diǎn)(1,2)在圓的外部，.?.(i+4)2+(2-α)2>242,5-2a>0,?<1,又24>0,

.?.4≠0,.?.實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-8,O)LJ(0,?.

14.已知點(diǎn)P(x,y)為圓x2+y2=l上的動點(diǎn)，則W+4y的最大值為.

【錯(cuò)解】因?yàn)辄c(diǎn)尸(x,y)為圓x2+y2=1上的動點(diǎn)，所以x2+4y=1—γ2+4y=-(y—2p+5.

所以當(dāng)y=2時(shí)，/+4y取得最大值為5.答案：5

【錯(cuò)因】忽略了隱含條件)，∈[-Ll],

【正解】因?yàn)辄c(diǎn)尸(尤，y)為圓x2+y2=l上的動點(diǎn)，所以x2+4y=l-y2+4y=-(y—2>+5.

因?yàn)閥W[-U],所以當(dāng)y=1時(shí)，x2+4y取得最大值為4.答案：4

十、由直線的一般式方程求斜率時(shí)忽略符號致錯(cuò)

15.已知過點(diǎn)A(-2,m)和B(M,4)的直線與直線2x+y-l=0平行，則m的值為()

A.0B.-8C.2D.10

【錯(cuò)解】A,兩直線平行故斜率相等可得：與土=2.?.m=0.故選A.

【錯(cuò)因】直線2x+y-l=0的斜率是-2,而不是2,注意移項(xiàng)時(shí)要變號。

【正解】B,利用兩向線平行斜率相等可得：，上土=-2=,”=-8故選8

—2—m

16.設(shè)直線ax+by+c=O的傾斜角為a,且Sina+cosa=0,則a、b滿足()

A.a+b=lB.a-b=lC.a+b=OD.a-b=O

O

【錯(cuò)解】C.Vsi∏Λ+cos6/=0=>tan?=-l,Xtan^=Λ=—=-?.:.a+h=0故選C.

【錯(cuò)因】直線ax+by+c=O的斜率是-巴，而不是巴,注意移項(xiàng)時(shí)要變號。

hh

【正自帛】I),?.?sin。+cos。=0tana=-?5Ltnaa=k=--=1。一6=0.

十一、計(jì)算不嚴(yán)謹(jǐn)致錯(cuò)

17.已知直線L過點(diǎn)(-2,0),當(dāng)直線L與圓Y+y2=2χ有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k取值范圍是

A.(-2√2,2√2)β.(-√2,√2)

rz√2√2\1

0(-丁，丁)d(-?T

【錯(cuò)解】設(shè)此直線為y=&(χ+2).圓心到直線的距離剛好好等于半徑(即相切)時(shí),

【錯(cuò)因】計(jì)算出并沒有開方算出k=±也.

4

【正解】可設(shè)直線方程為y"(χ+2)代入圓的方程中,用AVo可得d<L故-叵<k<叵.選C.

844

18、圓心為(1,2)且與直線5x-12r-7=0相切的圓的方程為.

【錯(cuò)解】圓心到直線的距離等于半徑，即“X5：2X(-⑵-7∣=r=2...

√52+122

圓的方程為(X-I)2+(y-2)2=2.

【錯(cuò)因】在算出r后,往(X-Xo)2+(y+%)2=J中代入時(shí)、忘記后面是F.

【正解】山圓心到直線的距離等了半徑得r=2.,?.?圓的方程為(x-l)2+(y-2)2=4.

易常感通用

1.若直線x=2的傾斜角為α,則α的值為()

JTJT

A.0BaC，2D.不存在

【答案】C

【解析】因?yàn)橹本€x=2垂直于X軸，所以傾斜角α為當(dāng)

2.(多選)若直線/過點(diǎn)A(l,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線/的方程可能為()

A.χ-y+1=0B.x÷y-3=0

C.2x~y=0D.χ-y—1=0

【答案】ABC

2—0

【解析】當(dāng)直線/經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，直線/的斜率Λ=-p^=2,直線/的方程為y=2x,即2χ-y=0;

當(dāng)直線/不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/的方程為；r-y=k或x+y=k,把點(diǎn)A(l,2)的坐標(biāo)代入可得1-2

=A或1+2=&,得K=-1或％=3,故直線/的方程為x—y+1=0或x+y—3=0.故選A、B、

C.

22

3.(多選)直線/1：(a-l)x+a>-1=0,Z2:(a-l)x+(a+a)y+2=0,li//I2,則α的值可能是()

A.-1B.OC.1D.-2

【答案】BCD

【解析】由題意知,d(α-l)=(a2-l)(02+α),整理得Ig-1)(Ο+2)=0,

解得α=0或a=1或a=-2.

當(dāng)“=0時(shí)，/1：x+l=0,/2：X—2=0,/|〃6成立；

當(dāng)<7=1時(shí)，h：y—?=0,/2：y+l=0,八〃，2成立；

當(dāng)°=一2時(shí)，∕ι:3χ-2y-l=0,∕2:3χ-2y—2=0,6〃/2成立.

綜上所述，4=0或α=1或〃=—2.

4.已知某圓圓心在X軸上，半徑為5,且截y軸所得線段長為8,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(Λ+3)2+∕=25B.(χ-3)2+y2=25

C.(x±3)2+y2=25D.(x+9)2+y2≈25

【答案】C

【解析】如圖,由題設(shè)知IAcl=r=5,∣AB∣=8,.?.∣O4∣=4.在RtZvlOC中,

|0《=4|4。2一|042=、52-42=3.設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(外0),則IOel=Ial=3,

α=±3.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x±3)2+)2=25.

5.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【解析】設(shè)圓心為C(x,y),則3)2+(J-4)2=?,

化簡得(x—3)2+(y-4)2=1,所以圓心C的軌跡是以M(3,4)為圓心,

1為半徑的圓，如圖.所以I。CI+1NIoM=?√否不=5,

所以Ioq25—1=4,當(dāng)且僅當(dāng)C在線段OM上時(shí)取得等號，故選A.

6.直線以一>+2=0與圓Λ2+y2=9的位置關(guān)系是()

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

【答案】A

【解析】圓x2+y2=9的圓心為(0,0),半徑為3,直線，nx—y+2=0恒過點(diǎn)A(0,2),

而(P+22=4<9,所以點(diǎn)A在圓的內(nèi)部，所以直線"tr-y+2=0與圓.r2+y2=9相交.

7.已知直線4：(〃-l)x+2y=O與直線4：x+(a—l)y+4=0垂直，則實(shí)數(shù)α的值為()

A.α=lB.a=-3C.α=l或a=—3D.不存在

【答案】C

【解析】當(dāng)a=l時(shí)，直線4：y=。，直線，2：X=-4,兩直線垂直，符合題意；當(dāng)a≠l時(shí)，由兩

直線垂直可得aJl+2(叱l)=0,解得。=-3或1(舍去)，綜上所述，a=l或。=一3.

8.直線(2m-l)x+my+2=0和直線"tr+3y+l=0垂直，則實(shí)數(shù)用的值為()

A.0或一1B.-1

C.3±Λ∕6D.3+#

【答案】A

【解析】因?yàn)橹本€(2/71-I)X+my+2=0和直線∕nr+3y+l=O垂直，所以(2，〃-l)〃?+3m=。，

.?.機(jī)=-1或，”=0.故選A.

9.過點(diǎn)A(l,4),且橫、縱截距的絕對值相等的直線共有()

A.1條B.2條C.3條D.4條

【答案】C

【解析】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，橫、縱截距都為0,符合題意，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程

141(/?

XV—I—=1,IQ=_3I0=5

為土+；=L由題意得卜b解得、,或,U綜上，符合題意的直線共有3條.

“bM=瓦也=3[b=5

10.過點(diǎn)A(l,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.x-γ+l=OB.x+y-3=0

C.2x-y=0或x+y-3=0D.2x-y=?；騲-y+l=O

【答案】D

【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，滿足題意，方程為y=2x,即2x—y=0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方

程為2+2=1,???直線過(1,2),.?.1-2=1,.?.”=一1,.?.方程為x-y+l=0,故選D

a-aaa

l?.若點(diǎn)尸(l,l)在圓C：χ2+y2+χ_y+Z=0的外部，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是()

A.(-2,+∞)B.々-J[°，12，；)D.(-2,2)

【答案】C

fl+l÷l-1÷?>0?

【解析】由題意得，I八，解得故選c?

[l+l-4?>02

12.經(jīng)過點(diǎn)41,2)可做圓/+9+m-2〉+4=0的兩條切線，則機(jī)的范圍是()

A.(-∞,-2√3)∪(2√3,+∞)B.(-5,-2√3)(2√3,+x)

C.(-∞,-2√2)u(2√2,+oo)D.(-5,-2√2)(20,+8)

【答案】B

【解析】圓f+y2+∕nr-2y+4=0,即為(X-'+(>-1)?=竺-3,二工-3>On機(jī)<一2百或

244

機(jī)>:由題意知點(diǎn)4在圓外，.7+4+帆-4+4>O,解得〃?>-5.所以_5<<-2√3或，*>26.

13.已知直線∕∣:依+4y-2=0與直線y2x-5y+b=O互相垂直，垂足為(l,c),則α+∕7+c的

值為()

A.20B.-4C.OD.24

【答案】B

【解析】直線4的斜率為-3,宜線，2的斜率為4,兩直線垂直,可知一幺_=-1,。=10,將垂

4545

足坐標(biāo)代入直線4方程，得到c=-2,代入直線4方程，得到人=一12,所以

α+Z?+C=Io-2-12=-4,

14.若直線∕∣：x+ay+6=04：(a-2)x+3y+Zj=0平行，則∕∣與4間的距離為()

A.√2B.隨C.√3D.迪

33

【答案】B

【解析】由題：直線∕∣：%+的+6=0與4：(a-2)x+3y+2a=0平行，

2

則3=α(α-2),KPα-2α-3=0,解得。=3或。=一1，

當(dāng)α=3時(shí)，直線4：x+3y+6=0與4:x+3y+6=0：重:合；

2

當(dāng)α=-l時(shí)，直線4:x-y+6=0與4:x-y+§=0平行，

6_2

兩直線之間的距離為_3_=8√2.

√2^3

15.若直線4：以+y-1=0與直線，2：%+故+1=0平行，則兩平行線間的距離為()

A.1B.√2C.2D.2√2

【答案】B

【解析】直線4：依+y-l=0與直線4：x+ay+l=O平行，則"一1=0，解得α=±l,

當(dāng)。=一1時(shí)，直線4：x—y+i=o與直線/2"—y+ι=o重合，故舍去.當(dāng)。=1時(shí)，直線

4:x+y-1=0與直線4：x+y+i=0平行，故兩平行線間的距離d=號U=&.

16.己知點(diǎn)(α+l,α-l)在圓/+9_23_4=0的外部(不含邊界),則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.a<?B.a>?C.0<α<lD.a>-

5

【答案】B

【解析】圓/+>2-2到-4=0,即X2+(y-q)，=ɑ?+4,圓心(0,4),半徑廠=Ja?+4,

因?yàn)辄c(diǎn)(α+l,α-l)在圓V+y2-2αy-4=0的外部，所以點(diǎn)(a+l,α-l)到圓心(0,。)的距離大于半

徑，即｛"+I[+(->+4,解得α>l,故選B.

17.過點(diǎn)(1,2)作直線/,滿足在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線/有()條.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】若截距都為零，則直線過(0,0),則直線方程為y=2x；若截距都不為零，則設(shè)直線方

程為土+2=1,則,+2=1,解得。=3,所以直線方程為：x+y-3=0,故滿足在兩坐標(biāo)軸上

aaaa

截距相等的直線/有2條；故選B

18.若方程χ2+y2-2y+,“2-,"+ι=o表示圓，則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為()

A.(-2,1)B.(-1,；)C.(-∞,0)u(l,+∞)D.(0,1)

【答案】D

【解析】由方程f+〉"—2y+〃廣—∕w+1=0表不圓，則0~+(—2)—4(〃廣一，zι+1)>0,

解得0<m<l.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,1).故選D

19.已知直線，：x+y-2=0與X軸和y軸分別交于A、B兩點(diǎn),動點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心，2為半

徑的圓上，當(dāng)NABp最大時(shí)，AAPB的面積為()

A.√2B.1C.2D.2√2

【答案】C

【詳解】由已知A(2,0),WO,2)圓A的方程為(x—2)2+y2=4,當(dāng)N4BP最大時(shí)，

此時(shí)直線PB是IMIA(X—2)2+丁=4的切線，即直線PB的方程為：y=2或X=0,

當(dāng)直線用的方程為y=2時(shí)，”總的面積為、？、？=2,

2

當(dāng)直線PA的方程為X=O時(shí)，?APB的面積為:X2X2=2,

20.當(dāng)圓/+V=4截直線/:X-陽+機(jī)-I=O(Zn∈R)所得的弦長最短時(shí)，的值為()

A.-√2B.√2C.-1D.1

【答案】C

【詳解】直線/過定點(diǎn)A(Ll),圓f+y2=4的圓心為O(O,()),半徑r=2,

當(dāng)/_LQ4時(shí)，圓/+)/=4截直線/:X—my+mT=0(m€R)所得的弦長最短，

由于MOA=1，所以M=T,即一一-=-1,TO=-I.

—m

21.己知直線/：x+y-4=0,圓O：/+y2=2,M是/上一點(diǎn)，MA,MB分別是圓。的切線，

則()

A.直線/與圓。相切B.圓。上的點(diǎn)到直線/的距離的最小值為正

C.存在點(diǎn)使ZAMfi=90。D.存在點(diǎn)M,使AMB為等邊三角形

【答案】BD

【詳解】對于A選項(xiàng)，圓心到直線的距離d=占$=2√I>√I=r,所以直線和圓相離，故

√lz+lz

A錯(cuò)誤：

對于B選項(xiàng)，圓O上的點(diǎn)到直線/的距離的最小值為d-r=夜，故B正確；

X寸于C選項(xiàng)，當(dāng)。時(shí)，NAΛ仍有最大值60。，故C錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，當(dāng)OMJj時(shí)，AMB為等邊三角形，故D正確.

22.下列命題正確的是()

A.已知點(diǎn)42,-3),8(-3,—2),若直線y=A(x-D+l與線段AB有交點(diǎn)，則％≥=或A≤-4

4

B.機(jī)=1是直線∕∣:M+y-l=0與直線4：(機(jī)-2)尢+/2-2=0垂直的充分不必要條件

C.經(jīng)過點(diǎn)(1,1)且在X軸和y軸上的截距都相等的直線的方程為x+y-2=0

D.已知直線4：融一y+l=0,4：x+αy+l=0,aeR,和兩點(diǎn)A(0,l),8(-1,0),如果∕∣與交

于點(diǎn)M,則∣M4∏M網(wǎng)的最大值是1.

【答案】ABD

【解析】對于A,?.?直線y="x-l)+l過定點(diǎn)P(1,1),又點(diǎn)A(2,-3),B(-3,-2),

1+31+23

T≡2T+3-4

3

如圖可知若直線(X-I)+1與線段AB有交點(diǎn)，則人≤∕?=-4,或k≥M>B=],故A正確;

對于B,由直線∕∣:∕nr+y-l=O與直線4：(加一2)x+啊-2=0垂直得,

m(m-2)+m-0,解得/"=0或機(jī)=1,故“=I是直線4：〃認(rèn)+丫-1=0與直線4：

(〃?-2)x+叼-2=0垂直的充分不必要條件，故B正確；

對于C,當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線為％=九

當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線為三+2=1,代入點(diǎn)(1,1),得α=2,所以直線方程為X+y-2=0,

aa

故經(jīng)過點(diǎn)(U)且在X軸和>軸上的截距都相等的直線的方程為χ+y-2=o或χ=y,故C錯(cuò)誤;

對于D,：直線∕∣:Or-y+l=0,I2：x+ay+?=Q,又αxl-lxα=0,所以兩直線垂直，/.

IA例2+12=2,???∣M4∣M8∣≤以號城=1,當(dāng)且僅當(dāng)IM4∣=∣M8∣時(shí)取等號，故D正確.

23.下列說法第堡的是()

A.若直線∕x-y+l=O與直線…"2=0互相垂直，貝IJa=T

B.直線XSina+y+2=0的傾斜角的取值范圍是b

C.A(0,l),B(2,l),C(3,4),O(T2)四點(diǎn)不在同一個(gè)圓上

D.經(jīng)過點(diǎn)(1,1)且在X軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+>-2=0

【答案】ACD

【解析】當(dāng)α=0時(shí)，直線∕χ-y+l=O與直線x-沖-2=0也互相垂直，所以選項(xiàng)A不正確；

直線XSina+y+2=0的傾斜角8,可得tane=-sinαw[-1,1],所以。的取值范圍是[O,JU呼，乃)；

所以B正確；由題得IABl=2,∣Af)∣=血,|8。|=而,.?.cosNB4f)=土與3=-也.

4√22

∣CD∣=2√5,∣BC?=√10,∣BD∣=√10,.?.cosZBCD=20+/2=正，所以ZBAD+ZBCD=π,

2×2√5×√102

所以A(0,1),8(2,1),C(3,4),￡>(—1,2)四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，所以選項(xiàng)C不正確;

經(jīng)過點(diǎn)(U)且在X軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0,或y=χ,所以D不正確;

24.若直線(3α+2)x+(l-44)y+8=0與(5〃-2)x+(α+4)y-7=0垂直，則α=.

【答案】O或1

【解析】由兩直線垂直的充要條件，得(3"+2)(54-2)+(l-4o)(α+4)=0,解得α=0或￠/=1.

25.若半徑為r,圓心為(0,1)的圓和定圓。-1)2+。-2)2=1相切，則r的值等于.

【答案】√2-l或添+1

［解析］依題意，,?∕(0-1)2÷(1^-2)2=r÷1或｛(O'-［>+(l-2)2=∣L1∣,

解得r=√2-1或r=√2÷1.

26.經(jīng)過點(diǎn)P(4,l)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的方程為.

【答案】χ-4y=0或x+y-5=0

【解析】設(shè)直線I在X軸、y軸上的截距均為。,若α=0,即/過點(diǎn)(0,0)和(4,1),

XV

所以/的方程為y=χx,即χ-4y=0.若。#0,設(shè)/的方程為1+"=1,因?yàn)?過點(diǎn)(4,1),

41

所以］+'=l,所以〃=5,所以/的方程為x+y—5=0.

綜上可知，所求直線的方程為X—4γ=0或x+y-5=0.

27.線2x+2y+l=0,x+y+2=0之間的距離是.

3√2

【答案】4

【解析】先將2x+2y+1=0化為Λ-+V+∣=O,則兩平行線間的距離d=~~^~=乎.

28.過點(diǎn)P(-l,l)作圓丁+丁一奴—2y+∕-2=0的切線有兩條，則。的取值范圍是

【答案】(1,2)

【解析］,1?2÷y2-cιx-2,y+cι~—2=0表小個(gè)圓，；.(―a)~+(—2)"—4(tz^—2)>0,—2<a<2,

又由過點(diǎn)P(τ,l)作圓/+y2-αr-2y+a2-2=0的切線有兩條，得：P在圓外，所以

(-l)2+l2-α×(-1)-2×l+a2-