高考數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)中的極值和極值點(diǎn)偏移(解析版)

專題08導(dǎo)數(shù)中的極值和極值點(diǎn)偏移

一、重點(diǎn)題型目錄

【題型】一、求已知函數(shù)的極值

【題型】二、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)

【題型】三、函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)圖象與極值的關(guān)系

【題型】四、函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)圖象與極值點(diǎn)的關(guān)系

【題型】五、求已知函數(shù)的極值點(diǎn)

【題型】六、函數(shù)最值與極值的關(guān)系

【題型】七、導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題

二、題型講解總結(jié)

【題型】一、求已知函數(shù)的極值

例1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))等比數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)4,〃5是函數(shù)/(x)=l-6∕+9X-2

的極值點(diǎn)，則“53=()

A.3B.±y∣3C.-?/?D.G

【答案】D

【分析】先根據(jù)題意確定函數(shù)的極值點(diǎn)，進(jìn)而得到4?4κ,然后根據(jù)等比中項(xiàng)求得答案.

【詳解】由題意，∕,(X)=3X2-12X+9=3(X-1)(X-3),則xw(e,l)時(shí)∕<x)>0,函數(shù)單

調(diào)遞增，％?1,3)時(shí)/'(力<0,函數(shù)單調(diào)遞減，%?3,例)時(shí)/?勾>0,函數(shù)單調(diào)遞增，于

是戶1和戶3是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，故為,“心是/'(x)=3f-12x+9=0的兩個(gè)根，所以

4?4O5=3,所以?=4?4O5=3,又4+4O5=4>O,所以q>0,al05>0,設(shè)公比為9，

a53=a?cf2>0-所以°55=G.

故選：D.

例2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))下列函數(shù)中存在極值點(diǎn)的是()

A..y=-ICB.y=x-e.

X

C.y=2D.y=χ3

【答案】B

【分析】對(duì)每個(gè)選項(xiàng)求導(dǎo)，然后判斷即可

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,y=-4<o,故沒有極值點(diǎn)；

X"

對(duì)選項(xiàng)B,y=∣-e*,則極值點(diǎn)為χ=0,故正確；

對(duì)選項(xiàng)c,y=o,故沒有極值點(diǎn)；

對(duì)選項(xiàng)D,y=3x2>0,故沒有極值點(diǎn);

故選：B

例3.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2mv-至多有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)。的最大值為().

A.0B.1C.2D.e

【答案】C

【分析】先將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問題，構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性，極值，畫出函數(shù)

圖象，從而得到!?=0或∣J≥?,再次構(gòu)造關(guān)于〃的函數(shù)Ma)=I研究其單調(diào)性，解出

不等式，求出數(shù)。的最大值.

【詳解】令"x)=2πe'-e"χ2=o,得到馬=4，

e'e

函數(shù)/(X)=加1-e"f至多有2個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)Tm=烏至多有兩個(gè)不同的根，

ee

Y29/7

即函數(shù)y與y=今至多有2個(gè)不同的交點(diǎn)

ee

2

令g(x)=5,

則

當(dāng)0<x<2時(shí)，g'(x)>O,g(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)XVO或％>2時(shí),g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減,

所以X=O與X=2為函數(shù)g(x)的極值點(diǎn)，且g(0)=0,g(2)=5,

且g(x)=^≥O在R上恒成立，

其中~~O，解得：q=O

e

設(shè)MG=與，則”(4)=生學(xué)，

ee

當(dāng)a<1時(shí)，當(dāng)α>l時(shí)，∕f(α)vθ,

所以/?(“)=與在(-∞,ι)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

e

由可得：h(a)≥h(2),所以α≤2,

綜上：實(shí)數(shù)。的最大值為2

故選：C

【點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)問題，直接求解無法求解時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)

合進(jìn)行解決.

例4.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知f和￡+3是函數(shù)/(x)=x3+加+bx+c的零點(diǎn)，且f+3

也是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，則〃x)的極大值為()

44

A.1B.4C.-D.-

39

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合三次函數(shù)的特點(diǎn)可得/(X)=(XT)(XT-3)2,再借助導(dǎo)數(shù)求出

極大值作答.

【詳解】因函數(shù)f(χ)在t+3處取得極小值0,又，是函數(shù)f(χ)的另一零點(diǎn)，因此函數(shù)〃X)

只有兩個(gè)零點(diǎn)，

從而有/(X)=(XT)(XT-3)2,求導(dǎo)得：f'(x)=3(x-f-l)(xT-3),

當(dāng)x<f+l或x>r+3時(shí)，∕,(χ)>0,當(dāng)t+1vx<r+3時(shí)，∕,(χ)<0,

于是，f(x)在χ=∕+3處取得極小值，在x=r+l處取得極大值/(f+l)=4,

所以/(x)的極大值為4.

故選：B

【題型】二、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)

例5.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=χ2+αe*-l(α∈R)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

。的取值范圍為()

A?H。)B?1；。)C.「什)D.C

【答案】B

【分析】將函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)進(jìn)行求解即可.

【詳解】對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得，r(x)=2x+ae"

因?yàn)楹瘮?shù)〃犬)=￡+?一1(4€7?)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以/'(X)=O有兩個(gè)不等實(shí)根，即2x+αe'=O有兩個(gè)不等實(shí)根，

亦即F=2x有兩個(gè)不等實(shí)根.

e

令g(x)=/，則g<x)=［>

可知g(χ)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(l,+∞)上單調(diào)遞減,

所以g(x)max=g⑴=J

又因?yàn)楫?dāng)XVo時(shí)，g(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>O,

2

—Ci<—2

所以“e?解得—<cι<01

-a>0e

即〃的范圍是卜

故選：B

例6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若函數(shù)f(x)=sin"+1)在區(qū)間［0,%)內(nèi)有且只有兩個(gè)極

值點(diǎn)，則正數(shù)。的取值范圍是()

'581「58)(7131「713、

A.—B.不二C.D.—

_33J|_33)(66J|_66J

【答案】C

【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的定義，利用整體法，列出關(guān)于0的不等關(guān)系，即可求得參數(shù)范圍.

【詳解】因?yàn)椤╔)在［0㈤有2個(gè)極值點(diǎn)，也即/(X)在區(qū)間［(U)取得一次最大值,一次最

小值；

式冗兀\

又0>0,則當(dāng)xw［0,乃)，<yx+-∈-,ωπ+-?,

要使得滿足題意，只需∣%<0%+(≤%解得T猶.

故選：C.

例7.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))若x=2是函數(shù)f(x)=；Or2-X-21nx的極值點(diǎn)，則函數(shù)()

A.有最小值-21n2,無最大值B.有最大值-21n2,無最小值

C.有最小值-21n2,最大值2In2D.無最大值，無最小值

【答案】A

【分析】對(duì)/(X)求導(dǎo)，根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)“，再由導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并判斷其最值情況.

2

【詳解】由題設(shè),f'(x)=0x-W-l且/(2)=0,

X

：.2a-2=0,可得α=l.

.?.f?x)=x---l=(81)(上2)且X>O,

XX

當(dāng)0<x<2時(shí)f'(x)<O,/(X)遞減：當(dāng)x>2時(shí)/'(x)>0,AX)遞增;

??∕(x)有極小值/⑵=-21n2,無極大值.

綜上，有最小值-21n2,無最大值.

故選：A

例8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/。)=?+《(+111力，若X=I是函數(shù)f(χ)的唯

一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是.

【答案】k≥-l

【分析】先求函數(shù)/*)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=竺華二D,由條件χ=l是函數(shù)/(χ)的唯一極值

點(diǎn)，說明1+2=0在XG(O,÷∞)上無解，或有唯一解X=I,求實(shí)數(shù)人的取值

【詳解】/&)=?+&［：+1門］的定義域?yàn)?0,+8)

X"X~Xx~

X=I是函數(shù)/(χ)的唯一極值點(diǎn)

.?.χ=l是導(dǎo)函數(shù)/'(X)=O的唯一根

(I)e*+A=O在(0,+∞)無變號(hào)零點(diǎn)

令g(x)=e*+%,則g'(x)=e'>O,即g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增

此時(shí)g(x)mm=l+%*O

.*.k≥—1

(Il)當(dāng)g(x)=e"+Z在(0,+∞)有解％=1時(shí)，此時(shí)e+A=O,解得Z=-e

此時(shí)/(X)在(0,1)和α+∞)上均單調(diào)遞增，不符合題意

故答案為：k≥-?

【題型】三、函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)圖象與極值的關(guān)系

例9.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(x),其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的大致圖

象如圖所示，則下列敘述正確的是()

y.

：!?dr

ao?bc?T∕e^~x

A./(6)>∕(Λ)>∕(C)

B.函數(shù)/(x)在X=C處取得最大值，在x=e處取得最小值

C.函數(shù)/(χ)在x=c?處取得極大值，在x=e處取得極小值

D.函數(shù)/(χ)的最小值為

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象確定了(x)的單調(diào)性，從而比較函數(shù)值的大小及極值情況，對(duì)四

個(gè)選項(xiàng)作出判斷.

【詳解】由題圖可知，當(dāng)χ≤c時(shí)，∕,(%)>0,所以函數(shù)“X)在(-?,q上單調(diào)遞增，

又a<h<c,所以"α)<"6)<F(c),故A不正確.

,

因?yàn)閞(c)=O,∕(e)=O,且當(dāng)X<c時(shí)，f↑x)>O;當(dāng)ca<e時(shí)，f(x)<0i

當(dāng)x>e時(shí)，/(x)>0.所以函數(shù)f(x)在X=C處取得極大值，但不一定取得最大值，在x=e

處取得極小值，不一定是最小值，故B不正確，C正確.

由題圖可知，當(dāng)d≤x≤e時(shí)，/'(x)≤0,所以函數(shù)/(x)在［d,e］上單調(diào)遞減，從而/(d)>f(e),

所以D不正確.

故選：C.

例10.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正

確的是()

A.-3是〃力的極小值點(diǎn)B.-1是/(x)的極小值點(diǎn)

C./(x)在區(qū)間(—,3)上單調(diào)遞減D.曲線y=∕(x)在X=2處的切線斜率小于零

【答案】D

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖像，求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)定義，即可判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)

導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即判斷D選項(xiàng)，從而得出答案.

【詳解】由圖像知，當(dāng)x<-3或x>3時(shí)，∕<x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)一3<x<3時(shí)，∕,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以〃力在區(qū)間(F,-3),(3,田)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(-3,3)內(nèi)單調(diào)遞減，

-3是/(x)的極大值點(diǎn)，3是/(x)的極小值點(diǎn)，故ABC錯(cuò)誤；

又因?yàn)?'(2)<0,所以曲線y=∕(x)在x=2處切線斜率小于零，故D正確.

故選：D.

例11.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)定義域?yàn)?“⑼，其導(dǎo)函數(shù)尸(X)在(4。)內(nèi)的圖

象如圖所示，則函數(shù)/(x)在區(qū)間(α力)內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象可判斷出/(x)的單調(diào)性，結(jié)合極小值點(diǎn)的概念即可得結(jié)果.

【詳解】由尸(x)的圖象可得:

函數(shù)F(X)在(a,χ∣)上單調(diào)遞增，在(%,%)上單調(diào)遞減，

在(Λ2,Λ4)上單調(diào)遞增，在(x4,3上單調(diào)遞減，

故X=W為函數(shù)F(X)的極小值點(diǎn),即F(X)在區(qū)間(α,6)內(nèi)極小值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1，

故選：A.

例12.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知定義在S,切上的函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=,f'(X)的

圖象如圖所示，給出下列命題：

①函數(shù)y=/(χ)在區(qū)間卜，匕]上單調(diào)遞減；

_.f?tn)+f?n)./-tn+n-y?

②若匕<"?<”<%，貝∣J?~?—>fIτh

③函數(shù)y=∕(x)在[α,句上有3個(gè)極值點(diǎn)；

④若x2<P<()<x3,則[f(p)-f(q)]?[f'(p)-f'(q)]<0.

其中正確命題的序號(hào)是()

D.①④

【答案】B

【分析】根據(jù)y=/O)圖象判斷函數(shù)y=/(χ)單調(diào)性和極值點(diǎn)情況，并利用單調(diào)性比較函數(shù)

值的大小，逐一判斷四個(gè)命題的正誤即可.

【詳解】①中，看圖知，在區(qū)間［々，鼻］匕/'(χ)wo,在區(qū)間［七，七］上，f(χ)≤θ,故函數(shù)

y=f(χ)在區(qū)間［々，匕］上先增再減，①錯(cuò)誤；

②中，看圖知，在區(qū)間［%，七］上，y=f(χ)是下凸的，任意連接兩點(diǎn)(機(jī)"'(㈤)，(〃/(〃))，

中點(diǎn)為M(Wzi線段一定在y=f(X)圖象上方，故中點(diǎn)也在圖象上方，即

/“'(〃)>/"｝故②正確；

③中，看圖知,在區(qū)間［α,J?］上,/'(χ)≥0,在區(qū)間IX,%］上,∕U)≤0)在區(qū)間上，同上，

/(x)≥0,所以y=f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)￡和一個(gè)極小值點(diǎn)玉，故③錯(cuò)誤；

④中，看圖知，在區(qū)間［馬，￡］匕f'(χ)≥o,且/'(X)遞減，故y=f(χ)單調(diào)遞增，故

∕,(P)>∕M∕(P)<∕(√).故"(p)-f(q)l?"'(p)-f'(<7)］<0,即④正確.

綜上，正確命題的序號(hào)是②④.

故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性和極值的方法：

①寫定義域，對(duì)函數(shù)/W求導(dǎo)/(X)；②在定義域內(nèi)，令r(χ)>o的區(qū)間即是增區(qū)間，令

r5)<o的區(qū)間即是減區(qū)間，③根據(jù)單調(diào)區(qū)間，判斷極值點(diǎn)即可.

【題型】四、函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)圖象與極值點(diǎn)的關(guān)系

例13.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))函數(shù)√(x)=α√+fcv2+cχ+d的圖像如圖，則函數(shù)y=αr2

+1〃喈的單調(diào)遞增區(qū)間是()

19

A.(-∞,-2JB.L-,+oo)C.[2,3)D.

【答案】D

【分析】由圖象知α>0,d=0,不妨取a=l,先對(duì)函數(shù)/(x)=χ3+∕7χ2+cχ+"進(jìn)行求導(dǎo),

根據(jù)x=-2,x=3時(shí)函數(shù)取到極值點(diǎn)知/(-2)=0,/'⑶=。，故可求出b,C的值，再根

據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系得到答案.

【詳解】解：不妨取。=1,

,f(X)=X3+bx2+ex,:.∕,(x)=3X2+2bx+c

由圖可知((-2)=。，八3)=0

.?.12-4?+c=0,27+6fo+c=0,./=-1.5,c=-18

.,.y=x2--x-6,y'=2x--,當(dāng)x>2時(shí)，y,>0

4'48

9O

.?.y=χ2-9-6的單調(diào)遞增區(qū)間為：[，+8)

48

故選：D.

例14.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=sin(5+?)(0>O)的最小正周期為萬,

將的圖象向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在(-α,α)上存在

唯一極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A，[元石Jb-[24,^4^Jc?D-U,^24^.

【答案】D

【分析】首先求函數(shù)f(x)的解析式，再根據(jù)平移公式，求解函數(shù)g(x)的解析式，結(jié)合函數(shù)

的圖象，列式求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【詳解】由題意知“X)的最小正周期T=至=%，??.0=2,"(x)=sin(2x+R,

CDV4√

π

.*.g(x)=sin2+—=sin∣2X--∣?Λ?I,作出g(x)的圖象如圖所示，

4

a>0

數(shù)形結(jié)合可知a≤----'解得：

24

π

-a<-----

24

π1?π

???實(shí)數(shù)"的取值范圍是

24,ΞT'

故選：D

例15.(2023?全國(guó)高三專題練習(xí))如圖是函數(shù)y=∕(x)的導(dǎo)數(shù)y=f(x)的圖象，則下面判

A.在(一3,1)內(nèi)f(x)是增函數(shù)B.在(4,5)內(nèi)/(x)是增函數(shù)

C.在x=l時(shí)〃x)取得極大值D.在χ=2時(shí)f(x)取得極小值

【答案】B

【分析】根據(jù)y=f(χ)圖象判斷“χ)的單調(diào)性，由此求得“χ)的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定正確

選項(xiàng).

【詳解】由圖可知，/(x)在區(qū)間［3,-∣),(2,4)上f(χ)<0j(x)遞減；在區(qū)間.?∣3,2,(4,5)

2

上/(x)>0j(x)遞增.

所以x=l不是的極值點(diǎn)，χ=2是"x)的極大值點(diǎn).

所以ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.

故選：B

例16.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=α*-x"(x>0,a>0且αwl),貝∣J()

A.當(dāng)"=e時(shí)，,f(χ)wθ恒成立

B.當(dāng)O<α<l時(shí)，f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)4>e時(shí)，f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

D.存在α>l,使得/(x)存在三個(gè)極值點(diǎn)

【答案】ABC

【分析】選項(xiàng)A,不等式變形后求函數(shù)的最值進(jìn)行判斷：選項(xiàng)B,確定函數(shù)的單調(diào)性，利用

零點(diǎn)存在定理判斷；選項(xiàng)C,結(jié)合選項(xiàng)A中的新函數(shù)進(jìn)行判斷；選項(xiàng)D,求導(dǎo)，由導(dǎo)函數(shù)

等于0,構(gòu)造新函數(shù)確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷D.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)α=e時(shí)，/(x)≥0,即e'≥χe=x≥elnxo處≤L設(shè)g(χ)=?^,

XeX

則g,(x)=，故當(dāng)XW(O,e)時(shí),g,(x)>0,當(dāng)xe(e,+∞)時(shí)，g,(x)<0,

所以g(x)≤g(e)=處=L故A正確；

ee

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)0<“<l時(shí)，/(X)=詭一X"單調(diào)遞減,且當(dāng)χ→(Γ時(shí)，/(x)fl,/⑴=α-l<0,

因此“X)只有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，/(x)=0o優(yōu)=YoXIna=αlnx,即W=當(dāng)α>e時(shí)，由A選項(xiàng)可知，

0<g(a)<：，

因此g(x)=g(")有兩個(gè)零點(diǎn)，即/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，f?x)^ax?na-axc,-',令/'(χ)=0,得優(yōu)-/。=/，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可

得，(X-I)Ina+ln(Ina)=(〃一I)InX,設(shè)∕z(x)=(x-l)lnα+In(IrlaIn%,貝IJ

"(x)=lnα-?,令"(x)=0,得》=襦，則R(X)在(。，■］上單調(diào)遞減，在(蕓，+②)

上單調(diào)遞增，因此MX)最多有兩個(gè)零點(diǎn)，所以/(x)最多有兩個(gè)極值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【題型】五、求已知函數(shù)的極值點(diǎn)

例17.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=V-x+1,對(duì)于以下3個(gè)命題：

①函數(shù)Ax)有2個(gè)極值點(diǎn)

②函數(shù)/(χ)有3個(gè)零點(diǎn)

③點(diǎn)(O,D是函數(shù)F(X)的對(duì)稱中心

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究f(x)的單調(diào)性確定極值情況，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根

據(jù)/O)+/(-X)=2判斷對(duì)稱中心.

【詳解】令尸(x)=3χ2-l=0,可得χ=±且，

3

所以(一8,-春)、(￥,+8)上/'(x)>O,/(x)遞增；(_#,乎)上尸(x)<(),/(X)遞減；

所以X=±3是Ax)的極值點(diǎn),

所以/(x)在(-2,-3)上存在一個(gè)零點(diǎn)，

所以/(x)有2個(gè)極值點(diǎn)，I個(gè)零點(diǎn)，①正確，②錯(cuò)誤；

f(χ)+f(-χ)=χ3-χ+l-x3+χ+l=2,故(0,1)是函數(shù)f(χ)的對(duì)稱中心，③正確.

故選：C

例18.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知X。是函數(shù)/(x)=gx-2siarcosΛ的一個(gè)極值點(diǎn)，則

tan入。的值是()

A.1B.?C.—D.—

277

【答案】D

17

【分析】由題知r*°)=0,可得cos2x0=w,由二倍角公式可算得cos2%=w進(jìn)而有

612

sin2?=?*所以taYxo=：

r,2

【詳解】∕(x)=?-2cos2x,/.cos2x0=；..2cosx0-1=?,

.27..2125

..COS^Λ?J=一,.?sιn-升)=l-cos-xl)=一,

2siπ-XC5

tan"x0=——I

cos^X07

故選：D

例19?(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=8sin(2x-,,XW(0,4句，則”x)所

有極值點(diǎn)的和為()

22πCIC-…r50乃

A.-----B.13乃C.17ττD.------

33

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，令r(χ)=o,求出方程的根，判斷根左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可得

極值點(diǎn)，從而可求解/(χ)所有極值點(diǎn)的和.

【詳解】解：/(X)=I6cos(2x-g],令尸(x)=16CoS(2x-g1=0,得X="+g,zeZ,

因?yàn)?'(X)在X=S+。,AeZ兩側(cè)異號(hào)，所以X=￡+ZeZ是函數(shù)〃x)的極值點(diǎn),

b"37∕±J?5)4乃117lπ17π?Qπ23π

又x∈(0,4τr]所以極值點(diǎn)X=W,二,二,丁,丁,丁,丁,丁

36363636

(/E任乃萬

所以/r(%)所有極值點(diǎn)的a和d為1彳+5二+4丁π+???,π丁1π+=Vlπ+丁1°+,234==5°4

363636363

故選：D.

例2。.(2。23?江蘇?蘇州中學(xué)高三階段練習(xí))已知函數(shù)"x)=1?,則下列說法中正

確的是()

A./(x+Λ?)=∕(x)

B."x)的最大值是g

Cf(X)在[上單調(diào)遞增

D.若函數(shù)/(X)在區(qū)間[0,。)上恰有2022個(gè)極大值點(diǎn)，則。的取值范圍為(W萬,等)

【答案】ABD

【分析】利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)函數(shù)的的性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng).

sin2x_sin2x_sin2x

【詳解】Xl+2cos2x]I2(1+COS2X)2+COS2X,

A選項(xiàng)：/(x+/2：)=Sm2;=〃.),A選項(xiàng)正確；

2+cos(2x+2町2+cos2%

22

B選項(xiàng)：設(shè)/(%)=Sin2；=t,plιjsjn2x-tcos2x=2t=?∣?-^-tsin(2x+￠9)≤Vl+^，

解得f2≤g,-蟲.≤?≤蟲.，即3=也，即/(x)的最大值為也，B選項(xiàng)正確;

-S3333

C選項(xiàng)：因?yàn)?(-])=/(])=(),所以/(X)在卜多上不單調(diào)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

2cos2x(2+cos2x)-sin2x(-2sin2x)4cos2x+2

D選項(xiàng):

r(χ)=(2+cos2x)2(2+cos2x)2

I42口

z

?∕(x)=0,解得COS2x=-g,x=-+kπ^tx=—+kπ,kwZ,

當(dāng)Xe(0+6《eZ時(shí)，∕,(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減，

(2ττ4τr)

當(dāng)當(dāng)xe(？-+br,3→?J,左eZ時(shí)，/^x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)為弓，L,→(n-?)π,

又函數(shù)F(X)在區(qū)間[O,α)上恰有2022個(gè)極大值點(diǎn)，則"仁+202反,。+2022;T,即

(6064萬6067萬

D選項(xiàng)正確;

故選：ABD.

【題型】六、函數(shù)最值與極值的關(guān)系

例21.(2022?江蘇?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(X)=12x-2,則下列結(jié)論不正確的是()

e

A.函數(shù)/(x)有極小值也有最小值

B.函數(shù)/(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)

C.當(dāng)-5＜憶＜0時(shí)，f(x)=?恰有三個(gè)實(shí)根

D.若xe[0,r]時(shí)，/(x)max=4,則r的最小值為2

e~

【答案】C

【分析】先求導(dǎo)，通過導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性分析出原函數(shù)大致圖象，然后畫出圖象，結(jié)合圖象來

分析每一個(gè)選項(xiàng)即可求出答案.

【詳解】由AX)=土苓二，得/(X)=--------------由---------=-T-.

令/(X)=。，則X=-2或x=2,當(dāng)XV-2或工＞2時(shí)，/(x)＜0；當(dāng)-2vxv2時(shí)，F(xiàn)(X)＞0,

所以/(力在(-∞,-2)和(2,+8)上單調(diào)遞減，在(-2,2)上單調(diào)遞增，

所以f(X)有極小值/(-2)=上等=-2e2,有極大值/(2)=竺票=4，

eee

當(dāng)Xf-8時(shí)，/(χ)→+∞,當(dāng)X→?+∞時(shí)，/(x)→0,

故函數(shù)的圖象如圖，

故選：C

例22.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))對(duì)函數(shù)f(x)=χ2+4ln(y+χ2+ι)(χeR,a^RS.a≠O)

的極值和最值情況進(jìn)行判斷，一定有()

A.既有極大值，也有最大值B.無極大值，但有最大值

C.既有極小值，也有最小值D.無極小值，但有最小值

【答案】C

,l2χ4++χ2++1

【分析】先求出導(dǎo)數(shù)，fω=2x+a--??=4?t(D?)-然后

討論方程X4+Qa+l)x2+0+1=0根的情況,進(jìn)而判斷各選項(xiàng)

【詳解】/'(X)=2x+α?，5=2x,/4+囚+1)√+fl+ι),下面討論方程

X4+X2+]x4+x2+?v'

X4+(2a+?)x^+a+?=O根的情況.令〃=x2∈[0,+∞),g(〃)=u2+(2a+1)M+a+?,

(1)當(dāng)g(O)=α+l<0時(shí)(即"-1),g(“)僅有??個(gè)唯一的正零點(diǎn)，不妨設(shè)為翅，此時(shí)/(X)

有三個(gè)不同零點(diǎn)，分別為-瓜，0,瓜；滿足既有極小值，也有最小值；

(2)當(dāng)g(O)="+l=O時(shí)(即。=一1);(X)=F^—(x+l)(x-l):滿足既有極小值，也有

X+χ-+}

最小值；

(3)當(dāng)g(O)=α+l>O時(shí)(即a>T且4H()),若〃=-等~l40(即“≥-g且α#0),則僅

有一個(gè)唯的極小值點(diǎn)為0,若"=一等l>θ(-l<“<-；),結(jié)合

△=(2。+1)2-4(tz+1)=4a2-3分析可知：當(dāng)-1<α<——^時(shí)，g(h)有兩個(gè)不同的正零點(diǎn)(令

2

為〃I，〃2且/</).此時(shí)/(X)在1°0,-如)，卜"，。)，(8,上單調(diào)遞減，當(dāng)

--≤a<--^,則/U)僅有一個(gè)唯一的極小值點(diǎn)為0.滿足既有極小值，也有最小值；綜

22

上分析，

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵在于：求導(dǎo)后討論方程/+(24+1)/+4+1=0根的情況，

討論的時(shí)候，分情況：(1)當(dāng)g(O)=α+l<O;(2)當(dāng)g(O)="+l=O;(3)當(dāng)g(O)="+l>O,

進(jìn)而判斷各選項(xiàng)，屬于難題

例23.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))己知函數(shù)/Q)=(f+α)e'有最小值，則函數(shù)y=∕'(x)的

零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.不確定

【答案】C

【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化條件為f'(χ)<o有解，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】由題意，/'(X)=(X2+2x+α)/,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)有最小值，且e，>0，

所以函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，即/'(x)<0有解，

所以f+2χ+a=0有兩個(gè)不等實(shí)根，

所以函數(shù)y=∕'(χ)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

例24.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)y=∕(χ)的導(dǎo)函數(shù)y=∕'(χ)的圖象如圖所示，

則下列結(jié)論正確的是()

A./(?)</(/?)</(c)B./(e)</(J)</(c)

C.X=C時(shí)，F(xiàn)(X)取得最大值D?x=d時(shí)，/(X)取得最小值

【答案】AB

【分析】由/'(X)圖象可確定F(X)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.

【詳解】由尸(X)圖象可知：當(dāng)xe(ro,c?)(e,+∞)(?,f^x)>0；當(dāng)x∈(c,e)時(shí)，∕,(Λ)<0:

?f(x)在(-8,c),(e,+∞)上單調(diào)遞增,在(c,e)上單調(diào)遞減;

對(duì)于A,a<b<c,.-./(?)</(/?)</(c),A正確；

對(duì)于B,,?c<d<e,.?j(e)<∕(d)<∕(c),B正確;

對(duì)于C,由單調(diào)性知"c)為極大值，當(dāng)x>e時(shí)，可能存在.f(%)>f(c?),C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由單調(diào)性知/(e)<“d),D錯(cuò)誤.

故選：AB.

【題型】七、導(dǎo)數(shù)中的極值偏移問題

例25.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))關(guān)于函數(shù)/(x)=:+lnx,下列說法錯(cuò)誤的是()

A.x=2是/(x)的極小值點(diǎn)

B.函數(shù)y=f(χ)-χ有且只有1個(gè)零點(diǎn)

C.存在正實(shí)數(shù)3使得/(x)>云恒成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)4，才2，且芭>々，若/(%)=/(々)，則X∣+%2>4

【答案】C

【分析】對(duì)于A,分析/(χ)導(dǎo)函數(shù)可作判斷；對(duì)于B,考查函數(shù)y=f(χ)-χ的單調(diào)性可作

判斷；對(duì)于C,分離參數(shù)，再分析函數(shù)工區(qū)最值情況而作出判斷；對(duì)于D,構(gòu)造函數(shù)

X

g(x)=∕ω-/(4-X)(O<X<2)討論其單調(diào)性，確定g(x)>O即可判斷作答.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：/(X)定義域?yàn)?。,+8),/(X)=-4+1=Ξ≠,

XXX

O<X<2時(shí),/'(X)<0,尤>2時(shí)f?x)>O,

x=2是/(x)的極小值點(diǎn)，A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)：令〃(X)=f(x)-x,h?x)=~-——學(xué)2<0,

X

h(x)在(O,+oo)上遞減,〃⑴=1,〃⑵=ln2-l<0,

為x)有唯一零點(diǎn),B正確;

對(duì)于C選項(xiàng)：令9(X)=幺包=2+叱,"(X)=-巫匚

XXTXX'

令F(x)=xlnx-x+4,F?x)=InX,%∈(0,1)時(shí),F?x)<0,x∈(l,+∞)時(shí),Ff(x)>O,

F(X)在((U)上遞減,在(l,+∞)上遞增,則F(X)而?=尸(l)=3>0,

√(x)<O,e(x)在(O,+∞)上遞減，e(x)圖象恒在X軸上方，

與X軸無限接近，不存在正實(shí)數(shù)人使得/(x)>H恒成立，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)：由A選項(xiàng)知，/(x)在(0,2)上遞減，在(2,”)上遞增,

因正實(shí)數(shù)x∣,X2,且芭>々，/(χ)=∕(x2),則0<X2<2<X∣,

0<x<2時(shí),令g(χ)=f(X)-/(4-χ),

/(X)=小)+/(4—x)=*F<O,

即g(x)在(0,2)上遞減,

于是有g(shù)(x)>g(2)=0,從而有f(xl)=/(?)>/(4-x2),

X4—X2>2,所以土>4一%2，即x∣+W>4成立，DlE確.

故選：C.

Inγ

例26.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)"x)=(,則()

A./(2)>∕(5)

B.若F(X)=An有兩個(gè)不相等的實(shí)根4、x2,則XlX2<e?

D.若2'=3',X,y均為正數(shù)，則2x>3y

【答案】AD

【分析】A：代入2,5直接計(jì)算比較大小;B：求F(X)的導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性,可得當(dāng)/(x)=m

有兩個(gè)不相等實(shí)根時(shí)4、巧的范圍，不妨設(shè)公<々，則有0<x∣<e<%,比較/(xjJ

的大小關(guān)系，因?yàn)椤ㄞk)=/(々)，可構(gòu)造F(X)=/"b/]Fl(O<*<e),求導(dǎo)求單調(diào)性，

計(jì)算可得尸(x)<()成立，可證占X2>e?C：用f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，構(gòu)造殍<萼可

證明；D：令2*=3>'=f,解出X=具，Y=獸，做差可證明2x>3y.

?g2Ig3

【詳解】解:對(duì)于A：〃2)=竽=ln√Σ"(5)=M=ln班，又(√∑F=25=32,(為『=25,

32>25,所以&>為，則有/(2)>∕(5),A正確；

對(duì)于B：若/(x)=m有兩個(gè)不相等的實(shí)根占、巧，則卬c?”?,故B不正確；

證明如下：函數(shù)"x)=W,定義域?yàn)?0,+紇)，則:(X)=上等，

當(dāng)用χ)>0時(shí),O<χ<e;當(dāng)r(x)<0時(shí)，x>e；

所以f(X)在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+∞)上單調(diào)遞減，則“X)心=：且X>e時(shí)，有/(x)>0,

所以若/(6=加有兩個(gè)不相等的實(shí)根玉、々，有0<?<g,

不妨設(shè)玉<々，有0<x∣<e<X2,要證占馬>/，只需證W>J,且達(dá)>3^>e,又

?l?l

所以只需證〃令)

/(XI)=∕(Λ2),XJ<∕[Z],F(X)="X-f[j](O<x<e)

IXIJ?xJ

則有F'(χ)=r(M+r

當(dāng)0<x<e時(shí)，1—lnx>0,J-5>0,所以有尸(關(guān))>0,即F(X)在(0,e)上單調(diào)遞增，且

F(e)=O,所以F(X)<0恒成立，即“玉)<,?即/㈤“目，即g”.

對(duì)于C：由B可知，/(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，則有"2)<?f(e),即旨<三，則有

In2<-<J-,故C不正確:

eVe

對(duì)于D：令2*=3>?=r,則f>l,X=Iog2，=獸，y=l0g3f=粵，

Ig2Ig3

21gr31grIg∕(lg9-Ig8)

2x-3y=>0,

Ig2?lg3

.?.2x>3y,故D正確；

故選：AD.

【點(diǎn)睛】知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)睛：(1)給定函數(shù)比較大小的問題，需判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及

需要比較的數(shù)值構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性可比較大??；

(2)極值點(diǎn)偏移法證明不等式，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到極值點(diǎn)，分析兩根相等時(shí)兩根的范

圍，根據(jù)范圍以及函數(shù)值相等構(gòu)造新的函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及最值，判斷新函數(shù)小于

或大于零恒成立，即可證明不等式.

例27.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=-(a≠0)?

er

(1)若對(duì)任意的X