練習(xí)10：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-2023屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（含答案）

微專(zhuān)題強(qiáng)化練10空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

一、單項(xiàng)選擇題

1.（2022?龍巖質(zhì)檢）已知三條直線4,b,c,若"和b是異面直線，6和C是異面直線，那么

直線。和C的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.平行、相交或異面

2.（2022?湖北八市聯(lián)考）設(shè)ɑ,￡為兩個(gè)不同的平面，則”〃夕的一個(gè)充要條件可以是（）

A.α內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與S平行

B.a,尸垂直于同一個(gè)平面

C.α,夕平行于同一條直線

D.α,尸垂直于同一條直線

3.正方體上的點(diǎn)N,P,。是其所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中直線與直線尸。是異

面直線的圖形是（）

4.（2022?華中師大附中模擬）如圖，在正方體/BCQ-45Gz）I中，P是4。的中點(diǎn)，則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.直線P8與直線。IC平行，直線PB_L平面4Clz）

B.直線PB與直線ZC異面，直線P8_L平面NOG8∣

C.直線P5與直線相交，直線PBU平面4δC∣

D.直線尸B與直線4。垂直，直線。8〃平面囪DlC

5.如圖，在四邊形/88中，AD//BC,AD=AB,NBCD=45。,ZBAD=90o,將△月8。沿

80折起，使平面/8。，平面88,構(gòu)成三棱錐4一8。，則在三棱錐/一8CD中，下列結(jié)

論正確的是（）

A.平面4801.平面48C

B.平面4DC_L平面BZ）C

C.平面48C_L平面8。C

D.平面力。C_L平面48C

6.（2022?中山模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體/8CD-小?GOl中，過(guò)48且與ZG平行的

平面交BG于點(diǎn)P,則PG等于（）

A.2B.√3C.√2D.1

二、多項(xiàng)選擇題

7.（2022?邵陽(yáng)模擬）如圖，在空間四邊形/8CD中，E,尸分別為43,4）的中點(diǎn)，G,H分別

在BC,CD上，且BG：GC=DH:HC=\:2,則（）

A.BD〃平面EGHF

B.戶(hù)H〃平面/8C

C.AC//EGHF

D.直線GE,HF,/C交于一點(diǎn)

8.如圖1,已知E為正方形/8CO的邊/8的中點(diǎn)，將△￡）/E沿邊Z）E翻折到aPDE,連接

PC,PB,EC,設(shè)廠為PC的中點(diǎn)，連接8尸，如圖2,則在翻折的過(guò)程中，下列命題正確的

是（）

AEBP

圖1圖2

A.存在某一翻折位置，使得。E〃平面尸BC

B.在翻折的過(guò)程中（點(diǎn)尸不在平面88￡內(nèi)），都有8尸〃平面

C.存在某一翻折位置，使得尸ELCO

D.若PD=CD=PC=4,則三棱錐產(chǎn)一CQE的外接球的表面積為華

三、填空題

9.已知/是平面α,夕外的直線，給出下列三個(gè)論斷：①I(mǎi)Hg②αLff;③K以其中兩個(gè)

論斷為條件，余下的論斷為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確命題：.（用序號(hào)表示）

10.三棱錐4一88中，AB=CD=I,過(guò)線段BC的中點(diǎn)E作平面E/G”與直線48,CD都

平行，且分別交8。，AD,4C于凡G,H,則四邊形￡7燈”的周長(zhǎng)為.

11.已知三棱臺(tái)NBC一?。的上、下底面均為正三角形，AB=I,小8∣=2,側(cè)棱長(zhǎng)441=

BBi=CCi,若則此棱臺(tái)的高為.

12.如圖，把邊長(zhǎng)為。的正方形NBCO沿對(duì)角線BO折起，使1,C的距離為“，則異面直線

AC與BD的距離為.

四、解答題

13.（2022?全國(guó)乙卷）如圖，四面體ZBCz）中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC

的中點(diǎn).

（1）證明：平面8￡D_L平面ZCZ）；

（2）設(shè)4B=BD=2,NZC8=60。，點(diǎn)F在8。上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐下一/BC

的體積.

14.(2022?黃山模擬)在直角梯形NBCO中，AD∕∕BC,A=^,AD=I,AB=2,BC=3,將梯

形沿中位線EF折起使AELBE,并連接AB,DC得到多面體AEB-DFC,連接DE,BD,

BF.

(1)求證：D∕=?L平面8ED；

(2)求點(diǎn)E到平面BDF的距離.

參考答案

1.D2.D3.B4.D

5.D［如圖所示，因?yàn)?D〃8C,ZBAD=90o,AD=AB,

所以四邊形NBCZ)為直角梯形.

且NABD=NADB=ZD5C=450.

又因?yàn)镹BCO=45。，

所以NCDB=90。,即CDLBD

又因?yàn)槠矫媪?。_L平面BCD,

平面/8Orl平面BCD=BD,

CDU平面8CΣ>,CDLBD,

所以CQ，平面Z8Z),

若平面Z8C_L平面/8。，那么8U平面/8C,顯然不成立，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)镃C>_L平面/8。，4BU平面4BD,所以CD_LN8.

又ADHCD=D,AD,COU平面/OC,所以平面/DC

又因?yàn)?8U平面N8C,所以平面48CJ"平面4OC,故D正確；

因?yàn)槠矫?8。，平面88,過(guò)點(diǎn)/作平面BCD的垂線/E,垂足E落在8。上，顯然垂線

不在平面/8C內(nèi)，所以平面48C與平面BDC不垂直，故C錯(cuò)誤，同理B也錯(cuò)誤.]

6.D[連接/囪，交/由于點(diǎn)。，連接Rh,PB,PQ,如圖所示.

因?yàn)镹G〃平面48P,ZGU平面∕B∣Cι,

且平面/SGrI平面A?BP=PQ,

所以/G〃尸°,又點(diǎn)。是NBi的中點(diǎn)，所以P是囪G的中點(diǎn)，

所以PeI=I.]

7.AD[因?yàn)?G：GC=。"："C,所以GH〃BD.又E,/分別為48,/D的中點(diǎn)，所以

EF//BD,且EF所以EF〃G/7.易知平面EG∕∕F,FV與/C為相交直線，即A

正確，B,C錯(cuò)誤；

因?yàn)镋/7/G為梯形，所以EG與切必相交，設(shè)交點(diǎn)為M,因?yàn)镋GU平面∕8C,FHU平面

ACD,則M是平面Z8C與平面/8的一個(gè)交點(diǎn)，所以M∈∕C,即直線GE,//凡/C交于

一點(diǎn)，所以D正確.]

8.BCD[對(duì)于A選項(xiàng)，取。C的中點(diǎn)G,連接8G,因?yàn)?E〃G。，BE=GD,所以四邊

形。EBG為平行四邊形，所以。E〃G8,而B(niǎo)G與平面P8C相交，所以。E與平面P8C相

交，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，連接尸G,則FG〃尸Q,也DE"GB,易證平面BFG〃平面EPD,而B(niǎo)FU平

面BFG,所以BF〃平面PDE,故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)镻ELPD,要使得PElCD,則PE_L平面PCD,則PEVPC,而EC=ED,

此時(shí)，只需要PC=Pz）即可，故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，由PO=CQ=PC=4可知，PEj_平面尸C。，PE=2,

設(shè)aPCQ的外接圓半徑為r,

則r=募不=竽，設(shè)三棱錐P-CDE的外接球半徑為R,

x<ollLUUJ

則R2=∕+（年>=（4目2+1=與，所以三棱錐P—CDE的外接球的表面積為4成2=竿，

故D選項(xiàng)正確.]

9.若①③，則②或若②③，則①（填寫(xiě)一個(gè)即可）

10.2

11亞

1?6

解析由已知可得該三棱臺(tái)為正三棱臺(tái)，

還原成棱錐如圖所示，由于下底邊長(zhǎng)是上底邊長(zhǎng)的兩倍，

大棱錐的高為棱臺(tái)的高的兩倍，取3C的中點(diǎn)。，SG的中點(diǎn)。，連接尸O,DDi,AD,

AiDl,0,。分別是上、下底面的中心，連接尸O,OOj.

易知尸，三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線.即為該棱臺(tái)的高.

D,JDlP,O,OiOOi

由正棱臺(tái)性質(zhì)可得8CJ_P。，BCLPO,PoCPDl=P,

PO,PAU平面PDMI,

.,.8C_L平面Pz)∕∣,必仁平面PzM1,J.BCVPA?,

平面故」平面尸

BBICBC=B,BBi,BCuP8∣C∣,448Q,

：.A\PLPD\.

又AB=I,JιSι=2,

PO2=AO×DO=^AD×jAD^AD2,4D=除AB=除,

PO=乎/D=乎=OO1.

12.∣

解析如圖，分別取ZC,8。的中點(diǎn)S,E,連接∕E,CE,SB,SD,SE.

則NE_L犯CELBD,

"ECCE=E,AE,CEU平面4CE,則8。_L平面ZCE,則SfLLBD,

AClSD,ACLSB,

又SDCSB=S,SD,SBu平面S8D,

則NUL平面S8。，則SE_L/C,

則SE是異面直線/C與8。的公垂線段，在ASbO中，SB=SO=竽ɑ,BD=巾a,

則SE=Y凈)一凈)得

則異面直線/C與8。的距離為今

13.(1)證明因?yàn)閆O=CD,E為/C的中點(diǎn)，所以ZCLOE

在和488中，因?yàn)閆o=C￡),NADB=NBDC,DB=DB,所以A4DB四ACDB,

所以BA=BC,

又E為ZC的中點(diǎn)，所以/CL8E.

因?yàn)锽ECDE=E,且BE,DEU平面BED,所以/CL平面BED,

又ZeU平面ACD,

所以平面8￡7)_L平面ACD.

(2)解由(1)可知?dú)vI=8C,又因?yàn)镹4C8=60。，AB=2,所以ANBC為邊長(zhǎng)為2的正三角

形，則∕C=2,

BE=?AE=?.

因?yàn)?0=8,ADLCD,所以△/￡>C為等腰直角三角形，

所以。E=L

又8。=2,所以BD2=BE2+DE2,

所以DELLEB.

連接ER圖略)，易知當(dāng)△//C的面積最小時(shí)，EF取最小值，

在RtABEO中，E廠的最小值為E到2。的距離，故當(dāng)△/FC的面積最小時(shí)，EF=Rx=

DU

正

2-

由射影定理知EFl=DFFB,

又DF+FB=BD=2,

13

所以。尸=],FB=

方法一因?yàn)?。E_L4C,DElBE,ACCBE=E,AC,BEU平面”8C,

BF3

所以。E_L平面ABC,則尸到平面ABC的距離d=-^zDE=~:.

bU4

故ΓF-JBC=∣5ΔJBC√=∣××4X∣=^^?

方法二由(1)知BDVAC,

又BDLEF,ACOEF=E,AC,

EFU平面NCF,

所以3。！.平面ZCG

所以8尸即8到平面ZC戶(hù)的距離，

故VF-ABC=VB-AFC-^AFC'BF

"C/=WXTX2x乎x'=半?

14.(1)證明由題意知ZO=I,BC=3,AD//EF