2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級下冊27.2.2相似三角形的性質(zhì) 同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)題

親愛的同學(xué)加油，給自己實(shí)現(xiàn)夢想的一個機(jī)會！第頁2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級下冊27.2.2相似三角形的性質(zhì)同步分層訓(xùn)練基礎(chǔ)題班級：姓名：親愛的同學(xué)，在做題時，一定要認(rèn)真審題，完成題目后，記得審查，養(yǎng)成好習(xí)慣！祝你輕松完成本次練習(xí)。一、選擇題1．如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上．若ADAC=AEAB=A．13 B．34 C．42．如圖，在△ABC中，DE∥BC，ADAB=13，若A．6 B．8 C．7 D．53．如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=3，BC=4，若△PAD與△PBC相似，則符合條件的點(diǎn)P個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．34．如果兩個相似三角形對應(yīng)周長之比是2∶3，那么它們的對應(yīng)邊之比是（）A．2∶3 B．4∶9 C．3∶2 D．9∶45．下列說法中，不正確的是（）A．全等圖形一定是相似圖形B．直角邊長分別是6，4和4.5，3的兩個直角三角形相似C．任意兩個矩形都相似D．三角形的重心分每一條中線成1：2的兩條線段6．如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的⊙O恰好經(jīng)過點(diǎn)C，AC，DO交于點(diǎn)E，已知AC平分∠BAD，∠ADC=90°，CD：BC=2：5，則CE：AEA．2：5 B．4：5 C．5：227．如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2，D為AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)E在邊A．1 B．2 C．1或32 8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6．點(diǎn)F是邊BC上一動點(diǎn)，過點(diǎn)F作FD//AB交AC于點(diǎn)D，E為線段DF的中點(diǎn)，當(dāng)BE平分∠ABC時，AD的長度為（）A．3011 B．4011 C．4811二、填空題9．已知兩個三角形相似，其中一個三角形的兩個角分別為、，則另一個三角形中最小的內(nèi)角為．10．兩個相似三角形對應(yīng)高的比為2：3，那么這兩個三角形的周長比為11．已知△ABC∽△DEF，其中頂點(diǎn)A、B、C分別對應(yīng)頂點(diǎn)D、E、F，如果∠A=45°，∠E=60°，那么∠C=°.12．有五本形狀為長方體的書放置在方形書架中，如圖所示，其中四本豎放，第五本斜放，點(diǎn)G正好在書架邊框上.每本書的厚度為5cm，高度為20cm，書架寬為40cm，則FI的長.13．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，若AD=2，BD=4，則CD為三、解答題14．如圖，已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連結(jié)AD，BE相交于點(diǎn)F.（1）求證：△BCE∽△AFE（2）若CE=6，CD=5，求AF的長。15．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC>90°，它的外角∠EAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，DC，DB交（1）若∠EAD=75°，求BC的度數(shù)．（2）求證：DB=DC．（3）若DA=DF，當(dāng)∠ABC=α，求∠DFC的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）．四、綜合題16．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，連結(jié)DE，∠ADE=∠ACB.（1）求證：△ADE∽△ACB.（2）如果E是AC的中點(diǎn)，AD=8，AB=10，求AE的長.17．如圖，矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，DF⊥AE于點(diǎn)F．（1）證明△ABE∽△DFA；（2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的長．

答案解析部分1．答案：C解析：解：∵

又∵∠DAE=∠CAB

∴△DAE∽△CAB

∴DEBC=AEAB=23

故答案為：C.

由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得△DAE∽△CAB，相似三角形的對應(yīng)邊之比等于相似比得DEBC2．答案：B解析：解：∵DE//BC

∴△ADE∽△ABC

∴S△ADES△ABC=ADAB2=132=19故答案為：B.

解決本題的主要依據(jù)是相似三角形的面積之比等于相似比.由DE//BC，得△ADE∽△ABC，于是S△ADES△ABC=ADAB3．答案：C解析：解：設(shè)AP=x，則BP=7-x

若△PAD與△PBC相似，則ADAP=PBBC或ADAP=BCPB

可得①3x=7?x4，或②3故答案為：C.

直角三角形相似，對應(yīng)邊成比例，此題利用兩條對應(yīng)邊成比例，由于題中沒有指明明確的對應(yīng)關(guān)系，故需分兩種情況討論，即ADAP4．答案：A解析：解：∵兩個相似三角形對應(yīng)周長之比是2:∴它們的對應(yīng)邊之比為2:故答案為：A.

相似三角形的周長的比等于相似比，據(jù)此求解即可．5．答案：C解析：解：A選項(xiàng)，全等圖形的形狀、大小完全一樣，所以全等圖形一定是相似圖形，該選項(xiàng)說法正確，不符合題意；B選項(xiàng)，直角邊長分別是6，4和4.5，3的兩個直角三角形滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，所以直角邊長分別是6，4和4.5，3的兩個直角三角形相似，該選項(xiàng)說法正確，不符合題意；C選項(xiàng)，任意兩個矩形，雖然角對應(yīng)相等，但是邊長不一定對應(yīng)成比例，所以任意兩個矩形，不一定是相似圖形，該選項(xiàng)說法錯誤，符合題意；D選項(xiàng)，三角形重心的性質(zhì)：重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為2：1，所以三角形的重心分每一條中線成1：2的兩條線段，該選項(xiàng)說法正確，不符合題意；故答案為：C.根據(jù)相似三角形的判定并結(jié)合各選項(xiàng)即可判斷求解.6．答案：D解析：解：如圖所示，連接OC∵AB是圓的直徑，∴∠ACB=∠ADC=90°，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAB，∠DAB=2∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴CDBC∴AC=2∴BC=AB∴CD=2又∵∠BOC=2∠CAB，∴∠BOC=∠DAB，∴AD∥OC，∴△OCE∽△DAE，∴CEAE故答案為：D.連接OC，先證△ADC∽△ACB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列方程，分別用含AB的式子白表示出AC、BC、AD、CD，再利用平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似可得△OCE∽△DAE，進(jìn)而再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求解.7．答案：D解析：解：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=2，

∴AC=2BC=4，AB=23，∠C=60°.

∵D為AB的中點(diǎn)，

∴AD=3.

∵ADAB=DEBC，

∴DE=1.

當(dāng)∠ADE=90°時，

∵∠ADE=∠ABC，ADAB=DEBC，

∴△ADE∽△ABC，

∴AEAC=ADBC=12，

∴AE=2.

當(dāng)∠ADE≠90°時，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，

∵D為AB的中點(diǎn)，H為AC的中點(diǎn)，

∴DH∥BC，DH=12BC=1，

∴∠AHD=∠C=60°，DH=DE=1，

∴∠DEH=60°，

8．答案：C解析：解：∵∠C=90°，AB=10，BC=6，

∴AC=AB2?BC2=102?62=8,

∵FD//AB,

∴∠BEF=∠ABE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠BFE，

∴∠BEF=∠BFE，

∴FE=FB,

∵E為線段DF的中點(diǎn)，

∴DE=EF,

∴DE=EF=BF,

∵FD//AB,

∴△CDF~△CAB,

∴故答案為：B.

先利用勾股定理求得AC的值，再利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)、線段中點(diǎn)的性質(zhì)求得DE=EF=BF,再證明△CDF~△CAB,利用相似三角形的性質(zhì)求得BF的值，進(jìn)而求得CD的值，從而求解.9．答案：45°解析：解：∵一個三角形的兩個角分別為72°,∴這個三角形的第三個角是180°?72°?63°=180°?135°=45°，∵兩個三角形相似，已知三角形中最小角是45°，∴另一個三角形的最小的內(nèi)角為45°．故答案為：45°．

根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理求解。根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°求出第三個角，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)角相等解答．10．答案：2解析：解：∵兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高的比為2:∴這兩個三角形的相似比為2:∴兩個相似三角形的周長比為2:故答案為：2:根據(jù)相似三角形周長的比、兩個相似三角形對應(yīng)邊上的高的比等于相似比求解．11．答案：75解析：解：∵△ABC∽△DEF，∠E=60°，∴∠B=∠E=60°，∴∠C=180°?∠A?∠B=180°?45°?60°=75°，故答案為：75.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠B=∠E=60°是解決問題的關(guān)鍵．12．答案：4017解析：解：由題意得：FG=5cm，BC=5×4=20(cm)，BI=40cm，EF=20cm，CD⊥BI，BI⊥GI，EF⊥GF，∴∠I=∠ECF=90°，∠GFI+∠EFC=∠FEC+∠EFC=90°，∴∠GFI=∠FEC，在△GFI和△FEC中，∠I=∠ECF=90°∠GFI=∠FEC∴△GFI～△FEC，∴FI設(shè)FI=xcm，則CF=BI?BC?FI=(20?x)cm，∴xCE=在Rt△FEC中，CF2+C解得x=4017或即FI=40故答案為：4017由題得FG=5cm，BC=20cm，BJ=40cm，EF=20cm，由同角的余角相等得∠GFI=∠FEC，證明△GFI∽△FEC，設(shè)FI=xcm，則CF=(20-x)cm，由相似三角形的性質(zhì)可得CE，由勾股定理求出x，據(jù)此可得FI.13．答案：2解析：Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠B=90又∵∠ACD=∠CDB=90∴△ACD～△CBD，∴CD2=AD?BD=8故答案為：2由題意用同角的余角相等可得∠ACD=∠B，根據(jù)直角都相等可得∠ACD=∠CDB，由相似三角形的判定可得△ACD～△CBD，可得比例式CDAD14．答案：（1）證明：（2）解：AF=解析：（1）首先從問題入手，本題讓求證△BCE~△AFE，那么我們就要思考相似三角形的判定定理都有哪些，然后再根據(jù)題中所給條件：根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠AEB=∠BEC=90°，最后根據(jù)同弧所對圓周角相等可得：∠EAF=∠DBF，即可證明出△BCE~△AFE.

（2）首先，由直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB=90°，其次，利用等腰三角形三線合一可得出：CD=BD=5，再次，在Rt△CBE中，根據(jù)勾股定理可以得到：BE=8，然后再通過已知條件證明出：△BCE~△BFD，再利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算出BF的值，進(jìn)而可算出EF的值，最后利用△BCE~△AFE.計(jì)算出AF的值即可.15．答案：（1）解：∵∠EAD=75°，AD平分∠EAC，∴∠EAC=2∠DAE=150°，∴∠BAC=180°?∠EAC=30°，∴BC的度數(shù)為30°×2=60°；（2）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD=180°，∵∠DAB+∠EAD=180°，∴∠EAD=∠BCD，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠CAD=∠BCD，∵∠CAD=∠CBD，∴∠BCD=∠CBD，∴DB=DC；（3）解：∵DA=DF，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD，∴△DAF∽△DBC，∴∠ADF=∠BDC，∵∠ABC=α，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，∴∠ADC=180°?α，∴∠ADF=90°?α∴∠DAF=∠DFA=(180°?∠ADF)÷2=45°+α∴∠DFC=180°?∠DFA=135°?α解析：(1)在圓中，要求BC的度數(shù)，求出BC所對的圓周角或圓心角即可；由∠EAD=75°，AD平分∠EAC，得∠EAC=2∠DAE=150°，∠BAC=180°?∠EAC=30°，弧的度數(shù)等于所對圓周角度數(shù)的2倍，故BC的度數(shù)為30°×2=60°.

(2)圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角，同弧所對圓周角相等；由AD平分∠EAC得∠EAD=∠DAC，∠EAD=∠CAD=∠DBC=∠DCB，故DB=DC.

(3)由DA=DF得，∠DAF=∠DFA，由同弧所對圓周角相等，得∠DAF=∠DFA=∠CBD=∠BCD，故△DAF∽△DBC，∠ADF=∠BDC，由圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)得∠ADC=180°?α，∠ADF=12∠ADC=90°?α216．答案：（1）證明：∵∠ADE=∠ACB∠A=∠A

∴△ADE∽△ACB（2）解：∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)

∴AC=2AE∵△ADE∽△ACB

∴ADAC=∴AE2=40

∴AE=解析：（1）根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可證明；

（2）根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例建立方程，求解即可.17．答案：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠B=90°，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°=