數(shù)學(xué)物理方程課件

zyx11O

復(fù)變函數(shù)代數(shù)表示:

x,y

為實(shí)數(shù)，i為單位虛數(shù)，則且x為其實(shí)部，y為虛部，記1.1.

復(fù)數(shù)

為復(fù)數(shù)且和主值復(fù)共軛又稱為模其它概念x軸為實(shí)軸，y軸為虛軸，構(gòu)成復(fù)數(shù)平面復(fù)數(shù)z為此平面上的一點(diǎn)幾何表示從幾何上看，復(fù)數(shù)又是此平面上的一個(gè)矢量為矢量長度為幅角記復(fù)數(shù)的運(yùn)算加法減法乘法除法冪（n整數(shù)）根逼近測地投影和無限遠(yuǎn)點(diǎn)如左圖，一球的南極與復(fù)數(shù)平面的原點(diǎn)相切，平面上任意點(diǎn)

A

與球的北極由一條直線相連，直線與球相交于A’。由此，每一有限的復(fù)數(shù)投影到球上一點(diǎn)。這個(gè)投影叫測地投影，這個(gè)球叫復(fù)數(shù)球。所有的無窮大復(fù)數(shù)（平面上無限遠(yuǎn)點(diǎn)）投影到唯一的北極

N。故我們?yōu)榉奖?，將無窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作一個(gè)點(diǎn)。其模無窮大，幅角無意義。復(fù)數(shù)z

是兩個(gè)獨(dú)立變量(x,y)的集合。它在數(shù)值計(jì)算中是一個(gè)整體，服從通常的四則運(yùn)算規(guī)則和虛單位的特殊規(guī)則；它可以看作具有兩個(gè)獨(dú)立分量的量來表示（矢量）和計(jì)算。小結(jié)1.2.

復(fù)變函數(shù)比較與實(shí)變函數(shù)相對應(yīng)的定義實(shí)函數(shù)：xx定義域、值域y=f(x)y=f(x)復(fù)函數(shù)定義域值域定義

在復(fù)平面上一點(diǎn)集E

中每一點(diǎn)，都有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，稱為z的函數(shù)，E為定義域，記

定義域值域E實(shí)函數(shù)：定義:

對于實(shí)數(shù)域中一區(qū)域B

中的每一實(shí)數(shù)

x

，都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)y與之對應(yīng)。則稱y為x

的函數(shù)。B為此函數(shù)的定義域，記。連續(xù)，可微：n

次可微無限可微鄰域區(qū)域B的內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)境界點(diǎn)境界線區(qū)域內(nèi)點(diǎn)組成的連通集合閉區(qū)域區(qū)域和境界線的全體全體境界點(diǎn)的集合不是內(nèi)點(diǎn)，也不是外點(diǎn)的點(diǎn)。z

和它的鄰域都不屬于

B，則z

為

B的外點(diǎn)。z

和它的鄰域都屬于B，則z

為B

的內(nèi)點(diǎn)。復(fù)平面上圓內(nèi)點(diǎn)的集合幾個(gè)概念zzr區(qū)域例多項(xiàng)式有理分式根式指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)雙曲函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)連續(xù)：或：視z為矢量這是平面上的矢量場可以設(shè)矢量函數(shù)1.3.

導(dǎo)數(shù)定義運(yùn)算規(guī)則復(fù)函數(shù)是一個(gè)二元函數(shù)（實(shí)部和虛部），復(fù)數(shù)空間又是個(gè)二元空間，故復(fù)函數(shù)類似于一個(gè)矢量場，其導(dǎo)數(shù)一般應(yīng)與方向有關(guān)?？蓪?dǎo)：對任何方向的，極限都存在并唯一?？蓪?dǎo)：對任何方向的，極限都存在并唯一。xyz復(fù)數(shù)0x實(shí)數(shù)因此，復(fù)函數(shù)的可導(dǎo)性是比實(shí)函數(shù)的可導(dǎo)性強(qiáng)的多的條件?？挛鳌杪匠萄貙?shí)軸沿虛軸可導(dǎo)，要求二者相等必要條件柯西—黎曼方程必要條件可導(dǎo)的充分條件:的存在，連續(xù)且滿足柯西—黎曼方程。1.4.

解析函數(shù)在點(diǎn)

解析，即在這點(diǎn)可導(dǎo)。為在區(qū)域B中解析函數(shù)，即在區(qū)域的點(diǎn)點(diǎn)解析。性質(zhì)曲線族相互正交。即由柯西—黎曼方程兩族曲線的梯度正交兩族曲線正交(1)已知U

求V當(dāng)它們是某解析函數(shù)的實(shí)部和虛部可由(1)曲線積分

(2)湊全微分顯式

(3)不定積分求出滿足拉普拉斯方程由柯西—黎曼方程調(diào)和函數(shù)(2)例求解:

u

是調(diào)和函數(shù);(1)二元函數(shù)的線積分，將來在熱力學(xué)中出現(xiàn)。全微分的積分與路徑無關(guān)(2)(3)視x

為參量，對y

積分求滿足的方程小結(jié)

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義是實(shí)函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義的自然推廣。復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性是很強(qiáng)的要求，必要條件是柯西－黎曼方程。充分條件是函數(shù)的實(shí)部與虛部的導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)并滿足柯西－黎曼方程。解析函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。

復(fù)變函數(shù)的積分

定義沿曲線的積分為極限2.1積分xyOzvuO性質(zhì)：常數(shù)因子可以移到積分號外。函數(shù)的和的積分等于各函數(shù)積分之和，反轉(zhuǎn)積分路徑，積分反號，全路徑上的積分等于各段上積分之和?；蚩煽醋鲗?shí)矢量場的積分沿y=xz沿柯西定理由于復(fù)變函數(shù)可以看作平面上的實(shí)矢量場，它的積分可以應(yīng)用實(shí)矢量場的積分來研究閉路l

上的積分連續(xù)，且同理連續(xù)，且在S這兩個(gè)條件就是柯西－黎曼公式。因此柯西定理：在某閉區(qū)域解析的函數(shù)，它沿此區(qū)域邊界的積分為零。奇點(diǎn)復(fù)變函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)。孤立奇點(diǎn)復(fù)變函數(shù)在其有限小鄰域可導(dǎo)的奇點(diǎn)。含孤立奇點(diǎn)的區(qū)域，可將其每個(gè)奇點(diǎn)的有限小鄰域挖掉，使原區(qū)域變?yōu)閺?fù)通區(qū)域在A

圍成的區(qū)域中含的孤立奇點(diǎn)，引入曲線將此奇點(diǎn)挖掉，余下的區(qū)域（復(fù)連通區(qū)域）中解析。由柯西定理或又

與方向相反，但與方向相同。2.2.柯西定理閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線的積分為零。閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向的積分和為零。閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)鐘方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)鐘方向的積分的和。固定起點(diǎn)和終點(diǎn)，積分路徑的連續(xù)形變不改變積分并且整數(shù)

一個(gè)公式全平面解析，積分只與起、終點(diǎn)有關(guān)。改沿實(shí)軸2.3不定積分由柯西定理，在單通區(qū)域，解析函數(shù)沿任意路徑的積分只與起點(diǎn)與終點(diǎn)有關(guān)。于是在這樣的區(qū)域中，任意選取兩點(diǎn)作起點(diǎn)和終點(diǎn)，唯一確定了復(fù)變函數(shù)的一個(gè)積分值?；蛘哒f，對于固定起點(diǎn)，積分是積分上限的單值函數(shù)。并且可以證明這是解析函數(shù)，有。即它是原函數(shù)。并且，例計(jì)算a.在回路之外，無論何n此積分為零。b.在回路之內(nèi)，，被積函數(shù)解析，積分為零。c.在回路之內(nèi)，，將回路變形為以為圓心的半徑為

的圓。積分變?yōu)楣?.在C外2.3.4.002iπ2.4柯西公式1.若在閉單通區(qū)域上解析，為的境界線，為內(nèi)任一點(diǎn)，則有柯西公式證明由有

為函數(shù)的奇點(diǎn)。以為圓心，為半徑作圓，函數(shù)為單值解析函數(shù)，且2.導(dǎo)數(shù)公式證明自然完成作數(shù)值估計(jì)故復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)；變項(xiàng)級數(shù)（函數(shù)級數(shù)）；冪級數(shù)；冪級數(shù)對復(fù)變函數(shù)研究的應(yīng)用：泰勒級數(shù)；洛朗級數(shù)，函數(shù)的奇異性研究。3.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)級數(shù)是無窮項(xiàng)的和1.級數(shù)的收斂和柯西判據(jù)復(fù)無窮級數(shù)每一項(xiàng)為收斂如果極限存在并有限收斂：充要條件是其實(shí)部與虛部都收斂柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是，對于一小的正整數(shù)，必存在一N

使得n>N

時(shí)有式中p

為任意正整數(shù)。2.絕對收斂收斂。兩個(gè)絕對收斂的和，積，仍絕對收斂。3.復(fù)變項(xiàng)級數(shù)的每一項(xiàng)都是復(fù)變函數(shù)。實(shí)際上，對于z的一個(gè)確定值，復(fù)變項(xiàng)級數(shù)變成一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)。則原級數(shù)收斂。復(fù)變項(xiàng)級數(shù)有一個(gè)定義域B

。它的收斂的概念應(yīng)當(dāng)是相對于這個(gè)定義域而言的。收斂復(fù)變項(xiàng)級數(shù)在其定義域B中每一點(diǎn)都收斂，則稱在B中收斂。它滿足柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是，對于一小正整數(shù)，必存在一N(z)

使得n>N(z)

時(shí)有一致收斂當(dāng)N

與z無關(guān)時(shí)。即對B

中所有點(diǎn)給定，就有一個(gè)統(tǒng)一的N

使判據(jù)得到滿足。

一致收斂的級數(shù)的每一項(xiàng)若為連續(xù)函數(shù)，級數(shù)也將是連續(xù)函數(shù)。在一條曲線上可以逐項(xiàng)積分。絕對一致收斂在區(qū)域B中，復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的各項(xiàng)滿足

而數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂。即在各點(diǎn)都絕對收斂給定

收斂，但與z的位置有關(guān)。3.2冪級數(shù)冪函數(shù)的復(fù)變項(xiàng)級數(shù)對于各復(fù)常數(shù)級數(shù)叫以為中心的冪級數(shù)。1.定義(3.2.1)z02.收斂的達(dá)朗貝爾判據(jù)研究(3.2.1)的模的如下級數(shù)滿足則實(shí)冪級數(shù)(3.2.2)收斂，且復(fù)冪級數(shù)(3.2.1)絕對收斂。(3.2.1)(3.2.2)則實(shí)冪級數(shù)(3.2.2)收斂，且復(fù)冪級數(shù)(3.2.1)絕對收斂。3.收斂圓記有收斂圓R叫收斂半徑，以為圓心，R為半徑的圓叫冪級數(shù)的最簡單的收斂區(qū)域。保證冪級數(shù)在圓內(nèi)的點(diǎn)上絕對收斂，而在圓外可能發(fā)散。圓外仍有區(qū)域是收斂的。根值判別法(3.2.2)收斂，(3.2.1)絕對收斂。(3.2.2)發(fā)散，(3.2.1)發(fā)散。故當(dāng)，(3.2.1)絕對收斂。當(dāng)，(3.2.1)可能發(fā)散。故例(1)解：收斂半徑:收斂圓內(nèi)部為其實(shí)，對于(2)但對于顯然級數(shù)發(fā)散。解：收斂圓實(shí)際上對于4.冪級數(shù)的積分表示利用柯西公式在一個(gè)比收斂圓C內(nèi)稍小的圓C’中冪級數(shù)絕對一致收斂，故可沿這個(gè)圓逐項(xiàng)積分。記C’上點(diǎn)為，而C’內(nèi)任一點(diǎn)為z，則圓上的冪級數(shù)為利用柯西公式得而有界，又乘以冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項(xiàng)求導(dǎo)。還可以逐項(xiàng)積分。3.3泰勒級數(shù)展開具有無限階導(dǎo)數(shù)的實(shí)函數(shù)可以展開為泰勒級數(shù)。復(fù)變函數(shù)中的解析函數(shù)具有無限階導(dǎo)數(shù)，故應(yīng)可展開為泰勒級數(shù)。定理設(shè)在以為圓心的圓內(nèi)解析，則對圓內(nèi)任意點(diǎn)，可展開為其中證明：又#關(guān)鍵在確定，但這不是唯一的方法例(1)解：#能直接求導(dǎo)就求導(dǎo)(2)解：#(3)

是多值函數(shù)，各分支在支點(diǎn)相連。但不是支點(diǎn)，在其的鄰域各分支相互獨(dú)立。因此，我們可以只討論展開的主值。解：主值#(4)解：定義顯然是主值，此時(shí)有即二項(xiàng)式定理。#方法與實(shí)函數(shù)同，但應(yīng)注意主值。最普通的辦法，仍是逐級求導(dǎo)。(5)極點(diǎn)在不同的冪級數(shù)在不同的區(qū)域與函數(shù)相同。這里存在什么樣的關(guān)系？設(shè)在小圓在大圓。問題在于3.4解析延拓例如和等式兩邊在收斂圓內(nèi)是相同的，但在收斂圓外等式不一定成立。注意，等式的左邊僅在收斂圓內(nèi)有意義，但等式的右邊除t=1（前一個(gè)）或,在整個(gè)復(fù)平面上解析。因此，問：已知，求在之外的F(t)。這個(gè)答案是已知的

于是提出問題：已知f(z)在b

中解析，是否存在F(z)在B

中解析，且在b

中F(z)=f(z)。這個(gè)過程叫解析延拓。解析延拓的方法在b中取點(diǎn)，又取的一個(gè)鄰域，j將f(z)展開為泰勒級數(shù)。如果這個(gè)級數(shù)的收斂圓的一部分超出區(qū)域b進(jìn)入?yún)^(qū)域B則此函數(shù)的解析區(qū)域得以擴(kuò)大。逐步使用這種方法，可以逐漸將函數(shù)解析延拓?？梢宰C明，無論采用何種方法，函數(shù)f(z)的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進(jìn)行解析延拓。在點(diǎn)z0收斂、絕對收斂。在定義域，收斂、一致收斂、絕對一致收斂級數(shù)冪級數(shù)泰勒級數(shù)解析函數(shù)解析延拓是否可以將一個(gè)解析函數(shù)的解析區(qū)域擴(kuò)大？在收斂圓內(nèi)可逐項(xiàng)積分可作為被積函數(shù)，被積函數(shù)不一定是解析函數(shù)。3.5洛朗展開泰勒展開必須在函數(shù)的解析區(qū)域才可進(jìn)行。在函數(shù)的奇點(diǎn)的鄰域，是否存在相應(yīng)的展開？(2)

泰勒級數(shù)的解析區(qū)域?yàn)橐皇諗繄A，收斂圓不可包含奇點(diǎn)，但若研究一個(gè)級數(shù)，它以圓環(huán)作收斂區(qū)域，則奇點(diǎn)可以取作圓心，它在收斂環(huán)之外。這種級數(shù)為洛朗級數(shù)泰勒級數(shù)是只具有正冪項(xiàng)的冪級數(shù)，奇點(diǎn)易出現(xiàn)在負(fù)冪項(xiàng)，故考慮有負(fù)冪的級數(shù)1.收斂環(huán)設(shè)其收斂半徑為，則其在圓外部收斂。

故此級數(shù)在收斂。這個(gè)區(qū)域叫收斂環(huán)。其中正冪部分的收斂半徑為。負(fù)冪部分寫作2.定理

設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域的內(nèi)部單值解析，則在環(huán)內(nèi)任一點(diǎn)z，f(z)可以展開為冪級數(shù)其中證：沿沿兩個(gè)積分回路的方向相反，由柯西定理，沿的積分可變?yōu)檠氐姆e分（差一個(gè)負(fù)號）如下#此為洛朗展開在奇點(diǎn)附近的展開3.例(1)

在的鄰域展開。f(z)無定義。但在挖去原點(diǎn)的環(huán)域（整個(gè)復(fù)平面）中又此級數(shù)又可以看作f(z)的到整個(gè)復(fù)平面的解析延拓。利用泰勒展開(2)在環(huán)域中將展開。還是利用泰勒展開f(z)的奇點(diǎn)不是Z=0，而是z=1,-1。(3)在的鄰域?qū)⒄归_。(z-1)的冪級數(shù)在(4)利用取得無限多負(fù)冪(5)習(xí)題14z

的冪級數(shù)A.B.3.6孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)f(z)除在的小鄰域外處處可導(dǎo)。在挖去的小鄰域外解析。其正冪叫解析部分，負(fù)冪叫主要部分。叫留數(shù)C.可去奇點(diǎn)冪級數(shù)無負(fù)冪項(xiàng)時(shí)的極點(diǎn)冪級數(shù)僅含有限m

個(gè)負(fù)冪項(xiàng)時(shí)的M為極點(diǎn)的階，一階極點(diǎn)稱單極點(diǎn)本性奇點(diǎn)含無窮多負(fù)冪項(xiàng)時(shí)的例(1)中

為可去奇點(diǎn)例(3)中出現(xiàn)一階極點(diǎn)。留數(shù)為例(4)中出現(xiàn)本性奇點(diǎn)。留數(shù)為例(5)中情況A中無奇點(diǎn)，情況B中出現(xiàn)本性奇點(diǎn)，留數(shù)為

情況C中出現(xiàn)本性奇點(diǎn)，留數(shù)為小結(jié)：復(fù)變函數(shù)存在兩種基本的冪級數(shù)展開，在解析點(diǎn)附近鄰域的泰勒展開和在奇點(diǎn)附近的洛朗展開。泰勒展開只有正冪項(xiàng)，而洛朗展開含有負(fù)冪項(xiàng)。根據(jù)負(fù)冪項(xiàng)可以判斷孤立奇點(diǎn)的種類。階段總結(jié)柯西定理：在某閉區(qū)域解析的函數(shù)，它沿此區(qū)域邊界的積分為零。洛朗展開？留數(shù)定理

留數(shù)定理4.1留數(shù)定理

回憶柯西定理：如果f(z)是復(fù)閉通區(qū)域上的解析函數(shù)，則這樣的積分不為零，必定包含奇點(diǎn)。因此，研究奇點(diǎn)是求積分的第一要?jiǎng)?wù)。1.定理設(shè)函數(shù)f(z)在回路l所圍區(qū)域B

是除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，外解析，在閉區(qū)域上除點(diǎn)外連續(xù)，則又：證明如圖，當(dāng)區(qū)域中含有一個(gè)孤立奇點(diǎn)時(shí)在其收斂環(huán)可寫當(dāng)區(qū)域中有n個(gè)孤立奇點(diǎn)時(shí)#柯西定理閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)鐘方向的積分等于沿所有內(nèi)境界線逆時(shí)鐘方向的積分的和。一個(gè)孤立奇點(diǎn)當(dāng)區(qū)域中有n個(gè)孤立奇點(diǎn)時(shí)#2.留數(shù)的計(jì)算A.單極點(diǎn)的情況：

作為冪零項(xiàng)B.m

階極點(diǎn)的情況m-1次求導(dǎo)后項(xiàng)為冪零項(xiàng)首先－必須確定極點(diǎn)的階！分析＋經(jīng)驗(yàn)3.例(1)處的留數(shù)。解分母的因式分解一個(gè)單極點(diǎn)(2)求的極點(diǎn)，以及在極點(diǎn)上的留數(shù)。解極點(diǎn)為無窮多個(gè)單極點(diǎn)(3)求的極點(diǎn)，以及在極點(diǎn)上的留數(shù)。解A.單極點(diǎn)

(4)計(jì)算沿單位圓的如下回路積分。解尋找被積函數(shù)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)，即它的分母在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)。B.3階極點(diǎn)其中在單位圓外。又在單位圓內(nèi)4.2應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分

留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)的定理，若要在實(shí)變函數(shù)定積分中應(yīng)用，必須將實(shí)變函數(shù)變?yōu)閺?fù)變函數(shù)。這就要利用解析延拓的概念。留數(shù)定理又是應(yīng)用到回路積分的，要應(yīng)用到定積分，就必須將定積分變?yōu)榛芈贩e分中的一部分。如圖，對于實(shí)積分，變量x

定義在閉區(qū)間[a,b](線段)，此區(qū)間應(yīng)是回路

的一部分。實(shí)積分要變?yōu)榛芈贩e分，則實(shí)函數(shù)必須解析延拓到復(fù)平面上包含回路的一個(gè)區(qū)域中，而實(shí)積分成為回路積分的一部分：左邊可以利用留數(shù)定理，右邊對的積分在解析延拓允許的情況下，可以自由選擇，通常選擇使積分最易完成。這樣可以完成實(shí)變函數(shù)定積分?，F(xiàn)在，大部分這樣的積分可以應(yīng)用計(jì)算軟件完成，我們在這兒只給出最基礎(chǔ)的類型。類型一：三角函數(shù)的有理式的積分變量變換積分區(qū)域變換：線段到單位圓。例解類型二：其中，復(fù)變函數(shù)f(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；當(dāng)z

在實(shí)軸和上半平面趨于無窮大時(shí)，zf(z)一致地趨于零。這個(gè)積分通?？醋鳛闃O限而當(dāng)時(shí)，此極限稱為I的主值例n為正整數(shù).解：上半平面上有n

階極點(diǎn)i

。類型一：三角函數(shù)的有理式的積分變量變換類型二：f(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外解析；當(dāng)z

在實(shí)軸和上半平面趨于無窮大時(shí)，zf(z)一致地趨于零。類型三：偶函數(shù)F(z)和奇函數(shù)G(z)在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的；當(dāng)z在實(shí)軸和上半平面趨于無窮大，F(xiàn)(z)和G(z)一致地趨于零。作變換約當(dāng)引理對于正整數(shù)m,上述極點(diǎn)沿的積分為證同理只需證明有界。是一條對角線，在范圍內(nèi)，m負(fù)，則#例解：在上半平面有二階極點(diǎn)偶函數(shù)解析延拓

傅里葉變換利用三角級數(shù)的周期性來展開周期函數(shù)5.1傅里葉級數(shù)

周期函數(shù)的傅里葉展開；奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開；有限區(qū)間中的函數(shù)的的傅里葉展開；復(fù)數(shù)形式的的傅里葉展開；。復(fù)變項(xiàng)級數(shù)冪級數(shù)的函數(shù)形式與周期是任意的，說道周期與形式是固定的。要通過三角函數(shù)表示f(x)，則必須a.改變?nèi)呛瘮?shù)的周期為2l。b.組合各種周期的三角函數(shù)來表現(xiàn)f(x)。這就是傅里葉級數(shù)。三角函數(shù)族：1.周期函數(shù)的傅里葉展開周期為2l

的函數(shù)f(x)滿足a.2l

周期性b.按三角函數(shù)族展開不同的函數(shù)形式由不同的組的和表示。同樣(5.1.3)此為傅里葉級數(shù)展開三角函數(shù)組具有正交性(5.1.4)因此(5.1.5)

此為傅里葉系數(shù)此外，三角函數(shù)族還有完備性，即這個(gè)函數(shù)族足夠展開任何周期函數(shù)。函數(shù)和級數(shù)并不完全是一個(gè)東西，例如冪級數(shù)就有收斂域的問題。故必須討論它們在什么條件下完全一致狄里希利定理

若函數(shù)f(z)滿足條件(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則三角級數(shù)(5.1.3)收斂，且其中例交流電壓經(jīng)過半波整流后的傅立葉級數(shù)。解周期為和頻譜各個(gè)頻率分量的幅度頻率幅度20E通常，函數(shù)f(t)表示某系統(tǒng)的按時(shí)間變化的性質(zhì)，叫在時(shí)域中的表示的性質(zhì)。而頻譜表示這種性質(zhì)在頻域中的表示。因此，傅里葉級數(shù)也是一種從時(shí)域到頻域的變換。頻率幅度20E2.奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開是奇函數(shù)，是偶函數(shù)。故奇函數(shù)

f(z)有其中偶函數(shù)

f(z)有其中例周期矩形波奇函數(shù)頻域中的圖示由你們給出3.有限區(qū)間中的函數(shù)的的傅里葉展開f(x)定義于(0,l).可以認(rèn)為它是某個(gè)周期為2l的函數(shù)在半個(gè)周期中的部分。即令此周期函數(shù)為g(x),在半周期(0,l)中g(shù)(x)=f(x).

這種做法叫延拓。例偶延拓奇延拓4.復(fù)數(shù)形式的的傅里葉其中例矩形波5.2傅里葉積分與傅里葉變換周期函數(shù)變?yōu)楦道锶~級數(shù)，被看作周期函數(shù)從時(shí)域到頻域的變換。不過，由于時(shí)域的函數(shù)具有周期性，頻域的函數(shù)是離散的級數(shù)。如果時(shí)域的函數(shù)失去周期性，到頻域的變換如何實(shí)現(xiàn)？頻域的函數(shù)形式又是什么樣的呢？有限區(qū)間的函數(shù)可以延拓為周期函數(shù)。因此，失去周期性的時(shí)域中的函數(shù)的定義域當(dāng)為。從方便于研究而言，它又可以看作為周期趨于無窮大的函數(shù)。設(shè)g(x)為周期函數(shù)，有如下傅里葉展開1.傅里葉積分令：則(5.2.1)若有限，則(5.2.1)中的余弦部分的極限為：同理，正弦部分的極限為：故其中(5.2.4)(5.2.5)(5.2.4)是f(x)的傅里葉積分，(5.2.5)為它的傅里葉變換。為某函數(shù)從時(shí)域到頻域的變換。頻域中的函數(shù)可能是連續(xù)的。傅里葉積分定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間上滿足條件(1)在任意有限區(qū)間滿足狄里希利條件；(2)在區(qū)間上絕對可積（即收斂），則f(x)可表為傅里葉積分，且傅里葉積分值=

2.振幅譜和相位譜又可寫為振幅譜為相位譜連續(xù)點(diǎn)間斷點(diǎn)

3.奇、偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)例定義矩形函數(shù)為將矩形脈沖展開作傅里葉積分。偶函數(shù)(1)4.復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分原函數(shù)像函數(shù)表示為原函數(shù)到像函數(shù)的正變換像函數(shù)到原函數(shù)的反變換例同前例證明：5.傅里葉變換的基本性質(zhì)(1)導(dǎo)數(shù)定理#(2)積分定理記則由導(dǎo)數(shù)定理即#(3)相似性定理通常將變換f(x)f(ax)稱為相似變換，它將測量的尺子的單位改變?yōu)樵瓉韱挝坏?/a，相應(yīng)地，測量的長度值變?yōu)樵档腶倍，而保持函數(shù)的形式不變。有時(shí)也叫尺度變換。#證明(4)延遲定理x看作時(shí)間，記時(shí)由x到x-x0

表示提前了x0。記作“延遲”是習(xí)慣說法。證明證明#(5)位移定理頻域的位移(6)卷積定理原函數(shù)的卷積與像函數(shù)的乘積間的關(guān)系若和則卷積：證明#一維變換到高維空間中的變換三維相互獨(dú)立也相互獨(dú)立6.多重傅里葉積分矢量表示5.3函數(shù)1.作為廣義函數(shù)的引入物理上，存在這樣的物理量，在無限小的范圍內(nèi)具有有限大小的量。這樣的量的密度為無窮大，但是在整個(gè)空間，這個(gè)物理量的總量卻為有限。

函數(shù)作為密度被引入。例如，電子電量是有限的。電子的半徑的測量上限隨測量精度提高，上限越來越小，趨于零。理論研究也得出電子半徑為零的結(jié)果。于是，當(dāng)空間存在一個(gè)電子時(shí)，這時(shí)空間中的電荷密度就由函數(shù)來表示。數(shù)學(xué)上可以將無限小的范圍看作有限大小范圍的極限一維考慮線質(zhì)量密度

全空間總質(zhì)量的極限全空間總質(zhì)量不變密度因此，作為廣義函數(shù)引入函數(shù)：則

又，對2.一些性質(zhì)(1)偶函數(shù)從圖形可以看出(2)階躍函數(shù)或亥維賽單位函數(shù)(3)挑選性對連續(xù)函數(shù)(4)表示連續(xù)量持續(xù)于[0,1]的力F(t)的沖量為各無窮小時(shí)間段的沖量之和。各無窮小時(shí)段上的連續(xù)力的沖量可以看作瞬時(shí)力的沖量(5)復(fù)合函數(shù)若的實(shí)根全部是單根，則例3.其它表示4.傅里葉變換例階躍函數(shù)的傅里葉變換不滿足傅立葉積分定理，不能直接給出其傅立葉變換，必須采用某種變通辦法定義函數(shù)系列：，顯然5.多維情況小結(jié)傅立葉級數(shù)和傅立葉積分是通過積分實(shí)現(xiàn)的從時(shí)域到頻域的復(fù)變換，提供在頻域表示函數(shù)性質(zhì)的方法。B.周期函數(shù)變換為離散級數(shù),非周期函數(shù)變換為積分。C.傅立葉積分的若干性質(zhì),有利于其應(yīng)用。D.函數(shù)和階躍函數(shù)。

傅里葉變換利用三角級數(shù)的周期性來展開周期函數(shù)5.1傅里葉級數(shù)

周期函數(shù)的傅里葉展開；奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開；有限區(qū)間中的函數(shù)的的傅里葉展開；復(fù)數(shù)形式的的傅里葉展開；。1.周期函數(shù)的傅里葉展開周期為2l

的函數(shù)f(x)滿足周期的函數(shù)形式與周期是任意的，說道周期與形式是固定的。要通過三角函數(shù)表示f(x)，則必須a.改變?nèi)呛瘮?shù)的周期為2l。b.組合各種周期的三角函數(shù)來表現(xiàn)f(x)。這就是傅里葉級數(shù)。三角函數(shù)族：a.2l

周期性b.按三角函數(shù)族展開不同的函數(shù)形式由不同的組的和表示。同樣三角函數(shù)組具有正交性(5.1.4)(5.1.3)此為傅里葉級數(shù)展開因此其中(5.1.5)此為傅里葉系數(shù)此外，三角函數(shù)族還有完備性，即這個(gè)函數(shù)族足夠展開任何周期函數(shù)。函數(shù)和級數(shù)并不完全是一個(gè)東西，例如冪級數(shù)就有收斂域的問題。故必須討論它們在什么條件下完全一致狄里希利定理

若函數(shù)f(z)滿足條件(1)處處連續(xù)，或在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；(2)在每個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則三角級數(shù)(5.1.3)收斂，且例交流電壓經(jīng)過半波整流后的傅立葉級數(shù)。解周期為和頻譜頻率幅度各個(gè)頻率分量的幅度通常，函數(shù)f(t)表示某系統(tǒng)的按時(shí)間變化的性質(zhì)，叫在時(shí)域中的表示的性質(zhì)。而頻譜表示這種性質(zhì)在頻域中的表示。因此，傅里葉級數(shù)也是一種從時(shí)域到頻域的變換。2.奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開是奇函數(shù)，是偶函數(shù)。故奇函數(shù)

f(z)有其中偶函數(shù)

f(z)有其中例周期矩形波奇函數(shù)頻域中的圖示由你們給出3.有限區(qū)間中的函數(shù)的的傅里葉展開f(x)定義于(0,l).可以認(rèn)為它是某個(gè)周期為2l的函數(shù)在半個(gè)周期中的部分。即令此周期函數(shù)為g(x),在半周期(0,l)中g(shù)(x)=f(x).

這種做法叫延拓。例偶延拓奇延拓4.復(fù)數(shù)形式的的傅里葉其中例矩形波5.2傅里葉積分與傅里葉變換周期函數(shù)變?yōu)楦道锶~級數(shù)，被看作周期函數(shù)從時(shí)域到頻域的變換。不過，由于時(shí)域的函數(shù)具有周期性，頻域的函數(shù)是離散的級數(shù)。如果時(shí)域的函數(shù)失去周期性，到頻域的變換如何實(shí)現(xiàn)？頻域的函數(shù)形式又是什么樣的呢？有限區(qū)間的函數(shù)可以延拓為周期函數(shù)。因此，失去周期性的時(shí)域中的函數(shù)的定義域當(dāng)為。從方便于研究而言，它又可以看作為周期趨于無窮大的函數(shù)。設(shè)g(x)為周期函數(shù)，有如下傅里葉展開令：則(5.2.1)1.傅里葉積分若有限，則(5.2.1)中的余弦部分的極限為：同理，正弦部分的極限為：故其中(5.2.4)(5.2.5)(5.2.4)是f(x)的傅里葉積分，(5.2.5)為它的傅里葉變換。為某函數(shù)從時(shí)域到頻域的變換。頻域中的函數(shù)可能是連續(xù)的。傅里葉積分定理：若函數(shù)f(x)在區(qū)間上滿足條件(1)在任意有限區(qū)間滿足狄里希利條件；(2)在區(qū)間上絕對可積（即收斂），則f(x)可表為傅里葉積分，且傅里葉積分值=。2.振幅譜和相位譜又可寫為振幅譜為相位譜3.奇、偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)例定義矩形函數(shù)為將矩形脈沖展開作傅里葉積分。偶函數(shù)(1)4.復(fù)數(shù)形式的傅里葉積分表示為原函數(shù)像函數(shù)原函數(shù)到像函數(shù)的正變換像函數(shù)到原函數(shù)的反變換例同前例5.傅里葉變換的基本性質(zhì)(1)導(dǎo)數(shù)定理證明：#(2)積分定理記則由導(dǎo)數(shù)定理即#(3)相似性定理通常將變換f(x)f(ax)稱為相似變換，它將測量的尺子的單位改變?yōu)樵瓉韱挝坏?/a，相應(yīng)地，測量的長度值變?yōu)樵档腶倍，而保持函數(shù)的形式不變。有時(shí)也叫尺度變換。證明#(4)延遲定理x看作時(shí)間，記時(shí)由x到x-x0

表示提前了x0。記作“延遲”是習(xí)慣說法。證明#(5)位移定理頻域的位移證明#(6)卷積定理原函數(shù)的卷積與像函數(shù)的乘積間的關(guān)系若和則證明卷積：#6.多重傅里葉積分一維變換到高維空間中的變換三維矢量表示相互獨(dú)立也相互獨(dú)立小結(jié)1.周期函數(shù)的傅里葉展開周期為2l

的函數(shù)f(x)滿足對應(yīng)方程：有邊界條件2.奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開奇函數(shù)，偶函數(shù)。故奇函數(shù)

f(-x)=-f(x)有其中偶函數(shù)

f(-x)=f(x)有其中例周期矩形波奇函數(shù)傅里葉積分無限區(qū)間：對應(yīng)方程－無限長或?yàn)檎穹V為相位譜偶函數(shù)奇函數(shù)

拉普拉斯變換6.2拉普拉斯變換

與傅立葉變換類似的，通過積分實(shí)現(xiàn)的變換。對于為從到的拉普拉斯變換，為變換的核，該積分為拉普拉斯積分。1.定義逆變換又稱原函數(shù)像函數(shù)例(1)求(2)求記為實(shí)際上，原函數(shù)當(dāng)為(3)求(4)求同理(5)求2.性質(zhì)與傅立葉變換同為積分變換，故有類似性質(zhì)(1)線性定理若和則例(6)求(2)導(dǎo)數(shù)定理證明其中高階導(dǎo)數(shù)的(3)積分定理(證明設(shè)故由于#(4)相似定理與傅立葉變換類似(5)位移定理(6)延遲定理(7)卷積定理若和卷積則積分進(jìn)行在如圖，可改為6.3拉普拉斯變換的反演反演：由像函數(shù)求原函數(shù)將像函數(shù)變換，使得可以利用已知公式求原函數(shù)。查表。例(1)

解(2)

因子由延遲定理處理，由查表(3)利用位移定理(4)求先求則又6.4應(yīng)用例解常微分方程拉普拉斯變換：將原函數(shù)滿足的微分方程變換為像函數(shù)滿足的代數(shù)方程。解代數(shù)方程得像函數(shù)。反演：由像函數(shù)得出欲求的原函數(shù)。例(1)解如下交流RL

電路的方程。有源的非齊次方程A.B.

數(shù)學(xué)物理方程的定解問題7.1數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出一、基本思路1.目標(biāo)：建立描述物理過程的微分方程。2.操作：物理過程由物理量的變化描述→選取物理量，物理量的微分表示它的變化；物理過程服從物理規(guī)則（牛頓定律，庫倫定律等）

→建立微分方程。二、幾種基本的方程1.均勻弦的微小橫振動變化A.弦的橫振動B.無窮小的一段弦BC.受力分析和運(yùn)動方程弦的原長現(xiàn)長弦長的變化產(chǎn)生回到原位置的張力沿x-方向，這一段弦不出現(xiàn)平移弦長，質(zhì)量密度，B段的質(zhì)量為。沿垂直于x-軸方向小振動：波動方程。波速D.受迫振動

在上式推導(dǎo)過程中，出現(xiàn)的力是弦內(nèi)的張力，外力為零。在受到與弦垂直方向的周期力的作用時(shí)，弦運(yùn)動為受迫振動。設(shè)單位長度上弦受力，則dx受力為。最后得受迫振動方程2.均勻桿的縱振動A.桿的彈性力學(xué)基本力學(xué)方程：胡克定律Y：楊氏模量，單位面積上的應(yīng)力。B.運(yùn)動方程桿中選L=dx長一段時(shí)刻t，x一端位移

u，x+dx一端位移

u+du。桿的伸長當(dāng)取更長的dx，兩端的相對伸長和應(yīng)力將不同，桿受力又，牛頓定律：即為波速補(bǔ)充連續(xù)性方程連續(xù)分布的某種物理量，如介質(zhì)：建立座標(biāo)密度：單位容積中物理量的多少流強(qiáng)度：單位時(shí)間通過單位面積的該物理量（v為流速）單位時(shí)間沿x-方向凈流入量單位時(shí)間凈流入量等于由密度增加的量二者相等得連續(xù)性方程表示物質(zhì)的總量守恒3.流體力學(xué)與聲學(xué)方程A.連續(xù)介質(zhì)性質(zhì)：當(dāng)振動在液體和氣體中傳播時(shí)，液體和氣體就成為傳播振動的連續(xù)介質(zhì)。在其中取一個(gè)小的立方體，可以定義介質(zhì)在此的密度ρ，速度v

和壓強(qiáng)P。振動引起密度的疏密變化。

例如，在靜止的介質(zhì)中，介質(zhì)的速度為零，并且有壓強(qiáng)和密度。當(dāng)振動出現(xiàn)時(shí)，介質(zhì)中各處有介質(zhì)的振動速度

v

，振動的傳播速度－聲速；顯然，v<<聲速，并且設(shè)密度的相對變化

s

為B.拉普拉斯假定歐拉方程（流體動力學(xué)方程）連續(xù)性方程物態(tài)方程聲傳播為絕熱過程：過程方程C.方程s,v小量,f=04.真空電磁波方程電磁學(xué)的麥克斯韋方程（微分形式）真空時(shí)：5.擴(kuò)散方程A.擴(kuò)散現(xiàn)象系統(tǒng)的濃度u(x)

不均勻時(shí)，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處到低濃度處的轉(zhuǎn)移，叫擴(kuò)散。B.菲克定律濃度梯度：擴(kuò)散流強(qiáng)度：單位時(shí)間通過單位面積的物質(zhì)的量C.擴(kuò)散方程D

均勻三維連續(xù)性方程帶入菲克定律6.熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo):熱量從溫度高的地方到溫度低的地方轉(zhuǎn)移。熱力學(xué)問題。熱力學(xué)第一定律：熱力學(xué)過程交換的熱量熱力學(xué)過程外界對系統(tǒng)做的功系統(tǒng)的內(nèi)能熱傳導(dǎo)過程dW=0，系統(tǒng)傳導(dǎo)的熱量就是內(nèi)能的改變。能量守恒，滿足連續(xù)性方程系統(tǒng)的溫度熱流強(qiáng)度：單位時(shí)間通過單位面積的熱量。傅立葉定律：熱傳導(dǎo)系數(shù)建立熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散間的對比濃度－溫度擴(kuò)散流強(qiáng)度－熱流強(qiáng)度斐克定律－傅立葉定律＋連續(xù)性方程＝熱傳導(dǎo)方程一維：三維它們形式完全相同，通稱為擴(kuò)散方程。7.穩(wěn)定分布擴(kuò)散方程的解一般含時(shí)不含時(shí)的解滿足方程

此為拉普拉斯方程。即穩(wěn)定的濃度分布和溫度分布，其濃度和溫度滿足拉普拉斯方程。8.真空靜電場高斯定理真空還有又最后：9.薛定諤方程擴(kuò)散類方程7.2定解條件一、常微分方程定解問題回顧對于某個(gè)未知函數(shù)，它的微分方程是它的導(dǎo)數(shù)滿足的代數(shù)方程。解這個(gè)代數(shù)方程，得導(dǎo)數(shù)。由積分，從導(dǎo)數(shù)得出原函數(shù)。常微分方程求解就是積分。積分過程會出現(xiàn)積分常數(shù)。常微分方程定解問題就是確定積分常數(shù)。通常通過未知函數(shù)在自變量的一個(gè)特定值的值，如初值（u(t=0)）確定積分常數(shù)。從而定解。二、數(shù)學(xué)物理方程的定解問題積分一次，出現(xiàn)一個(gè)積分常數(shù)；求解二階常微分方程出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。1.初始條件類似于常微分方程定解過程的初值。偏微分方程，對每個(gè)自變量的每次積分都出現(xiàn)一個(gè)積分常數(shù)。復(fù)雜！t＝0:初始條件。x,y,z＝0，l:邊界條件自變量特定值：初始“位移”初始“速度”T的一次方程，只需要初始位移T的二次方程還需要初始速度。注：和是空間座標(biāo)的函數(shù)，在系統(tǒng)的任何位置都是確定的！例如t=0:2.邊界條件以一維情況為例特定的時(shí)間，變化的空間。特定的空間，變化的時(shí)間。邊界劃分系統(tǒng)和外界。系統(tǒng)和外界之間的不同的關(guān)系，決定了不同的邊界條件。定解所需要的是自變量特定值的函數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩項(xiàng)。不同的邊界條件決定了這兩項(xiàng)的不同的組合，故可能出現(xiàn)幾類邊界條件。A.第一類邊界條件只與函數(shù)在空間特定位置的值有關(guān)，與其導(dǎo)數(shù)無關(guān)。如：a.兩端固定的弦振動和如上圖b.細(xì)桿熱傳導(dǎo)或隨時(shí)間變化的溫度恒溫c.擴(kuò)散恒定濃度，或隨時(shí)間變化的濃度。B.第二類邊界條件第一類邊界條件的基本形式：速度確定。a.細(xì)桿的縱振動。當(dāng)端點(diǎn)“自由”，即無應(yīng)力。根據(jù)胡克定律，桿的相對伸長也為零：b.細(xì)桿熱傳導(dǎo)。端點(diǎn)絕熱，熱流強(qiáng)度為零：由傅立葉定律：C.第三類邊界條件位移和速度的組合a.細(xì)桿熱傳導(dǎo)。端點(diǎn)“自由”冷卻。牛頓冷卻定律：T為環(huán)境溫度。根據(jù)傅立葉定律，在x=l

處：負(fù)x方向正x方向在x=0

處b.細(xì)桿縱振動。端點(diǎn)與固定點(diǎn)彈性連接。應(yīng)力為彈性力胡克定律：彈性力：則在端點(diǎn)一般表達(dá)式：這些是最常見的，線性的邊界條件。還要其它形式，需根據(jù)具體情況制定之。3.銜接條件

系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點(diǎn)－躍變點(diǎn)。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細(xì)桿在

x=0處連接，這一點(diǎn)就是躍變點(diǎn)。躍變點(diǎn)兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點(diǎn)，某些物理量仍然可以是連續(xù)的，這就構(gòu)成銜接條件。銜接條件更加依賴于具體的物理情況。例橫向力作用于點(diǎn)。弦在的左右斜率不同，但位移的極限值相同。又，橫向力應(yīng)與張力平衡：這兩個(gè)等式就是銜接條件。

數(shù)學(xué)物理方程的定解問題

數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出一、基本思路1.受力分析xx02.牛頓定律3.振動方程1.目標(biāo)：建立描述物理過程的微分方程。2.操作：物理過程由物理量的變化描述→選取物理量，

物理量的微分表示它的變化；物理過程服從物理規(guī)則（牛頓定律，庫倫定律等）

→建立微分方程。1.均勻弦的微小橫振動變化二、幾種基本的方程A.弦的橫振動B.無窮小的一段弦BC.受力分析和運(yùn)動方程弦的原長現(xiàn)長弦長的變化產(chǎn)生回到原位置的張力沿x-方向，不出現(xiàn)平移弦長質(zhì)量密度B段的質(zhì)量沿垂直于x-軸方向小振動：波動方程。波速D.受迫振動

在上式推導(dǎo)過程中，出現(xiàn)的力是弦內(nèi)的張力，外力為零。在受到與弦垂直方向的周期力的作用時(shí)，弦運(yùn)動為受迫振動。設(shè)單位長度上弦受力，則dx受力為。最后得受迫振動方程2.均勻桿的縱振動A.桿的彈性力學(xué)基本力學(xué)方程：胡克定律Y：楊氏模量，單位面積上的應(yīng)力。桿中選L=dx長一段時(shí)刻t，x一端位移

u，x+dx一端位移

u+du。桿的伸長B.運(yùn)動方程更長的dx，兩端的相對伸長和應(yīng)力將不同，桿受力牛頓定律：即為波速補(bǔ)充連續(xù)性方程連續(xù)分布的某種物理量，如介質(zhì)：建立座標(biāo)密度：單位容積中物理量的多少流強(qiáng)度：單位時(shí)間通過單位面積的該物理量（v為流速）單位時(shí)間沿x-方向凈流入量單位時(shí)間凈流入量等于由密度增加的量二者相等得連續(xù)性方程表示物質(zhì)的總量守恒3.流體力學(xué)與聲學(xué)方程A.連續(xù)介質(zhì)性質(zhì)：當(dāng)振動在液體和氣體中傳播時(shí)，液體和氣體就成為傳播振動的連續(xù)介質(zhì)。在其中取一個(gè)小的立方體，可以定義介質(zhì)在此的密度ρ，速度v

和壓強(qiáng)P。振動引起密度的疏密變化。

例如，在靜止的介質(zhì)中，介質(zhì)的速度為零，并且有壓強(qiáng)和密度。當(dāng)振動出現(xiàn)時(shí)，介質(zhì)中各處有介質(zhì)的振動速度

v

，振動的傳播速度－聲速；顯然，v<<聲速，并且設(shè)密度的相對變化

s

為B.拉普拉斯假定歐拉方程（流體動力學(xué)方程）連續(xù)性方程物態(tài)方程聲傳播為絕熱過程：過程方程C.方程s,v小量,f=04.真空電磁波方程電磁學(xué)的麥克斯韋方程（微分形式）真空時(shí)：5.擴(kuò)散方程A.擴(kuò)散現(xiàn)象系統(tǒng)的濃度u(x)

不均勻時(shí)，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處到低濃度處的轉(zhuǎn)移，叫擴(kuò)散。B.菲克定律濃度梯度：擴(kuò)散流強(qiáng)度：單位時(shí)間通過單位面積的物質(zhì)的量C.擴(kuò)散方程D

均勻三維連續(xù)性方程帶入菲克定律建立微分方程的兩類方法1.直接從方程出發(fā)麥克斯韋方程菲克定律+連續(xù)性方程=擴(kuò)散方程歐拉方程（流體動力學(xué)方程）連續(xù)性方程絕熱過程均勻桿的縱振動2.從分析物理對象出發(fā)均勻弦的微小橫振動6.熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo):熱量從溫度高的地方到溫度低的地方轉(zhuǎn)移。熱力學(xué)問題。熱力學(xué)第一定律：熱力學(xué)過程交換的熱量熱力學(xué)過程外界對系統(tǒng)做的功系統(tǒng)的內(nèi)能熱傳導(dǎo)過程dW=0，系統(tǒng)傳導(dǎo)的熱量就是內(nèi)能的改變。系統(tǒng)的溫度熱流強(qiáng)度：單位時(shí)間通過單位面積的熱量。能量守恒，滿足連續(xù)性方程熱流強(qiáng)度：單位時(shí)間通過單位面積的熱量。傅立葉定律：熱傳導(dǎo)系數(shù)建立熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散間的對比濃度－溫度擴(kuò)散流強(qiáng)度－熱流強(qiáng)度斐克定律－傅立葉定律＋連續(xù)性方程＝熱傳導(dǎo)方程一維：三維它們形式完全相同，通稱為擴(kuò)散方程。7.穩(wěn)定分布擴(kuò)散方程的解一般含時(shí)不含時(shí)的解滿足方程

此為拉普拉斯方程。即穩(wěn)定的濃度分布和溫度分布，其濃度和溫度滿足拉普拉斯方程。8.真空靜電場高斯定理真空還有又最后：9.薛定諤方程擴(kuò)散類方程7.2定解條件一、常微分方程定解問題回顧對于某個(gè)未知函數(shù)，它的微分方程是它的導(dǎo)數(shù)滿足的代數(shù)方程。解這個(gè)代數(shù)方程，得導(dǎo)數(shù)。由積分，從導(dǎo)數(shù)得出原函數(shù)。常微分方程求解就是積分。積分過程會出現(xiàn)積分常數(shù)。常微分方程定解問題就是確定積分常數(shù)。通常通過未知函數(shù)在自變量的一個(gè)特定值的值，如初值（u(t=0)）確定積分常數(shù)。從而定解。積分一次，出現(xiàn)一個(gè)積分常數(shù)；求解二階常微分方程出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。二、數(shù)學(xué)物理方程的定解問題1.初始條件類似于常微分方程定解過程的初值。偏微分方程，對每個(gè)自變量的每次積分都出現(xiàn)一個(gè)積分常數(shù)。復(fù)雜！t＝0:初始條件。x,y,z＝0，l:邊界條件自變量特定值：初始“位移”初始“速度”T的一次方程，只需要初始位移T的二次方程還需要初始速度。注：和是空間座標(biāo)的函數(shù)，在系統(tǒng)的任何位置都是確定的！例如t=0:特定的時(shí)間，變化的空間。2.邊界條件以一維情況為例特定的空間，變化的時(shí)間。邊界劃分系統(tǒng)和外界。系統(tǒng)和外界之間的不同的關(guān)系，決定了不同的邊界條件。定解所需要的是自變量特定值的函數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩項(xiàng)。不同的邊界條件決定了這兩項(xiàng)的不同的組合，故可能出現(xiàn)幾類邊界條件。A.第一類邊界條件只與函數(shù)在空間特定位置的值有關(guān)，與其導(dǎo)數(shù)無關(guān)。如：a.兩端固定的弦振動和如上圖b.細(xì)桿熱傳導(dǎo)或隨時(shí)間變化的溫度恒溫c.擴(kuò)散恒定濃度，或隨時(shí)間變化的濃度。B.第二類邊界條件第一類邊界條件的基本形式：速度確定。a.細(xì)桿的縱振動。當(dāng)端點(diǎn)“自由”，即無應(yīng)力。根據(jù)胡克定律，桿的相對伸長也為零：b.細(xì)桿熱傳導(dǎo)。端點(diǎn)絕熱，熱流強(qiáng)度為零：由傅立葉定律：C.第三類邊界條件位移和速度的組合a.細(xì)桿熱傳導(dǎo)。端點(diǎn)“自由”冷卻。牛頓冷卻定律：T為環(huán)境溫度。根據(jù)傅立葉定律，在x=l

處：負(fù)x方向正x方向在x=0

處b.細(xì)桿縱振動。端點(diǎn)與固定點(diǎn)彈性連接。應(yīng)力為彈性力胡克定律：彈性力：則在端點(diǎn)一般表達(dá)式：這些是最常見的，線性的邊界條件。還要其它形式，需根據(jù)具體情況制定之。3.銜接條件

系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點(diǎn)－躍變點(diǎn)。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細(xì)桿在

x=0處連接，這一點(diǎn)就是躍變點(diǎn)。躍變點(diǎn)兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點(diǎn)，某些物理量仍然可以是連續(xù)的，這就構(gòu)成銜接條件。銜接條件更加依賴于具體的物理情況。橫向力作用于點(diǎn)。弦在的左右斜率不同，但位移的極限值相同。例又，橫向力應(yīng)與張力平衡：這兩個(gè)等式就是銜接條件。求解數(shù)學(xué)物理方程方法：行波法駐波法積分變換格林函數(shù)法7.4達(dá)朗貝爾公式定解問題（一）波動方程的達(dá)朗貝爾公式

將和看作如同數(shù)－算子，可以加減乘除：A.坐標(biāo)變換行波法因式分解當(dāng)a=1沿x和t求導(dǎo)，變成沿對角線求導(dǎo)。變換：即B.通解對積分：積分常數(shù)依賴于

再積分：為兩個(gè)待定函數(shù)的和。坐標(biāo)變換：新、舊坐標(biāo)時(shí)間同，新坐標(biāo)的原點(diǎn)X=0在舊坐標(biāo)中有坐標(biāo)，在舊坐標(biāo)中以速度d沿正向運(yùn)動。f1(x+at)保持形狀不變，以速度d運(yùn)動沿x軸反方向運(yùn)動。意義函數(shù)f2(x-at)保持形狀不變，以速度d運(yùn)動沿x軸正方向運(yùn)動。C.定解達(dá)朗貝爾公式

確定待定函數(shù)的形式無限長，即無邊界條件。設(shè)初始條件行波一半一半例例解：設(shè)

從達(dá)朗貝爾公式可以看出，波動方程度解，是初始條件的演化。方程本身并不可能產(chǎn)生出超出初始條件的，額外的形式來。而這種演化又受到邊界條件的限制。這就說明了初始條件和邊界條件在確定波動方程度解時(shí)的重要性。（二）端點(diǎn)的反射一個(gè)端點(diǎn)固定設(shè)初始條件為邊界條件達(dá)朗貝爾公式是無限長弦的公式。上式中后兩項(xiàng)無意義。必須將u(x,t)延拓到作奇延拓：x對稱點(diǎn)延拓半波損失一個(gè)端點(diǎn)自由設(shè)初始條件為邊界條件應(yīng)該是偶延拓偶延拓?zé)o半波損失（三）躍變點(diǎn)的反射

無限長桿，x<0，x>0兩部分的楊氏模量和密度分別為。x=0是躍變點(diǎn)。

設(shè)有行波從區(qū)域I向x=0點(diǎn)運(yùn)動。到x=0產(chǎn)生反射和透射。取此波在t=0

時(shí)刻抵達(dá)x=0.銜接條件區(qū)域I中的行波：區(qū)域II中，只有透射波銜接條件又反射系數(shù)透射系數(shù)習(xí)題7.4.1解：習(xí)題7.4.6設(shè)初始條件為和邊界條件

達(dá)朗貝爾公式定解問題（一）波動方程的達(dá)朗貝爾公式

將和看作如同數(shù)一樣的算子，可以進(jìn)行加減乘除：當(dāng)a=1，相當(dāng)于沿x和t求導(dǎo)，變成沿對角線求導(dǎo)。當(dāng)a不為一，則求導(dǎo)的線進(jìn)行相應(yīng)的角度變化。變換：和顯然，A.坐標(biāo)變換行波法

即B.通解對積分：積分常數(shù)依賴于再積分：或?yàn)閮蓚€(gè)待定函數(shù)的和。作坐標(biāo)變換：新坐標(biāo)的時(shí)間與舊坐標(biāo)同，新坐標(biāo)的原點(diǎn)X=0在舊坐標(biāo)中有坐標(biāo)，即在舊坐標(biāo)中以速度d運(yùn)動，而函數(shù)f2(x-at)保持形狀不變，以速度d運(yùn)動沿x軸正方向運(yùn)動。f1(x+at)保持形狀不變，以速度d運(yùn)動沿x軸反方向運(yùn)動。C.定解達(dá)朗貝爾公式確定待定函數(shù)的形式無限長，即無邊界條件。設(shè)初始條件為和例例解：（二）端點(diǎn)的反射一個(gè)端點(diǎn)固定設(shè)初始條件為和邊界條件達(dá)朗貝爾公式是無限長弦的公式。自變量限制為。時(shí)，上式中后兩項(xiàng)無意義。必須將u(x,t)延拓到這個(gè)范圍。，作奇延拓：半波損失一個(gè)端點(diǎn)自由設(shè)初始條件為和邊界條件應(yīng)該是偶延拓?zé)o半波損失（三）躍變點(diǎn)的反射

無限長桿，x<0，x>0兩部分的楊氏模量和密度分別為。x=0是躍變點(diǎn)。

設(shè)有行波從區(qū)域I向x=0點(diǎn)運(yùn)動。到x=0產(chǎn)生反射和透射。取此波在t=0

時(shí)刻抵達(dá)x=0.銜接條件區(qū)域I中的行波：區(qū)域II中，只有透射波銜接條件又反射系數(shù)透射系數(shù)

從達(dá)朗貝爾公式可以看出，波動方程度解，是初始條件的演化。方程本身并不可能產(chǎn)生出超出初始條件的，額外的形式來。而這種演化又受到邊界條件的限制。這就說明了初始條件和邊界條件在確定波動方程度解時(shí)的重要性。習(xí)題7.4.1解：習(xí)題7.4.6設(shè)初始條件為和邊界條件8.2非齊次方程

波動方程振動方程(1)傅立葉級數(shù)法例1解：源項(xiàng)恰好滿足邊界條件，故可設(shè)解為帶入泛定方程同次項(xiàng)

帶入初始條件解方程必須知道Tn

的初始條件得解的解是齊次方程的通解和非齊次方程度特解的和。通解：特解：并不是普遍地方法。(2)沖量定理法（波動方程）a.解的分解

這是普通道具有齊次邊界條件的齊次方程

初始值零點(diǎn)非齊次方程，可用沖量定理法b.物理思想時(shí)刻t

單位長弦受力C.解數(shù)學(xué)檢驗(yàn)：邊界條件：初始條件積分號下的求導(dǎo)公式：齊次方程例1解由邊界條件：帶入泛定方程：帶入初始條件：初值確定疊加系數(shù)：由初始條件決定的由外力決定的(2)沖量定理法（輸運(yùn)方程）為簡單計(jì)解例3解

非齊次邊界條件的處理

方法1例齊次方程第一類非齊次邊界條件非零初值令第一類非齊次邊界條件非齊次方程齊次邊界條件8.3

非齊次邊界條件的處理例弦的x=0端固定，x=l端受迫在諧振動Asinωt，弦的初始位移和初始速度均為零，求弦的振動。解泛定方程源（在邊界上）方法1設(shè)基本想法設(shè)定待求滿足非齊次邊界條件滿足齊次邊界條件非齊次方程初始條件為零方法2求齊次邊界條件的齊次方程

（初始位移或速度不為零）。令：初始條件：系數(shù)偏微分方程常微分方程組

分離變量本征值問題廣義傅立葉級數(shù)勒讓德多項(xiàng)式貝塞耳函數(shù)（特殊函數(shù)）特殊函數(shù)勒讓德、埃米特、拉蓋爾等多項(xiàng)式；貝塞耳、虛宗量貝塞耳、球貝塞耳、超幾何，匯合超幾何等函數(shù)。10.1軸對稱球函數(shù)一、勒讓德多項(xiàng)式有限設(shè)最后一個(gè)不為零點(diǎn)系數(shù)有1.代數(shù)表示則對適當(dāng)乘本征函數(shù)以常數(shù)使得勒讓德多項(xiàng)式：

：小于、等于l

的最大整數(shù)?？傆衳。唯一不含x的項(xiàng)2.微分表示（羅德里格斯公式）證：＃3.積分表示（施列夫積分）由科西公式C繞z=x點(diǎn)。設(shè)半徑為C上即二、正交關(guān)系和模1.

正交關(guān)系一個(gè)公式2.

模第一項(xiàng)為零，即進(jìn)行l(wèi)次分步積分后只有最高次冪才不為零，故再逐次進(jìn)行分步積分，得即三、廣義傅立葉級數(shù)定義在區(qū)間的函數(shù)可以展開為廣義傅立葉級數(shù)展開系數(shù)為或區(qū)間的函數(shù)展開為系數(shù)為例：在，中將展開為廣義傅立葉級數(shù)。解：比較展開式最多含三階勒讓德多項(xiàng)式。例2是奇函數(shù)：因找出項(xiàng)，它在x=0才不為零。例3解：由軸對稱球內(nèi)含所以拉普拉斯方程的軸對稱問題邊界條件與角無關(guān)，可以推斷解也與角無關(guān)。故邊界條件：例4解：偶延拓：例5均勻電場中放置介電常數(shù)ε的球，求介質(zhì)球內(nèi)、外的電場。解：無窮遠(yuǎn)處有邊界條件，球面處有銜接條件。取球坐標(biāo)，z-方向沿。軸對稱拉普拉斯問題內(nèi)外分別討論，然后連接起來。邊界條件：銜接條件：Internal:External:電勢連續(xù)：電位移連續(xù)：連續(xù)軸對稱拉普拉斯方程度解的一般形式：球內(nèi)有限：球外無窮遠(yuǎn)邊值：利用銜接條件：解得球內(nèi)電場強(qiáng)度：四、母函數(shù)定義：叫勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)。

電荷在單位球的北極。求球內(nèi)任一點(diǎn)電勢。它又是拉普拉斯方程度內(nèi)解：令又所以即是勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)。球外令所以半徑R的球：例6解：利用已知結(jié)果。導(dǎo)體內(nèi)：等勢。導(dǎo)體外：無導(dǎo)體時(shí)有導(dǎo)體時(shí)，設(shè)接地又是處電荷的電勢。這個(gè)電荷叫原電荷的鏡像。是原電荷的電勢與鏡像電荷的電勢的疊加。五、遞推公式兩邊求導(dǎo)或兩邊同冪的系數(shù)遞推公式10.2連帶勒讓德函數(shù)1.函數(shù)設(shè)m是規(guī)定的是l

次多項(xiàng)式，求l+1次導(dǎo)數(shù)后變?yōu)榱恪?.微分表示情況：這也是勒讓德方程滿足自然邊界條件的解。二階微分方程至少有兩個(gè)獨(dú)立解，但滿足特定邊界條件的解是唯一的，故這兩個(gè)解只相差一個(gè)常數(shù)。同項(xiàng)冪的比應(yīng)該就是這個(gè)常數(shù)。例如最高次冪：最高項(xiàng)：3.積分表示4.正交關(guān)系5.模多次分步積分：6.廣義傅立葉級數(shù)m是規(guī)定的例1例2第一項(xiàng)在，第二項(xiàng)在不為零。7.遞推公式由勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式得之。10.3球函數(shù)1.球函數(shù)2.正交關(guān)系3.模4.球面上的廣義傅立葉級數(shù)例1例2注意：例3偶極矩的電場中的電勢解沿x軸沿y軸沿z軸m等于零沿任意方向拉普拉斯方程度的非軸對稱解例4球內(nèi)解其余邊界條件：四極矩分量：電勢是兩個(gè)偶極矩分別產(chǎn)生的電勢的疊加：一個(gè)偶極矩的電勢：一般的柱函數(shù)

11.1三類柱函數(shù)1.貝塞耳方程貝塞耳方程：虛宗量貝塞耳方程：球貝塞耳方程：2.三類柱函數(shù)(1)階貝塞耳方程整數(shù)或半奇數(shù)其中Γ-函數(shù)定義為它有遞推關(guān)系：當(dāng)x為正整數(shù)另一個(gè)解通解：(2)m階貝塞耳方程

階貝塞耳函數(shù)階貝塞耳函數(shù)只能從開始。不再是通解。與相互不獨(dú)立。(3)諾依曼函數(shù)它與和都相互獨(dú)立。

階貝塞耳方程的通解又可以寫作m階貝塞耳方程的通解只能寫作(4)第一種和第二種漢克爾函數(shù)

階貝塞耳方程的通解又可以寫作(5)第一類柱函數(shù)：貝塞耳函數(shù)第二類柱函數(shù)：諾依曼函數(shù)第三類柱函數(shù)：漢克爾函數(shù)圖3.和的行為需專門計(jì)算都有限！4.遞推公式對、m諾依曼函數(shù)、漢克爾函數(shù)滿足同樣關(guān)系。寫作5.虛宗量貝塞耳方程

階虛宗量貝塞耳方程定義：通解：m階虛宗量貝塞耳方程另一個(gè)獨(dú)立解需要另外研究。圖11.2貝塞耳方程描寫沿的變化，邊界條件確定在柱面上。h1.本征值問題m已定，須定A.柱面的第一類齊次邊界條件：對于不同的n，有的離散本征值零點(diǎn)B.第二類齊次邊界條件：僅有貝塞耳函數(shù)具有這種性質(zhì)，兩個(gè)零點(diǎn)之間必有極值。同樣，為貝塞耳函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)序列，則本征值為m=0的情況:即：C.第二類齊次邊界條件：將是上上述方程度解。2.正交關(guān)系貝塞耳方程是施圖姆－劉維爾本征值方程：故它有正交關(guān)系3.模對三個(gè)不同的本征值序列成立。三個(gè)不同的本征值序列，有三個(gè)不同的模?；蛲粋€(gè)方程的三個(gè)不同的施圖姆－劉維爾本征值問題。A.第一類齊次邊界條件：由B.第二類齊次邊界條件：C.第三類齊次邊界條件：4.廣義傅立葉級數(shù)指定的m，次序由n給出。權(quán)幾個(gè)有用的公式：由遞推公式傅立葉-貝塞耳積分的情況例1利用遞推公式求積分例2方程指定了為第一類邊界條件或者單位一！例4軸對稱1.2.例5方程如P.179，習(xí)題5（圓錐改為方錐）1.分離變量2.貝塞耳方程零階貝塞耳方程為方程解為的第一個(gè)零點(diǎn)為3.初始條件定解格林函數(shù)

12.1泊松方程的格林函數(shù)法有源問題定解＝通解＋邊界條件求通解＝積分定解＝積分＋邊界條件（格林函數(shù)法）1.源問題例靜電場處靜電場a.無界空間b.有界空間邊界上可能出現(xiàn)感應(yīng)電荷處靜電場是源電荷與感應(yīng)電荷的電勢之和。感應(yīng)電荷是源電荷的結(jié)果。計(jì)算變成由計(jì)算感應(yīng)電荷，然后是否能一次解決定解＝通解＋邊界條件求通解＝積分定解＝積分＋邊界條件（格林函數(shù)法）2.格林公式第一格林公式：區(qū)域T，邊界T設(shè)和在T中具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，在上有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)。由高斯定理感應(yīng)電荷是邊界問題第二格林公式：交換和：與上式相減即法向?qū)?shù)3.邊值問題泊松方程邊界條件定義在第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件泊松方程與第一類邊界條件，構(gòu)成第一邊值問題(狄里希利問題)泊松方程與第二類邊界條件，構(gòu)成第二邊值問題(諾依曼問題)泊松方程與第三類邊界條件，構(gòu)成第三邊值問題4.泊松方程的基本積分公式點(diǎn)源泊松方程單位負(fù)電荷在奇異，不能化為面積分。在T中挖掉半徑，在的小球。小球邊界。邊界條件無法帶入積分之中！在，。和連續(xù)。這樣，邊界條件進(jìn)入積分之中！泊松方程的基本積分公式。解在區(qū)域T中一點(diǎn)的值通過上面積分，由源項(xiàng)對區(qū)域的積分（右第一項(xiàng)），和邊值得積分（右第二項(xiàng)）給出。格林函數(shù)：將沖量定理法擴(kuò)展到空間坐標(biāo)對兩端固定的弦問題變成5.邊值問題的格林函數(shù)還需知道點(diǎn)源泊松方程度解的邊界條件。第一邊值問題(狄里希利問題)第三邊值問題第一邊值問題格林函數(shù)第三邊值問題格林函數(shù)在，在物理上是不合理的?？紤]它是偶函數(shù)，具有同一個(gè)解，可作變換：12.2電像法求格林函數(shù)第一邊值問題格林函數(shù)導(dǎo)體球內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)電荷，導(dǎo)體接地。求球內(nèi)電勢。電荷的存在，在導(dǎo)體上感應(yīng)了電荷。球內(nèi)的電勢為自由電荷和感應(yīng)電荷電勢之和。將感應(yīng)電荷的電勢由一

“電像電荷”的電勢表示如右圖，當(dāng)導(dǎo)體外M1

處有電荷時(shí)，鏡像電荷將在球內(nèi)M0

處。現(xiàn)在，問題反過來，在r0

處有電荷-ε0

，求r1，和鏡像電荷。

例1球內(nèi)第一邊值問題在球面上例2半空間第一邊值問題解按電磁學(xué)思維模式，應(yīng)當(dāng)引入鏡像電荷表示平面（z