導函數(shù)與原函數(shù)混合構造8大題型（解析版）2023年高考數(shù)學復習練習（新高考）

重難點3-1導函數(shù)與原函數(shù)混合構造8大題型

命題趨勢

導數(shù)中的構造函數(shù)常在高考題中以選擇題或填空題的形式考查，難度較大。重點考查函數(shù)與方

程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想。構造函數(shù)法是一種創(chuàng)造性思維的過程，具有較大的靈活性和技巧性,

但一直受出題老師的青睞?？忌谟柧氝^程中，要有目的、有意識的進行構造，始終"盯住"

要解決的目標。

滿分技巧

常見的導函數(shù)與原函數(shù)混合構造類型

關系式為“加”型一構造：

(1)/'])g(x)+f(X)g'(x)構造"(x)g(x)]'=∕'(x)g(x)+∕(x)g'(x)

(2)xf'(x)+f(x)≥O構造W(X)]'=?V'(x)+∕(x)

(3)/(Λ)+∕(X)>O構造[e"(x)]'=e'"'(x)+f(x)]

(4)/0)+/(%注0構造3'/(犬)[=x"fXx)+nx"~'f(x)=x"~'[xf?x)+nf(x)](注意X的符號)

(5)f(x)+2f(x)構造"(x)∕7=f'(x)e疝+"(樨疝=*"'(x)+"(x)]

關系式為“減”型構造：

(6)r(x)g(x)-∕(x)g'(x)構造[舉H=f(x)g,)-*)gG)

g(x)[g(x)]

(7)√(%)-∕(%)≥0構造[d?=1⑴G)

X廠

(8)/(X)-∕(Λ)>O構造必當=1W(x)e，=/(%)：/(x)

e(e?)e

(9)V(X)—硬(χ)≥o構造[第1==W(χ)二歹S)(注意X的醋)

X(?)X

(io)f?χ)-λf{x}構造[等r=7⑴；UX)*=

區(qū)點題型解讀

題型1構造/G-)±g⑸題型5構造f(χ)

題型2構造Λ-,7(Λ)題型6構造/W

題型3構造*∕(χ)題型7構造si∏Λ?COSΛ?∕(x)

題型4構造in<√ω題型8其他復雜構造

【題型1構造/(χ)±g(χ)型】

【例1】(2023?陜西西安統(tǒng)考一模)已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)“X)滿足川)=3,且/(x)的

導數(shù)/'(X)在R上恒有/'(X)<2(XGR),則不等式/(x)<2x+l的解集為

A.(∣,+8)B.(-∞,-l)C.(-l,?)D.(Y,T)U(1,M)

【答案】A

【解析】構造函數(shù)g(x)=∕(x)T2x+l),則g3=f'(x)-2<0,

所以函數(shù)g(x)在定義域R上為減函數(shù)，且g(D=f⑴-(2+1)=0,

所以g(x)<0的解集為(l,+∞),即/(x)<2x+l的解集為―)，選A.

【變式?-l](2022秋?河北滄州?高三南皮縣第一中學校聯(lián)考期中)已知定義在R上的函數(shù)/(x)

的導函數(shù)為f'(x),若/'(x)<e',且/(2)=/+2,則不等式/(lnx)>x+2的解集是()

A.(0,2)B.(θ,e2)C.(e2,+∞)D.(2,+∞)

【答案】B

【解析】設g(x)=∕(x)-e'+2,則g'(x)=∕"(x)-e',

因為r(x)<e]所以/'⑺-e，<0,即/(x)<0,

所以g(x)在R上單調(diào)遞減.

不等式"lnx)>x+2等價于不等式〃InX)T+2>4,

即g(lnx)>4.因為/(2)=/+2,

所以g(2)="2)-/+2=4,

所以g(lnx)>g⑵.因為g(x)在R上單調(diào)遞減，

所以InX<2,解得O<x<e+故選:B

【變式l-2](2023?遼寧?遼寧實驗中學?？寄M預測)已知函數(shù)/(X)為定義在R上的偶函數(shù),

當XW(O收)時，_f(x)>2x,/(2)=4,則不等式V(X-l)+2∕>x3+x的解集為()

A.(-l,0)u(3,+∞)B.(-1,1)(3,+∞)C.(-∞,T)(0,3)D.(-1,3)

【答案】A

【解析】因為/'(x)>2x,所以八x)-2x>0,

構造函數(shù)F(X)=F(X)-V,當Xe(O,+∞)時，F(xiàn)Xx)=f'(x)-2x>0,

所以函數(shù)F(X)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，且F(2)=0,

又Ax)是定義在R上的偶函數(shù)，所以尸(X)是定義在R上的偶函數(shù)，

所以F(X)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減，且F(-2)=0.

不等式V^(XT)+2χ2>V+x整理可得：xf(x-l)+2x2-x3-x>0,即H∕(x-l)-(x-l))>0,

當X>O時,/(X-D-(X-I)2>0,則X-I>2,解得X>3；

當x<0時，/U-D-(X-I)2<0,貝卜2<x-l<0,解得—Ivxvl,

又x<0,所以-l<x<。.

綜上，不等式#(彳-1)+2/>/+》的解集為(-1,0)53,+8).故選：A.

【變式1-3】(2022秋.河南鄭州.高三?？茧A段練習)定義在(0,+8)上的函數(shù)/(χ)滿足

礦(X)+1>0,〃2)=尺,則不等式/C)+x>0的解集為()

A.(0,21n2)B.(θ,I∏2)C.(1∏2,1)D.(ln2,+∞)

【答案】D

【解析】令g(x)=f(x)+IlW,(x>°),

則g'(x)=很(χ)+LV'㈤+1,由于礦(χ)+ι>o,

XX

故g'(χ)>o,故g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

而g(2)=f(2)+ln2=In5+ln2=0,

由Fe)+x>0,得g(e*)>g(2),.?.e*>2,即x>ln2,

，不等式/C)+x>0的解集為(In2,+co),故選：D.

【題型2構造x"∕(x)型】

【例2】(2022秋.江蘇揚州.高三?？茧A段練習)函數(shù)/(x)是定義在區(qū)間(0,y)上的可導函數(shù)，

其導函數(shù)為尸(x)目滿足/'(x)+2"x)>0，則不等式(^V+2°23);(X+2023)<巨梟的解集為()

A.{x∣x>-2020}B.{x∣x<-2020}C.{x∣-2O23<x<θ}D,{x∣-2023<x<-2020)

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，設g(x)=x力x),x>0,則導函數(shù)g'(x)=%7'(x)+2獷(x),

函數(shù)“X)在區(qū)間(0,y)上,滿足/'(x)+f"x)>O,則有力，(小2雙力>0,

所以g'(χ)>o,即函數(shù)g(χ)在區(qū)間(0，+8)上為增函數(shù)，

3號3<溪n(x+2023)2"x+M3)<3R3),

所以g(x+2023)<g⑶,則有0<x+2023<3,解得-2023<x<-2020,

即此不等式的解集為何-20230<-2020},故選：D.

【變式2-1](2023秋?江西?高三校聯(lián)考期末)已知f(x)是定義在(y,0)U(0,÷w)上的奇函數(shù)，

/V)是/(x)的導函數(shù)，當QO時，Λf(x)+2"x)>0.若"2)=0,則不等式x7(x)>0的解集是

()

A.(-00,-2)(0,2)B.(-0°,-2)vj(2,+ao)

C.(-2,0)-(2,e)D.(-2,0)u(0,2)

【答案】B

【解析】構造函數(shù)g(x)=χ2∕(x),其中XWo,貝(Jg(-)=(-)2/(-)=3/(^)=-8(^),

所以,函數(shù)g(?)為奇函數(shù)，且g⑵=。,g(-2)=-g(2)=0,

當X>O時，g,(^)=f?x')+2xf?x)=?[v"(?)+v(??]>ɑ,

所以，函數(shù)g(x)在(。，+8)上為增函數(shù)，

因為函數(shù)g(χ)為奇函數(shù)，故函數(shù)g(χ)在(y，。)上為增函數(shù)，

由/./"(*)="8(犬)>0可知，當x<0時，g(x)<0=g(-2),可得χv-2;

當x>0時，g(x)>O=g⑵，可得x>2.

綜上所述，不等式V"x)>。的解集為(f-2)52,+力).故選：B.

【變式2-2】(2022秋?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?高三統(tǒng)考期中)已知定義在(f0)U(0,上的奇函數(shù)

y=∕(χ)的導函數(shù)為y=∕'(χ),當χ>o時，χf,(χ)<-f(χ),且"2)=3,則不等式

2V(2x+l)<6-/(2x+l)的解集為()

Am)BDCuMM)

【答案】C

【解析】由題意可知，當χ>o時，V,(χ)+∕(χ)<o,

構造函數(shù)g(x)=??(x),其中xe(f0,0)u(0,κ),

則86力二-0^-力二^⑴二8⑴,所以，函數(shù)g(χ)為偶函數(shù)，

且當x>O時，g'(χ)=V'(χ)+∕(χ)<0,所以，函數(shù)g(x)在(0，+時上單調(diào)遞減，

因為g(2)=242)=6,

由20(2x+l)<6-/(2x+l)可得(2x+l)"2x+l)<6,即g(2x+l)<6,

所以，g(∣2x+力<6=g(2),故∣2x+l∣>2,

31

即2x+l<-2或2x+l>2,解得x<-]或x>].故選：C.

【變式2-3】(2023?全國?高三專題練習)已知奇函數(shù)/(x)的定義域為R,導函數(shù)為尸(x),若對

任意XWO,m),都有3"X)+ΛΓ(X)>O恒成立，/(2)=2,則不等式(x-1)3"XT)<16的解集是

【答案】(T3)

【解析】設g(x)=力U),x∈R,為奇函數(shù),

???g(r)=(-x)>(τ)=χ3∕(x)=g(x),即g(x)是偶函數(shù),有g(x)=g(-x)=g(W),

?.?Vxe[0,+∞),3∕(x)+礦(x)>O恒成立，

故xe[0,+∞)時，g'(x)=3x2f(x)+x3f,(x)=x2(3f(x)+xf'(x))≥O,

???函數(shù)g(x)在［0,+∞)上為增函數(shù),

V/(2)=2,.?.g(2)=g(-2)=16,(χ7)∕χT<i6等價于g(x-l)<16=g⑵，

g(x-l)=g(∣x-l∣)<g(2),且函數(shù)g(x)在［0,+8)上為增函數(shù),

?∣x-l∣<2,解得-IVXV3.

故答案為：(T3)

【題型3構造e""(X)型】

【例3】(2023?全國?高三專題練習)若/(x)在R上可導且〃O)=O,其導函數(shù)尸(x)滿足

/(x)+Γ(x)<O,則/(x)<0的解集是()

A.(-∞,0)B.(-8,1)C,(0,+∞)D.R

【答案】C

【解析】設/""U),則短(X)=e"(x)+e"M)=ep(x)+f(X)),

因為/(x)+?Γ(x)<O,所以g'(x)<O在R上恒成立，所以g(x)單調(diào)遞減，

又"0)=0得g(0)=0,由MX)<()等價于g(x)<O,

所以x>0,即/(x)<0的解集是(。，+8).故選：C.

【變式3-11(2022秋?江西南昌高三南昌二中校考階段練習)已知定義在R上的偶函數(shù)"x)滿

足“x+2)-∕(2-x)=0,/(2022)=1,若/(司<廣(-x),則不等式〃χ+l)>∕的解集為()

A.(fO)B.(-∞,1)C,(l,+∞)D.(3,+∞)

【答案】B

【解析】“X)是定義在R上的偶函數(shù),.?√(χ)=∕(-χ),

則r(χ)=-r(τ),即r(χ)是奇函數(shù)，

a∕ω<∕,(-%)=-∕,w,可得/(χ)+r(χ)<o,

構造g(x)=e"(x),則g，(x)=e&(x)+r(x)］<0,所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

/(x-2)=∕(2-x),.?J(χ)=∕(r+4)=∕(-x),即/⑴的周期為4,

貝IJA2)=/(2022)」,即e2∕(2022)=eR2)=e=g⑵；

e

不等式/(x+l)>,可化簡為e"V(x+l)>e,即g(x+l)>g(2),

所以x+l<2,解得x<l.故選：B

【變式3-2】(2023?全國?高二專題練習)已知函數(shù)的導函數(shù)為/'(X),且尸(x)+"(x)>0.若

[=3%圖,“舟圖,圖,則()

A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b

【答案】B

【解析】設g(x)=e2"(x),則g，(X)=e2*(2"x)+/(X)),

因為/'(x)+2"x)>0恒成立，所以g'(x)>O,所以g(x)在(F，+8)單調(diào)遞增，

設MXT(X>。)，貝M(X)=*,

^X

當O<x<e時，Λ,(x)>O,MX)單調(diào)遞增,

當x>e時，"(x)<0,∕z(χ)單調(diào)遞減，

所以"3)>6(π)>M4),即殍>啊>竽=竽,

?π4Z

rlr?兀)(In2^__...C

m>8〔三'即。>6>。.故x選a：B

【變式3-3】(2022春?河南?高二校聯(lián)考階段練習)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足2∕(x)+∕'(x)<0,

則下列不等式一定成立的是()

A.e2∕(2)<∕(3)B.e2∕(2)>∕(3)CJ(2)<e2"3)D."2)"2"3)

【答案】D

【解析】令g(x)=e2"(x),則g，(x)=2e”/(x)+e2、r(x)=e"2f(x)+rM，

因為e”>0,2∕(x)÷Γ(x)<0,所以/(x)<0,所以函數(shù)g(x)為減函數(shù),

所以g⑵>g(3),BPe4∕(2)>e6∕(3),所以/(2)>e2∕(3).故選：D.

【題型4構造lnx?∕(X)型】

【例4】(2023?全國?高三專題練習)設/'(X)是定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)/(x)的導函數(shù)，當χ>0

時，lnΛ?Γ(x)<-l∕(x),則使得(χ2-2x)”x)≥0成立的X的取值范圍是().

A.(-∞,0]o[2,-κz≈)B.(-∞,2]C.[0,2]D.[2,+∞)

【答案】B

【解析】令解X)=InX?∕(x),(x>0).

則短(X)=Inx?r(x)+∕(x)<0,所以g(x)在(。,+8)上單調(diào)遞減.

又g。)=。,所以當Xe(O，1)時，g(x)>(),而lnx<0,所以“力<。；

所以當XG(1,+∞)時,g(x)<0,而lnx>0,所以"x)<0.

在InX.尸(x)<T"x)中，令可得：/(l)<0.

所以當Xe(O,討)時都要"x)<0

又是定義在R上的連續(xù)奇函數(shù)，所以A。)=。，當xe(r,0)時，F(xiàn)(X)>0.

所以任-2x)∕(x"°可化為。或"O或《ILNO，

解得：0<x42或X=O或x<O.

綜上所述：x≤2.故選：B

【變式4-1】(2022秋.云南楚雄.高三統(tǒng)考期末)已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)〃x)的定義域

為(。，+8),((%)是/U)的導函數(shù)，且W+lnx?r(x)>0,則()

A.∕(j+"e)>OB./出<0C./(e)<0D./(1)=0

【答案】A

【解析】令函數(shù)g(x)=l∏x?"x),貝(JgQ)=牛+lnx?r(x)>0,

g(x)在(0,+功上單調(diào)遞增.又g(l)=0,

所以g(e)=∕(e)>O,gQ)=-∕(j<°,即∕Q)>°，”1)的大小不確定.故選:A?

【變式4-2](2022.全國高三專題練習)已知/(X)是定(-∞,0)(0,+∞)的奇函數(shù)，/U)是"e)的

導函數(shù)，f(D<O,且滿足：Γ(x)?lnx+^<0,則不等式O∣)?∕(x)<0的解集為()

A.(l,+∞)B.(-∞,-D∣(0,∣)C,(-∞,1)D.(-∞,0)u(l,+∞)

【答案】D

【解析】令g(χ)=扇?∕(χ),貝(Jg'(X)=T?∕(χ)+/W/'(χ)<o,

故函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，定義域為(0,+8),

g(1)=0,.?.0<XVI時，g(x)>O；l<x時，g(x)<O.

Q0<x<l時，Inx<Q;尤>1時，Inx>O.

，當x>0,X"時,∕ω<O,又/(1)<0.

???當χ>0,/U)<O,又/(X)為奇函數(shù)，...當x<0,/(x)>O.

x>]fx<1

不等式(廠1)/幻<0等價于代3<0或。何>0解得x〉l或者χ<o

故答案為：D.

【變式4-3](2022.全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)的定義域為(0,+8),導函數(shù)為廣(x),且

滿足/(x)+Λf(x)lnx>。,貝懷等式/(x-2020)ln(x-2020)≤0的解集為()

A.(→o,2020)u(2021,^o)B.(0,2021)C.(2020,2021]D,(2021,2022]

【答案】C

【解析】根據(jù)"x)+4'(X)InX>0,X>O得(X)InX>0.

設F(X)=/(x)InX(x>0),則/X)=華W(x)lnx>0,

則函數(shù)網(wǎng)x)在(0,+e)上單調(diào)遞增,且F(I)=O,

則不等式/(x-2020)ln(x-2020)≤0,可化為網(wǎng)x-2020)≤F(l),

則黑7,解得2020<x≤202L故選：C.

∣Λ-ZvZU31

【變式4-4](2023.全國.高三專題練習)已知函數(shù)的定義域是(。，+⑹,其導函數(shù)是/'(H

且滿足Inx/(x)+g∕(x)>O,則下列說法正確的是()

AJI})>。B?《卜。

C./(e)>0D./(e)<0

【答案】AC

【解析】設g(x)=F(X)Jnx,可得g3=lnx?r(x)+:∕(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

又因為且⑻=，?/^=/?,?(?)??(?)-ln??-/(?),g(D=∕(D?lnl=O,

eeee

且e>l>1,.?.g(e)>g(l)>gd),

ee

得/(e)>O,θ>gd)=-fd),整理得fd)>θ,AC正確；故選：AC

eee

【題型5構造/(x)/F型】

【例5*2023秋?貴州銅仁高三統(tǒng)考期末股函數(shù)/U)是奇函數(shù)/(x)(XeR)的導函數(shù)JS)=。,

當x>0時，Xf1W-fW>0,則使得AX)>。成立的X的取值范圍是()

A.(-∞,-l)u(0,l)B.(-l,0)u(l,+∞)C.(-∞,-l)u(-l,0)D,(0,l)u(l,+∞)

【答案】B

【解析】設F(X)=號,因為AM為奇函數(shù)，所以/(T)=-Ax),

所以F(T)=止包=3=F(X),所以F(X)為偶函數(shù)，

—X-X

對F(X)求導得F'(X)=Xf⑴；/8,

X

因為當X>0時，礦(X)-/(X)>0,所以/(X)>0,則F(X)在(0,+⑼上單調(diào)遞增，

又因為F(X)為偶函數(shù)，則F(X)在(-O上單調(diào)遞減，

因為尸(一1)=F(1)=-=Z^z^=O,

所以當x>0時,/(X)>0=>^^>0=>F(Λ)>0=F(1)=>X>1,

當XVO時，/(x)>0=>加<0nF(x)<0=F(-I)=—l<xvθ,

所以使得〃x)>。成立的X的取值范圍是(T,0)51,+∞).故選：B.

【變式5-1](2022春?四川綿陽?高二鹽亭中學校考階段練習)已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)"x),

其導函數(shù)尸(x),當x≠0時，恒有礦(X)-/(x)<0成立.設a=2/(；),b=冬網(wǎng),c=∕(l),

則”，b,C的大小關系為()

A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b

【答案】C

【解析】令g(χ)=T,貝(Jg'")=弋?,

當XWo時，恒有礦(X)T(X)<0成立，

???當χ>0時，g'(χ)<o,即g(χ)在(0，+8)上單調(diào)遞減.

則α=2fg)=g(T),*=γ∕(√2)=g(√2),C=F(I)=g(l),

⑴>g(忘),即α>c>6,故選：C.

【變式5-2](2023?全國?高二專題練習)設函數(shù)/(x)是定義在(0,+巧上的可導函數(shù)，且

V,W>2∕(x),則不等式4〃x-2022)<(x-2022尸〃2)的解集為()

A.(2022,2023)B.(2022,2024)C.(2022次)D.(0,2023)

【答案】B

【解析】由題知，函數(shù)A"是定義在(0,+8)上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為/O),

且有十(x)>2∕(x),即(X)-2∕(x)>0,

設g(x)=綽，所以g'(x)/㈤:2V(x)=V'(x)[2∕(x)>0,

XXX'

所以g(x)在3+8)上單調(diào)遞增，

因為"(X-2022)-(X-2022)2"2)<0,所以怎備<祟,

所以，解得2022<X<2024,

[1—ZUZZ<Z

所以不等式4∕(x-2022)-(x-2022尸"2)<0的解集為(2022,2024),故選：B

【變式5-3】(2023?全國高三專題練習)已知定義域為3戶0｝的偶函數(shù)73,其導函數(shù)為一匕)，

對任意正實數(shù)A滿足礦(x)>2f(x)且Al)=O,則不等式/(x)<0的解集是()

A.(-∞,1)B.(-1,1)C.(-∞,0)U(0,1)D.(-1,0)U(0,1)

【答案】D

【解析】令g(x)=§且XWO,則g'(x)=An,又Λf(x)>2f(x),

當x<0時g'(x)<O,當χ>O時/(x)>O,

所以g(x)在(-∞,O)上遞減，在(。，+8)上遞增，

由/(X)為偶函數(shù)，則g(-X)=券=號=g(χ),故g(χ)也為偶函數(shù)，

而g(T)=g(D=半=0,且/(χ)<o等價于g(x)=孝<華=g⑴,

所以⑶<1,故Xe(TO)(0,1).故選:D

【題型6構造/(x)/e"'型】

【例6】(2022.四川綿陽?四川省綿陽南山中學?？级?已知定義在R上的可導函數(shù)/3的導

函數(shù)為了'(H,滿足f'(x)<"x),且/(τ)="2+x),〃2)=1,則不等式/(χ)<e，的解集為()

A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(l,+∞)D,(0,+<χ>)

【答案】D

【解析】因為f(r)=∕(x+2),所以y=∕3的圖像關于直線x=l對稱，所以7(0)="2)=l,

設g(x)=華，則g⑴=")*),

ec

因為八x)<F(X),所以/(x)JUT㈤<0,所以g(x)在R上為減函數(shù)，

e

又g(0)=竿=1,因為f(x)<e?所以g(x)<l,,g(x)<g(0),所以X>O.故選：D.

【變式6-1X2023秋?陜西漢中?高二統(tǒng)考期末圮知定義在R上的函數(shù)滿足“力-/'(x)>0,

且有"2)=2,則/(x)>2ei的解集為()

A.(-∞,1)B.(—,2)C.(l,+∞)D.(2,+∞)

【答案】B

【解析】設F(X)=&P，則F(X)/⑸；J(x∕(x)<0,

e(e)e

.?.F(x)在R上單調(diào)遞減.

又"2)=2,則-2)=堡1=4.

e^e^

?.?f(x)>2eτ割介于色，即"χ)/(2),

ee

???x<2,即所求不等式的解集為(f，2).故選：B.

【變式6-2](2023?全國?高三專題練習)設尸(x)是函數(shù)"x)的導函數(shù)，且尸(x)>34x)(xeR),

?∕(g)=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則不等式〃InX)<丁的解集為()

A.闖B.(圜C.(°西D.已叼

【答案】C

【解析】令g(x)=字,則g'(χ)=rα)Sva),

因為/'(、)>3〃X)(XeR),所以g'(x)=∕'?"3>0,

所以函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)，

不等式"lnx)<x3即不等式√,

x>0

又加)=筌=竽，g0=嗎L,

所以不等式“Inx)<χ3即為g(lnx)<gg),

即∣nx<?∣,解得0<x<泥,

所以不等式“l(fā)nx)<d的解集為(0,%).故選：C.

【變式6-3】(2022秋?湖北高三校聯(lián)考階段練習)(多選)已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導數(shù)

為尸(X),對任意的X滿足尸(x)T(x)=e',貝IJ()

A.學⑴<"2)B.e7(-l)<∕(2)C.ef(θ)<∕(l)D.ef(θ)<∕(-l)

【答案】ABC

【解析】構造函數(shù)里,一⑴,所以*在上遞增，

F(X)=eJ”e(X)=10x)R

所以尸(T)<F(O)<尸⑴<尸(2),

由尸(一1)<尸(O),得空)<型J(O)>爐(T)V(O)>eRf,D選項錯誤.

ee

由尸(O)</1),得⑼<*)，C選項正確.

由F(T)<網(wǎng)2),得守<券,e)(T)<∕(2),B選項正確.

由尸⑴<*2),得*<竽?⑴<∕(2),A選項正確.故選：ABC

【變式6-4](2022秋?山西太原?高三校考期中)已知定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(x)=e"(τ),

且/⑴=點尸(X)是/(x)的導函數(shù)，當30,+∞)時，f'(x)<"(x),則不等式的解

集為________

【答案】(~∞,0)(S)

/?/(?)r(x)e”∕∕(χ)r(?)-??(?)

【解析】令g(x)=—?2,則g，(x)=

2X

eP2

f(x)f(-x)

因為/(x)=e?Λ-X),即告=—^,

P-a2

所以g(x)=g(r),即函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

因為，當xe[0,y)時，

V；

所以，當xe?！?時,g>(x)=J_2_<0,函數(shù)g(x)為單調(diào)遞減函數(shù),

因為函數(shù)g("為R上的偶函數(shù)

所以，函數(shù)g(x)在(y，。)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減，

因為/⑴=G,所以g(i)=—『=需=1

X/(X-1).

因為Jy(X-I)<J可變形為以<，即g(x-ι)<g⑴,

e2

因為函數(shù)g(x)為R上的偶函數(shù)，在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,+8)上單調(diào)遞減,

所以,χ-l<T或X-I>1,即χ<0或x>2,

所以，不等式√√(1)<0的解集為(F0)I(2,÷∞)

故答案為：(-∞,0)一(2,+∞)

【題型7構造SinX,cosXJ(X)型】

【例7】(2022秋河南商丘高三校聯(lián)考階段練習)已知函數(shù)小)J'(x)是其導函數(shù)，Vx{%),

尸(X)COSX+/(x)SinX=InX恒成立，則()

A.上圖+可圖卜1＜何,⑴B.(癢1)?＞&，傳)

c?后臥⑸仔)d?2倜＞(退+1)佃

【答案】D

【解析】設g(x)=祟[。＜》＜外，則g'(x)∕^ψ°SXY(X)SinX=3

CoSXI2J`/cos%cos%

當O<x<l時，g'(χ)<o,當ι<χ苦時,g'(χ)>o,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在]？上單調(diào)遞增，

所以g(5>g(ι),g[2>g(ι),

所以g({∣+g]{∣＞2g⑴，即羋+26)＞那，

所以上O扁圖卜°sl＞同⑴,故A錯誤；

因為1音唔甘，所以GN閨，

「5π(ππ?ππ.π.π?fβ-＞j2

乂COS—=Cos—+—=COS-COS—sin—sin—=-----------

12(64)64644

所以MT)佃＜⑸圖,故B錯誤；

因為。＜W＜ι，所以g[(l＞gD),g(?hD

πππ.π√2÷√6

因為=cos—cos—÷sιn-sin—

64644

所以⑸臥磯，2,(臥回I)U，故C錯誤，D正確.故選：D

【變式7-1】(2023?全國?高三專題練習)奇函數(shù)/(x)定義域為(F,0)"0∕),其導函數(shù)是7'(x)?

當。<x<κ時，有r(x)siιu-"x)cosx<0,則關于X的不等式““<五了修卜nx的解集為()

π

A.(7,TT)B.

C?[-Γ0)uH)d?

【答案】D

【解析】令尸(X)=黑，因為當O<x<兀時，有T(X)SinX-“X)COSX<0,

所以，當0<x<兀時，F(xiàn)'(x)J'a)sin：j'X)CoSX(0,

所以，函數(shù)尸(χ)=42在(0，萬)內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，

Sinx

所以，當0“<兀時，關于X的不等式/(χ)<夜/(5卜獨可化為黑<%,

Sm4

TTTT

即尸(x)<F(R,所以乃>x>l;

當一萬<xvθ時zO<-%<?Z

∕,f-?f(-)

則關于X的不等式〃“⑸仔卜nx可化為翟>—+,即需+

''sin—v7sin—

44

f(-)

因為函數(shù)”X)為奇函數(shù)，故點』>一+，也即F(T)>f￡)

Sin4

所以τ<,即、>號，所以，,

綜上，原不等式的解集(-今。￡，辦故選：D.

【變式7-2】(2023?全國?高三專題練習)已知可導函數(shù)?f(x)是定義在上去最上的奇函數(shù).當

Xe(O,和寸，/(x)+∕,(x)tanx>O,貝懷等式COSX./1+')+sinr"r)>0的解集為()

A?卜A"B」一加C.(-全用D.卜川

【答案】D

【解析】當xe1°，■^!時，f(x)+∕'(x)tanx>O,則COS4(x)+r(x)sinx>0

則函數(shù)SinM(X)在場)上單調(diào)遞增,又可導函數(shù)〃x)是定義在卜卦)上的奇函數(shù)

則sinΛf(x)是卜卦)上的偶函數(shù)，且在譯，。)單調(diào)遞減,

πππ

—<X+—<—

222可得WgO)

由，則"畀嗚，"嗚

ππ

—<-x<—

22

則Xelg°］時，不等式CoSX.小+升SinX?∕(r)>0

可化為Sin(X+3升Sin(T)?f(τ)

又由函數(shù)Sin蟲x)在(Om上單調(diào)遞增，且Te(0m，、+界(。，￡|,

則有5>x+5>τ>O，解之得-^<x<0,故選：D

【變式7-3】(2023?全國?高三專題練習)已知奇函數(shù)”x)的導函數(shù)為/'(X),且“x)在圈上

恒有ZH<E區(qū)成立，則下列不等式成立的()

sιnxCosx

【答案】B

【解析】構造函數(shù)F(X)=.，由/(x)在上恒有出成立，

sιn%?ZJsιnxCoSX

即r(x)siiu-.f(x)cosx>0,;.F(X)J(X)S?j(X)COSA>0,.?.F(x)在(0身上為增函數(shù),

又由網(wǎng)一X)=??=嗯=Fa)」F(X)為偶函數(shù)

*'川訃嗚H?<4"?扃(”圖’故A錯誤■

64

偶函數(shù)爪X)在向上為增函數(shù)，??ι(χ)在卜M上為減函數(shù)，

π<π

故B正確;

故C錯誤;

,故D錯誤.故選：B

.π.π

會”?嗚H%sinsin

34

【題型8其他復雜構造】

［例8］(2022秋?山東德州?高三統(tǒng)考期末)設函數(shù)f(力在R上的導函數(shù)為尸(x),若

Γ(x)>∕(x)+1,/(x)+∕(fl-x)=2,/(fl)=5,則不等式/(x)+2e'+l<0的解集為()

A.(0,2)B.(3,5)C.~,0)D.(0,+巧

【答案】C

【解析】令g(M",.>∕Wg?3=小”1>。,Y⑴在R上單調(diào)遞增，

/(x)+∕(α-x)=2,/(α)=5,.?.∕(0)=2-∕(α)=-3,.?.g(0)=^?^=-2,

不等式/(x)+2e'+l<0o∕(x)+l<-2e'o^4il<-2,即g(x)<g(0),

e

由函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增得XVo,

故不等式“x)+2e'+l<0的解集為(f0).故選：C.

【變式8-1】(2022?全國.模擬預測)已知函數(shù)/(x)的定義域為［0,+8),導函數(shù)為了'(X),若

/'(x)<智恒成立，則()

A./(2)>∕(3)B.2/(1)>/(3)C./(5)>2∕(2)D.3/(5)>/(1)

【答案】B

【解析】設函數(shù)g(x)=智(x≥0),因為/'(x)<g?,XNO,

所以(x+i)r(x)-/ah。，則g")=α+ιZu)〈0,

?Λ+17

所以g(x)在[0,÷∞)上單調(diào)遞減，

從而g(l)>g⑵>g⑶>g(5),即羋>W>率>羋).

2346

所以4"2)>3”3),2∕(1)>F(3),2/(2)>/(5),341)>∕(5).故選：B

【變式8-2](2022.全國?高三專題練習)已知定義在R上的圖象連續(xù)的函數(shù)〃x)的導數(shù)是.因1)，

/(Λ)÷∕(-2-X)=0,當χ<T時，(X+1)[∕(X)+(X+1)∕(X)]<0,則不等式由X-1)>/⑼的解集為

()

A.(-l,?)B.(-∞,-l)C.(l,+∞)D.(-∞,-l)u(l,+∞)

【答案】A

【解析】當X<τ時，(χ+ι)[∕(χ)+(χ+ι)∕'(χ)]<o,即有/(χ)+(χ+ι)∕'(χ)>o.

令F(X)=(X+l)∕(x),則當x<T時,Γ(X)=∕(Λ)+(X+1)Γ(X)>0,

故F(X)在(e,T)上單調(diào)遞增.

,/F(-2-x)=(-2-X+1)/(-2-x)=(-1-x)[-/(.?)]=F(x),

??.F(X)關于直線戶-1對稱，故F(X)在(TE)上單調(diào)遞減，

由-(X-I)>f(0)等價于f(X