《21.2.3 因式分解法》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《21．2.3因式分解法》教案【教學(xué)目標(biāo)】1．認識用因式分解法解方程的依據(jù)．2．會用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入我們知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，類似的解方程(x＋1)(x－1)＝0時，可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0來解，你能求出(x＋3)(x－5)＝0的解嗎？二、合作探究探究點一：用因式分解法解一元二次方程【類型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：變形后方程右邊是零，左邊是能分解的二次三項式，可用因式分解法．解：(1)原方程轉(zhuǎn)化為x(x＋5)＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴原方程的解為x1＝0，x2＝－5；(2)原方程轉(zhuǎn)化為(x－5)(x－6)－(x－5)＝0，∴(x－5)[(x－6)－1]＝0，∴(x－5)(x－7)＝0，∴x－5＝0或x－7＝0，∴原方程的解為x1＝5，x2＝7.【類型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可變形為：x2－6x＋9＝0，則(x－3)2＝0，∴x－3＝0，因此原方程的解為：x1＝x2＝3.(2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0，[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0，(7x－16)(－3x＋4)＝0，∴7x－16＝0或－3x＋4＝0，∴原方程的解為x1＝eq\f(16,7)，x2＝eq\f(4,3).方法總結(jié)：因式分解法解一元二次方程的一般步驟是：①將方程的右邊化為0；②將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每一個因式分別為零，就得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解．探究點二：用因式分解法解決問題若a、b、c為△ABC的三邊，且a、b、c滿足a2－ac－ab＋bc＝0，試判斷△ABC的形狀．解析：先分解因式，確定a，b，c的關(guān)系，再判斷三角形的形狀．解：∵a2－ac－ab＋bc＝0，∴(a－b)(a－c)＝0，∴a－b＝0或a－c＝0，∴a＝c或a＝b，∴△ABC為等腰三角形．三、板書設(shè)計【教學(xué)反思】利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是關(guān)鍵，因此，要熟練掌握因式分解的知識，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法時，先考慮有無公因式，如果沒有再考慮公式法.《21.2.3因式分解法》教案【教學(xué)內(nèi)容】用因式分解法解一元二次方程．【教學(xué)目標(biāo)】掌握用因式分解法解一元二次方程．通過復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法──因式分解法解一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些具體問題．【重難點關(guān)鍵】1．重點：用因式分解法解一元二次方程．2．難點與關(guān)鍵：讓學(xué)生通過比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題簡便．【教學(xué)過程】一、復(fù)習(xí)引入（學(xué)生活動）解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老師點評：（1）配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數(shù)應(yīng)為，的一半應(yīng)為，因此，應(yīng)加上（）2，同時減去（）2．（2）直接用公式求解．二、探索新知（學(xué)生活動）請同學(xué)們口答下面各題．（老師提問）（1）上面兩個方程中有沒有常數(shù)項？（2）等式左邊的各項有沒有共同因式？（學(xué)生先答，老師解答）上面兩個方程中都沒有常數(shù)項；左邊都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面兩個方程都可以寫成：（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移項提取公因式x；（2）等號右側(cè)移項到左側(cè)得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可達到分解因式；一邊為兩個一次式的乘積，另一邊為0的形式解：（1）移項，得：4x2-11x=0因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0x1=0，x2=（2）移項，得（x-2）2-2x+4=0（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=4例2．已知9a2-4b2=0，求代數(shù)式的值．分析：要求的值，首先要對它進行化簡，然后從已知條件入手，求出a與b的關(guān)系后代入，但也可以直接代入，因計算量比較大，比較容易發(fā)生錯誤．解：原式=∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=03a+2b=0或3a-2b=0，a=-b或a=b當(dāng)a=-b時，原式=-=3當(dāng)a=b時，原式=-3．三、鞏固練習(xí)教材P45練習(xí)1、2．四、應(yīng)用拓展例3．我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=0，請你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0分析：二次三項式x2-（a+b）x+ab的最大特點是x2項是由x·x而成，常數(shù)項ab是由-a·（-b）而成的，而一次項是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根據(jù)上面的分析，我們可以對上面的三題分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面這種方法，我們把它稱為十字相乘法．五、歸納小結(jié)本節(jié)課要掌握：（1）用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應(yīng)用．（2）三種方法（配方法、公式法、因式分解法）的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系①降次，即它的解題的基本思想是：將二次方程化為一次方程，即降次．②公式法是由配方法推導(dǎo)而得到．③配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法適用于某些一元二次方程．區(qū)別：①配方法要先配方，再開方求根．②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0．六、布置作業(yè)教材P46復(fù)習(xí)鞏固5綜合運用8、10拓廣探索11．第六課時作業(yè)設(shè)計一、選擇題1．下面一元二次方程解法中，正確的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=，x2=C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x兩邊同除以x，得x=12．下列命題①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1與方程x2=1是同解方程；③方程x2=x與方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（）．A．0個B．1個C．2個D．3個3．如果不為零的n是關(guān)于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（）．A．-B．-1C．D．1二、填空題1．x2-5x因式分解結(jié)果為_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結(jié)果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三項式x2+20x+96分解因式的結(jié)果為________；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個根是_________．三、綜合提高題1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=02．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3．今年初，湖北武穴市發(fā)生禽流感，某養(yǎng)雞專業(yè)戶在禽流感后，打算改建養(yǎng)雞場，建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場．為了節(jié)約材料，雞場的一邊靠著原有的一條墻，墻長am，另三邊用竹籬圍成，如果籬笆的長為35m，問雞場長與寬各為多少？（其中a≥20m）答案:一、1．B2．A3．D二、1．x（x-5），（x-3）（2x-5）2．x1=，x2=13．（x+12）（x+8），x1=-12，x2=-8三、1．（1）3y（y-2）=0，y1=0，y0=2（2）（5y）2-42=0（5y+4）（5y-4）=0，y1=-，y2=（3）（x-14）（x+2）=0x1=14，x2=-2（4）（x-7）（x-5）=0x1=7，x2=52．x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=13．設(shè)寬為x，則長為35-2x，依題意，得x（35-2x）=1502x2-35x+150=0（2x-15）（x-10）=0，x1=7.5，x2=10，當(dāng)寬x1=7.5時，長為35-2x=20，當(dāng)寬x=10時，長為15，因a≥20m，兩根都滿足條件．《21.2.3因式分解法》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】：1．會用因式分解法（提公因式法、公式法）法解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。2．能根據(jù)具體的一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性?！局攸c、難點】1、重點：應(yīng)用分解因式法解一元二次方程2、難點：靈活應(yīng)用各種分解因式的方法解一元二次方程.【課前預(yù)習(xí)】閱讀教材P38—40,完成課前預(yù)習(xí)1：知識準(zhǔn)備將下列各題因式分解am+bm+cm=;a2-b2=;a2±2ab+b2=因式分解的方法：解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）2：探究仔細觀察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法嗎？3、歸納：（1）對于一元二次方程，先因式分解使方程化為_________________的形式，再使_________________________，從而實現(xiàn)_________________，這種解法叫做__________________。（2）如果，那么或，這是因式分解法的根據(jù)。如：如果，那么或_______，即或________。練習(xí)1、用因式分解法解下列方程：(1)x2-4x=0(2)4x2-49=0(3)5x2-10x+20=0【課堂活動】活動1：預(yù)習(xí)反饋活動2：典型例題活動3：隨堂訓(xùn)練1、用因式分解法解下列方程（1）x2+x=0（2）x2-2x=0（3）3x2-6x=-3（4）4x2-121=0（5）3x(2x+1)=4x+2（6）(x-4)2=(5-2x)22、把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地的半徑。活動4：課堂小結(jié)因式分解法解一元二次方程的一般步驟（1）

將方程右邊化為（2）

將方程左邊分解成兩個一次因式的（3）

令每個因式分別為，得兩個一元一次方程（4）

解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解【課后鞏固】1．方程的根是2．方程的根是________________3．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是_________4．方程（x-1）（x-2）=0的兩根為x1、x2，且x1>x2，則x1-2x2的值等于___5．若（2x+3y）2+2（2x+3y）+4=0，則2x+3y的值為_________．6．已知y=x2-6x+9，當(dāng)x=______時，y的值為0；當(dāng)x=_____時，y的值等于9．7．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（）A．-1，2B．1，-2C．0，-1，2D．0，1，28．若關(guān)于x的一元二次方程的根分別為-5，7，則該方程可以為（）A．（x+5）（x-7）=0B．（x-5）（x+7）=0C．（x+5）（x+7）=0D．（x-5）（x-7）=09．方程（x+4）（x-5）=1的根為（）A．x=-4B．x=5C．x1=-4，x2=5D．以上結(jié)論都不對10、用因式分解法解下列方程：(1)3x(x-1)=2(x-1)(2)x2+x（x-5）=0《21.2.3因式分解法》同步練習(xí)◆隨堂檢測1、下面一元二次方程的解法中，正確的是（）A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=，x2=C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x兩邊同除以x，得x=12、x2-5x因式分解結(jié)果為_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結(jié)果是______．3、用因式分解法解方程:（1）；（2）．點撥：用因式分解法解方程的關(guān)鍵是要將方程化為一邊為兩個一次式的乘積，另一邊為0的形式．4、已知三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程的解，求這個三角形的周長．◆典例分析方程較大根為，方程較小根為，求的值.分析：本題中兩個方程的系數(shù)都較大，用配方法和公式法都會遇到煩瑣的運算，因此考慮到系數(shù)的特點，選用因式分解法最合適．解：將方程因式分解，得：，∴或，∴，.∴較大根為1，即.將方程變形為：，∴，∴，∴∴∴，∴或，∴，.∴較小根為-1，即.∴.●拓展提高1、二次三項式x2+20x+96分解因式的結(jié)果為________；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個根是_________．2、下列命題:①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1與方程x2=1是同解方程；③方程x2=x與方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3.其中正確的命題有（）A．0個B．1個C．2個D．3個3、已知，求的值.點撥:將看作一個整體,不妨設(shè)，則求出的值即為的值.4、我們知道，那么就可轉(zhuǎn)化為，請你用上面的方法解下列方程：（1）；（2）；（3）.5、已知，求代數(shù)式的值．分析：要求的值，首先要對它進行化簡，然后從已知條