《21.2.1 配方法 第1課時(shí) 直接開平方法》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

21．2.1配方法《第1課時(shí)直接開平方法》教案【教學(xué)目標(biāo)】1．學(xué)會(huì)根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．2．運(yùn)用開平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．3．體驗(yàn)類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．【教學(xué)過程】一、情境導(dǎo)入一個(gè)正方形花壇的面積為10，若設(shè)其邊長為x，根據(jù)正方形的面積可列出怎樣的方程？用怎樣的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究點(diǎn)：直接開平方法【類型一】用直接開平方法解一元二次方程運(yùn)用開平方法解下列方程：(1)4x2＝9；(2)(x＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化為x2＝a(a≥0)的形式；(2)原方程可變形為(x＋3)2＝2，則x＋3是2的平方根，從而可以運(yùn)用開平方法求解．解：(1)由4x2＝9，得x2＝eq\f(9,4)，兩邊直接開平方，得x＝±eq\f(3,2)，∴原方程的解是x1＝eq\f(3,2)，x2＝－eq\f(3,2).(2)移項(xiàng)，得(x＋3)2＝2.兩邊直接開平方，得x＋3＝±eq\r(2).∴x＋3＝eq\r(2)或x＋3＝－eq\r(2).∴原方程的解是x1＝eq\r(2)－3，x2＝－eq\r(2)－3.方法總結(jié)：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通過降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解的，這是解一元二次方程的基本思想；一般地，對于形如x2＝a(a≥0)的方程，根據(jù)平方根的定義，可解得x1＝eq\r(,a)，x2＝－eq\r(,a).【類型二】直接開平方法的應(yīng)用若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的兩個(gè)根分別是m＋1與2m－4，則eq\f(b,a)＝________.解析：∵ax2＝b，∴x＝±eq\r(\f(b,a))，∴方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的兩個(gè)根分別是2與－2，∴eq\r(\f(b,a))＝2，∴eq\f(b,a)＝4，故答案為4.【類型三】直接開平方法與方程的解的綜合應(yīng)用若一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一個(gè)根為0，則a＝________．解析：∵一元二次方程(a＋2)x2－ax＋a2－4＝0的一個(gè)根為0，∴a＋2≠0且a2－4＝0，∴a＝2.故答案為2.【類型四】直接開平方法的實(shí)際應(yīng)用有一個(gè)邊長為11cm的正方形和一個(gè)長為13cm，寬為8cm的矩形，要作一個(gè)面積為這兩個(gè)圖形的面積之和的正方形，邊長應(yīng)為多少厘米？分析：要求新正方形的邊長，可先求出原正方形和矩形的面積之和，然后再用開平方計(jì)算．解：設(shè)新正方形的邊長為xcm，根據(jù)題意得x2＝112＋13×8，即x2＝225，解得x＝±15.因?yàn)檫呴L為正，所以x＝－15不合題意，舍去，所以只取x＝15.答：新正方形的邊長應(yīng)為15cm.方法總結(jié)：在解決與平方根有關(guān)的實(shí)際問題時(shí)，除了根據(jù)題意解題外，有時(shí)還要結(jié)合實(shí)際，把平方根中不符合實(shí)際情況的負(fù)值舍去．三、板書設(shè)計(jì)【教學(xué)反思】教學(xué)過程中，強(qiáng)調(diào)利用開平方法解一元二次方程的本質(zhì)是求一個(gè)數(shù)的平方根的過程．同時(shí)體會(huì)到解一元二次方程過程就是一個(gè)“降次”的過程.21.2.1配方法《第1課時(shí)直接開平方法》教案【教學(xué)內(nèi)容】運(yùn)用直接開平方法，即根據(jù)平方根的意義把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．【教學(xué)目標(biāo)】理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題．提出問題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程．【重難點(diǎn)關(guān)鍵】1．重點(diǎn)：運(yùn)用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領(lǐng)會(huì)降次──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．2．難點(diǎn)與關(guān)鍵：通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n，知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程．【教學(xué)過程】一、復(fù)習(xí)引入學(xué)生活動(dòng)：請同學(xué)們完成下列各題問題1．填空（1）x2-8x+______=（x-______）2；（2）9x2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x2+px+_____=（x+______）2．問題2．如圖，在△ABC中，∠B=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始，沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，幾秒后△PBQ的面積等于8cm2？老師點(diǎn)評(píng)：問題1：根據(jù)完全平方公式可得：（1）164；（2）42；（3）（）2．問題2：設(shè)x秒后△PBQ的面積等于8cm2則PB=x，BQ=2x依題意，得：x·2x=8x2=8根據(jù)平方根的意義，得x=±2即x1=2，x2=-2可以驗(yàn)證，2和-2都是方程x·2x=8的兩根，但是移動(dòng)時(shí)間不能是負(fù)值．所以2秒后△PBQ的面積等于8cm2．二、探索新知上面我們已經(jīng)講了x2=8，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±2，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接開平方的方法求解呢？（學(xué)生分組討論）老師點(diǎn)評(píng)：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+1=±2即2t+1=2，2t+1=-2方程的兩根為t1=-，t2=--例1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為（x+2）2=1．解：由已知，得：（x+2）2=1直接開平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3例2．市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率．分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x．一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10（1+x）；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x，則：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接開平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長率應(yīng)為正的，因此，x2=-2.2應(yīng)舍去．所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%．（學(xué)生小結(jié)）老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．三、鞏固練習(xí)教材P36練習(xí)．四、應(yīng)用拓展例3．某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？分析：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x，那么二月份的營業(yè)額就應(yīng)該是（1+x），三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎(chǔ)上再增長的，應(yīng)是（1+x）2．解：設(shè)該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x．那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）當(dāng)成一個(gè)數(shù)，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根為x1=10%，x2=-3.1因?yàn)樵鲩L率為正數(shù)，所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%．五、歸納小結(jié)本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的．六、布置作業(yè)1．教材P45復(fù)習(xí)鞏固1、2．2．選用作業(yè)設(shè)計(jì):一、選擇題1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分別是（）．A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根為（）．A．3B．-3C．±3D．無實(shí)數(shù)根3．用配方法解方程x2-x+1=0正確的解法是（）．A．（x-）2=，x=±B．（x-）2=-，原方程無解C．（x-）2=，x1=+，x2=D．（x-）2=1，x1=，x2=-二、填空題1．若8x2-16=0，則x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，這個(gè)一元二次方程的兩根是________．3．如果a、b為實(shí)數(shù)，滿足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、綜合提高題1．解關(guān)于x的方程（x+m）2=n．2．某農(nóng)場要建一個(gè)長方形的養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻（墻長25m），另三邊用木欄圍成，木欄長40m．（1）雞場的面積能達(dá)到180m2嗎？能達(dá)到200m嗎？（2）雞場的面積能達(dá)到210m2嗎？3．在一次手工制作中，某同學(xué)準(zhǔn)備了一根長4米的鐵絲，由于需要，現(xiàn)在要制成一個(gè)矩形方框，并且要使面積盡可能大，你能幫助這名同學(xué)制成方框，并說明你制作的理由嗎？答案:一、1．B2．D3．B二、1．±2．9或-33．-8三、1．當(dāng)n≥0時(shí)，x+m=±，x1=-m，x2=--m．當(dāng)n<0時(shí)，無解2．（1）都能達(dá)到．設(shè)寬為x，則長為40-2x，依題意，得：x（40-2x）=180整理，得：x2-20x+90=0，x1=10+，x2=10-；同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，長為40-20=20．（2）不能達(dá)到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，無解，即不能達(dá)到．3．因要制矩形方框，面積盡可能大，所以，應(yīng)是正方形，即每邊長為1米的正方形．21.2.1配方法（1）《第1課時(shí)直接開平方法》導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、初步掌握用直接開平方法解一元二次方程，會(huì)用直接開平方法解形如=p(p≥0)或（mx+n）=p(p≥0)的方程2、理解一元二次方程解法的基本思想及其與一元一次方程的聯(lián)系，體會(huì)兩者之間相互比較和轉(zhuǎn)化的思想方法；3、能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。重點(diǎn)：掌握用直接開平方法解一元二次方程的步驟。難點(diǎn)：理解并應(yīng)用直接開平方法解特殊的一元二次方程。導(dǎo)學(xué)流程：自主探索自學(xué)P30問題1、及思考完成下列各題：解下列方程：（1）x2－2＝0;（2）16x2－25＝0.（3）（x＋1）2－4＝0；（4）12（2－x）2－9＝0.總結(jié)歸納如果方程能化成=p或（mx+n）=p(p≥0)形式，那么可得鞏固提高仿例完成P31頁練習(xí)課堂小結(jié)你今天學(xué)會(huì)了解怎樣的一元二次方程？步驟是什么？達(dá)標(biāo)測評(píng)1、解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）x2-12=0（4）x2-2=0（9）x2+2x+1=0（10）x2+4x+4=0（11）x2-6x+9=0（12）x2+x+=0《第1課時(shí)用直接開平方法解一元二次方程》同步練習(xí)1．一元二次方程x2－25＝0的解是(D)A．x1＝5，x2＝0B．x＝－5C．x＝5D．x1＝5，x2＝－52．一元二次方程(x＋6)2＝16可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，其中一個(gè)一元一次方程是x＋6＝4，則另一個(gè)一元一次方程是(D)A．x－6＝－4B．x－6＝4C．x＋6＝4D．x＋6＝－43．若a為一元二次方程(x－eq\r(17))2＝100的一個(gè)根，b為一元二次方程(y－4)2＝17的一個(gè)根，且a，b都是正數(shù)，則a－b等于(B)A．5B．6C.eq\r(83)D．10－eq\r(17)【解析】(x－eq\r(17))2＝100的根為x1＝－10＋eq\r(17)，x2＝10＋eq\r(17)，因?yàn)閍為正數(shù)，所以a＝10＋eq\r(17).(y－4)2＝17的根為y1＝4＋eq\r(17)，y2＝4－eq\r(17)，因?yàn)閎為正數(shù)，所以b＝4＋eq\r(17)，所以a－b＝10＋eq\r(17)－(4＋eq\r(17))＝6.4．解關(guān)于x的方程(x＋m)2＝n，正確的結(jié)論是(B)A．有兩個(gè)解x＝±eq\r(n)B．當(dāng)n≥0時(shí)，有兩個(gè)解x＝±eq\r(n)－mC．當(dāng)n≥0時(shí)，有兩個(gè)解x＝±eq\r(n－m)D．當(dāng)n≤0時(shí)，無實(shí)數(shù)解5．若關(guān)于x的方程(3x－c)2－60＝0的兩根均為正數(shù)，其中c為整數(shù)，則c的最小值為(B)A．1B．8C．16D．【解析】原方程可化為(3x－c)2＝60，3x－c＝±eq\r(60)，3x＝c±eq\r(60)，x＝eq\f(c±\r(60),3).因?yàn)閮筛鶠檎龜?shù)，所以c＞eq\r(60)＞7，所以整數(shù)c的最小值為8.故選B.6．一元二次方程x2－4＝0的解是__x＝±2__．7．當(dāng)x＝__－7或－1__時(shí)，代數(shù)式(x－2)2與(2x＋5)2的值相等．【解析】由(x－2)2＝(2x＋5)2，得x－2＝±(2x＋5)，即x－2＝2x＋5或x－2＝－2x－5，所以x1＝－7，x2＝－1.8．若x＝2是關(guān)于x的方程x2－x－a2＋5＝0的一個(gè)根，則a的值為__±eq\r(7)__．【解析】把x＝2代入方程x2－x－a2＋5＝0得22－2－a2＋5＝0，即a2＝7，所以a＝±eq\r(7).9．在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“☆”，其規(guī)則為：a☆b＝a2－b2，則方程(4☆3)☆x＝13的解為x＝__±6__．【解析】4☆3＝42－32＝16－9＝7，7☆x＝72－x2，∴72－x2＝13.∴x2＝36.∴x＝±6.10．如果分式eq\f(x2－4,x－2)的值為零，那么x＝__－2__．【解析】由題意得x2－4＝0且x－2≠0，∴x＝－2.11．求下列各式中的x.(1)x2＝36；(2)x2＋1＝1.01；(3)(4x－1)2＝225；(4)2(x2＋1)＝10.解：(1)x1＝6，x2＝－6；(2)x1＝0.1，x2＝－0.1；(3)x1＝4，x2＝－eq\f(7,2)；(4)x1＝2，x2＝－2.12．已知關(guān)于x的一元二次方程(x＋1)2－m＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．則m的取值范圍是(B)A．m≥－eq\f(3,4)B．m≥0C．m≥－1D．m≥2【解析】(x＋1)2－m＝0，(x＋1)2＝m，∵一元二次方程(x＋1)2－m＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴m≥0.13．已知等腰三角形的兩邊長分別是(x－3)2＝1的兩個(gè)解，則這個(gè)三角形的周長是(C)A．2或4B．8C．10D．8或10【解析】開方得x－3＝±1，即x＝4或2，則等腰三角形的三邊長只能為4，4，2，則周長為10.故選C.14．解下列方程：(1)(x－3)2－9＝0；(2)(2x－3)(2x－3)＝x2－6x＋9；(3)(2x＋3)2－(1－eq\r(2))2＝0.解：(1)(x－3)2＝9，x－3＝±3，∴x1＝0，x2＝6；(2)原方程可化為(2x－3)2＝(x－3)2，兩邊開平方得2x－3＝±(x－3)，即2x－3＝x－3或2x－3＝－(x－3)，∴x1＝0，x2＝2；(3)原方程可化為(2x＋3)2＝(1－eq\r(2))2，∴2x＋3＝±(1－eq\r(2))．∴2x＋3＝1－eq\r(2)或2x＋3＝－(1－eq\r(2))．∴x1＝－1－eq\f(\r(2),2)，x2＝－2＋eq\f(\r(2),2).15．以大約與水平線成45°角的方向，向斜上方拋出標(biāo)槍，拋出距離s(單位：米)與標(biāo)槍出手的速度v(單位：米/秒)之間根據(jù)物理公式大致有如下關(guān)系：s＝eq\f(v2,9.8)＋2，如果拋出48米，試求標(biāo)槍出手時(shí)的速度(精確到0.1米/秒)．解：把s＝48代入s＝eq\f(v2,9.8)＋2，得48＝eq\f(v2,9.8)＋2，v2＝46×9.8，∴v1≈21.2，v2≈－21.2(舍去)．答：標(biāo)槍出手時(shí)的速度約為21.2米16．已知eq\f(2,m－1)＝eq\f(3,m)，求關(guān)于x的方程x2－3m＝0的解．解：eq\f(2,m－1)＝eq\f(3,m)，方程兩邊同時(shí)乘m(m－1)，得2m＝3(m－1)，解得m＝3經(jīng)檢驗(yàn)m＝3是原方程的解．將m＝3代入方程x2－3m＝0則x2－9＝0，解得x＝±3，即關(guān)于x的方程x2－3m＝0的解為x1＝3x2＝－3.17．已知a＋b＝4n＋2，ab＝1，若19a2＋150ab＋19b2的值為2012，求n.解：∵19a2＋150ab＋19b2＝19(a＋b)2－38ab＋150ab＝19(a＋b)2＋112ab，且a＋b＝4n＋2，ab＝1又19a2＋150ab＋19b2的值為2012∴19×(4n＋2)2＋112×1＝2012，即(4n＋2)2＝100，∴4n＋2＝±10，當(dāng)4n＋2＝10時(shí)，解得n＝2；當(dāng)4n＋2＝－10時(shí)，解得n＝－3.故n為2或－3.《21.2.1配方法(1)》同步練習(xí)◆隨堂檢測1、方程3+9=0的根為（）A、3B、-3C2、下列方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是（）A、B、C、D、3、若，那么p、q的值分別是（）A、p=4，q=2B、p=4，q=-2C、p=-4，q=2D、p=-4，q=-24、若，則的值是_________．5、解一元二次方程是．6、解關(guān)于x的方程（x+m）2=n．◆典例分析已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．分析：