2022-2023學年高一下數(shù)學：平面向量的坐標運算（附答案解析）

2022-2023學年高一下數(shù)學：平面向量的坐標運算

一.選擇題(共10小題)

I.(2021春?三明期中)己知/(2,3),B(3,1),則標的坐標是()

A.(2,-1)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(1,-2)

2.(2021秋?鐵力市校級期末)已知點4(-1,1),B(3,?),向量？=(卜2)>若瓦//a.

則y的值為()

A.6B.7C.8D.9

3.(2021春?長清區(qū)校級期中)下列各組平面向量中，可以作為平面的基底的是()

-

?-e?=(l>2),e2=(0?0)

―÷13

B

?Θ1=(2,-3),e2=(-y>])

c

?e?=(3,1),e2=(6?2)

d

?e?=(0,2),e2=(^4,0)

4.(2021春?湖南期中)已知Z=(2,-1),b=(l,m>且Z+E=λ(Z-E)(人聲0)，

則實數(shù)m的值為()

A.?B.IC.」D._1

222

5.(2021春?長清區(qū)校級期中)已知單位向量Z,E滿足IZ-El=I,則I2之+EI=()

A.√7B.√3C.√5D.√2

6.(2021春?石景山區(qū)校級期中)已知平面直角坐標系內(nèi)一點尸(2,-3)，向量而=(1,2>

向量亙J=(-2,OA那么施V中點坐標為()

A.(?∣?,-2)b?(~y>T)c?(y?-4)d?(?.-1)

7.(2021?寶雞模擬)設(shè)X,y€R,向量Z=(x,1),b=(1，尸)，C=(2，-4)且￡3

~t>∕∕~c>貝!∣x+y=()

A.0B.IC.2D.-2

8.(2021春?安康期中)設(shè)向量Z=(1,m>K=(-l,m>若Z與芯的夾角為6°。，則IWl

第1頁(共15頁)

)

C.2D.√5

9.（2021秋?香坊區(qū)校級期中）己知向量a=（1,3）,b=（2,-4）,則下列結(jié)論正確的

是（）

A.（a+b）//aB.∣I+2?=5

c.向量；，E的夾角為旦2LD.后在2方向上的投影是小誣

4

10.（2020秋?湖南期中）已知平面向量I=（1,λ+l）,n=<λ+2,2）,則“人>-9”是

3

W的夾角為銳角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二.填空題（共4小題）

11.（2021春?西湖區(qū)期中）已知向量Z=（2,1）,b=（-3,1）,則Ia+H=；向

量a在向量b的投影向量是.

12.（2021秋?懷仁市期末）設(shè)平面向量Z=（1,2>b=（-2,y）,若a_Lb，貝UIa+bI

等于.

13.（2022?豐順縣一模）已知向量之，∣bI=√2,Z與4的夾角為135

B商足Z=(O,1),

0,貝IJIa-2bI=?

14.（2021秋?臨湘市期末）已知；=（3,-2,-3）,b=（7,x-1，1），且Z與芯的夾

角為鈍角，則X的取值范圍是.

Ξ.解答題（共4小題）

15.（2021春?廣東期中）已知”（1,1）,B（-1,4）,C（a,b）.

（1）若N,B,C三點共線，求。與6滿足的關(guān)系式；

（2）若48,C三點共線，I菽I=2I族|，求點C的坐標.

16.（2021春?鼓樓區(qū)校級期末）已知之，b.彘同一平面內(nèi)的三個向量，其中Z=（1,2）.

（1）若兩=2旄,且W〃4，求芯的坐標；

第2頁（共15頁）

(2)若∣3=J75,且與4W-3^?直，求之與3的夾角仇

17.(2021?蓬江區(qū)校級模擬)Z?∕8C的內(nèi)角力,B,C所對的邊分別為a,b,C向量彳=(a,

仔與E=(CoS4SirLS)平行.

(I)求出

(II)若α=2√5,6=2,求4/BC的面積

18.(2009?青島一模)已知向量a=(sinα,cosa),b=(6sina+cosa,7sina-2cosa),設(shè)

函數(shù)/(a)=a*b?

(1)求函數(shù)/(a)的最大值；

(2)在銳角三角形48C中，角力，B,C的對邊分別為〃，b,c9/(J)=6,且4/8C

的面積為3,?+c=2+3√2)求a的值.

第3頁(共15頁)

2022-2023學年高一下數(shù)學：平面向量的坐標運算

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.(2021春?三明期中)已知Z(2,3),B(3,1),則標的坐標是()

A.(2,-1)B.(-1,2)C.(-2,1)D.(1,-2)

【考點】平面向量的坐標運算.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；綜合法：平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】由向量的坐標運算求解即可.

【解答】解：因為4(2,3),B(3,1),

所以Q=(3,1)-(2,3)=(1,-2).

故選：D.

【點評】本題主要考查平面向量的坐標運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.(2021秋?鐵力市校級期末)已知點N(-1,1),B(3,y),向量Z=(卜2)＞若瓦//a.

貝Uy的值為()

A.6B.7C.8D.9

【考點】平面向量共線(平行)的坐標表示.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)題意，由/、8的坐標可得向量標的坐標，由向量平行的坐標表示方法可

得4X2=y-l,解可得y的值，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，點Z(-1,1),B(3,“則標=(4,廠1),

若瓦?2，則有4X2=y-l,解可得尸9,

故選：D.

【點評】本題考查向量平行的坐標表示方法，涉及向量坐標的計算，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2021春?長清區(qū)校級期中)下列各組平面向量中，可以作為平面的基底的是()

?*e?=(^1.2),e2=(0,0)

第4頁(共15頁)

_—*1Q

b?e=(2,-3),e=(-y>?)

i14/24

C?e?=(3,1),e2=(θ>2)

d?e?=(O,2),@2=(-4,O)

【考點】平面向量的基本定理.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想：綜合法：平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】分別判斷每個選項的兩個向量是否共線即可.

【解答】解：對于/：因為T=(0.0),所以二，是共線向量，所以不能作為平面

的基底向量；

對于8：丁=(2,-3),丁=(-?,―),因為2x3-(-3)X(-?)=0,所

θ??22442

以T，是共線向量，所以不能作為平面的基底向量；

ele2

對于C：Z~=(3,1),『=(6,2),因為3X2-1X6=0,所以之一是共線向量，

w1a2Ulw2

所以不能作為平面的基底向量；

對于。：丁=(0,2),丁=(-4,0),因為OXO-(-4)X2=8W0,所以丁，丁

w1u2w1w2

不是共線向量，所以能作為平面的基底向量：

故選：D.

【點評】本題考查向量是否共線問題，屬基礎(chǔ)題.

4.(2021春?湖南期中)已知Z=⑵-1),E=(1,m),且Z+E=入(Z-E)(入學0)，

則實數(shù)m的值為()

A.?B.1C..AD.-?1

222

【考點】平面向量的坐標運算.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】先求出Z+3和Z-E的坐標，再利用向量共線的坐標關(guān)系求解.

【解答】解：⑵-1),b=(l.m>

i."?'"?

∕?a+b=(3,tn-1)b=(1,-1-〃?)，

?a+b=入(a_*b)(人戶O),

第5頁(共15頁)

??m-1=3(-1-/H),

解得：m=--1.,

2

故選：C.

【點評】本題主要考查了平面向量的坐標運算，考查了向量共線的坐標關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

5.(2021春?長清區(qū)校級期中)已知單位向量Z,E滿足-b∣=LM∣2a+bI=()

A.√7B.√3C.√5D.√2

【考點】平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角.

【專題】方程思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】由單位向量Z,E滿足G-El=I，解得Z?E=/，從而∣2Z+El=√(2a+b)2

=V4a2+b2+4l?P由此能求出結(jié)果.

【解答】解：?.?單位向量Z,E滿足IZ-El=1，

?,一二、2--?2→2→一一1

??(a-b)-a+b-2a?l>T'

解得Z?E=L,

2

2227

??I2a÷bI=√(2?+b)=√41÷b÷4l-b=√4i<=√7?

故選：力.

【點評】本題考查向量的模的求法，考查向量數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能

力，是基礎(chǔ)題.

6.(2021春?石景山區(qū)校級期中)已知平面直角坐標系內(nèi)一點P(2,-3),向量而=(L2>

向量屈=(-2,Q)>那么MN中點坐標為()

?,Cy?^2)b?(-?.^1)A￠,Y)D.(?∣^,~1)

【考點】平面向量的坐標運算.

【專題】計算題；整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】利用平面向量的坐標運算求出點陰，N的坐標，再利用中點坐標公式即可求出

結(jié)果.

【解答】解：設(shè)Λ/(XI,yι),NG2，”)，

第6頁(共15頁)

Xι-2=1Xn-2=-2

由題意可知I,

y∣~(~3)=2丫2-(-3)=O

0

X2=

解得11,

Jl=-I丫2=-3

：.M(3,-1),N(0,-3),

.?.VN中點坐標為(3,-2),

2

故選：A,

【點評】本題主要考查了平面向量的坐標運算，考查了中點坐標公式，是基礎(chǔ)題.

7.(2021?寶雞模擬)設(shè)X,yCR,向量；=(x,1),b=。，V)，C=⑵-4)且。3，

b^z^c>則χ+y=()

A.0B.IC.2D.-2

【考點】平面向量的坐標運算.

【專題】平面向量及應(yīng)用.

【分析】利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量共線定理即可得出.

【解答】解：Ya?Ob〃O

Λ2x-4=0,2y+4=0,

解得x=2,y=-2.

Λχ-^=0.

故選：A.

【點評】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.

8.(2021春?安康期中)設(shè)向量Z=(1,m>E=(-l,m>若Z與芯的夾角為60。，則IZ

=()

A.√2B.√3C.2D.√5

【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用：數(shù)學運算.

【分析】由向量的夾角公式可求得機2,再利用模的運算即可求解.

【解答】解：因為向量Z=(1,m),E=(-l,m).Z與E的夾角為60。，

第7頁(共15頁)

所以COS60°=—5―?—=.--j?+lτt..,=_1,

2

Iallbll+m2

所以m2=3,

所以IaI=4I+ΠI2=2.

故選：C.

【點評】本題主要考查向量數(shù)量積的運算，數(shù)量積表示兩個向量的夾角，考查運算求解

能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2021秋?香坊區(qū)校級期中）己知向量Z=（1,3）,b=（2,-4）,則下列結(jié)論正確的

是（）

A.（a+b）IlaB.∣a+2bl=5

C.向量；，E的夾角為旦工D.E在Z方向上的投影是

4

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】計算題；對應(yīng)思想；分析法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】利用向量數(shù)量積、模、夾角、投影等知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.

【解答】解：對選項4；+E=（3,-1），因為（3，-1）■（I，3）=3-3=0,

所以（Z+E）1Z,故/錯誤；

對選項8,?+2b=（5,-5），

所以I；+2bI=7δ2+（-5）2=5√2,故B錯誤；

對選項C,cos（a>b）=~=r-^‰-=?×V20=-^V-'故C正確；

IaI?∣bI√102

對。選項，芯在二方向上的投影是歷ICOSb>=2√5×（jy-）=-√Ib'故。

錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

10.（2020秋?湖南期中）已知平面向量：=（1,入+1）,n=（λ+2,2）,則“入>-4”是

3

W的夾角為銳角”的（）

第8頁（共15頁）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【考點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用；簡易邏輯；數(shù)學運算.

【分析】當:的夾角為銳角時，可得出λ＞_匹且入WO,然后可看出χ＞一自得不

出λ＞一上且入≠0,而λ＞一組入Wo可得出λ＞—上，從而可得出正確的選項.

333

【解答】解：’的夾角為銳角時，m?∏＞QH-m,獷共線，

??λ+2+2(λ+l)＞0,解得χ＞二且入≠o,

[2-(λ+l)(λ+2)≠03

Vλ〉工得不出λ＞一1且入#0,而λ＞一1且入≠O能得出λ＞梃，

3333

.?.入〉-1是',W的夾角為銳角的必要不充分條件.

故選:B.

【點評】本題考查了向量數(shù)量積的計算公式，向量坐標的數(shù)量積運算，共線向量的坐標

關(guān)系，必要不充分條件的定義，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二.填空題(共4小題)

11.(2021春?西湖區(qū)期中)已知向量W=(2,1),E=(-3,1),則工+芯=_7甘_;向

量之在向量芯的投影向量是

【考點】平面向量的坐標運算；向量的投影.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)已知條件，運用向量模的計算公式和向量的投影公式，即可求解.

【解答】解：?.?向量a=(2,1),b=(-3,1),

λa+b=(-1,2>

?∣a+bI=√(-l)2+22=√5,

，向量Z在向量己的投影向量∣W∣?c□sθ?E-=a??F=工

Ibl∣b∣2biob2

故答案為：Λ∕51--R-

2

第9頁(共15頁)

【點評】本題考查了向量的線性運算，向量的投影，需要學生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)

題.

12.(2021秋?懷仁市期末)設(shè)平面向量；=(],2)，E=(-2,y)＞若a_Lb，貝∣J∣a+b∣

等于—45—?

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角；數(shù)

量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)題意，由向量數(shù)量積的計算公式可得Z?K=-2+2y=0,解可得y的值，即

可得晶芯的坐標，由向量模的計算公式計算可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，向量Z=(1,2)，b=(-2.y)，

若aJ_b，則a*b=-2+2y=0,解可得y-},

即b=(-2,1),貝∣Ja+b=(-1,3),

故Ia+bl=√1+9=?lθ;

故答案為：??Z"I5?

【點評】本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量數(shù)量積的坐標計算，屬于基礎(chǔ)題.

13.(2022?豐順縣一模)已知向量之，百滿足Z=(0,1).∣bI=√2,Z與式的夾角為135

°,則Ia-2bI=一^13—?

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角.

【專題】向量法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】根據(jù)平面向量基礎(chǔ)運算和數(shù)量積定義計算.

【解答】解：因為之=(0,I),所以Im=1，a2=l.

又因為IEI=&，＜W＞=135。，所以Z?K=∣W?∣b∣?cos＜Z,芯＞=1?&?cosl35°

--1,b-2,

所以Ia?~2bF=7-4a-b+4]2=?-4?(-1)+4?2=13,

所以Ia-2b∣~V13?

第10頁(共15頁)

【點評】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬于基礎(chǔ)題.

14.(2021秋?臨湘市期末)己知Z=(3,-2,-3),E=(-1,X-1,1),且Z與4的夾

角為鈍角，則%的取值范圍是x>-2Rx≠∑.

3

【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算.

【專題】空間向量及應(yīng)用.

【分析】運用數(shù)量積公式求出Z與4的數(shù)量積，再求向量Z與芯的共線的情況，由于之與工

的夾角為鈍角，則Z?K<o,解不等式即可得到范圍.

【解答】解：a=(3,-2,-3),b=(-1，x-lf1),

則WE=-3-2(χ-1)-3=-4-2x,

若a〃b，則b=入a?

即有-1=3入，%-1=-2λ,1=-3入，

X=旦

3

由于W與E的夾角為鈍角，

則a?l>V0,

即為-4-ZrVO,解得，x>-2.

則有x>-2且XW5.

3

故答案為：x>-2且xW?∑?

3

【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積的運用，考查向量的夾角為鈍角的條件，考查運算

能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題.

≡.解答題(共4小題)

15.(2021春?廣東期中)已知/(1,1),B(-I,4),C(a,Z>).

(1)若4B,C三點共線，求。與6滿足的關(guān)系式；

(2)若48,C三點共線，I菽I=2I族|，求點C的坐標.

【考點】平面向量的坐標運算；向量的概念與向量的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；邏輯推理：數(shù)學運算.

第11頁(共15頁)

【分析】（1）由點坐標求出向量的坐標，將三點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，由平面向量共線

定理求解即可；

.?'1>.

（2）由題意可得，AC=2ABaKAC=-2AB.分別利用向量相等的坐標表示，求出“，6,

即可得到點C的坐標.

【解答】解：（1）因為力（1,1）,8（-1,4）,CCa,b）,

所以標=（-2,3）,AC=（a-l,b-l）>

因為4,B,C三點共線，

則屈IlAC.

所以-2（%-1）=3（α-1）,即3a+2b-5=0,

故。與6滿足的關(guān)系式為3α+26-5=0；

（2）因為4B,C三點共線，I菽I=2I族|，

則正=2^fe菽=-2版，

當菽=2棲寸,有（4-1，?-D=2（-2,3）,解得a=-3,6=7；

當菽=-2函寸，有（α-1,6-1）=-2（-2,3）,解得α=5,b=-5.

所以點C的坐標為（-3,7）或（5,-5）.

【點評】本題考查了平面向量的坐標運算，三點共線的應(yīng)用以及向量模的應(yīng)用，平面向

量共線定理的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.（2021春?鼓樓區(qū)校級期末）己知之，b.W是同一平面內(nèi)的三個向量，其中W=（1，2）.

（1）若兩=2旄,且;〃求芯的坐標；

（2）若［d=，I5，且2a+c?4a-3c垂直,求a與C的夾角色

【考點】平面向量的坐標運算.

【專題】整體思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學運算.

【分析】（1）設(shè)E=（x,y）,結(jié)合向量平行的坐標表示及模長公式可求X,乃進而可求:

（2）由題意結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)即可直接求解.

【解答】解：（1）設(shè)b=（x，N），

第12頁（共15頁）

由題意得IX2+y2=20,

2χ-y=0

解得卜=2或卜=-2,

[y=4[y=-4

故芯=(2,4)或E=(-2,-4)；

(2)由題意得IaI=J(2a+C)*(4a-3C)=822-2a?c-3,=0,

所以8X5-2Z?^c-3×10=0,

所以a■C=5，

故COS9=二'2—=L5/=&,

∣a∣∣c∣√5×√102

因為ee[O,π],

所以θJL.

4

【點評】本題主要考查了向量平行的坐標表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

17.(2021?蓬江區(qū)校級模擬)Z?∕BC的內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為α,b,C向量7=

與n=(CoS4smB)平行.

(I)求/；

(∏)若α=2√E,b=2,求4/8C的面積

【考點】平面向量的坐標運算；解三角形.

【專題】整體思想：綜合法；解三角形：數(shù)學運算.

【分析】(1)由向量平行得asinB-ybcosA=0,再利用正弦定理邊化角可求ta∏A=

進而可解4

(2)由已知運用余弦定理求出邊c,再由面積公式S=LcsiM解出結(jié)果.

2

【解答】解：(I)因為向量ιn=(a,Fb盧n=(cosA,SinB)平行，

所以asinB-MbCOSA=0,

由正弦定理可知：SinAsinB-V3sinBcosA=0,

因為SiaSW0,

所以tanA=?,0<^<π,

第13頁(共15頁)

可得A號;

(II)a=2Vs*6=2，

222

由余弦定理可得：a=b?^-c-2bccosAf

可得，-2c-8=0,解得C=4

BC的面積為