十年高考2023年高考數(shù)學(xué)06數(shù)列小題解析

一、選擇題

1.（2016高考數(shù)學(xué)浙江理科?第6題）如圖，點(diǎn)列｛4｝,｛紇｝分別在某銳角的兩邊上，且

|AA+J=|4+A+2|，AJ4+2，〃eN*,同紇/=|紇+也』，紇（P—Q表示點(diǎn)尸與。不重

合）.若4,=|4聞，S1為AA,且紇M的面積，則（）

A.電｝是等差數(shù)列B.代｝是等差數(shù)列C.｛4｝是等差數(shù)列D.｛力｝是等差數(shù)列

【答案】A

【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的概念、平行線的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生分析問題和解決問

題的能力.

解析：不妨設(shè)14AM=鼠4+2卜3,同紇/=園+也j=4,過點(diǎn)AM，A，，A，As，分別作直線4紇”

的垂線，高線分別記為々,/%也，,hn,hn+1,，根據(jù)平行線的性質(zhì)，所以人,區(qū),4,,hn,hn+1,成等差數(shù)列，

又S.=；x|紇紇/x/i"=；x4x用=24，所以｛SJ是等差數(shù)列.故選A.

2.（2019?浙江?第10題）已知。，beR,數(shù)列｛%｝滿足%=a,an+l=a~,+b,weN*,則

（）

A.當(dāng)6=g時(shí)，aw>10B.當(dāng)6時(shí)，a10>10

C.當(dāng)人=一2時(shí)，&o>1。D.當(dāng)6=T時(shí)，40>10

【答案】A

【解析】解法一：對(duì)于B,由--尤+；=。，得x=g.取4=g，則%=；<10,所以生。<10,不合

題意；

對(duì)于C,由f一^一2=0,得％=2或%=-1.取4=2,則%=2<10,所以6o<lO,不合題意；

對(duì)于D,由/一彳一4=0,得了=生叵.取q=1±姮，則可=2<10,所以旬<10,不合題意.

22

221.24

“工A11z13z23.191171八

對(duì)于A，a=a/=（。+-）+->-,。4=（。+a+：）+o=7Z>1,?！?1一%〉°，

2222244216216

他“｝遞增，當(dāng)心4時(shí)，4±L=q+2>i+L。，迭乘法得中>§）6,

4a”乙乙

>--->10,A正確.故選A.

解法二:借助圖形

其中選項(xiàng)5C,。中均含有不動(dòng)點(diǎn)，由于。的不確定性，故都不能說明為)>10.故選A.

3.(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第12題)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為

激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面

數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,,其中第一項(xiàng)是2°,接下來的兩項(xiàng)是2°,

21,再接下來的三項(xiàng)是2°,2122,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N:N>100且該數(shù)列的前N

項(xiàng)和為2的整數(shù)幕.那么該款軟件的激活碼是()

A.440B.330C.220D.110

【答案】A

【解析】解法一:本題考查了等比數(shù)列的求和,不等式以及邏輯推理能力.

不妨設(shè)1+(1+2)+(1+2+4)++(1+2++2”T)+(1+2++2')=2"(其中

則有N——^+%+1,因?yàn)镹>100,所以〃213

2

由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可得2"+i—〃-2+—1=2"'

因?yàn)?213,所以2">〃+2

所以2"+i>2"+〃+2即r+1-n-2>2tt,因?yàn)椤?>0

所以2">2"+1—〃—2>2”,故加之〃+1

所以加=〃+1,從而有“=2'+】—3,因?yàn)椤?13,所以/?3,當(dāng)/=3時(shí)，N=95,不合題意

當(dāng)/=4時(shí)，〃=440,故滿足題意的N的最小值為440.

解題關(guān)鍵:本題關(guān)鍵在于利用不等式的知識(shí)得出加=〃+1.

解法二:將數(shù)列的前N項(xiàng)按照2°,2°,21,2°,21,22,…分組,不妨設(shè)這樣的分組共有n組不滿足此特點(diǎn)的

n(n+l)++2)

單獨(dú)為一組，則△—L<N<-一人——2，從而數(shù)列的前N項(xiàng)的和為

22

'n（n+l）、n（n+l）

（2!-1）+（22-1）++（2n-l）+2°+2〔+=2?一”一3+2”丁

I7

所以若使數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕,則必存在正整數(shù)人使得2,=〃+3,即“=2'-3

(n+l)(n+2]

又N>100,所以——△——100,所以〃213,所以〃=2'-3213,所以年4

2

當(dāng)/=4時(shí)，〃=13,此時(shí)100<NW105,所以N的可能值為101,102,103,104,105,經(jīng)驗(yàn)證均不符合題

意，當(dāng)負(fù)結(jié)合選項(xiàng)也可知道/=4不合題意,直接排除掉101,102,103,104,105的可能性

當(dāng)r=5時(shí)，〃=29,此時(shí)435WNW465,結(jié)合選項(xiàng)特點(diǎn)可知：N=440,故選A.

”=29n=29n=29n=29n=29n=29

事實(shí)上驗(yàn)證：《或V~或＜或＜或＜-或V

N=435N=436N=437N=438N=439N=440

n=29

只有4成立.

N=440

點(diǎn)評(píng):此題就是分組和以及和與結(jié)論中隱藏的整除性問題，通過構(gòu)建『的不等式限定九的可能值,進(jìn)而求

出N最小值,還好選項(xiàng)提供的數(shù)據(jù)減少，很好驗(yàn)證操作.

解法三:檢驗(yàn)法

由于這是選擇題,為求最小值,從最小的開始檢驗(yàn)

13x(13+1)

選項(xiàng)口：若"=110,由一-----^=91<口0,知第no項(xiàng)排在第14行，第19個(gè)

2

141914191015

SN=(2-13-2)+(2-1)=2+2-16=16X(2+2-1)

10

由2+2卜-1是奇數(shù)知SN不能寫成2整數(shù)暴；

選項(xiàng)C:若N=220,由2°.（20+1）=210<220知,第220項(xiàng)排在第21行,第10個(gè)

2

21102110

SN=（2-20-2）+（2-1）=2+2—23是大于1的奇數(shù),不能寫成2整數(shù)基；

25x（25+1）

選項(xiàng)B,若N=330,由——-----L=325<330知第330項(xiàng)排在第26行，第5個(gè)

2

2652624

S7V=（2-25-2）+（2-1）=2+4=4X（2+1）,同理，不能寫成2整數(shù)塞；

n（n+l）++

選項(xiàng)A時(shí)，當(dāng)N=440時(shí)，由」——<440<-^——△------可解出〃=29

22

所以這前440和為：（吸—1）+（2?—1）++（229-1）+（20+2,+22+23+24）=230,符合題意,故選A.

解法四:直接法

,!+1A+1k

由SN=（2-?-2）+（2--1）=2"+2-n-3能寫成2的整數(shù)哥可知，2人—n―3=0,

左=log2e+3）eZ,且由N>100知〃>13,故滿足條件的九的最小值為29,得左=5,此時(shí)

NJ9X（29+1）+5=440.

2

解法五:二進(jìn)制轉(zhuǎn)化法

按照上面形式重新排列后，第九層：1,2,4,?,2'T的和為=11⑵

把每一層的和的二時(shí)制數(shù)重新排列（低位對(duì)齊）

第1層：1

第2層：11

第3層：111

第〃層：1111

由于2的數(shù)累的二進(jìn)制數(shù)為：2"=10000⑵，前〃層的和再加多少可以寫成2的整數(shù)哥？

為方便相加，首先，每層都加1,則總共加了〃，得：

第1層：10

第2層：100

第3層：1000

第〃層：1000

此時(shí)〃層總的和為：11110,仍然不是2的整數(shù)累,再加上2即可！

〃個(gè)1

所以在前九層總和的基礎(chǔ)上,再加上〃+2可使和成為2的整數(shù)幕

設(shè)第"+1層的前左個(gè)數(shù)的和為〃+2,即2上—〃—3=0

后面的方法同“解法四”.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和.

【點(diǎn)評(píng)】本題非常巧妙的將實(shí)際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀

察所給定數(shù)列的特征,進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外,本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列,第一個(gè)

數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng),而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.

4.（2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)III卷理科?第12題）定義“規(guī)范01數(shù)列”｛4｝如下：｛4｝共有2機(jī)項(xiàng)，其中加項(xiàng)為

0,小項(xiàng)為1,且對(duì)任意kW2m,a、%、中。的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若機(jī)=4,則不同的“規(guī)范01

數(shù)列”共有（）

A.18個(gè)B.16個(gè)C.14個(gè)D.12個(gè)

【答案】C

【解析】由題意，得必有4=0,6=1，則具體的排法列表如圖所示，共14個(gè)，故選C.

0111

011

0

101

1

00101

011

1001

1

10

01

10

10

011

001

1

1010

01

10

10

5.（2021年高考浙江卷?第10題）已知數(shù)列｛%｝滿足％=1，。用=■一L（"GN*）.記數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和

為S”,則)

199c「

A.5<Si。。<3B.3<5100<4C.4<S100<—D.—<S100<5

【答案】A

解析：因?yàn)?=l，％=d^("￡N*),所以4>0,5100>1.

11

一麻二

1rn-\n+\

根據(jù)累加法可得，『《1+一廠=一二，當(dāng)且僅當(dāng)〃=1時(shí)取等號(hào),

也22

、4an</n+1

二冊(cè)N-----------T4+i=——-a

5+1)21+一1+二〃+3n

n+1

n+16

<----na?<當(dāng)且僅當(dāng)”=1時(shí)取等號(hào),

ann+3"(n+1)(〃+2)

所以c/°46/匕11-1一1丁11<3,即3<幾。<3.

故選A.

二、填空題

1.（2022高考北京卷?第15題）己知數(shù)列｛4｝各項(xiàng)均為正數(shù)，其前。項(xiàng)和S“滿足

a〃-S〃=9（"=l,2,）.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①｛%｝的第2項(xiàng)小于3；②｛4｝為等比數(shù)列;

③｛4｝為遞減數(shù)列；④｛4｝中存在小于言的項(xiàng).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

解析:由題意可知，V/eN*，?！ā?,

當(dāng)〃=1時(shí)，=9,可得q=3：

9999

當(dāng)”22時(shí),由E,=一可得s“一1,兩式作差可得4=------------

anan-lan%

999

：

所以，---=----?！?，則----生=3,整理可得a；+3G2—9=0,

an-\ana2

因?yàn)榉病?,解得%=3--3<3,①對(duì);

2

假設(shè)數(shù)列｛/｝為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,則片=44，即二=4，

)$5

所以，S；=SR,可得a；(l+4)2=d(l+q+/),解得4=0,不合乎題意，

故數(shù)列｛%,｝不等比數(shù)列，②錯(cuò)；

999(〃一

當(dāng)〃上2時(shí)，an=------------=-^~">0,可得為<4」所以，數(shù)列｛/｝為遞減數(shù)列，③對(duì)；

anan-l

假設(shè)對(duì)任意〃eN*，42+，則品1000021000c10義擊=1000,

9,91

所以，?100000=--------^7Z7-<—,與假設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，④對(duì).

3iooooo1UUU1UU

故答案為：①③④.

2.(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第16題)設(shè)S”是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且4=-1,4+i=S〃S,+i，則

【答案】---

n

1111

解析：由已知得為+1=Sm—S〃=S〃+1?S〃兩邊同時(shí)除以S'+1?S〃，得---------=—1,故數(shù)列〈一卜是以

〃十1〃十JI11〃十?！flMT1“GOG

—1為首項(xiàng)，—1為公差的等差數(shù)列，則二-=—1—(〃—1)=—〃，所以s.=—工.

S”n

考點(diǎn)：等差數(shù)列和遞推關(guān)系.

3.(2017年高考數(shù)學(xué)上海(文理科)?第14題)已知數(shù)列｛4｝和｛2｝，其中4=后,/eN*,｛4｝的項(xiàng)是

互不相等的正整數(shù),若對(duì)于任意“eN*,也｝的第a?項(xiàng)等于｛%｝的第bn項(xiàng),則3S也分篇）=________.

坨（嶺2b3b4）

【答案】2

【解析】%=%=＞的=b：n她她6=（他貼）n嗎*=2.

坨3他2b3b6J,

4.（2016高考數(shù)學(xué)浙江理科?第13題）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S".若S2=4“M=2S“+l,"eN*,則

Q]-，.

【答案】1121

【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式，通項(xiàng)應(yīng)與前〃項(xiàng)和S,之間的關(guān)系等知識(shí)，意在考

查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、分析問題和解決問題的能力.

解析：由于J]，解得q=1，由％=。一S,=2S,+1得S?+1=3S?+1,所以S?+1+卜30+:），

所以｛5“+；｝是以|為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以S“+g=|x3"T,即S.=U，所以$5=121.

題型二：等差數(shù)列

一、選擇題

1.（2020北京高考?第8題）在等差數(shù)列｛?！埃校琣A=-9,生=T.記北=01a2…％（〃=L2,…），則數(shù)列｛1｝

（）.

A.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

【答案】B

【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差1=之二/==4=2,

5—15—1

a=a

則其通項(xiàng)公式為：n\+（〃-l）d=-9+（〃-l）x2=2〃-11,

注意到4＜。2＜。4＜。5＜。＜。6=1＜%＜，且由4＜0可知z＜0（iN6,i￡N）,

由;=4＞1g7,ieN）可知數(shù)列聞不存在最小項(xiàng)，

由于％=—9,%=—7,%=—5,包=-3,.=-1，4=1，

故數(shù)列｛1｝中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：1=63,7；=63x15=945.故數(shù)列｛1｝中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為

小

故選：B.

2.（2019?全國I?理?第9題）記S〃為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.已知S,：。，%=5，則

2

A.an=2n-5B.an=3M-10C.Sn=2n-8nD.S——/I?—2n

n2

【答案】A

54=4q+6d=0q=—3

解析:--7^V

%=6+4d=5d=2

2

所以a”=ax+｛n-V)d=-3+2("-1)=2zi-5,Sn=⑷=n-4n,故選A.

3.(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I(理)?第4題)記S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，3s3=52+邑9=2.則

%一()

A.-12B.-10C.10D.12

【答案】B

解析：；S“為等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，3S3=S2+S4,q=2,

(

3x13%H3—x2——d=q+q+d+4%4H—x3——d?1,把%=2,代入得d——3a$=2+4x(—3)=—10,

故選B.

4.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，%+%+%=9,&=9，則這個(gè)數(shù)列的前6項(xiàng)和等于

()

A.12B.24C.36D.48

【答案】B

解：｛%,｝是等差數(shù)列，。1+%+。5=3a3=9,。3=3,。6=9.〃=2,。1=一1,則這個(gè)數(shù)列的前6項(xiàng)

和等于6(q+%)=24,選B.

2

5.(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)I卷理科?第3題)已知等差數(shù)列｛a“｝前9項(xiàng)的和為27,a10=8,則％°o=

A100B99C98D97

【答案】C【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可知：Sg=9""9)=*幺=9%=27，故％=3,而4。=8,

因此公差d=:?=I；.40c=+90d=98.故選C.

6.(2014高考數(shù)學(xué)福建理科?第3題)等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S“，若4=2,邑=12,則1等于

()

A.8B.10C.12D.14

【答案】解析：由題意可得S3=q+%+/=3%=12,解得%=4,?，?公差d=4—q=4—2=2,

.?.々6=4+51=2+5x2=12,故選：C.

7.(2015高考數(shù)學(xué)重慶理科?第2題)在等差數(shù)列｛4｝中，若%=4,4=2，則,=

()

A.-1B.0C.1D.6

【答案】B

解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)得&=24—4=2x2—4=0,選B.

8.（2015高考數(shù)學(xué)北京理科?第6題）設(shè)｛an｝是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是

（）

A.若則生+生〉。B.若。1+。3<0，則。1+%<0

C.若則〃2>口.若％<0,貝lj（〃2—卬）（%—生）>0

【答案】c

解析：先分析四個(gè)答案支，A舉一反例q=2,4=一1，。3=-4，%+2>0而。2+。3<0，A錯(cuò)誤，B

舉同樣反例。]=2,=一1,。3=—4，Q]+。3<。，而。]+%>0,B錯(cuò)誤，下面針對(duì)C進(jìn)行研究，｛%｝

是等差數(shù)列，若則q>0,設(shè)公差為d，貝Ud>o，數(shù)列各項(xiàng)均為正，由于

—4。5=（G+〃）2+2d）+2%1+〃2一％2一2%〃=[2>。,則>a｛a3

nq>，故選c.

9.（2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)I卷理科?第4題）記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若%+%=24,A=48,

則｛4｝的公差為)

A.1B.2C.4D.8

【答案】c

【解析】設(shè)公差為d,%=。1+3d+%+4d=26+7d=24,

6x52tz,+7d=24

S6=6q+±Ad=6q+15d=48,聯(lián)立《1，解得d=4,故選C.

2[66+15d=48

秒殺解析：因?yàn)?6=6（一+"6）=3（%+%）=48,即4+%=16,則

（4+%）—（%+/）=24—16=8,即4―%=2d=8,解得d=4,故選C.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本量求解

【點(diǎn)評(píng)】求解等差數(shù)列基本量問題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如｛an｝為等差數(shù)列，若

m+n=p+q,貝！Iam+an=ap+aq.

10.（2014高考數(shù)學(xué)遼寧理科?第8題）設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,若數(shù)列｛2%%｝為遞減數(shù)列，則

（）

A.d<0B.d>0C.axd<0D.axd>0

【答案】c

解析：根據(jù)題意可得

?/數(shù)列｛2*｝為遞減數(shù)列，,2的"〉2叫+|,亍石7=2"=2初>1=2°,:.axd<Q.

解析2:由數(shù)列｛2%%｝為遞減數(shù)歹U,根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=a"的性質(zhì)，知qa”<0,得囚〉0,4<0,或

ax<0,an>0,當(dāng)%〉0,an<0時(shí)，d<0,所以axd<0,,當(dāng)囚<0,a”〉0時(shí)，d>0,所以<0,

綜上：axd<0.

二、填空題

1.（2019?全國III?理?第14題）記S“為等差數(shù)列｛3｝的前見項(xiàng)和，qWO,%=3%,貝

【答案】4.

S1OqH--------d]Qz-j

【解析】因所以=即2q=d,所以詈=-------------=:"=4.

一個(gè)25%

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)、基本量的計(jì)算.滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).使用轉(zhuǎn)化思想得出答案.

2.(2019?江蘇?第8題)已知數(shù)列｛%｝(“?N*)是等差數(shù)列，S"是其前n項(xiàng)和若02a§+4=。，§9=27,則

5g的值是.

【答案】16

【解析】由59=9%=27,得%=3,從而32+a=0,即3(生-34)+(%+34)=0,解得d=2,所以

Ss=S9—a9=S9—(a5+4d)=27-11=16.

3.(2019?北京?理?第10題)設(shè)等差數(shù)列｛。"｝的前"w項(xiàng)和為S“若。？=-3宵=-3,&=-10,則

"5=，S,的最小值為.

【答案】⑴0；(2)-10.

【解析】等差數(shù)列｛2｝中，85=5%=-1。，得。3=—2,。2=—3,則公差d=。3—。2=1，

%=。3+2d=0,

由等差數(shù)列｛&｝的性質(zhì)得〃W5時(shí)，?！?lt;0,當(dāng)”之6時(shí)，4大于0,所以S.的最小值為S4或S5,

值為—10.

4.(2018年高考數(shù)學(xué)上海?第6題)記等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S”.若。3=0，&+%=14,則

57=.

【答案】14

解析：氣+%=2%+1Id=14,%=+2d=0,:.d=2,a4=a3d=2,57=7tz4=14.

5.(2018年高考數(shù)學(xué)北京(理)?第9題)設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，且q=3,2+。5=36,則｛%｝的通項(xiàng)

公式為.

【答案】an=6n-3

解析：a2+a5=(G+d)+(G+4d)=2G+5d=6+5d=36,:?d=6,

an=ax+(n-l)J=3+6(〃-1)=6〃一3.

6.(2014高考數(shù)學(xué)北京理科?第12題)若等差數(shù)列｛q｝滿足％+為+%〉0，a7+?io<O，則當(dāng)〃=

時(shí)，｛%｝的前〃項(xiàng)和最大.

【答案】8

解析：1。7+。8+。9=3。8>。，％+。10=。8+。9〈。，???8>0,fl9<0,

，〃=8時(shí)，數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和最大.

7.(2015高考數(shù)學(xué)陜西理科?第13題)中位數(shù)1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015,則該數(shù)列的

首項(xiàng)為-

【答案】5

解析：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為生,貝U%+2015=2義1010=2020,所以q=5,故該數(shù)列的首項(xiàng)為5,所以答案

應(yīng)填：5.

8.（2015高考數(shù)學(xué)廣東理科?第10題）在等差數(shù)列｛4"｝中，若。3+。4+。5+。6+%=25，則

【答案】10

解析：因?yàn)椋鸻〃｝｛。g｝是等差數(shù)列，所以。3+“7=4+&=。2+“8=2%，

%+。4+%+“6+%=5%=25,即“5=5,4+“8=2%=10，故應(yīng)填入10

9.（2016高考數(shù)學(xué)江蘇文理科?第8題）已知｛%｝是等差數(shù)列，S,,是其前幾項(xiàng)和.若為+蠟=-3,&=10,

則a9的值是-

【答案】20.

解析：設(shè)公差為2,則由題意可得6+（%+4）2=—3,5q+10d=10,解得q=—4,d=3,則

。9——4+8x3=20.

10.（2016高考數(shù)學(xué)北京理科?第12題）已知｛4｝為等差數(shù)列，5〃為其前〃項(xiàng)和，若％=6,/+%=。，

貝凡二.

【答案】6

6x（6-l）

解析：*/%+%=2%；?%=0，;q=6,%=%+3dd=—2,S6=6。1H-------<7=6.

題型三：等比數(shù)列

一、選擇題

1.（2023年天津卷?第6題）已知｛為｝為等比數(shù)列，5“為數(shù)列｛4｝的前九項(xiàng)和，4+1=250+2,則%的

值為（）

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

解析：由題意可得：當(dāng)〃=1時(shí)，％=24+2,即QM=2q+2,①

當(dāng)〃=2時(shí)，%=2（卬+%）+2,即%片=2（q+aq）+2,②

聯(lián)立①②可得q=2應(yīng)=3,則〃4=qq3=54.

故選：C.

2.（2023年新課標(biāo)全國H卷?第8題）記用為等比數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，若'=-5,§6=2152,貝”8=

（）.

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

解析：方法一：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為心首項(xiàng)為6,

若q=l,則臬=6%=3*26=352,與題意不符，所以qwl；

由S4=—5,$6=21邑可得，4。一力=—5,業(yè)4=21x4二￡)①，

1-ql~q1-q

由①可得，l+q2+q4=21,解得：42=4,

所以所="I’—q)=q,—彳)義(]+/)=_5義。+：16)=_85?

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4,

因?yàn)椤?=一5,S6=21S2,所以q/-l,否則64=0,

從而，邑,邑—S2，S6—S^Sg—S6成等比數(shù)列，

95

所以有，(一5—S2y=S?(21S2+5),解得：52=-1BJ<52=-,

當(dāng)邑=-1時(shí)，S2,S4-S2,S6—S4,S&—S6,即為-1,一4,-16,$8+21,

易知，58+21=—64,即既=一85；

當(dāng)S2=：時(shí)，S4=q+g+%+%=(。1+02乂1+[2)=(1+/)$2>0，

與$4=-5矛盾，舍去.

故選：C.

3.(2023年全國甲卷理科?第5題)設(shè)等比數(shù)列｛??｝的各項(xiàng)均為正數(shù),前。項(xiàng)和S“，若4=1,工=5§3-4,

貝”4=()

1565

A.——B.——C.15D.40

88

【答案】C

解析：由題知l+q+q2+/+/=5(1+“+/)-4,

即/+/=4g+4/,即/+/_4q_4=0,即(q-2)(q+l)(q+2)=0.

由題知q>0,所以4=2.

所以S4=1+2+4+8=15.

故選:C.

4.(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)?第8題)已知等比數(shù)列｛4｝的前3項(xiàng)和為168,%-4=42,則&=

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

解析：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4MW。，

若q=l,則。2-。5=0，與題意矛盾,

所以,

q(i-/)

ax—96

4+4+%=--------=168?曰

則1231-q，解得<1

q=—

4

a2-a5=axq-a{q=422

所以06=%/=3.故選：D.

5.（2019?全國m?理?第5題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的前4項(xiàng)和為15,且%=3%+4弓,

則。3=（）

A.16B.8C.4D.2

【答案】C

、\CL+aq+a,q2+a^3=15,fa=1

【解析】設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列｛r4｝的公比為9,則廣4y；，解得4c

（,[4/=3%才+4%[夕=2

/=ad=4,故選c.

另解：數(shù)感好的話由邑二15,立即會(huì)想到數(shù)列：1,2,4,8,16,,檢驗(yàn)是否滿足。5=3%+4%,可以迅

速得出。3=4.

【點(diǎn)評(píng)】在數(shù)列相關(guān)問題中，用基本量的通性通法是最重要的，當(dāng)然適當(dāng)積累一些常見數(shù)列，對(duì)解題

大有裨益.

6.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第10題）已知%,生，43，。4成等比數(shù)列，且％+。2+。3+〃4=ln（%+〃2+。3），

若%>1,則)

A.ar<a3,a2<a4B.ax>a3,a2<a4

C.ax<a3,a2>a4D.al>a3,a2>a4

【答案】B

解析：由q+%+/+%=ln(%+2+q)的結(jié)構(gòu)，想到對(duì)數(shù)放縮最常用公式InxWx-l,

所以q+%+%+。4=ln(，i+"2+。3)&"i+"2+%—L得至!J%W—1,于是公比g<0.

若qW—1,則a[+出+。3+%=勾(1+q)(i+/)/o，

而q+〃2+〃3=。1(1+4+')2%>1，即ln(%+。2+13)>°，矛盾，

所以一IvqvO,于是q—4=%(1—/)>0,4—%=—/)<0，故選B.

7.（2014高考數(shù)學(xué)重慶理科?第2題）對(duì)任意等比數(shù)列｛為｝,下列說法一定正確的是

（）

A.%,。3，。9成等比數(shù)列B.%，%，4成等比數(shù)列

C.02，。4，。8成等比數(shù)列D.%，。6，。9成等比數(shù)列

【答案】D

解析：根據(jù)等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，如果數(shù)列為等比數(shù)列，即若2〃=/+左則有。2“=。廠為

8.（2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科?第4題）已知等比數(shù)列｛4｝滿足％=3,%+%+%=21，則

+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

【答案】B

解析：設(shè)等比數(shù)列公比為q,則q+M+=21,又因?yàn)閝=3,所以/一6=0,解得/=2,

所以。3+%+%=（q+%+%）/=42,故選B.

9.（2015高考數(shù)學(xué)湖北理科?第5題）設(shè)生,織，M.WR，n-3■若p：q,外，?,4成等比數(shù)列；q：

（a；+a；++ag++a；）=（q%+a,43++。〃-1%）-，貝U（）

A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

B.p是q的必要條件，但不是4的充分條件

C.p是4的充分必要條件

D.2既不是4的充分條件，也不是“的必要條件

【答案】A

解析：對(duì)命題p：4，%,,%成等比數(shù)列，則公比q='（"?3）且4a0;

?n-l

對(duì)命題q,①當(dāng)q=0時(shí)，（。；+用++a）i）（〃；+〃；++a；）=（q〃2+。2。3++a〃一I。.）?成立；

②當(dāng)qW0時(shí)，根據(jù)柯西不等式，等式伍；+用++++〃；）=（%/+〃2%++鳳一。）2成

立，

則色=91=…=也，所以4，出，，4成等比數(shù)列，

Cl?CI3d〃

所以X是4的充分條件，但不是q的必要條件.

二、填空題

1.（2023年全國乙卷理科?第15題）已知｛%｝為等比數(shù)列，g%%=a3a6,a9aw=-8,則%=.

【答案】-2

解析：設(shè)｛%｝的公比為q（qwO）,則a2%%=。3a6，顯然?！搬?，

則氏=/，即則44=1,因?yàn)閍9al（）=-8,則.囚，=一8,

則/=（/）=-8=（-2/,則q3=—2,則％-a\Q-Q5=q，=—2,

故答案為：-2.

2.（2019?全國I?理?第14題）記S”為等比數(shù)列｛a〃｝的前〃項(xiàng)和.若囚=!，壯=牝，則

…i121

【答案】一

3

|(l-35)

解析：由4：=%,，得a%6=qq5,所以。逐=1,又因?yàn)閝=g,所以q=3,S5=121

1-33

3.（2014高考數(shù)學(xué)廣東理科?第13題）若等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且為+的42=2e5,則

In?]+Ina2++lna20=

【答案】50.

解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)得依題意有％0?61=/,運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算可得所求等式左邊

50

=ln(a10/1)1°=Ine-50

4.（2014高考數(shù)學(xué)江蘇?第7題）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛氏｝中，%=1，%=4+2%，則。6的值

是.

【答案】4

解析：設(shè)公比為q,因?yàn)椤?=1，則由%=4+2〃4得q'=q，+2q?,q4—q2—2=0,解得相=2或/=—1（舍），

所以。6=a?q—4.

5.（2015高考數(shù)學(xué)安徽理科?第14題）已知數(shù)列｛2｝是遞增的等比數(shù)列，%+%=9,%%=8,則數(shù)列｛g｝

的前幾項(xiàng)和等于―—

【答案】2〃-1

a.+a=9

解析：由題意，Pd4C，解得％=1，%=8或者。1=8,。4=1，而數(shù)列｛%｝是遞增的等比數(shù)列，

%=%?%=8

所以q=l,%=8，即^="=8,所以q=2,因而數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和

S/（IT