2023年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：幾何探究壓軸題

2023年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：幾何探究壓軸題

1.綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：

如圖1,在RtAABC中，NBAC=90。，點(diǎn)。為84延長線上一點(diǎn)，連接C￡),過B作

BELCD于點(diǎn)、E.在圖中找出與NDBE相等的角，并證明.

(1)獨(dú)立思考：請(qǐng)解答王老師提出的問題.

(2)實(shí)踐探究:在原有問題條件不變的情況下,王老師增加下面的條件,并提出了新問題，

請(qǐng)你解答.

“如圖2,BE與AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)G為AF上一點(diǎn)，且ZAz)G+ZAZX?=90。.若AB=OC,

在圖中找出與OG相等的線段，并證明.“

(3)問題解決：數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)對(duì)上述問題進(jìn)行特殊化研究后發(fā)現(xiàn)，保留(2)條件

不變，延長。G交BE于H,若給出線段Ar)與AB的長度，則圖3中所有己經(jīng)用字母標(biāo)

記的線段長度均可求.該小組提出下面的問題，請(qǐng)你解答.

“如圖3,在(2)的條件下，延長。G交跖于H,若Az)=2,DC=2y[5,求切的長.”

2.在「ABC中，ABwAC,點(diǎn)。為BC邊的中點(diǎn)，連接AO,將_AOC繞點(diǎn)。順時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角為鈍角)，得到EOF,連接AE,CF.

EE

⑴如圖1,當(dāng)NBAC=90。時(shí)，請(qǐng)直接寫出AE與CF的數(shù)量關(guān)系

(2)如圖2,延長40到點(diǎn)。，使8=Q4,連接OE,若AO=b=5,8C=6.

①求G/的值;

CF

②求Z5E的長.

3.如圖，ABC和；AMN均為等邊三角形，將AMN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)(AMN在直線AC

的右側(cè)).

(1)求證：CAN；

(2)若點(diǎn)C,M,N在同一條直線上，

①求/8MC的度數(shù)；

②點(diǎn)例是CN的中點(diǎn)，求證：BMIAC.

4.綜合與實(shí)踐

問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：

如圖1,在一ABC中，ZBAC=90o,AE是BC邊的中線，延長84至點(diǎn)￡),連接CO,且

BD=CD.求證：ZAEB=ZD.

(1)獨(dú)立思考：請(qǐng)解答王老師提出的問題.

(2)實(shí)踐探究：在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題,

請(qǐng)你解答.

“如圖2,尸是CO邊的中點(diǎn)，連接AF,將NAEB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，交所于

點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N.在圖中找出與A"相等的線段，并證明.“

(3)問題解決：數(shù)學(xué)活動(dòng)小組同學(xué)對(duì)上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)射線EM經(jīng)過

試卷第2頁，共10頁

點(diǎn)。時(shí)，若給出8C,BD的邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長均可求.該小

組提出下面的問題，請(qǐng)你解答.

“如圖3,在(2)的條件下，當(dāng)射線EM經(jīng)過點(diǎn)。時(shí)，BC=6,BD=S,求AM的長.”

5.ABC為等邊三角形，。是邊AC上一點(diǎn)，連接BD,點(diǎn)E為BO上一點(diǎn)，連接CE.

(1)如圖1,延長“交AB于點(diǎn)G,若NDCG=I5。，BG=2,求BC的長；

⑵如圖2,將?BEC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。至NBFA,延長CB至點(diǎn)、M使得BM=DC,

連接AM交8尸于點(diǎn)M求證：2FN+DE=BE;

⑶如圖3,在(2)間的條件下,過A作AH垂直BC于點(diǎn)”,過點(diǎn)B作BK//AH且BK=AH,

連接“K、NK.若BC=4,當(dāng)NK的值最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出黑?的值.

2NH

6.如圖1,RlA43C中，ZACB=90。，點(diǎn)。，E分別是AC,BC的中點(diǎn)，連接DE.將

△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到4O'C6(如圖2),連接AD'.

(1)求證：ADCS4BEC；

(2)已知AC=2,BC=Ar,分別延長3E,A"交于點(diǎn)E

①若AP=3,求8尸的長；

②連接尸C,若FC=S,直接寫出4尸-38尸的值.

7.如圖，在RtZ?ABC中，ZACB=90。，Co為RtZXABC的角平分線.

(1)如圖1,若A。+AC=8C,求出NADC的度數(shù)；

(2)如圖2,當(dāng)AC聲BC時(shí)，將線段8。繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段BE.點(diǎn)尸是線段BC

上一點(diǎn)，且CF=CD,連接EF,當(dāng)NCEF=NCBE,請(qǐng)判斷AC,CD與BC的數(shù)量關(guān)

系，并證明你的結(jié)論；

(3)如圖3,當(dāng)AC=BC=40時(shí)，N為線段CO上一動(dòng)點(diǎn)，尸為BC的中點(diǎn)，連接NF,

將線段NF繞點(diǎn)廠順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段尸N'.H為直線AB上一動(dòng)點(diǎn),連接尸H,將

AAHF沿FH翻折至ABC所在平面內(nèi)，得到4AFH,連接A'N,AN',MV'.當(dāng)

科'-MV'最大時(shí)，直接寫出4A'MV'的面積的最大值.

8.如圖，在平行四邊形A8C。中，ZDAC=45o,AEJ.BC于E,CGLAB于G,交AE

于F.

(1)如圖1,若C￡>=3屈，EF=3近，求A￡)的長;

試卷第4頁，共10頁

(2)如圖2,平行四邊形ABC。外部有一點(diǎn)H,連接A“、E"，滿足EH∕∕AB,AH=ZACE,

求證：AG+42AH=CG

(3)如圖3,在BC上有一點(diǎn)M,連接月W,將AFEM繞著點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得AFEM,

連接CP'、OF',點(diǎn)尸為￡)尸’的中點(diǎn)，連接4P?在(1)的條件下，當(dāng)C尸最小時(shí)，請(qǐng)

直接寫出aAPU的用垮.

9.如圖1,在等腰三角形A8C中，ZA=a°,AB=ACtAD=AE,連接BE.點(diǎn)M、N、

P分別為￡>區(qū)BE、BC的中點(diǎn).

①觀察猜想：圖1中，點(diǎn)。、E分別在邊AB、AC上,線段NM、MJ的數(shù)量關(guān)系是

^MNP的大小為

②探究證明:把VAPE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置,連接MP、BD.CE,

求證：ZABD=ZACE.

③在②的條件下，如圖2,求證：AMPN是等邊三角形

(2)拓展延伸：當(dāng)α=90。時(shí)，AB=AC=IO,,Ao=AE=6時(shí)，把VAz)E繞點(diǎn)A在平面

內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3,請(qǐng)直接寫出ZWVP面積的最大值.

10.如圖，已知.ABC為等腰直角三角形，ZBAC=90o,AB=AC,點(diǎn)。、E分別為邊

AB.BC上的一動(dòng)點(diǎn)(且滿足NCE?<90。)，連接OE,將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：①CE=BF；②NCS尸=90。；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合時(shí)，結(jié)論NcBF=90。是否仍然成立？請(qǐng)說明理由：

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)。作DM_L8F,垂足為試探究線段BE、BF、

MF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

11.據(jù)圖回答下列各題.

【問題：】如圖1,在RIa45C中，AS=AC,點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)(不與B,C重合)，

將線段Ao繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到4E,連接EC,則線段80,CE之間滿足的數(shù)量

關(guān)系式為—.

【探索：】如圖2,在RtZ?48C與RtAAOE中，AB=AC,AD=AE,將VAr>E繞點(diǎn)A

旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在BC邊上，請(qǐng)?zhí)剿骶€段AO,BD,8之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明

你的結(jié)論.

【應(yīng)用：】如圖3,在四邊形ABCD中，NABC=NACB=NADC=45。，若8。=9,CD=3,

求AO的長.

圖1圖2圖3

12.問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求學(xué)生出示兩個(gè)大小不一樣的等腰直角三角形,

如圖1所示,把RtzλAOE和RtZVlBC擺在一起,其中直角頂點(diǎn)A重合,延長C4至點(diǎn)F,

滿足Ab=AC,然后連接OF,BE.

(1)實(shí)踐猜想：圖1中的BE與。尸的數(shù)量關(guān)系為,位置關(guān)系為`

(2)拓展探究：當(dāng)VAOE繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度ɑ時(shí)，如圖2所示，(1)中的結(jié)論是否還

試卷第6頁，共10頁

成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過程，若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)解決問題：當(dāng)AB=2,AD=應(yīng),VADE旋轉(zhuǎn)得到。,瓦尸三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線

段OF的長.

13.在R/ACB中，ZAcg=90。，ACBC.

(1)如圖1,點(diǎn)E在A8上(不與點(diǎn)A,B重合),連接CE,將CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，

得到8,連接OE,AD.

①求證：VACD^VBCE；

②若AB=5,AE=I,求DE的長.

(2)如圖2,若點(diǎn)E在AB外，且CE=C3,將CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到C。，連

接OE交AB于點(diǎn)G,射線DA與射線SE相交于點(diǎn)H.求證：C,G,，三點(diǎn)在同一條直

線上.

14.已知：AASC和AM)E均為等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90o,AB=BC,

AD=DE,按圖1放置，使點(diǎn)E在AB上，取CE的中點(diǎn)/，連接￡)尸，BF.我們現(xiàn)給

出如下結(jié)論：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：圖1中。尸，BF的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是

(2)探究證明：將圖1中的ΔA0E繞點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)45。，再連接CE,取CE的中點(diǎn)F(如

圖2),問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論；

（3）拓展延伸：將圖1中的ΔADE繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)任意角度（轉(zhuǎn)動(dòng)角度在0。到90。之間），再

連接CE,取CE的中點(diǎn)F（如圖3）,問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

15.已知點(diǎn)。是，ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接。4,OB,將：物。繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

⑴如圖①，若.ABC是等邊三角形，QA=5,OB=I2,S4O旋轉(zhuǎn)后得到aBCO,連

接OC,OD.已知OC=I3.

①求。。的長；

②求/AOB的大小.

（2）如圖②，若...ABC是等腰直角三角形，ZABC=90o,840旋轉(zhuǎn)后得到?sɑ）,點(diǎn)

A,0,。恰好在同一條直線上，若OA=2,OB=3,貝IJoC=（直接寫出

答案即可）.

16.如圖1,在ABC中，ZABC=90°,54=Be,點(diǎn)。在二ABC內(nèi)，BD、QD的延長

線分別與AC、AB交于點(diǎn)區(qū)F.線段BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，點(diǎn)E落在CF的延

長線上的點(diǎn)G處，連接AG.

圖2

⑴求證：

Φ?AGB^ACEB：

試卷第8頁，共10頁

②G4，AC；

③AC=A￡+AG；

(2)如圖2,當(dāng)Q3=DC時(shí)，過點(diǎn)C作C〃〃AB交BE的延長線于點(diǎn)H.求證:

ΦΛAGF^ΛCEH;

②點(diǎn)尸為AB的中點(diǎn).

17.幾何探究：如圖

圖1圖2圖3

(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，ABC和VAz)E是有公共頂點(diǎn)的等邊三角形，絲的值

CE

是;(請(qǐng)直接寫出答案)

(2)【類比探究】如圖2所示，45C和VAoE是有公共頂點(diǎn)的含有30。角的直角三角形,

(1)中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；

(3)【拓展延伸】如圖3所示，VADE和,ABC是有公共頂點(diǎn)且相似比為1:2的兩個(gè)等腰

直角三角形，將VAr)E繞點(diǎn)A自由旋轉(zhuǎn)，若BC=20,當(dāng)氏。、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接

寫出3。的長.

18.在RfACB中，ZAeB=90°,AC=BC.

⑴如圖1,點(diǎn)E在A3上(不與點(diǎn)A,8重合)，連接CE,將CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

得到8,連接OE,AD.

①求證：?ACD^/BCE；

②若A5=5,AE=I,求OE的長.

(2)如圖2,若點(diǎn)E在43外，且CE=C8,將CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到CQ,連