初二年級下期末幾何壓軸題和解析

./初二下期末幾何與解析1、以四邊形ABCD的邊AB、AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形ABF和ADE,連接EB、FD,交點(diǎn)為G．〔1〕當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)〔如圖1〕,EB和FD的數(shù)量關(guān)系是_____________；〔2〕當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)〔如圖2〕,EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請加以證明；〔3〕四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中,∠EGD是否發(fā)生變化?如果改變,請說明理由；如果不變,請?jiān)趫D3中求出∠EGD的度數(shù)．難度一般：證全等即可〔第三問,圖1中就能看出是45°?！辰狻?〕EB=FD ?！?〕EB=FD。 證：∵△AFB為等邊三角形,∴AF=AB,∠FAB=60°∵△ADE為等邊三角形,∴AD=AE,∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD 即∠FAD=∠BAE,∴△FAD≌△BAE,∴EB=FD〔3〕解：∵△ADE為等邊三角形,∴∠AED=∠EDA=60°∵△FAD≌△BAE,∴∠AEB=∠ADF設(shè)∠AEB為x°,則∠ADF也為x°于是有∠BED為〔60-x〕°,∠EDF為〔60+x〕°∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF=180°-〔60-x〕°-〔60+x〕°=60°2、已知：如圖,在□ABCD中,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F,連接BF．〔1〕求證：△ABE≌△FCE；〔2〕若AF=AD,求證：四邊形ABFC是矩形．簡單題證明：〔1〕如圖1．圖1圖1在△ABE和△FCE中,∠1=∠2,∠3=∠4,BE=CE,∴△ABE≌△FCE．〔2〕∵△ABE≌△FCE,∴AB=FC．∵AB∥FC,∴四邊形ABFC是平行四邊形．∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC．∵AF=AD,∴AF=BC．∴四邊形ABFC是矩形．3、已知：△ABC是一X等腰直角三角形紙板,∠B=90°,AB=BC=1．〔1〕要在這X紙板上剪出一個(gè)正方形,使這個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的邊上．小林設(shè)計(jì)出了一種剪法,如圖1所示．請你再設(shè)計(jì)出一種不同于圖1的剪法,并在圖2中畫出來．圖4圖4圖3圖2圖1圖3圖2圖1〔2〕若按照小林設(shè)計(jì)的圖1所示的剪法來進(jìn)行裁剪,記圖1為第一次裁剪,得到1個(gè)正方形,將它的面積記為,則=___________；余下的2個(gè)三角形中還按照小林設(shè)計(jì)的剪法進(jìn)行第二次裁剪〔如圖3〕,圖2得到2個(gè)新的正方形,將此次所得2個(gè)正方形的面積的和記為,則=___________；在余下的4個(gè)三角形中再按照小林設(shè)計(jì)的的剪法進(jìn)行第三次裁剪〔如圖4〕,得到4個(gè)新的正方形,將此次所得4個(gè)正方形的面積的和記為；按照同樣的方法繼續(xù)操作下去……,第次裁剪得到_________個(gè)新的正方形,它們的面積的和=______________．圖2〔題外題：把你剪出的正方形的面積與圖1中的正方形面積進(jìn)行比較?！潮绢}相當(dāng)于中考12題的簡單題解：〔1〕如圖2；1分〔2〕,,,．6分4、已知：如圖,平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABCD的邊長為4,它的頂點(diǎn)A在軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),頂點(diǎn)D在軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)〔點(diǎn)A,D都不與原點(diǎn)重合〕,頂點(diǎn)B,C都在第一象限,且對角線AC,BD相交于點(diǎn)P,連接OP．〔1〕當(dāng)OA=OD時(shí),點(diǎn)D的坐標(biāo)為______________,∠POA=__________°；〔2〕當(dāng)OA<OD時(shí),求證：OP平分∠DOA；〔3〕設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為,則在點(diǎn)A,D運(yùn)動(dòng)的過程中,的取值X圍是________________．〔第二問：如果點(diǎn)P到OP"所平分的角"的兩邊的距離相等,即可?！场驳诙柕念}外題：當(dāng)OA＞OD時(shí),求證：OP平分∠DOA；〕解：〔1〕<>,；圖3證明：〔2〕過點(diǎn)P作PM⊥軸于點(diǎn)M,PN⊥軸于點(diǎn)N．〔如圖3〕圖3∵四邊形ABCD是正方形,∴PD=PA,∠DPA=90°．∵PM⊥軸于點(diǎn)M,PN⊥軸于點(diǎn)N,∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°．∵∠NOM=90°,∴四邊形NOMP中,∠NPM=90°．∴∠DPA=∠NPM．∵∠1=∠DPA－∠NPA,∠2=∠NPM－∠NPA,∴∠1=∠2．在△DPN和△APM中,∠PND=∠PMA,∠1=∠2,PD=PA,∴△DPN≌△APM．∴PN=PM．∴OP平分∠DOA．≤．-5、已知：如圖,平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為〔4,0〕,〔0,3〕．將△OCA沿直線CA翻折,得到△DCA,且DA交CB于點(diǎn)E．〔1〕求證：EC=EA；〔2〕求點(diǎn)E的坐標(biāo)；〔3〕連接DB,請直接寫出四邊形DCAB的周長和面積．〔第二問,有坐標(biāo),用代數(shù)法勾股定理可得CE=AE的長〕〔第三問的證明：過D做DM⊥AC于M,過B做BN⊥CA于N,則由相似可得,DM=BN=梯形的高〔能求出具體數(shù)〕,CM=AN〔具體數(shù)〕還看得DB=MN〔具體數(shù)〕這樣即可求出周長,有可求出面積?！匙C明：〔1〕如圖1．∵△OCA沿直線CA翻折得到△DCA,∴△OCA≌△DCA．∴∠1=∠2．∵四邊形OABC是矩形,∴OA∥CB．∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴EC=EA．解：〔2〕設(shè)CE=AE=．∵點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為〔4,0〕,〔0,3〕,∴OA=4,OC=3．∵四邊形OABC是矩形,∴CB=OA=4,AB=OC=3,∠B=90°．在Rt△EBA中,,∴．解得．∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為<>．〔3〕,．6、已知：△ABC的兩條高BD,CE交于點(diǎn)F,點(diǎn)M,N分別是AF,BC的中點(diǎn),連接ED,MN．〔1〕在圖1中證明MN垂直平分ED；〔2〕若∠EBD=∠DCE=45°〔如圖2〕,判斷以M,E,N,D為頂點(diǎn)的四邊形的形狀,并證明你的結(jié)論．圖2圖2第一問,連接EM,EN,DM,DN,利用三角形斜邊中線等于斜邊一半得,ME=MD,NE=ND,所以點(diǎn)M、N都在線段ED的垂直平分線上?！灿小鰽DF≌△BDC,得AF=BC,〔還得∠MDA=∠NDB,證直角時(shí)用〕,進(jìn)而得菱形,再證一直角得正方形,〕〔1〕證明：連接EM,EN,DM,DN．〔如圖2〕∵BD,CE是△ABC的高,∴BD⊥AC,CE⊥AB．∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．∵在Rt△AEF中,M是AF的中點(diǎn),∴EM=AF．同理,DM=AF,EN=BC,DN=BC．∴EM=DM,EN=DN．∴點(diǎn)M,N在ED的垂直平分線上．∴MN垂直平分ED．圖3〔2〕判斷：四邊形MEND是正方形．圖3證明：連接EM,EN,DM,DN．〔如圖3〕∵∠EBD=∠DCE=45°,而∠BDA=∠CDF=90°,∴∠BAD=∠ABD=45°,∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD,DF=DC．在△ADF和△BDC中,AD=BD,∠ADF=∠BDC,〔Rt∠〕DF=DC,∴△ADF≌△BDC．∴AF=BC,∠1=∠2．∵由〔1〕知DM=AF=AM,DN=BC=BN,∴DM=DN,∠1=∠3,∠2=∠4．∴∠3=∠4．∵由〔1〕知EM=DM,EN=DN,∴DM=DN=EM=EN．∴四邊形MEND是菱形．∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°,∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．∴四邊形MEND是正方形．7、〔6分〕如圖,現(xiàn)有一X邊長為4的正方形紙片ABCD,點(diǎn)P為AD邊上的一點(diǎn)〔不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合〕,將正方形紙片折疊,使點(diǎn)B落在P處,點(diǎn)C落在G處,PG交DC于H,折痕為EF,聯(lián)結(jié)BP、BH?！?〕求證：∠APB＝∠BPH；〔2〕求證：AP＋HC＝PH；〔3〕當(dāng)AP＝1時(shí),求PH的長。第一問,設(shè)∠EPB=∠EBP=m,則∠BPH=90°-m,∠PBC=90°-m,所以∠BPH=∠PBC,又因?yàn)椤螦PB=∠PBC,所以,∠APB=∠BPH。第二問的題外題：將此題與141之東城22和平谷24放在一起,旋轉(zhuǎn)翻折共同學(xué)習(xí)；此題中用旋轉(zhuǎn)把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°不能到達(dá)目的,于是延BP翻折,翻折后的剩余部分△BQH與△BCH也可全等,即可到達(dá)目的,還有意外收獲：證得∠PBH=45°。第三問,代數(shù)方法的勾股定理?！?〕證明：∵PE＝BE,∴∠EPB＝∠EBP,又∵∠EPH＝∠EBC＝90°,∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP。即∠BPH＝∠PBC。又∵四邊形ABCD為正方形,∴AD∥BC,∴∠APB＝∠PBC?！唷螦PB＝∠BPH?！?分〕〔2〕證明：過B作BQ⊥PH,垂足為Q,由〔1〕知,∠APB＝∠BPH,又∵∠A＝∠BQP＝90°,BP＝BP,∴△ABP△QBP,∴AP＝QP,BA＝BQ。又∵AB＝BC,∴BC＝BQ。又∵∠C＝∠BQH＝90°,BH＝BH,∴△BCH△BQH,∴CH＝QH,∴AP＋HC＝PH。〔4分〕〔3〕由〔2〕知,AP＝PQ＝1,∴PD＝3。設(shè)QH＝HC＝,則DH＝。在Rt△PDH中,,即,解得,∴PH＝3.4〔6分〕8、〔6分〕如圖,在△ABC中,AC＞AB,D點(diǎn)在AC上,AB＝CD,E、F分別是BC、AD的中點(diǎn),連結(jié)EF并延長,與BA的延長線交于點(diǎn)G,若∠EFC＝60°,聯(lián)結(jié)GD,判斷△AGD的形狀并證明。〔也可問∠ADG的度數(shù)。〕判斷：△AGD是直角三角形。證明：如圖聯(lián)結(jié)BD,取BD的中點(diǎn)H,聯(lián)結(jié)HF、HE,∵F是AD的中點(diǎn),,∴∠1＝∠3。同理,HE//CD,HE＝,∴∠2＝∠EFC。∵AB＝CD,∴HF＝HE,∴∠1＝∠2, ∴∠3＝∠EFC。∵∠EFC＝60°,∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°,∴△AGF是等邊三角形?！郃F＝FG∵AF＝FD,∴GF＝FD,∴∠FGD＝∠FDG＝30°,∴∠AGD＝90°,即△AGD是〔特殊〕直角三角形。〔GE=BG-BE,GH是直角三角形的斜邊,這樣證全等?！?0、閱讀下列材料：小明遇到一個(gè)問題：AD是△ABC的中線,點(diǎn)M為BC邊上任意一點(diǎn)〔不與點(diǎn)D重合〕,過點(diǎn)M作一直線,使其等分△ABC的面積．他的做法是：如圖1,連結(jié)AM,過點(diǎn)D作DN//AM交AC于點(diǎn)N,作直線MN,直線MN即為所求直線．D圖1D圖1MBANC請你參考小明的做法,解決下列問題：〔1〕如圖2,在四邊形ABCD中,AE平分ABCD的面積,M為CD邊上一點(diǎn),過M作一直線MN,使其等分四邊形ABCD的面積〔要求：在圖2中畫出直線MN,并保留作圖痕跡〕；圖3圖2〔2〕如圖3,求作過點(diǎn)A的直線AE,使其等分四邊形ABCD的面積〔要求：在圖3中畫出直線AE,并保留作圖痕跡〕圖3圖2〔第二問,把△ABC的面積接到DC的延長線上?！?1、已知：四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E在CD邊上,點(diǎn)F在AD邊上,且AF＝DE．〔1〕如圖1,判斷AE與BF有怎樣的位置關(guān)系？寫出你的結(jié)果,并加以證明；〔2〕如圖2,對角線AC與BD交于點(diǎn)O．BD、AC分別與AE、BF交于點(diǎn)G,點(diǎn)H．①求證：OG＝OH；②連接OP,若AP＝4,OP＝,求AB的長．ABABCDOPEF圖2GHABCDEFP圖1圖1[第二問①,證△AOG≌△BHO,第二問②,〔在OB上截取BQ=AP,則△APO≌△BQO,得OP=OQ,AP=BQ,也可得∠OPG=∠OQP,又∠EPB=90°,最終得△OPQ是等腰直角三角形,可得PQ=2,從而求得PB=6,在Rt△APB中由勾股定理得的值。2倍根號13.〕]12、已知：如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=,BC=,DC=,且,點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)．〔1〕求證：CM⊥DM；〔2〕求點(diǎn)M到CD邊的距離．〔用含,的式子表示〕〔我認(rèn)為答案的思路不是最好。本題還有這樣的思路：過M做BC的平行線,交DC于Q,則可證MQ=DQ=CQ,MD平分∠ADC,MC平分∠BCD,與∠DMC=90°,；M到CD的距離也就是Rt△DMC斜邊的高M(jìn)N,MN的平方=DN乘以NC=AD乘以BC=ab,〕證明：〔1〕延長DM,CB交于點(diǎn)E．〔如圖3〕∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴∠ADM=∠BEM．圖3∵點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn),圖3∴AM=BM．在△ADM與△BEM中,∠ADM=∠BEM,∠AMD=∠BME,AM=BM,∴△ADM≌△BEM．∴AD=BE=,DM=EM．∴CE=CB+BE=．∵CD=,∴CE=CD．∴CM⊥DM．圖4解：〔2〕分別作MN⊥DC,DF⊥BC,垂足分別為點(diǎn)N,F．〔如圖4〕圖4∵CE=CD,DM=EM,∴CM平分∠ECD．∵∠ABC=90°,即MB⊥BC,∴MN=MB．∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠A=90°．∵∠DFB=90°,∴四邊形ABFD為矩形．∴BF=AD=,AB=DF．∴FC=BC－BF=．∵Rt△DFC中,∠DFC=90°,∴==．∴DF=．∴MN=MB=AB=DF=．即點(diǎn)M到CD邊的距離為．13、已知：如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是矩形,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為〔6,0〕,〔0,2〕．點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)〔點(diǎn)D與點(diǎn)B,C不重合〕,過點(diǎn)D作直線＝－＋交折線O－A－B于點(diǎn)E．〔1〕在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中,若△ODE的面積為S,求S與的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值X圍；〔2〕如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí),矩形OABC關(guān)于直線DE對稱的圖形為矩形O′A′B′C′,C′B′分別交CB,OA于點(diǎn)D,M,O′A′分別交CB,OA于點(diǎn)N,E．探究四邊形DMEN各邊之間的數(shù)量關(guān)系,并對你的結(jié)論加以證明；〔3〕問題〔2〕中的四邊形DMEN中,ME的長為____________．圖2圖1圖2圖1本題難度對于初二學(xué)生相當(dāng)于25題。[好好學(xué)習(xí)第一問的解題方法,第二問由兩組平行可得平行四邊形,∠OED=∠O1ED〔對稱性質(zhì)〕,得菱形。第三問,E在OA上時(shí),DE的長度不變,為2倍根號5,〔延x軸平移△DME使D與C重合,設(shè)DM=EM=x,代數(shù)法用勾股定理可求得ME的值。]解：〔1〕∵矩形OABC中,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為,,圖6∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．圖6若直線經(jīng)過點(diǎn)C,則；若直線經(jīng)過點(diǎn)A,則；若直線經(jīng)過點(diǎn)B,則．=1\*GB3①當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí),即時(shí),〔如圖6〕∵點(diǎn)E在直線上,圖7當(dāng)時(shí),,圖7∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴．=2\*GB3②當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上時(shí),即時(shí),〔如圖7〕∵點(diǎn)D,E在直線上,當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為,點(diǎn)E的坐標(biāo)為．∴．綜上可得：圖8〔2〕DM=ME=EN=ND．圖8證明：如圖8．∵四邊形OABC和四邊形O′A′B′C′是矩形,∴CB∥OA,C′B′∥O′A′,即DN∥ME,DM∥NE．∴四邊形DMEN是平行四邊形,且∠NDE=∠DEM．∵矩形OABC關(guān)于直線DE對稱的圖形為矩形O′A′B′C′,∴∠DEM=∠DEN．∴∠NDE=∠DEN．∴ND=NE．∴四邊形DMEN是菱形．∴DM=ME=EN=ND．-〔3〕答：問題〔2〕中的四邊形DMEN中,ME的長為2.5．14、探究問題1已知：如圖1,三角形ABC中,點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),AE⊥BC,BF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F,AE,BF交于點(diǎn)M,連接DE,DF．若DE=DF,則的值為_____．拓展問題2已知：如圖2,三角形ABC中,CB=CA,點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)M在三角形ABC的內(nèi)部,且∠MAC=∠MBC,過點(diǎn)M分別作ME⊥BC,MF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F,連接DE,DF．求證：DE=DF．推廣問題3如圖3,若將上面問題2中的條件"CB=CA"變?yōu)?CB≠CA",其他條件不變,試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論〔第三問,取BM和AM的中點(diǎn),構(gòu)造全等三角形,〕122某區(qū)的模擬題與此高度相似,圖9問題1的值為1．--圖9問題2證明：如圖9．∵CB=CA,∴∠CAB=∠CBA．∵∠MAC=∠MBC,∴∠CAB－∠MAC=∠CBA－∠MBC,即∠MAB=∠MBA．∴MA=MB．∵M(jìn)E⊥BC,MF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F,∴∠AFM=∠BEM=90°．在△AFM與△BEM中,∠AFM=∠BEM,∠MAF=∠MBE,MA=MB,∴△AFM≌△BEM．∴AF=BE．∵點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),∴BD=AD．在△BDE與△ADF中,BD=AD,∠DBE=∠DAF,BE=AF,∴△BDE≌△ADF．∴DE=DF．問題3解：DE=DF．證明：分別取AM,BM的中點(diǎn)G,H,連接DG,FG,DH,EH．〔如圖10〕∵點(diǎn)D,G,H分別是AB,AM,BM的中點(diǎn),∴DG∥BM,DH∥AM,且DG=BM,DH=AM．∴四邊形DHMG是平行四邊形．∴∠DHM=∠DGM,∵M(jìn)E⊥BC,MF⊥AC,垂足分別為點(diǎn)E,F,圖10∴∠AFM=∠BEM=90°．圖10∴FG=AM=AG,EH=BM=BH．∴FG=DH,DG=EH,-∠GAF=∠GFA,∠HBE=∠HEB．∴∠FGM=2∠FAM,∠EHM=2∠EBM．∵∠FAM=∠EBM,∴∠FGM=∠EHM．∴∠DGM+∠FGM=∠DHM+∠EHM,即∠DGF=∠DHE．在△EHD與△DGF中,EH=DG,∠EHD=∠DGF,HD=GF,∴△EHD≌△DGF．∴DE=DF．16、如圖①,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)G是BC上任意一點(diǎn),DE⊥AG于點(diǎn)E,BF⊥AG于點(diǎn)F。〔1〕求證：DE－BF＝EF；〔2〕若點(diǎn)G為CB延長線上一點(diǎn),其余條件不變．請你在圖②中畫出圖形,寫出此時(shí)DE、BF、EF之間的數(shù)量關(guān)系〔不需要證明〕；〔3〕若AB=2a,點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí),試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系,并通過計(jì)算來驗(yàn)證你的結(jié)論。第一問,證全等即可得AE=BF,AF=DE。第三問,各三角形相似,兩直角邊的比是1:2,所以可得AE=BF=EF=2FG。解：〔1〕證明：∵四邊形ABCD是正方形,BF⊥AG,DE⊥AG∴DA=AB,∠BAF+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°∴∠BAF=∠ADE ,∴△ABF≌△DAE ∴BF=AE,AF=DE；∴DE-BF=AF-AE=EF 〔2〕如圖②,DE+BF=EF 〔3〕EF=2FG過程：∵AB=2a,點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn),∴BG=a由勾股定理可求又∵AB⊥BC,BF⊥AC,∴由等積法可求由勾股定理可求,,,∴EF=2FG 。17、如圖,在線段AE的同側(cè)作正方形ABCD和正方形BEFG〔BE<AB〕,連接EG并延長交DC于點(diǎn)M,作MN⊥AB,垂足為點(diǎn)N,MN交BD于點(diǎn)P,設(shè)正方形ABCD的邊長為1。〔1〕證明：四邊形MPBG是平行四邊形；〔2〕設(shè)BE=x,四邊形MNBG的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并寫出自變量x的取值X圍；〔3〕如果按題設(shè)作出的四邊形MPBG是菱形,求BE的長?！矆D中的三角形多是等腰直角三角形,〕證明：〔1〕∵ABCD、BEFG是正方形∴∠CBA=∠FEB=90°,∠ABD=∠BEG=45°,∴DB∥ME。∵M(jìn)N⊥AB,CB⊥AB,∴MN∥CB?！嗨倪呅蜯PBG是平行四邊形；〔2〕∵正方形BEFG,∴BG=BE=x?！摺螩MG=∠BEG=45°,∴CG=CM=BN=1－x?！鄖=〔GB+MN〕·BN=〔1+x〕〔1－x〕=－x,〔0<x<1〕；〔3〕由四邊形BGMP是菱形,則有BG=MG,即x=〔1－x〕。解得x=2－,∴BE=2－。18、將一X直角三角形紙片ABC折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合,這時(shí)DE為折痕,△CBE為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿△CBE的對稱軸EF折疊,這時(shí)得到了兩個(gè)完全重合的矩形〔其中一個(gè)是原直角三角形的內(nèi)接矩形,另一個(gè)是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形〕,我們稱這樣兩個(gè)矩形為"疊加矩形"．請完成下列問題：〔1〕如圖②,正方形網(wǎng)格中的△ABC能折疊成"疊加矩形"嗎？如果能,請?jiān)趫D②中畫出折痕；〔2〕如圖③,在正方形網(wǎng)格中,以給定的BC為一邊,畫出一個(gè)斜△ABC,使其頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上,且△ABC折成的"疊加矩形"為正方形；〔3〕如果一個(gè)三角形所折成的"疊加矩形"為正方形,那么它必須滿足的條件是．解：〔1〕………………2分〔說明：只需畫出折痕．〕〔2〕〔說明：只需畫出滿足條件的一個(gè)三角形；答案不惟一,所畫三角形的一邊長與該邊上的高相等即可．〕〔3〕三角形的一邊長與該邊上的高相等19、考考你的推理與論證〔本題6分〕如圖,在中,是邊上的一點(diǎn),是的中點(diǎn),過點(diǎn)作的平行線交的延長線于,且,連結(jié)．〔1〕求證：是的中點(diǎn)；〔2〕如果,試判斷四邊形的形狀,并證明你的結(jié)論．難度一般解〔1〕證明：∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE.∵E是AD的中點(diǎn),∴AE=DE．∵∠AEF=∠DEC,∴△AEF≌△DEC．∴AF=DC.∵AF=BD,∴BD=CD.,∴D是BC的中點(diǎn)．〔2〕四邊形AFBD是矩形,∵AB=AC,是的中點(diǎn),∴AD⊥BC

,即∠ADB=90°∵AF=BD,AF∥BC,∴四邊形AFBD是矩形．20、拓廣與探索〔本題7分〕如圖〔1〕,Rt△ABC中,∠ACB=90°,中線BE、CD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)F、G分別是OB、OC的中點(diǎn).〔1〕求證：四邊形DFGE是平行四邊形；〔2〕如果把Rt△ABC變?yōu)槿我狻鰽BC,如圖〔2〕,通過你的觀察,第〔1〕問的結(jié)論是否仍然成立？〔不用證明〕；〔3〕在圖〔2〕中,試想：如果拖動(dòng),通過你的觀察和探究,在什么條件下？四邊形DFGE是矩形,并給出證明；〔4〕在第〔3〕問中,試想：如果拖動(dòng),是否存在四邊形DFGE是正方形或菱形？如果存在,畫出相應(yīng)的圖形〔不用證明〕．〔圖1〕〔圖2〕〔第三問,AB=AC時(shí)。第四問,AB=AC,且底邊上的高是BC的3/2倍時(shí)是正方形。保持這種高與邊的比,但是,AB≠AC時(shí)是菱形?！?1、如圖,點(diǎn)A〔0,4〕,點(diǎn)B<3,0>,點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作軸于點(diǎn)M,作軸于點(diǎn)N,連接MN,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),MN的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？求出此時(shí)PN的長.〔MN=OP,所以O(shè)P⊥AB時(shí),MN也就是OP最小,OP=12/5.〕初三相似形22、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=4,,于點(diǎn)E,F是CD的中點(diǎn),連接EF．〔1〕求證：四邊形AEFD是平行四邊形；〔2〕點(diǎn)G是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)G在什么位置時(shí),四邊形DEGF是矩形？并求出這個(gè)矩形的周長；〔3〕在BC邊上能否找到另外一點(diǎn),使四邊形DEF的周長與〔2〕中矩形DEGF的周長相等？請簡述你的理由.〔第二問,點(diǎn)G為BC中點(diǎn)時(shí),也是AE的延長線與BC的交點(diǎn)。第三問,能找到。以EF為一邊在EF的下方做△G1EF≌△GFE,G1在BC上,但是不與G重合,〕23、<9分>在梯形中,∥,,且,,。對角線和相交于點(diǎn),等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在梯形的頂點(diǎn)上,使三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)?！?〕如圖9-1,當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)落在邊上時(shí),線段與的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是；〔2〕繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板,旋轉(zhuǎn)角為,請你在圖9-2中畫出圖形,并判斷〔1〕中結(jié)論還成立嗎？如果成立請加以證明；如果不成立,請說明理由；＃[]〔3〕如圖9-3,當(dāng)三角板的一邊與梯形對角線重合時(shí),與相交于點(diǎn)P,若,求的長。圖9-1圖9-2圖9-3〔第三問,證明兩次相似,推導(dǎo)比例關(guān)系?！扯嗫纯唇猓骸?〕垂直,相等；……………2分〔2〕畫圖如圖〔答案不唯一〕〔1〕中結(jié)論仍成立。證明如下：過A作于M,則四邊形ABCM為矩形?！郃M=BC=2,MC=AB=1?！?∴。∴DC=BC。,,。又,,線段和相等并且互相垂直。〔3〕∥,∽,,。同理可求得。,。。。由〔2〕知,。又,∽。。。初三相似形24、<9分>將一矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中,,,。動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)秒時(shí),動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以相等的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為〔秒〕。〔1〕用含的代數(shù)式表示；〔2〕當(dāng)時(shí),如圖10-1,將沿翻折,點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處,求點(diǎn)的坐標(biāo)；〔3〕連結(jié),將沿翻折,得到,如圖10-2。問：與能否平行？與能否垂直？若能,求出相應(yīng)的值；若不能,說明理由。解：〔1〕,?！?〕當(dāng)時(shí),過點(diǎn)作,交于,如圖1,……………3分則,,,?！?〕①能與平行。若,如圖2,則,即,,而,。②不能與垂直。若,延長交于,如圖3,則。。?！?分又,,,。而,∴t不存在。25、銳角△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在AC邊上,DE⊥AB于E,延長ED交BC的延長線于點(diǎn)F.當(dāng)∠A=40°時(shí),求∠F的度數(shù)；設(shè)∠F為x度,∠FDC為y度,試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.第二問,∠B+x=90°,x+y=∠B,所以y=90°-2x。解〔1〕∵AB=AC,∴..∵∠A=40°,∴.∵DE⊥AB,∴.∴〔2〕∵,∴∴在△BEF中,∵,∴...∴∴.26、如圖1,正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上,連接AE、GC．〔1〕試猜想AE與GC有怎樣的數(shù)量關(guān)系；〔2〕將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E落在BC邊上,如圖2,連接AE和GC.你認(rèn)為<1>中的結(jié)論是否還成立？若成立,給出證明；若不成立,請說明理由；〔3〕在〔2〕的條件下,求證：AE⊥GC．〔友情提示：旋轉(zhuǎn)后的幾何圖形與原圖形全等〕延長相交可證得垂直,解：〔1〕猜想：AE=GC〔2〕答：AE=CG成立.證明：∵四邊形ABCD與DEFG都是正方形,∴AD=DC,DE=DG,ADC==EDG=90.∴1+3=2+3=90.∴1=2.,∴△ADE△CDG.,∴AE=CG.〔3〕延長AE,GC相交于H,由〔2〕可知5=4.又∵56=90,47=180DCE=90,∴6=7.又∵6AEB=90,∴AEB=CEH..∴CEH7=90.∴EHC=90.,∴AEGC.…27、如圖所示,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠A＝90°,AB＝12,BC＝21,AD=16。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿射線BC的方向以每秒2個(gè)單位長的速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),在線段AD上以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t〔秒〕。〔1〕當(dāng)為何值時(shí),四邊形的面積是梯形的面積的一半；〔2〕四邊形能為平行四邊形嗎？如果能,求出的值；如果不能,請說明理由．〔3〕四邊形能為等腰梯形嗎？如果能,求出的值；如果不能,請說明理由．〔第一問,t=37/6,第二問,t=5,第三問,不能,∠QPC大于90°,不能等于∠DCP,；本題擴(kuò)展：如果延DA、CB方向移動(dòng),則可以出現(xiàn)等腰梯形。〕28、〔12分〕如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn),E、F分別是BM、CM的中點(diǎn)．〔1〕在不添加線段的前提下,圖中有哪幾對全等三角形？請直接寫出結(jié)論；〔2〕判斷并證明四邊形MENF是何種特殊的四邊形？〔3〕當(dāng)?shù)妊菪蜛BCD的高h(yuǎn)與底邊BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)？四邊形MENF是正方形〔直接寫出結(jié)論,不需要證明〕．ADADCBEGF39、E是正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn),EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分別是F、G.求證：.簡單題：連接CE,則CE=FG,再證全等即可。證明：連接CE∵四邊形ABCD為正方形∴AB＝BC,∠ABD＝∠CBD＝45°,∠C＝90°∵EF⊥BC,EG⊥CD,∴四邊形GEFC為矩形∴GF＝EC在△ABE和△CBE中∴△ABE≌△CBE,∴AE＝CE∴AE＝CF30、在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連接CD,過B作BE⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)E,連接AE,過A作AF⊥AE交CD于點(diǎn)F.〔1〕若AE=5,求EF；〔2〕求證：CD=2BE+DE.〔第一問,∠