第三章-晶格振動

1第三章晶格振動2本章內(nèi)容3.1

簡諧近似3.2

一維晶格振動3.3晶體的熱力學(xué)函數(shù)3.4

晶格熱容的量子理論3.5

晶格的熱傳導(dǎo)3學(xué)習(xí)的意義與目的回顧：組成晶體的原子被認(rèn)為是固定在格點(diǎn)位置(平衡位置)靜止不動的?。ɡ硐牖Ｐ停?/p>

認(rèn)識：有限溫度(T≠0K)下，組成晶體的原子或離子圍繞平衡位置作微小振動?！熬Ц裾駝印庇邢逌囟认?，組成晶體的原子并非固定于格點(diǎn)位置，而是以格點(diǎn)為平衡位置作熱振動，這種運(yùn)動稱為晶格振動4晶格振動使晶體勢場偏離嚴(yán)格的周期性；

對Bloch電子有散射作用，從而影響與電子有關(guān)的運(yùn)輸性質(zhì)：電導(dǎo)，霍爾效應(yīng)，磁阻，溫差電效應(yīng)；晶體的比熱，熱膨脹和熱導(dǎo)等熱學(xué)性質(zhì)直接依賴于晶格振動；晶體的光吸收和光發(fā)射等光學(xué)性質(zhì)與晶格振動有關(guān)電子-電子間通過晶格振動可出現(xiàn)不同于庫侖力的相互作用，形成所謂庫柏對，產(chǎn)生超導(dǎo)性。晶格動力學(xué)是固體物理學(xué)中最基礎(chǔ)、最重要的部分！54·晶格振動的出現(xiàn)及發(fā)展歷程①

起源于晶體熱學(xué)性質(zhì)的研究杜隆—柏替經(jīng)驗(yàn)規(guī)律把熱容量和原子振動聯(lián)系起來!得到：摩爾熱容量為3Nk=3R問題：與低溫?zé)崛萘肯嗝堋猅↓,Cv↓②Einstein發(fā)展普朗克量子假說—量子熱容量理論得到:熱容量與原子振動的具體頻率有關(guān)晶格中各個(gè)原子間的振動相互間存在著固定的位相關(guān)系—晶格中存在著角頻率為ω的平面波63.1簡諧近似晶格振動是典型的小振動

問題！—經(jīng)典力學(xué)觀點(diǎn)力學(xué)體系自平衡位置發(fā)生微小偏移

→該力學(xué)體系的運(yùn)動屬于小振動處理小振動問題的理論方法和主要結(jié)果學(xué)習(xí)晶格振動的理論基礎(chǔ)晶格振動的經(jīng)典理論絕熱近似簡諧近似原子在平衡位置附近作微小振動布拉伐格矢是平衡位置7絕熱近似：固體是有大量的原子組成→復(fù)雜的多體問題！原子與原子原子與電子電子與電子∵晶體中電子和正原子實(shí)的質(zhì)量相差很大：∴正原子實(shí)的運(yùn)動速度<<電子快速運(yùn)動的電子能很快地適應(yīng)正原子實(shí)的位置變化—正原子實(shí)固定在它的瞬間位置近似認(rèn)為正原子實(shí)不動→絕熱近似→正電子實(shí)和原子運(yùn)動分開絕熱近似下:多種粒子的多體問題

多電子問題簡化為8簡諧近似:已知：晶胞包含N個(gè)原子，平衡位置為；偏離平衡位置的位移矢量為∴原子的瞬時(shí)位矢::晶體中相距的兩個(gè)原子間的相互作用勢能則晶體的總勢能函數(shù)可表示為：展開成泰勒級數(shù)：9第一項(xiàng)V0=平衡晶格勢能=0∴第二項(xiàng)省去二階以上的高階項(xiàng)，得到：簡諧近似

—體系的勢能函數(shù)只保留至二次項(xiàng)，稱為簡諧近似※簡諧近似是晶格動力學(xué)處理許多物理問題的出發(fā)點(diǎn)!10※對熱膨脹和熱傳導(dǎo)等問題必須考慮高階項(xiàng)

---

特別是3次和4次項(xiàng)的作用

→這稱為非諧項(xiàng)或非諧作用–V非諧

※

具體處理問題時(shí),把非諧項(xiàng)看成是對起主要作用的簡諧項(xiàng)的微擾!簡正振動模式：在簡諧近似下,由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體的晶格振動,可等效成3N個(gè)獨(dú)立的諧振子的振動.每個(gè)諧振子的振動模式稱為簡正振動模式簡正振動模式對應(yīng)著所有的原子都以該模式的頻率做振動,它是晶格振動模式中最簡單最基本的振動方式.原子的振動：格波振動通常是這3N個(gè)簡正振動模式的線形迭加.113.2一維晶格的振動晶格具有周期性—晶格的振動模具有波的形式（格波）一、一維單原子鏈1·模型與運(yùn)動方程單原子鏈看作是一個(gè)最簡單的晶格!①

計(jì)算相鄰原子間作用力(a)N

個(gè)質(zhì)量為m的原子組成一維布拉伐格子；設(shè)：(b)平衡時(shí)相鄰原子距離為a(晶胞體積為a或晶格常數(shù)為a)；(c)原子限制在沿鏈的方向運(yùn)動，偏離格點(diǎn)的位移表示為:12一維單原子鏈(a)平衡位置(b)瞬時(shí)位置和位移a+μn+1-μnμn-1(b)an(n+1)(n+2)(n-1)(n-2)(a)只考慮最近鄰原子間的相互作用！原子鏈的相互作用能一般可表示為：表示對平衡距離的偏離β表示恢復(fù)力系數(shù)

=彈性系數(shù)13②考察第n個(gè)原子的運(yùn)動方程，它受到左右兩個(gè)近鄰原子對它的作用力：an(n+1)(n+2)(n-1)(n-2)(a)a+μn+1-μnμn-1(b)？左（n-1)原子：14左（n-1)原子受到的力：右（n+1)原子：受到的力:∴第n個(gè)原子的運(yùn)動方程：注意：原子鏈中有N個(gè)原子，則有N個(gè)這種形式的方程an(n+1)(n+2)(n-1)(n+2)(a)a+μn+1-μnμn-1(b)152·邊界條件→波恩—卡曼（Born-VonKarman）條件∵一個(gè)有限鏈兩端的原子和內(nèi)部原子有所不同∴有不同形式的運(yùn)動方程方程的解很復(fù)雜！結(jié)果：選擇波恩—卡曼（Born-VonKarman）條件用連接體內(nèi)原子相同的彈簧將鏈兩端的原子連在一起！一維鏈的B-K邊界條件作用：并未改變運(yùn)動方程的解，只是原胞標(biāo)數(shù)由n增加N，滿足16對于一維原子鏈，邊界條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式：3·格波解與色散關(guān)系驗(yàn)證方程:有下列“格波”形式的解：A:振幅,ω:波的角頻率,λ:波長,q=2π/λ:波數(shù)代入得到：17ω

與q的關(guān)系稱為色散關(guān)系!振動頻譜/振動譜184.討論：①格波解naq—位相因子物理意義：相鄰原子的振動位相差為q(n+1)a–qna=aqaq

改變一個(gè)2π的整數(shù)倍,兩個(gè)原子的振動位移相等!一維單原子鏈的布里淵區(qū)q的取值限制在簡約布里淵區(qū)19格波

—

在晶體中傳播的振幅為A,頻率為ω的行波，是晶體中原子的一種集體運(yùn)動形式。nn+1n+2n-2n-1格波20②

波恩—卡曼（Born-VonKarman）條件知∴

被限制在第一布里淵區(qū)里的q

可取N個(gè)不同的值!又∵每個(gè)q

對應(yīng)著一個(gè)格波∴

對應(yīng)著N

個(gè)獨(dú)立的格波，或有N個(gè)獨(dú)立的振動模式21③

色散關(guān)系的幾個(gè)重要性質(zhì)根據(jù)色散關(guān)系式∴得到一維單原子晶格的色散關(guān)系曲線:ωq一維單原子鏈的ω-q函數(shù)關(guān)系

由圖知，頻率ω的范圍為:0<

ω

≤2(β/m)1/2只有這些頻率的格波能在晶格中傳播，其它頻率的格波被強(qiáng)烈衰減!應(yīng)用:可把一維單原子晶格看成低通濾波器!22a)長波極限

（q→0）情況:

在q→0的長波近似下，色散關(guān)系式中q=2π/λ彈性波（聲波）的色散關(guān)系:形式相同!彈性波相速度：C:彈性模量ρ:連續(xù)介質(zhì)密度23一維單原子晶格格波：密度：彈性模量：格波的相速度：∴V彈=V格即：在長波極限下，一維單原子晶格格波可看成彈性波（聲波），晶格可看成連續(xù)介質(zhì)!24b）短波極限（q=π/a)情況隨著q↑,色散曲線開始偏離直線向下彎;當(dāng)q→π/a

時(shí)，色散曲線變的平坦；當(dāng)q=π/a時(shí),(布里淵區(qū)邊界)對應(yīng)著最大頻率ωmax.ωωmq色散關(guān)系直線代表彈性波色散關(guān)系251·模型與運(yùn)動方程雙原子鏈可以看作是一個(gè)最簡單的復(fù)式晶格!設(shè):①

每個(gè)原胞中含2個(gè)不同的原子P

和Q，質(zhì)量分別為m

,M

;②原子限制在沿鏈的方向運(yùn)動，偏離格點(diǎn)的位移表示為:③平衡時(shí)相鄰原子距離為a（晶胞體積為a或晶格常數(shù)為a)；2a一維雙原子鏈模型Mm二、一維雙原子鏈26考慮：最近鄰原子間的相互作用一維雙原子鏈原子的運(yùn)動方程：2·格波解和色散關(guān)系①設(shè)有下列形式的格波解：27把上式化成以

A,B

為未知數(shù)的線性齊次方程有解條件：一維雙原子鏈的色散關(guān)系?。。?8②注意：由格波解：得知：相鄰原胞P

原子（或者Q原子）之間的位相差為2aq∴2aq

改變2π的整數(shù)倍，原子的振動不變!q的取值范圍為：π<2aq≤+π∴-π/2a<q≤π/2a

一維雙原子鏈的布里淵區(qū)！！29由邊界條件(伯恩-卡曼)得到：根據(jù)q的取值范圍∴

-N/2<h≤N/2,即共有N

個(gè)不同的值對于N個(gè)q值中的每一個(gè)q，存在兩個(gè)解總共得到2N個(gè)格波解與體系中有2N個(gè)自由度一致30③討論色散關(guān)系(a)當(dāng)q→±π/2a（短波極限情況）一維雙原子鏈晶格色散關(guān)系由M>m可知，沒有格波??！31之間的頻率范圍稱為頻率隙應(yīng)用：把一維雙原子晶格叫帶通濾波器？一維雙原子鏈晶格色散關(guān)系32(b)當(dāng)q→0時(shí)（長波極限情況）<<1簡化★

聲學(xué)波?“-”33與一維單原子晶格的色散關(guān)系相似！∴

q→0

極限下，可看成彈性波→聲學(xué)波34振幅：代入聲學(xué)支長波極限下聲學(xué)支和光學(xué)支的原子位移nn+1n+2n-2n-1聲學(xué)波示意圖35∴長聲學(xué)波中相鄰原子振動方向相同，振幅和位相無差別，原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相作整體運(yùn)動—它代表原胞質(zhì)心的運(yùn)動！36★當(dāng)q→0時(shí)光學(xué)波∵

由于這個(gè)頻率處于光譜的紅外區(qū)∴這支格波稱為光學(xué)波典型值37ω+(q)隨著q變化很小ω+(q)>ω-(q)q→0,ω

≠0

光學(xué)波的突出特點(diǎn)振幅：把q=0,ω=(2β/μ)1/2

代入:38聲學(xué)支光學(xué)支長波極限下聲學(xué)支和光學(xué)支的原子位移∴長光學(xué)波代表同一原胞中兩個(gè)原子振動方向相反，原胞中不同原子作相對振動，質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量小的振幅大—質(zhì)心保持不變的振動！長光學(xué)波代表原胞中兩個(gè)原子的相對振動！光學(xué)波示意圖39長光學(xué)支格波的特征是每個(gè)原胞內(nèi)的不同原子做相對振動,振動頻率較高,它包含了晶格振動頻率最高的振動模式。

長聲學(xué)支格波的特征是:原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移,原胞做整體運(yùn)動,振動頻率較低,它包含了晶格振動頻率最低的振動模式,波速是一常數(shù)。

任何晶體都存在聲學(xué)支格波,但簡單晶格(非復(fù)式格子)晶體不存在光學(xué)支格波。40un=Ae-i(ωt-naq)

且u1=

un+1得到q=2пL/Na將q限制在第一布里淵區(qū)中,-п/a<q<п/aL為整數(shù),取值在-N/2<L<N/2的范圍內(nèi),只能取N個(gè)不同的值,因此每一支格波都含有N個(gè)獨(dú)立的振動模式,共有2N個(gè)獨(dú)立振動模式。對于三維晶格:有N個(gè)原胞,每個(gè)原胞有P個(gè)原子,每個(gè)原子有3個(gè)自由度,則總的自由度為3PN獨(dú)立振動模式.其中3N支為聲學(xué)波,其余（3p-3）N支為光學(xué)波。聲學(xué)波描述原胞之間的相對運(yùn)動,光學(xué)波描述原胞內(nèi)各個(gè)原子的相對運(yùn)動。41三、聲子在簡諧近似下，只考慮最近鄰原子的相互作用，晶格振動也是一種波?？梢苑抡展庾拥亩x，將固定頻率ω和波數(shù)q的點(diǎn)陣振動波對應(yīng)于一種粒子：聲子我們稱這種晶格振動的“量子”為聲子，其能量為聲子不僅是一個(gè)能量子，它還具有“動量”這是因?yàn)椴ㄊ竡代表格波傳播的方向，引入聲子概念后就成為了聲子的波矢。方向代表聲子運(yùn)動方向。hq稱做聲子的“準(zhǔn)動量”聲子不是真實(shí)的粒