第三章 平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)測

本章結(jié)構(gòu)方法性工具1.ARMA模型2.平穩(wěn)序列建模3.序列預(yù)測4.

平穩(wěn)時(shí)間序列模型預(yù)測設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列是一個(gè)ARMA(p,q)過程，即本章將討論其預(yù)測問題，設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t，已知時(shí)刻t和以前時(shí)刻的觀察值，我們將用已知的觀察值對時(shí)刻t后的觀察值進(jìn)行預(yù)測，記為，稱為時(shí)間序列的第步預(yù)測值。2最小均方誤差預(yù)測考慮預(yù)測問題首先要確定衡量預(yù)測效果的標(biāo)準(zhǔn)，一個(gè)很自然的思想就是預(yù)測值與真值的均方誤差達(dá)到最小，即設(shè)預(yù)測值與真值的均方誤差我們的工作就是尋找，使上式達(dá)到最小。3序列預(yù)測線性預(yù)測函數(shù)預(yù)測方差最小原則序列分解預(yù)測誤差預(yù)測值條件無偏均方誤差最小預(yù)測

設(shè)隨機(jī)序列，滿足，則如果隨機(jī)變量使得

達(dá)到最小值，則如果隨機(jī)變量使得達(dá)到最小值，則7因?yàn)榭梢钥醋鳛楫?dāng)前樣本和歷史樣本的函數(shù)，根據(jù)上述結(jié)論，我們得到，當(dāng)時(shí)，使得達(dá)到最小。對于ARMA模型，下列等式成立：8ARMA模型的預(yù)測方差和預(yù)測區(qū)間

如果ARMA模型滿足平穩(wěn)性和可逆性，則有所以，預(yù)測誤差為9由此，我們可以看到在預(yù)測方差最小的原則下，是當(dāng)前樣本和歷史樣本已知條件下得到的條件最小方差預(yù)測值。其預(yù)測方差只與預(yù)測步長有關(guān)，而與預(yù)測起始點(diǎn)t無關(guān)。當(dāng)預(yù)測步長的值越大時(shí)，預(yù)測值的方差也越大，因此為了預(yù)測精度，ARMA模型的預(yù)測步長不宜過大，也就是說使用ARMA模型進(jìn)行時(shí)間序列分析只適合做短期預(yù)測。10進(jìn)一步地，在正態(tài)分布假定下，有由此可以得到預(yù)測值的95%的置信區(qū)間為或者

11對AR模型的預(yù)測首先考慮AR(1)模型當(dāng)時(shí)，即當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測為當(dāng)，當(dāng)前時(shí)刻為t的步預(yù)測12對于AR(p)模型當(dāng)時(shí)，當(dāng)前時(shí)刻為t的一步預(yù)測為當(dāng)，當(dāng)前時(shí)刻為t的步預(yù)測13例1

設(shè)平穩(wěn)時(shí)間序列來自AR(2)模型已知，求和以及95%的置信區(qū)間。解：14可以計(jì)算模型的格林函數(shù)為所以的95%的置信區(qū)間為（－1.076，3.236）

的95%的置信區(qū)間為

（－2.296，3.952）15例2

已知某商場月銷售額來自AR(2)模型(單位：萬元/月)2006年第一季度該商場月銷售額分別為：101萬元，96萬元，97.2萬元。求該商場2006年第二季度的月銷售額的95%的置信區(qū)間。16求第二季度的四月、五月、六月的預(yù)測值分別為17計(jì)算模型的格林函數(shù)為四月、五月、六月的月銷售額的95%的置信區(qū)間分別為四月：（85.36，108.88）五月：（83.72，111.15）六月：（81.84，113.35）18預(yù)測方差的計(jì)算計(jì)算Green函數(shù):根據(jù)遞推公式方差置信區(qū)間步預(yù)測銷售額的95%置信區(qū)間為：

估計(jì)結(jié)果預(yù)測時(shí)期95％置信區(qū)間預(yù)測值四月份（85.36，108.88）97.12五月份（83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.5952MA模型的預(yù)測對于MA(q)模型我們有當(dāng)預(yù)測步長，可以分解為當(dāng)預(yù)測步長，可以分解為21MA(q)模型預(yù)測方差為22例3

已知某地區(qū)每年常住人口數(shù)量近似的服從MA(3)模型（單位：萬人）

2002年—2004年的常住人口數(shù)量及1步預(yù)測數(shù)量見表23年份人口數(shù)量預(yù)測人口數(shù)量200220032004104108105110100109例3.15解：隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的計(jì)算例3.15解：估計(jì)值的計(jì)算例3.15解：預(yù)測方差的計(jì)算27預(yù)測年份95%的置信區(qū)間20052006200720082009（99，119）（83，109）（87，115）（86，114）（86，114）例3已知某地區(qū)每年常駐人口數(shù)量近似服從MA(3)模型（單位：萬人）：最近3年的常駐人口數(shù)量及一步預(yù)測數(shù)量如下：預(yù)測未來5年該地區(qū)常住人口的95％置信區(qū)間年份統(tǒng)計(jì)人數(shù)預(yù)測人數(shù)200210411020031081002004105109解:年份統(tǒng)計(jì)人數(shù)預(yù)測人數(shù)200210411020031081002004105109解：置信區(qū)間的計(jì)算預(yù)測年份95％置信區(qū)間預(yù)測人數(shù)

2005（99，119）109.22006（83，109）962007（87，115）100.82008（86，114）1002009（86，114）10095%置信區(qū)間的計(jì)算：估計(jì)結(jié)果：ARMA(p,q)序列預(yù)測ARMA(p,q)序列場合:預(yù)測例4已知ARMA(1,1)模型為：且x100=0.3,ε100=0.01，預(yù)測未來3期序列值的95％的置信區(qū)間。x100=0.3,ε100=0.01計(jì)算Green函數(shù)：預(yù)測方差：解:置信區(qū)間的計(jì)算時(shí)期95％置信區(qū)間預(yù)測值101（0.136，0.332）0.234102（0.087，0.287）0.1872103（－0.049，0.251）0.1497695%置信區(qū)間：估計(jì)結(jié)果：修正預(yù)測定義所謂的修正預(yù)測就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預(yù)測值

方法在新的信息量比較大時(shí)——把新信息加入到舊的信息中，重新擬合模型；

在新的信息量很小時(shí)——不重新擬合模型，只是將新的信息加入以修正預(yù)測值，提高預(yù)測精度。修正預(yù)測原理舊信息基礎(chǔ)上的序列分解假設(shè)新獲得一個(gè)觀察值Xt+1，則序列重新分解為修正預(yù)測原理在舊信息的基礎(chǔ)上，Xt+l的預(yù)測值為假設(shè)新獲得一個(gè)觀察值Xt+1，則Xt+l的修正預(yù)測值為其中是Xt+1的一步預(yù)測誤差。修正預(yù)測誤差為修正預(yù)測原理預(yù)測方差為

即一期修正后第步預(yù)測方差就等于修正前第步預(yù)測方差。它比修正前的同期預(yù)測方差減少了，提高了預(yù)測精度。一般情況假設(shè)獲得k個(gè)新的觀察值，則的修正預(yù)測值為修正預(yù)測誤差為預(yù)測方差為例2續(xù)已知某超市月銷售額近似服從AR(2)模型(單位：萬元/每月)今年第一季度該超市月銷售額分別為：101，96，97.2萬元。（1）請確定該超市第二季度每月銷售額的95％的置信區(qū)間。（2）假如一個(gè)月后知道4月份的真實(shí)銷售額為100萬元，求第二季度后兩個(gè)月銷售額的修正預(yù)測值。預(yù)測時(shí)期95％置信區(qū)間預(yù)測值四月份（85.36，108.88）97.12100五月份（83.72，111.15）97.432六月份（81.84，113.35）97.5952例2續(xù)：假如四月份的真實(shí)銷售額為100萬元，求二季度后兩個(gè)月銷售額的修正預(yù)測值計(jì)算四月份的一步預(yù)測誤差計(jì)算修正預(yù)測值月份預(yù)測值新獲得觀察值修正預(yù)測值497.12100597.432697.5952例2續(xù):計(jì)算修正方差：步預(yù)測銷售額的95%置信區(qū)間為：修正預(yù)測預(yù)測時(shí)期修正前置信區(qū)間修正后置信區(qū)間四月份（85.36，108.88）五月份（83.72，111.15）（87.40，110.92）六月份（81.84，113.35）（85.79，113.21）ARMA模型的預(yù)測關(guān)于ARMA模型有

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例4

已知ARMA(1,1)模型為且，預(yù)測未來3期序列值的95%的置信區(qū)間。47首先計(jì)算未來3期預(yù)測值計(jì)算模型的格林函數(shù)為48計(jì)算預(yù)測方差計(jì)算得到未來3期序列值的95%的置信區(qū)間49預(yù)測時(shí)期95%的置信區(qū)間101102103（0.136，0.332）（0.087，0.287）（-0.049，0.251）預(yù)測值的適時(shí)修正

對于平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測，實(shí)際就是利用已有的當(dāng)前信息和歷史信息對于序列未來某個(gè)時(shí)期進(jìn)行預(yù)測。預(yù)測的步長值越大，預(yù)測精度越差。隨著時(shí)間的向前推移，在原有時(shí)間序列觀測值的基礎(chǔ)上，我們會(huì)不斷獲得新的觀測值。顯然，如果把新的觀測值加入歷史數(shù)據(jù)，就能夠提高對的預(yù)測精度。所謂預(yù)測值的修正就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預(yù)測值。50例2續(xù)

假設(shè)一個(gè)月后已知四月份的真實(shí)銷售額為100萬元，求第二季度后兩個(gè)月銷售額的修正預(yù)測值及95%的置信區(qū)間。因?yàn)楦鶕?jù)上述公式可以計(jì)算五月、六月的修正預(yù)測值如下：51修正預(yù)測方差為步預(yù)測銷售額的95%的置信區(qū)間52預(yù)測時(shí)期修正前95%的置信區(qū)間修正后95%的置信區(qū)間四月五月六月（85.36，108.88）（83.72，111.15）（81.84，113.35）（87.40，110.92）（85.79，113.21）序列分解預(yù)測誤差預(yù)測值序列預(yù)測線性預(yù)測函數(shù)預(yù)測方差最小原則誤差分析估計(jì)誤差期望方差A(yù)R(p)序列的預(yù)測預(yù)測值預(yù)測方差95％置信區(qū)間AR(p)序列的預(yù)測一.基于AR模型的預(yù)測以平穩(wěn)的AR(2)過程為例：其中為零均值白噪音過程

……58ARMA模型的預(yù)測在t時(shí)刻，預(yù)測的值：

=在t時(shí)刻，預(yù)測的值：

同理：…結(jié)論59例3.14已知某超市月銷售額近似服從AR(2)模型（單位：萬元/每月）今年第一季度該超市月銷售額分別為：101，96，97.2萬元請確定該超市第二季度每月銷售額的95％的置信區(qū)間例3.14解：預(yù)測值計(jì)算四月份五月份六月份例3.14解：預(yù)測方差的計(jì)算GREEN函數(shù)方差例3.14解：置信區(qū)間公式估計(jì)結(jié)果預(yù)測時(shí)期95％置信區(qū)間四月份（85.36，108.88）

五月份（83.72，111.15）

六月份（81.84，113.35）

例2.5:北京市城鄉(xiāng)居民定期儲(chǔ)蓄比例序列擬合與預(yù)測圖

MA(q)序列的預(yù)測預(yù)測值預(yù)測方差例3.15已知某地區(qū)每年常駐人口數(shù)量近似服從MA(3)模型（單位：萬）：最近3年的常駐人口數(shù)量及一步預(yù)測數(shù)量如下：預(yù)測未來5年該地區(qū)常住人口的95％置信區(qū)間年份統(tǒng)計(jì)人數(shù)預(yù)測人數(shù)200210411020031081002004105109例3.15解：隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的計(jì)算例3.15解：估計(jì)值的計(jì)算例3.15解：預(yù)測方差的計(jì)算例3.15解：置信區(qū)間的計(jì)算預(yù)測年份95％置信區(qū)間2005（99，119）

2006（83，109）

2007（87，115）

2008（86，114）

2009（86，114）

ARMA(p,q)序列預(yù)測預(yù)測值預(yù)測方差例3.16已知模型為：且

預(yù)測未來3期序列值的95％的置信區(qū)間。例3.16解：估計(jì)值的計(jì)算例3.16解：預(yù)測方差的計(jì)算Green函數(shù)方差例3.16解