第七章 高速可壓流動

第7章高速可壓流動

(CompressibleFlowofHighSpeed)

當飛行馬赫數(shù)超過0.3時,就須考慮密度變化的影響，這時，須把流動作為可壓縮流動來處理。7.1熱力學基礎知識

(BriefReviewofThermodynamics)熱力學的體系熱力學體系：和周圍環(huán)境的其它物體劃開的一個任意形態(tài)的物質體系（1）既無物質交換又無能量交往的，稱為隔絕體系（isolatedsystem）（2）無物質交換，但有能量交換的，稱為封閉體系(closedsystem)（3）有物質交換，也有能量交換的，稱為開口體系（opensystem）經典熱力學所處理的都是處于平衡狀態(tài)下的隔絕體系和封閉體系?？諝鈩恿W中我們在做高速流動分析時常用開口體系（控制體）。體系的狀態(tài)是由許多宏觀熱力學變量（物理量），如溫度、壓力等來描述和規(guī)定的。熱和功是體系狀態(tài)變化時，與環(huán)境交換能量的兩種不同形式。7.1.1功、熱量和內能當體系狀態(tài)變化時，由于體系和環(huán)境溫度不同而使體系與環(huán)境間傳遞的能量稱為熱。熱量是體系和環(huán)境的內部質點因無序運動的平均強度不同而交換的能量，而不是指物體冷熱的“熱”。

熱量是過程量(path-dependentquantity)表示系統(tǒng)從外界吸熱；表示系統(tǒng)向外界放熱。7.1.1功、熱量和內能功常被定義為力與在力的方向上移動距離的乘積。功的更加通用的定義是熱力學定義：是系統(tǒng)及其外界間相互作用的一種形式。做功可以改變系統(tǒng)的狀態(tài)功是過程量(path-dependentquantity)熱與功的相互轉換是通過物質系統(tǒng)來完成的，不可能直接轉換，例如：熱轉換為功是系統(tǒng)吸熱后內能增加，再由系統(tǒng)內能的減少而對外作功。7.1.1功、熱量和內能氣體內能是系統(tǒng)內部所有微觀粒子全部能量的總和,氣體的內能包括分子微觀熱運動（取決于溫度）所包含的動能（分子平移、轉動和振動的內部動能），以及由于分子間存在作用力而形成分子相互作用的內部位能。對于完全氣體，分子間無作用力，因此單位質量氣體所具有的內能僅是溫度的函數(shù)。系統(tǒng)的內能是狀態(tài)量(state-dependentquantity)由于p/ρ表示單位質量流體所具有的壓能，故焓h

表示單位質量流體所具有的內能和壓能之和。在熱力學中常常引入另外一個代表熱含量的參數(shù)h（焓）一個物系的壓強、密度和溫度都是狀態(tài)函數(shù)或稱點函數(shù)，內能和焓都是狀態(tài)函數(shù)或點函數(shù)。7.1.1功、熱量和內能密度的倒數(shù)就是單位質量的體積，即比容ν=1/ρ單位質量氣體的焓的微分是：7.1.2熱力學第一定律

(Thefirstlawofthermodynamics)熱力學第一定律是能量守恒與轉換定律在熱力學中的應用，它確定了熱力過程中各種能量在數(shù)量上的相互關系。熱力學第一定律指出外界傳給一個封閉物質系統(tǒng)（無物質交換，有能量交換）的熱量ΔQ

等于系統(tǒng)內能增量dU

和系統(tǒng)對外界所做的機械功的總和，即單位質量的系統(tǒng)的能量守恒方程為從而靜止物系單位質量的能量方程可用焓表為：7.1.2熱力學第一定律熱力學第一定律實際上包含熱現(xiàn)象在內的能量守恒與轉換定律。它指出，作功必須由能量轉化而來，不消耗能量而獲得功的企圖是不可能實現(xiàn)的。熱力學第一定律也可表述為：第一類永動機是不可能制成的。Perpetualmotionmachineofthefirstkind奧恩庫爾的永動機模型達.芬奇的永動機模型系統(tǒng)可在各種條件下經歷熱力學過程從一種熱力學狀態(tài)變化到另一種熱力學狀態(tài)，常見的熱力學過程可用下式表達：

n=0－－等壓過程n=1－－等溫過程n=γ=cp/cv－等熵（絕熱可逆）過程n=∞－－等容過程n=其他－－多變過程7.1.2熱力學第一定律熱力學過程比熱：單位質量氣體每升高一度時所吸收的熱量比熱的大小與熱力學過程有關。由靜止氣體熱力學第一定律：

定容過程的比熱（cV）和等壓過程的比熱（cp）:7.1.2熱力學第一定律比熱將比熱關系和狀態(tài)方程代入焓的表達可得

常規(guī)狀態(tài)下空氣的比熱比：7.1.2熱力學第一定律比熱采用完全氣體模型，比熱及比熱比γ

都是常數(shù)。完全氣體的模型只能用到Ma數(shù)不太高的超音速流為止。對于Ma數(shù)很高的高超音速流動，則必須計及氣體的非完全性7.1.3熱力學第二定律，熵克勞修斯表述：不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其他變化。即熱量不會自動地從低溫物體傳到高溫物體。開爾文表述：不可能從單一熱源吸取熱量，使之完全變成有用的功而不產生其他影響，即熱量不能自動地全部變成功。不可逆過程是在沒有任何外來影響的條件下自發(fā)進行的，過程進行的唯一動因在于系統(tǒng)的初態(tài)與末態(tài)的差別。因此，自發(fā)過程進行的方向決定于過程的初態(tài)和末態(tài)。也就是說，必然存在一個僅與初、末態(tài)有關，而與過程無關的態(tài)函數(shù)，可以用它來表述熱力學第二定律，指出宏觀自發(fā)過程進行的方向。這個態(tài)函數(shù)就是“熵”。7.1.3熱力學第二定律，熵定義單位質量氣體的熵為在熱力學中，有意義是熵的增量，即從初始狀態(tài)1變到狀態(tài)2的Δs值熱力學第二定律指出：在絕熱變化過程中，如果過程可逆，則熵值保持不變，

s=0，稱為等熵過程；如果過程不可逆，熵值必增加，

s>0。因此，熱力學第二定律也稱為熵增原理。在高速流中，不可逆是因氣體摩擦、激波出現(xiàn)以及因溫度梯度而引起。一般在絕大部分流場區(qū)域速度梯度和溫度梯度都不大，可近似視為絕熱可逆的，稱為等熵流動，等熵關系式成立。在邊界層及其后的尾跡區(qū)，激波附近區(qū)域，氣體的粘性和熱傳導不能忽視區(qū)域，流動是熵增不可逆過程，等熵關系式不能用。7.1.3熱力學第二定律，熵7.1.3熱力學第二定律，熵對于等熵流，由可得利用狀態(tài)方程，可以得到理想氣體等熵過程的壓強比對溫度比的關系式或密度比對溫度比的關系式熵與信息

熵可看成是系統(tǒng)無序程度的量度，熵的增加就意味著無序程度的增加。平衡態(tài)時熵最大，表示達到了最無序的狀態(tài)。正是在這個意義上，使熵的概念變得十分豐富，而且充滿生命力。熵的概念以及與之有關的理論已在物理、化學、氣象、生物學、工程技術乃至社會科學的領域中，得到了廣泛的應用。

一個系統(tǒng)的狀態(tài)越是有序，它給予的信息就越多。因此，熵的增加意味著信息的減少。所以玻爾茲曼認為，熵是一個系統(tǒng)失去信息的量度，或者說信息就是負熵。用熵的概念，研究1）信息量大小與有序度；

2）經濟結構（多樣化模式與穩(wěn)定性等）；

3）社會思潮與社會的穩(wěn)定性，等。熵與能量

熱力學第一定律反映了能量轉化的等值性，而熱力學第二定律則反映了能量轉化的不可逆性，前者是能量的規(guī)律，后者是熵的法則。能量與熵這兩個物理量既有密切的聯(lián)系又有本質的不同。以熱機的發(fā)展為主導的第一次工業(yè)革命是能量的革命。當前以信息技術為先導的第三次革命是熵的革命。

熵是能量不可用程度的量度，熵增加意味著系統(tǒng)中成為不可用能量的部分在增大——能量退化。不可逆過程的熵增加標致著宏觀能量的退化和微觀混亂度增加。7.2聲速和馬赫數(shù)(SpeedofsoundandMachnumber)弱擾動與強擾動如果描寫流場的諸物理參數(shù)（v，p，ρ，T）發(fā)生了變化，就說流場受到了擾動，可壓流場的流動現(xiàn)象與擾動傳播速度和擾動傳播區(qū)有關。使流動參數(shù)的數(shù)值改變得非常微小的擾動，稱為微弱擾動簡稱為弱擾動，例如說話（即使是大聲說話）時聲帶給空氣的擾動就是如此。使流動參數(shù)改變有限值的擾動，稱為強擾動，例如原子彈爆炸產生的沖擊波或超音速飛機產生的激波便是一種強擾動。7.2.1微弱擾動的傳播——聲速微弱擾動在彈性介質中的傳播速度稱為聲速，是研究可壓流場的一個很重要的物理量。聲速大小只與介質物理屬性、狀態(tài)、以及波傳播過程的熱力學性質有關，而同產生擾動的具體原因無關。在不可壓流中，微弱擾動傳播速度c是無限大，擾動瞬間將傳遍全部流場(后面將證明音速平方正比于彈性模量：c2～E

)在可壓流中，情況就不一樣了。因為氣體是彈性介質，擾動不會在一瞬間傳遍整個流場，擾動的傳播速度c不是無限大，而是有一定的數(shù)值。注意擾動的傳播速度c

與介質本身的運動速度

dv

是兩碼事，一般情況下dv

<<c7.2.1微弱擾動的傳播——聲速以一維擾動為例說明微弱擾動在可壓流中的傳播過程和聲速概念.再以擾動波面位于1—1截面時，1—1與2—2截面之間的氣體為研究對象，應用動量定理，由質量守恒定律：7.2.1微弱擾動的傳播——聲速弱擾動的傳播速度的平方是由壓強的改變量與密度的改變量之比決定的。音速是介質壓縮性的一個指標。例如在海平面空氣的音速c≈340m/s，而水的音速c≈1440m/s微弱擾動在空氣中的傳播可看成是等熵過程，將等熵關系代入音速公式可得：聲速隨溫度變化的原因在于，氣體分子無規(guī)則熱運動的速度與溫度溫度有關，溫度越高分子熱運動速度越大，擾動傳播的速度也就越大。7.2.2馬赫數(shù)馬赫數(shù)：氣流速度v與當?shù)匾羲賑

之比由于音速隨高度（或溫度）變化，因此在不同高度上，同樣的Ma數(shù)并不一定表示速度相同。馬赫數(shù)是一個非常重要的無量綱參數(shù)，是一個反映壓縮性大小的相似準則。Ma數(shù)的大小標志著運動空氣壓縮性的大小，Ma值越大則壓縮性越大?？勺C當時，，密度的相對變化不大，這時可將低速氣體近似視為不可壓縮流體。7.2.2馬赫數(shù)馬赫數(shù)還代表單位質量氣體的動能和內能之比，即

Ma數(shù)很小，說明單位質量氣體的動能相對于內能而言很小，速度的變化不會引起氣體溫度即內能的顯著變化，因此對于不可壓流體其內能不變或溫度不變，不考慮其熱力關系。對于高速氣體來說（Ma較大），即使是在絕熱情況下，速度的變化會引起熱力關系（p

、ρ

、T）變化，內能將參與能量轉換，因此Ma

較大的高速可壓縮氣體必須考慮熱力關系。(對不可壓理想流體，如果溫度有變化，那一定是傳熱引起的，但加熱只能使溫度升高或內能增加，不能使流體膨脹做功)7.3高速一維定常流

(OneDimensionSteadyFlowofHighSpeed)高速流動時，即使只是一維定常等熵流動，由于密度ρ和溫度T發(fā)生變化，流動參數(shù)增加為四個：v、p、ρ、T。已經有了三個基本方程，它們是：連續(xù)方程，動量（歐拉）方程，狀態(tài)方程。為了能解出四個流動參數(shù)，需要補充第四個方程—能量方程7.3.1一維定常絕熱流的能量方程這個式子比靜止物系多了兩項，其中的是流動時所特有的功，是流體微團的體積不變，在壓強有變化的流場中運動時所作的功；另一項是動能的改變量。

在一維定常絕熱可壓縮流中，上能量方程可積分為：用焓表示時，上述能量方程為：絕熱條件下，流動物系的能量守恒式為:上式與伯努利方程最大的不同在于，此時內能參與了能量轉換。根據(jù)焓的不同表達，一維定常流能量方程的不同形式條件：沿流線定常、絕熱、壓縮、允許有粘性表明：沿流（線）管v

增加時，h，T，c下降，但總能量不變7.3.1一維定常絕熱流的能量方程

從而：對于一維定常絕熱流，我們可以確定流動參數(shù)沿流線（或沿流管軸線）變化的關系式，但需給定參考點上的參數(shù)值。常用的參考點是駐點或臨界點。

使用駐點參考量的參數(shù)關系式根據(jù)一維絕熱流的能量方程，在駐點處流動速度和動能為0。駐點處的參數(shù)稱為駐點參數(shù)、滯止參數(shù)或總參數(shù)，駐點處焓達到最大值，稱為駐點焓、滯止或總焓h0。由定常一維絕熱流能量方程：7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式由上式可得總、靜溫之比為：駐點處的溫度，稱為總溫T0

：h0、T0（或c0）可以代表一維絕熱流的總能量，當絕熱時總焓和總溫均不變。而T是v≠0點處的當?shù)販囟龋Q為靜溫。根據(jù)等熵關系式，在一維絕熱等熵流中駐點處的壓強、密度與當?shù)氐臏囟群婉R赫數(shù)的關系可寫為當馬赫數(shù)不大時，密度比可用二項式展為Ma的級數(shù)：則密度的相對變化量可寫為（略去4階以上小量）：密度變化的相對誤差與馬赫數(shù)的關系見上表。顯然密度變化的相對誤差隨著馬赫數(shù)增大而迅速增大，如果我們約定4.5％是將密度視為不可壓的誤差上限，則將流體視為不可壓的馬赫數(shù)上限為Ma<0.30。7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式使用臨界參考量的參數(shù)關系式在定常等熵流動中，沿流線某點處的流速恰好等于當?shù)氐囊羲?，即Ma=1，則稱為臨界點或臨界截面。臨界參數(shù)用上標“*”表示由能量方程可得：

7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式稱為臨界音速。臨界聲速與駐點處聲速的關系為利用臨界聲速，可將一維絕熱流的能量方程寫為由等熵關系可得臨界壓強與駐點壓強、臨界密度與駐點密度之間的關系：7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式在氣流的參數(shù)計算中，有時利用馬赫數(shù)作自變量并不方便，因為流線上各點處聲速值一般不相同，按流速計算馬赫數(shù)或根據(jù)馬赫數(shù)計算流速都需要先計算聲速。但由式可知，當T0一定，c*也是個定值，因此c*也可以作為特征速度值7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式速度系數(shù)λ與馬赫數(shù)Ma之間的關系是：

利用臨界音速c*可以定義一個無量綱速度系數(shù)λ：采用速度系數(shù)λ的好處是：當絕熱時臨界音速c*λ是個定值，方便計算，而Ma數(shù)中的音速隨流動變化，計算不方便。速度系數(shù)λ與馬赫數(shù)Ma

的關系曲線見下圖，其特點是：7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式由絕熱能量方程這意味著焓全部轉換成了宏觀動能。當然根據(jù)熱力學第二定律，實際上不可能使氣流毫無損失地將溫度降到絕對零度。因此這是一種假想的狀態(tài)?？芍?，當溫度T

降為0，理論上速度達到最大：

一維等熵關系式可用速度系數(shù)來表達7.3.2一維定常絕熱流參數(shù)間的基本關系式可見隨速度系數(shù)增加，溫度、壓強和密度一路都是下降的。這些關系都做成了表格方便查閱?，F(xiàn)在研究當管道截面積變化時速度及其它參數(shù)是如何變化的。為了突出截面積變化因素，分析管道中的一維定常等熵流。在管流中有微分形式的連續(xù)方程代入連續(xù)方程得等熵管流中速度變化與截面積變化的關系式：得

7.3.3等熵管流的速度與截面積關系、拉瓦爾噴管將音速公式代入微分形式的伯努利方程亞音速（包括低速）時如果管截面收縮則流速增加，面積擴大則流速下降；超音速時情形則剛好相反。發(fā)生音速處面積A有極值，從物理上可判斷該處A應是極小值從式可以看出：7.3.3等熵管流的速度與截面積關系、拉瓦爾噴管上述截面流速與截面積變化規(guī)律的物理原因是：亞音速時，密度變化比速度變化慢；而超音速時，密度變化比流速變化快：亞音速時想增加流速，由連續(xù)方程則截面積應縮小。超音速時想增加流速，由連續(xù)方程則截面積應放大。7.3.3等熵管流的速度與截面積關系、拉瓦爾噴管對一維等熵管流，如想讓氣流沿管軸線連續(xù)地從亞音速加速到超音速，即始終保持dv＞0，則管道應先收縮后擴張，中間為最小截面，即喉管。7.3.3等熵管流的速度與截面積關系、拉瓦爾噴管一個噴管在出口截面產生Ma＞1

的超音速氣流的條件是：管道形狀應成為拉瓦爾管形狀在噴管上下游配合足夠大的壓強比一個出口接大氣的噴管，當噴管出口達到設計Ma數(shù)而出口壓強恰等于外界大氣壓強時，則噴管處于設計狀態(tài)。如果上游壓強過高或過低，噴管出口內外將出現(xiàn)激波或膨脹波。

噴管截面積與馬赫數(shù)的關系可由如下的流量公式與面積比關系計算：7.3.3等熵管流的速度與截面積關系、拉瓦爾噴管可見，用該式計算流量只需知道總壓、總溫、截面積和q(λ)7.3.3等熵管流的速度與截面積關系、拉瓦爾噴管q(λ)隨λ的變化曲線如圖：流量函數(shù)還可用馬赫數(shù)表達為：流量函數(shù)：q(λ)隨λ的關系均已做成表格?？傻脟姽苤腥我唤孛媾c喉道的面積比關系：由管流的質量守恒關系：利用上述面積比關系可求出噴管中某截面處λ(Ma)數(shù)，或根據(jù)λ(Ma)數(shù)要求初步設計噴管，確定噴管出口與喉道面積比。由于流量函數(shù)q(λ)在λ＝1處達到極大值q(1)=1，因此當喉道達音速時，下式規(guī)定了噴管的最大流量：7.3.3等熵管流的速度與截面積關系、拉瓦爾噴管例：有一個超音速風洞，試驗段截面積為0.6m×0.6m正方形，噴管是二維的（即等寬度0.6m），試驗段Mat=2.0，上游安定段總壓p0=400kN/m2，T0=293K。試求喉道高度h*，試驗段pt、vt、mt。解：(1)由Mat=2.0查表或通過計算得(2)(3)7.3.3等熵管流的速度與截面積關系、拉瓦爾噴管7.4膨脹波(ExpansionWaves)超聲速氣流因加速或通路擴張或因流動條件規(guī)定從高壓區(qū)過渡到低壓區(qū)，將出現(xiàn)膨脹波.7.4.1微弱擾動的傳播區(qū)、馬赫錐

亞音速流場和超音速流場有許多本質上的差別，其中之一是小擾動的傳播范圍或者說影響區(qū)是不同的。在一個均勻流場中擾源發(fā)出的小擾動均以音速向四周傳播，影響區(qū)有下面四種情況：（a）靜止氣體中（Ma=0）從某瞬間看，前i秒發(fā)出的擾動波面是以擾源O為中心、ic為半徑的同心球面。只要時間足夠長，空間任一點均會受到擾源的影響，即擾源的影響區(qū)是全流場（b）亞音速氣流中(Ma<1)

前i秒擾源發(fā)出的半徑為ic的球面波要順來流方向從O下移到Oi點，OOi=iV。由于iV＜ic，故擾動仍可遍及全流場。（c）音速氣流中（Ma=1）

iV=ic擾動影響半平面。（d）超音速氣流中（Ma>1）此時OOi=iV＞ic擾源的影響不僅不能到O點的前方，而且局限在以O為頂點所有擾動球面波包絡面—圓錐面即馬赫錐以內7.4.1微弱擾動的傳播區(qū)，馬赫錐亞音速流場中擾動可遍及全流場，氣流沒有到達擾源之前已感受到它的擾動，逐漸改變流向和氣流參數(shù)以適應擾源要求；而在音速和超音速流場中，擾動不會逆?zhèn)鞯綌_源上游，氣流未到達擾源之前沒有感受到任何擾動，故不知道擾源的存在。超音速流中三維弱擾動的邊界線是馬赫錐，其半頂角稱為馬赫角。馬赫數(shù)越大則μ角越小。二維弱擾動的邊界線稱為馬赫線或馬赫波，馬赫波與來流的夾角仍然是馬赫角。顯然只有在音速和超音速情況下才可能存在馬赫波或馬赫錐。（注：超音速流中強擾動以激波為界，激波角與馬赫角不同，需按照激波理論確定。）7.4.1微弱擾動的傳播區(qū)，馬赫錐7.4.2 膨脹波前后參數(shù)的變化與外折角的關系超音速氣流受到微小擾動而使氣流方向發(fā)生變化，擾動的界面是馬赫錐或馬赫波。壁面外折，相當于放寬了氣流的通道。對超聲速氣流來說，加大通道截面積必使氣流加速，加速后的氣流速度為超音速流場中壁面在O點向外折微小的角度dδ（規(guī)定外折為正），則擾動被限制在由O點發(fā)出的馬赫波OL的下游，擾動的影響使氣流外折dδ這么大的角度。OL線與原始氣流的夾角是：7.4.2 膨脹波前后參數(shù)的變化與外折角的關系氣流的其它流動參數(shù)的變化趨勢如何？經過馬赫波的流動可視為絕熱流動，且由于參數(shù)變化微小故可假設為等熵流動。根據(jù)定常絕熱流的能量方程：可以看出，經過馬赫錐OL后，速度增大，溫度、壓強和密度都減小。OL的作用是使超音速氣流加速，超音速氣流的絕熱加速過程是壓強降低的膨脹過程，OL稱為膨脹馬赫波或簡稱膨脹波。當璧面內折一個負的微小角度，則伴隨著流速減小，壓強、密度和溫度增加，氣流發(fā)生壓縮，故稱為壓縮馬赫波簡稱壓縮波。

7.4.2 膨脹波前后參數(shù)的變化與外折角的關系現(xiàn)在設想超聲速氣流在先考察氣流在O1處經受外折微小角度dδ1以后，又在O2、O3

繼續(xù)外折角度dδ2

及dδ3，……。在壁面的每一個折轉處，都產生一個膨脹波,各膨脹波與該波前氣流方向的夾角為7.4.2 膨脹波前后參數(shù)的變化與外折角的關系氣流每經過一道膨脹波，Ma數(shù)都有所增加，即故因此氣流每經過一道膨脹波，就向外折轉一個角度，且角又逐漸減小，因此后面的膨脹波對軸的傾角都比前面的傾角小，即這些膨脹波既不互相平行，也不會彼此相交，而是發(fā)散形的，形成了一個連續(xù)的膨脹區(qū)域。根據(jù)極限概念，曲線可以看作是無數(shù)條微元折線的極限。因而，超音速氣流繞外凸曲壁膨脹可看成連成一片的連續(xù)膨脹地帶。繞有限值外鈍角的流動也可看成從角點發(fā)出的連續(xù)膨脹波形成的（普朗特—邁耶流動Prandtl-MeyerFlow）超聲速氣流產生膨脹波束不只限于沿外凸壁的流動，在其它一些情況下也會產生膨脹波。例如，從平面超聲速噴管噴出的超聲速直勻流，如果到出口截面上氣流的壓強高于外部壓強，氣流到達出口必繼續(xù)膨脹，相當于外界低氣壓對超聲速氣流產生擾動。7.4.2 膨脹波前后參數(shù)的變化與外折角的關系7.4.2 膨脹波前后參數(shù)的變化與外折角的關系超音速氣流繞凸角流動具有下列特征：平行于壁面的超音速定常二維直勻流，在壁面折轉處必定產生一扇形膨脹波束，此扇形膨脹波束是由無限多的馬赫波所組成；經過整個膨脹波束時，氣流參數(shù)的連續(xù)變化使其速度增大，壓力、密度和溫度將相應減小。在不考慮氣體粘性和外界的熱交換時，氣流穿過膨脹波束的流動過程為絕熱等熵的膨脹過程；氣流穿過膨脹波束后，氣流將平行于壁面O1B流動；沿馬赫線，氣流參數(shù)不變，而且馬赫線是一條直線。值得指出的是，超音速流繞多個微小內折直線段或凹曲面流動時必然進行壓縮變化。這個連續(xù)的曲面也可以看成是無限個微小直線段連成的折線璧面，每一線段轉折一個微小角度，產生一道微小壓縮波，這些微小壓縮波對當?shù)貧饬鞫云洳ń嵌际邱R赫角，但由于氣流經每一道壓縮波后馬赫數(shù)都下降一次，再加上波后氣流沿璧向內轉折，兩種因素都使壓縮波在一定距離處聚攏，末端形成一道具有一定強度的突躍的壓縮波即斜激波，其波角不能用馬赫角計算。由于經過激波時參數(shù)發(fā)生劇烈改變，粘性不能忽略，流動不等熵。當璧面在o點直接內折一個非微小量的角度δ時，形成從o點發(fā)出的始終具有一定強度的斜激波。7.4.2 膨脹波前后參數(shù)的變化與外折角的關系7.4.3超聲速流繞外鈍角膨脹的計算我們已經從物理概念上討論了膨脹波?，F(xiàn)在，我們來對膨脹波進行定量的討論，目的是求出折角與流速之間的函數(shù)關系超音速流場中壁面在O點向外折微小的角度dδ（規(guī)定外折為正），則膨脹波被限制在由O點發(fā)出的馬赫波OL的下游，擾動的影響是使氣流外折dδ這么大的角度。OL線與原始氣流的夾角是：如圖將馬赫波波前和波后的速度分解為垂直和平行波面的兩個分量，取一個無窮靠近波面的控制體如圖。由于在平行波方向上無壓強變化，故切向動量方程是：

7.4.3超聲速流繞外鈍角膨脹的計算因為流動是定常的，流量為常數(shù)，因此為常數(shù)。說明，超聲速氣流穿過膨脹波時，平行于波面的速度分量保持不變，而氣流速度的變化僅決定于波面的法向速度的變化。由幾何關系7.4.3超聲速流繞外鈍角膨脹的計算dδ微小的條件下保留一階小量得：表明超音速時外折微小角度dδ將使流動加速，反之內折微小角度將使流動減速。壁面折角由0增大到δ，波后的速度系數(shù)由λ1增大到λ2，對上式積分7.4.3超聲速流繞外鈍角膨脹的計算上述關系可用速度系數(shù)λ表達為：7.4.3超聲速流繞外鈍角膨脹的計算如果指定氣流是從Ma1=1的聲速流開始膨脹，達到某個大于1的Ma數(shù)外折角為δ，則或只要知道折轉后的氣流速度，就可以唯一的確定折轉角，反之亦然。折轉角和速度之間的關系列成表格備查（表7-1，p213）。7.4.3超聲速流繞外鈍角膨脹的計算對于原始氣流速度為音速（λ=1）的情況而言，膨脹波中任何地方的當?shù)厮俣认禂?shù)λ與當?shù)氐臍饬髡劢铅模◤摩?1算起）之間的函數(shù)關系是：或變換成馬赫數(shù)Ma的函數(shù)7.4.3超聲速流繞外鈍角膨脹的計算令ν(Ma)稱為普朗特-邁耶爾函數(shù)，其值決定于氣體性質γ

流動的Ma數(shù)。超聲速氣流繞外凸壁流動時，氣流參數(shù)的總的變化只決定于波前氣流參數(shù)和氣流總的轉折角度，而與氣流的折轉方式無關。顯然λ是隨膨脹角δ的增大而增大的。當氣流由聲速膨脹加速到馬赫數(shù)為無窮大時，氣流需折轉的角度為如果實際折角大于δmax，氣流在折轉了δmax

以后就不再貼著物面流動了，而與等物面“分離”了，形成了一定的真空區(qū)如下圖7.4.3超聲速流繞外鈍角膨脹的計算不過，這個“分離”與粘流分離現(xiàn)象在本質上是不同的?？諝獾摩?1.4，δmax

=130.45o=130°27’。例題：已知λ=1.0

的氣流（γ=1.4）繞外鈍角折轉100

，試求膨脹結束后氣流的λ2

及p2。

p1=101.325KPa解：由數(shù)值表7－1查得，當δ=10°時又因故得7.4.3超聲速流繞外鈍角膨脹的計算例題：已知λ1=1.323，在C點外折10°。試求Ma2

（給定γ

=1.4）雖然數(shù)值表是根據(jù)λ1=1作出來的，但並不是說λ1≠1時就不能用。怎樣用呢？只要設想實際的λ1是由λ=1折轉了某一個角度δ′而來的即可。7.4.3超聲速流繞外鈍角膨脹的計算由數(shù)值表查得，λ=1的氣流折轉δ=20°得到的速度系數(shù)是λ2=1.523，即Ma2=1.775?？梢赃@樣做的原因在于超音速時擾動不逆?zhèn)鳌Ｎ锢砹康淖兓蝗Q于氣流的總折角而與怎樣折轉的步驟無關。7.4.3超聲速流繞外鈍角膨脹的計算解：將左圖可以想象成上圖那樣，λ1=1.323是相當于λ=1的氣流預先轉折了δ′得到的。由數(shù)值表查得，λ1=1.323的氣流對應著δ′=10°，因此，λ2

是相當于λ=1

的氣流一共外折了：7.5激波

（ShockWaves）激波是超聲速氣體受到強烈壓縮后產生的強壓縮波，氣流經過激波后，流速減小，相應的壓強、溫度和密度均升高。激波厚度很薄，且參數(shù)變化的每一狀態(tài)不可能是熱力學平衡狀態(tài)，這種過程是一個不可逆的耗散過程和絕熱過程，因而必然會引起熵的增加。按形狀，激波可分為：1.正激波：氣流方向與波面垂直；2.斜激波：氣流方向與波面不垂直；3.曲線激波：波形為曲線形。7.5.1正激波的形成過程從t=0時刻輕推活塞，活塞速度從零增加到Δv，活塞右面附近的氣體先受到壓縮，壓強，溫度略有提高，在氣體中產生微弱壓縮波A1-A1，其傳播速度是尚未被壓縮的氣體中的聲速c17.5.1正激波的形成過程再把活塞移動速度由Δv增加到Δv'，在管內氣體中產生第二道弱壓縮波A2-A2。經過第一次壓縮，氣體溫度升高，第二道弱壓縮波聲速增大為c'。7.5.1正激波的形成過程依此類推，活塞每加速一次．在氣體中就多一道弱壓縮波，每道波總是在經過前幾次壓縮后的氣體中以當?shù)芈曀傧鄬τ跉怏w向右傳播。氣體每壓縮一次，聲速增大一次，所以后面產生的弱壓縮波的絕對傳播速度必定比前面的快。7.5.1正激波的形成過程經過若干次加速，活塞的速度達到v。在管內形成了若干道弱壓縮波，因為后面的波比前面的波傳播的快，隨著時間的推移，波和波之間的距離逐漸減小，最后，后面的波終于趕上前面的波，使所有的弱壓縮波集聚在一起．成為一道波，這道波不再是弱壓縮波了，而是強壓縮波，也就是激波.7.5.1正激波的形成過程需要說明的是在充滿氣體的管子中用活塞加速運動形成沖擊波時，并不要求活塞的速度超過未受擾動氣體中的聲速。因為，在此條件下，活塞運動賦于其前面氣體的能量不損失于側面，而是全部積聚于前面的受壓縮氣體當中，從而造成氣體壓力、密度、溫度等狀態(tài)參數(shù)的突躍。然而，飛行器在大氣中飛行，若在其前面形成沖擊波，則飛行物體的速度必須超過空氣的聲速才行。從以上討論可見，活塞的速度從零增加v到的過程中,氣體被壓縮產生的一系列壓縮波聚集的過程，這種量的變化引起了質的飛躍，使激波的性質與微弱壓縮波有著本質的區(qū)別。其主要表現(xiàn)為：激波是強壓縮波，經過激波氣流參數(shù)變化是突躍的；氣體經過激波受到突然地、強烈地壓縮，必然在氣體內部造成強烈的摩擦和熱傳導，因此氣流經過激波是絕熱不等熵流動；激波的強弱與氣流受壓縮的程度（或擾動的強弱）有直接關系。我們在實際中關心的是氣流通過激波后氣流參數(shù)的變化，若不關心激波內部的流動,因此在處理激波時，通常采用下列簡化條件：忽略激波厚度；激波前后氣體是理想絕熱完全氣體，且比熱不變。7.5.2正激波的基本關系式，傳播速度絕對坐標相對坐標有一平面正激波以vs的速度穩(wěn)定地向右傳播。為了推導公式方便，將坐標取在波陣面上。質量守恒定律：動量守恒定律：如果v1=0如果v1=0（1）（2）7.5.2正激波的基本關系式，傳播速度（1）代入（2）得（3）將（3）代入動量守恒定律（2）得這就是激波的傳播速度與波前波后的參數(shù)關系式。如果波前氣流的速度v1=0,則（4）能量守恒定律：7.5.2正激波的基本關系式，傳播速度（5）（1）代入（5）得整理得：7.5.2正激波的基本關系式，傳播速度根據(jù)式（3）整理得：這是正激波波前后的壓強比和密度比之間的關系，稱為突躍絕熱關系式或蘭金-雨貢紐（Rankine-Hugoniot）關系式。在導出這個式子的過程中，沒有引進等熵假設，僅引入了絕熱條件.線與等熵線幾乎是重合的。這表明跨過弱激波的過程非常接近等熵過程；（2）壓強比愈大，即激波愈強，突躍絕熱過程與等熵過程的差別愈大；（3）在突躍絕熱過程中，即使，密度比也只能趨于有限值，但等熵過程密度比趨于無限大。蘭金－雨貢紐關系與等熵關系的比較見圖：由此圖看出：（1）當壓強比不大，即激波強度不大時，突躍絕熱7.5.2正激波的基本關系式，傳播速度等熵過程將突躍絕熱關系式代入（5），得7.5.2正激波的基本關系式，傳播速度或者這就是激波傳播速度公式。因為波后壓強p2總是大于波前壓強p1，根號中是大于1的數(shù)，vs>c1,即激波的傳播速度相對于波前氣體的傳播速度是超聲速的，激波越強(p2/p1越大)，激波的傳播速度就越大。同樣可以證明在此式中，根號內是小于1的數(shù)，因此激波相對于波后氣體的傳播速度是亞聲速的。激波越強，波后的傳播速度越小。p1ρ