高中數(shù)學必修2課時素養(yǎng)評價9-3-1平面向量基本定理

課時素養(yǎng)評價五平面向量基本定理(15分鐘30分)1.設e1,e2是平面內一組基底,則下面四組向量中,能作為基底的是 ()A.e1e2與e2e1B.2e1+3e2與4e16e2C.e1+2e2與2e1e2D.QUOTEe1+QUOTEe2與e1QUOTEe2【解析】選C.因為只有不共線的兩個向量才能作為基底,選項A、B、D中的兩個向量都是共線的,不可以作為基底.選項C中的兩個向量不共線,可作為基底.2.(2020·湖州高一檢測)在△OAB中,P為線段AB上的一點,=x+y,且=2,則 ()A.x=QUOTE,y=QUOTE B.x=QUOTE,y=QUOTEC.x=QUOTE,y=QUOTE D.x=QUOTE,y=QUOTE【解析】選A.因為=2,所以+=2+2,即3=2+,所以=QUOTE+QUOTE,即x=QUOTE,y=QUOTE.3.(2020·長沙高一檢測)如圖,在正方形ABCD中,點E是DC的中點,點F滿足=2,那么= ()A.QUOTEQUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTEQUOTE D.QUOTE+QUOTE【解析】選C.=+=QUOTE+QUOTE=QUOTEQUOTE.【補償訓練】如圖所示,在正方形ABCD中,E為AB的中點,F為CE的中點,則= ()A.QUOTE+QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+ D.QUOTE+QUOTE【解析】選D.根據題意得:=QUOTE(+),又=+,=QUOTE,所以=QUOTE=QUOTE+QUOTE.4.如圖所示,在6×4的方格中,每個小正方形的邊長為1,點O,A,B,C均為格點(格點是指每個小正方形的頂點),則·=________.

【解析】設水平向右和豎直向上的單位向量為e1和e2,則|e1|=|e2|=1,e1·e2=0,由題圖可知,=3e1+2e2,=6e13e2,·=(3e1+2e2)·(6e13e2)=18QUOTE+3e1·e26QUOTE=12.答案:125.(2020·臺州高一檢測)如圖,在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=60°,=2,=2.(1)求CD的長;(2)求·的值.【解析】(1)因為=2,所以=QUOTE,所以==QUOTE,所以===QUOTE=QUOTE,即CD的長為QUOTE;(2)==QUOTE+QUOTE=QUOTE()+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以·=·=QUOTE+QUOTE·=QUOTE+QUOTE×2×3×QUOTE=QUOTE.(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分,其中多選題全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)1.A,B,O是平面內不共線的三個定點,且=a,=b,點P關于點A的對稱點為Q,點Q關于點B的對稱點為R,則等于 ()A.ab B.2(ba)C.2(ab) D.ba【解析】選B.如圖,a=QUOTE(+),b=QUOTE(+),相減得ba=QUOTE(),所以=2(ba).2.如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=QUOTEAB,CF=QUOTECD,G為EF的中點,則= ()A.QUOTEQUOTE B.QUOTEQUOTEC.QUOTEQUOTE D.QUOTEQUOTE【解析】選A.在平行四邊形ABCD中,AE=QUOTEAB,CF=QUOTECD,G為EF的中點,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE(+)=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTEQUOTE.3.已知非零向量,不共線,且2=x+y,若=λ(λ∈R),則x,y滿足的關系式是 ()A.x+y2=0 B.2x+y1=0C.x+2y2=0 D.2x+y2=0【解析】選A.由=λ,得=λ(),即=(1+λ)λ.又2=x+y,所以QUOTE消去λ得x+y=2.【補償訓練】設a,b為平面內所有向量的一組基底,已知向量=akb,=2a+b,=3ab,若A,B,D三點共線,則實數(shù)k的值等于 ()A.2B.-2C.10D.10【解析】選A.=++=(akb)+(2ab)+(3ab)=2a(k+2)b.因為A,B,D三點共線,所以存在實數(shù)λ使得=λ,即akb=λ[2a(k+2)b]=2λaλ(k+2)b.因為a,b為基底向量,所以QUOTE解得λ=QUOTE,k=2.4.(多選題)設O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點,給出下列向量組,其中可作為這個平行四邊形所在平面的基底的是 ()A.與 B.與C.與 D.與【解析】選AC.對于A,與不共線;對于B,=,則與共線;對于C,與不共線;對于D,=,則與共線.由平面向量基底的概念知A、C中的向量組可以作為平面的基底.【補償訓練】(2020·德州高一檢測)若點D,E,F分別為△ABC的邊BC,CA,AB的中點,且=a,=b,則下列結論正確的是 ()A.=aQUOTEb B.=QUOTEa+QUOTEbC.=QUOTEab D.=QUOTEa+QUOTEb【解析】選BC.因為點D為邊BC的中點,所以=+=+QUOTE=a+QUOTEb,所以=aQUOTEb;因為點E為邊CA的中點,所以=QUOTE=QUOTEa+QUOTEb;因為點F為邊AB的中點,所以=+=QUOTE=QUOTEab;因為=+=a+b,所以=QUOTE=QUOTEaQUOTEb.二、填空題(每小題5分,共10分)5.如圖所示,已知點G是△ABC的重心,過點G作直線分別交AB,AC兩邊于M,N兩點,且=x,=y,則3x+y的最小值為________.

【解析】因為G是△ABC的重心,所以=QUOTE+QUOTE,又=x,=y,所以=QUOTE+QUOTE,因為M,G,N三點共線,所以QUOTE+QUOTE=1,所以3x+y=(3x+y)QUOTE=1+QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+2QUOTE=QUOTE.當且僅當QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE,y=QUOTE時,等號成立,故3x+y的最小值為QUOTE.答案:QUOTE6.方格紙中向量a,b,c如圖所示,若c=λa+μb,則λ+μ=________.

【解析】設水平向右,豎直向上的單位向量分別為e1,e2,則a=e1+3e2,b=3e1e2,c=5e1+5e2,又c=λa+μb,所以QUOTE所以QUOTE即λ+μ=3.答案:3三、解答題7.(10分)(2020·錦州高一檢測)如圖,在平行四邊形ABCD中,E,F分別是AD,AB的中點,G為BE與DF的交點.若=a,=b.(1)試以a,b為基底表示,;(2)求證:A,G,C三點共線.【解析】(1)==QUOTEba,==QUOTEab;(2)因為D,G,F三點共線,所以與共線,所以存在實數(shù)λ,使得=λ,所以=+λ=b+λQUOTE=QUOTEλa+QUOTEb,因為B,G,E三點共線,所以與共線,所以存在實數(shù)μ,使得=μ,所以=+μ=a+QUOTE=QUOTEa+QUOTEμb,因為a,b不共線,所以QUOTE解得λ=μ=QUOTE,所以=QUOTE(a+b)=QUOTE=QUOTE,所以A,G,C三點共線.【補償訓練】如圖所示,在△ABC中,D,F分別是BC,AC的中點,=QUOTE,=a,=b.(1)用a,b表示,,,,;(2)求證:B,E,F三點共線.【解析】(1)如圖所示,延長AD到點G,使=2,連接BG,CG,得到