第六章 信號(hào)與系統(tǒng)v1

第六章信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析目錄§6.0引言§6.1拉普拉斯變換§6.2常用信號(hào)的拉氏變換對(duì)§6.3雙邊拉氏變換的性質(zhì)§6.4周期信號(hào)與抽樣信號(hào)的拉氏變換§6.5拉氏反變換§6.6單邊拉氏變換及性質(zhì)§6.7連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析6.0引言本章將討論連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)拉普拉斯變換的分析方法。它的本質(zhì)是把連續(xù)時(shí)間信號(hào)分解為est復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加，同時(shí)利用復(fù)指數(shù)信號(hào)est是LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)，求出連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)在復(fù)頻域?qū)斎胄盘?hào)的響應(yīng)。與連續(xù)時(shí)間傅里葉分析方法相比，拉氏變換分析方法擴(kuò)大了信號(hào)變換的范圍，在本質(zhì)上可以看作是廣義的傅里葉變換，可以用于一些傅里葉變換不能應(yīng)用的重要方面，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析。6.1拉普拉斯變換6.1.1從傅里葉變換到拉普拉斯變換6.1.2拉氏變換的收斂域6.1.3拉氏變換的幾何表示：零極點(diǎn)圖6.1.4x(t)的時(shí)域特性與其拉氏變換X(s)

收斂域的關(guān)系6.2常用信號(hào)的拉氏變換對(duì)1.階躍信號(hào)u(t)2.指數(shù)信號(hào)e-atu(t)6.2常用信號(hào)的拉氏變換對(duì)3.沖激信號(hào)收斂域?yàn)檎麄€(gè)S平面如果沖激出現(xiàn)在時(shí)刻（t0>0），則有6.2常用信號(hào)的拉氏變換對(duì)4.tn

(n是正整數(shù))用分步積方法，得，6.2常用信號(hào)的拉氏變換對(duì)當(dāng)n=1時(shí)，，Re{s}>0當(dāng)n=2時(shí)，，Re{s}>0依次類推，可得，Re{s}>06.2常用信號(hào)的拉氏變換對(duì)5.6.6.3雙邊拉氏變換的性質(zhì)（1）線性（2）時(shí)域平移性質(zhì)（3）S域平移性質(zhì)（4）尺度變換特性（5）時(shí)域微分6.3雙邊拉氏變換的性質(zhì)（6）S域微分（7）卷積性質(zhì)（8）時(shí)域積分（9）初值和終值定理6.4周期信號(hào)與抽樣信號(hào)的拉氏變換（1）周期信號(hào)的拉氏變換（2）抽樣信號(hào)的拉氏變換6.5拉氏反變換僅討論可以用有理函數(shù)表示的拉氏函數(shù)的反變換，即分母多項(xiàng)式有n個(gè)互異實(shí)根分母多項(xiàng)式中包含有重根分母多項(xiàng)式中包含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)6.5拉氏反變換采用部分分式展開的方法來(lái)求解。具體步驟如下：（1）用部分分式法將展成低階項(xiàng)。（2）確定各低階變換式的收斂域。（3）根據(jù)各低階項(xiàng)及其收斂域，確定它的反變換。一般收斂域左邊極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為右邊信號(hào)，右邊極點(diǎn)對(duì)應(yīng)項(xiàng)則都為左邊信號(hào)。6.6單邊拉氏變換及性質(zhì)將單邊拉氏變換的定義重新寫為我們采用

系統(tǒng)，書寫時(shí)用0，其含意即為

。單邊拉氏變換性質(zhì)大部分與雙邊拉氏變換相同，主要區(qū)別在于時(shí)域微分和時(shí)域積分性質(zhì)。（1）時(shí)域微分性質(zhì)（2）時(shí)域積分性質(zhì)（3）卷積特性6.6單邊拉氏變換及性質(zhì)單邊拉氏變換的時(shí)域微分和時(shí)域積分性質(zhì)，引入了信號(hào)的起始值，當(dāng)采用復(fù)頻域分析方法對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，將會(huì)自動(dòng)計(jì)入起始條件，使系統(tǒng)響應(yīng)的求解得以簡(jiǎn)化。

6.7連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的復(fù)頻域分析6.7.1系統(tǒng)函數(shù)6.7.2S域的元件模型6.7.3全響應(yīng)的求解6.7.4系統(tǒng)函數(shù)代數(shù)屬性和方框圖表示分隔頁(yè)2222222222222222222222222222222226.1.1從傅立葉變換到拉普拉斯變換不是所有信號(hào)都能進(jìn)行傅立葉變換。為了使更多的信號(hào)能進(jìn)行變換，并簡(jiǎn)化某些變換形式或運(yùn)算過(guò)程，引入一個(gè)衰減因子，將它乘以，只要的數(shù)值選擇得當(dāng)，就能保證當(dāng)或時(shí)，趨于零，并使的傅立葉變換收斂。

它是的函數(shù)，可以寫成

6.1.1從傅立葉變換到拉普拉斯變換令，稱為復(fù)頻率

上式稱為雙邊拉普拉斯變換的正變換式--簡(jiǎn)稱為拉氏變換。

的傅立葉反變換

兩邊乘以：6.1.1從傅立葉變換到拉普拉斯變換以上從傅立葉變換導(dǎo)出拉氏變換的過(guò)程中可以看出，是的傅立葉變換，對(duì)來(lái)說(shuō),則是它的雙邊拉氏變換。若x(t)的傅立葉變換存在，根據(jù)拉氏變換定義，則有

因?yàn)閷?shí)際中的信號(hào)都是有始信號(hào)，即t<0時(shí)，x(t)=0上式稱為單邊拉氏變換式。式中積分下限取是考慮到x(t)中可能包含沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)。

6.1.2拉氏變換的收斂域拉氏變換對(duì)于的范圍有一定的選取，不同的選取范圍將對(duì)應(yīng)不同的信號(hào)。通常把能使信號(hào)x(t)的拉氏變換存在的s值的范圍稱為信號(hào)x(t)的收斂域（RegionofConvergence），簡(jiǎn)記為ROC，在S域平面上常用陰影部分表示ROC。當(dāng)收斂域包含j

軸時(shí)，信號(hào)的傅里葉變換一定收斂。例6.1例6.26.1.3拉氏變換的幾何表示：零極點(diǎn)圖許多信號(hào)x(t)的拉氏變換都可表示為有理函數(shù)的形式改寫為因子相乘的形式其中，A為常數(shù)因子，zi與pj分別為使分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式為零的根。6.1.3拉氏變換的幾何表示：零極點(diǎn)圖因?yàn)楣蕑i和pj分別稱為X(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。在S平面上分別用符號(hào)和表示零極點(diǎn)的位置，這個(gè)圖形稱為X(s)在S平面的零極點(diǎn)圖。X(s)可用它在S平面上的零極點(diǎn)圖來(lái)表征。6.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系x(t)的時(shí)域特性不僅僅取決于X(s)的代數(shù)表示，還與收斂域有關(guān)，僅有X(s)的代數(shù)表示式并不能惟一表征它所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信號(hào)。本節(jié)將討論X(s)收斂域的性質(zhì)，X(s)的收斂域與信號(hào)x(t)的時(shí)域特性之間的關(guān)系，收斂域邊界的位置與X(s)極點(diǎn)之間的關(guān)系。6.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系性質(zhì)1：連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的拉氏變換X(s)的收斂域在S平面上，由平行于j

軸的帶狀區(qū)域構(gòu)成。這是因?yàn)閄(s)的收斂域是由那些能使絕對(duì)可積的復(fù)數(shù)的實(shí)部組成的,而與S的虛部無(wú)關(guān)，因此收斂域的邊界必然是平行于虛軸（j

）的直線。性質(zhì)2：對(duì)有理拉氏變換X(s)來(lái)說(shuō)，在收斂域內(nèi)不應(yīng)包含任何極點(diǎn)，否則，如果在收斂域內(nèi)有個(gè)極點(diǎn)，則X(s)在該點(diǎn)為無(wú)窮大，它就不可能收斂了。6.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系性質(zhì)3：如果x(t)是時(shí)限的，則它的拉氏變換X(s)的收斂域是整個(gè)S平面。x(t)T1T2t(a)j

(b)圖6-5時(shí)限信號(hào)及其收斂域6.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系由于x(t)是時(shí)限的，一般指數(shù)加權(quán)不可能無(wú)界，因此x(t)乘以指數(shù)信號(hào)一定是可積的。x(t)T1T2t圖6-6(a)乘以指數(shù)衰減信號(hào)；(b)乘以指數(shù)增長(zhǎng)信號(hào)x(t)T1T2t（a）（b）證明：由于x(t)是時(shí)限的，所以6.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系對(duì)于在收斂域內(nèi)的，要求是絕對(duì)可積的，即時(shí)的s是在ROC內(nèi)。對(duì)于，在為非零的區(qū)間的最大值是，因此可以寫成因?yàn)橛疫吺怯薪绲模宰筮呉彩怯薪绲?，因此?duì)于的S平面必然也在ROC內(nèi)。6.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系類似的證明方法，若，則有

也是絕對(duì)可積的。因此ROC包括整個(gè)S平面。6.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系性質(zhì)4：如果是右邊信號(hào)，且存在，則收斂域在其最右邊極點(diǎn)的右邊。右邊信號(hào)是指時(shí)，的信號(hào)。若的拉氏變換對(duì)某一個(gè)值收斂，則有

對(duì)任意s有,對(duì)于，則有這就是說(shuō)的區(qū)域在的收斂域內(nèi)，又因?yàn)槭諗坑騼?nèi)不能有極點(diǎn)，故收斂域一定位于的最右邊極點(diǎn)的右邊。6.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系圖6.7右邊信號(hào)及其收斂域x(t)T1t（a）j

00（b）6.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系性質(zhì)5：如果是左邊信號(hào)，且存在，則的收斂域一定在最左邊極點(diǎn)的左邊。右邊信號(hào)是指時(shí)，的信號(hào)。圖6-8左邊信號(hào)及其收斂域x(t)T1tIm

Re

0（a）（b）性質(zhì)6：如果x(t)是雙邊信號(hào)，且X(s)存在，則X(s)的收斂域一定是由S平面的一條帶狀域所組成。選取任意時(shí)間t0將它分成一個(gè)左邊信號(hào)x1(t)和一個(gè)右邊信號(hào)x2(t)之和，如圖所示。由性質(zhì)4和性質(zhì)5，x1(t)拉氏變換X1(s)的收斂域：；而x2(t)拉氏變換X2(s)的收斂域：由于x

(t)的拉氏變換存在，故其收斂域一定為X1(s)與X2(s)

收斂域的公共部分。如果X1(s)與X2(s)無(wú)公共部分，就意味著的x(t)拉氏變換不存在（不收斂）。6.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系6.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系x(t)t0xL(t)t0xR(t)t0t0t0Im0（a）

1

ReIm0（b）

ReIm0（c）

1

Re

2

26.1.4時(shí)域特性與拉氏變換收斂域的關(guān)系性質(zhì)7:如果x(t)的拉氏變換X(s)是有理函數(shù)，則它的收斂域的邊界由極點(diǎn)限定，或延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)，且它的收斂域內(nèi)不包含任何極點(diǎn)1.線性若，，，則式中A，B為常數(shù)，符號(hào)表示R1與R2的交集。當(dāng)AX1(s)和BX2(s)相加過(guò)程中發(fā)生零極點(diǎn)相抵消時(shí)，則AX1(s)+BX2(s)

的收斂域還可能擴(kuò)大。2.時(shí)域平移性質(zhì)若則該性質(zhì)表明，時(shí)間函數(shù)x(t)乘以eat后的ROC是原信號(hào)X(s)的ROC在s域內(nèi)平移Re{a}。因?yàn)閄(s-a)的收斂域是X(s)的收斂平移一個(gè)Re{a}。3.S域平移性質(zhì)若則圖6-13S域平移的圖解說(shuō)明Im

Rer1r2Im

Rer1+Re{a}r2+Re{a}4.尺度變換特性若對(duì)于a>1，X(s)的ROC要擴(kuò)大a的倍數(shù)。若a為負(fù)，ROC要受到一個(gè)反褶再加一個(gè)尺寸變換。則圖6-14時(shí)域尺寸變換在ROC上的變化Im

Rer1r2（a）Im

Re（b）Im

Re（c）ar2ar1ar1ar25.時(shí)域微分若，ROC包括R則，ROC包括R 將反變換式兩邊對(duì)t微分，就可得到這個(gè)性質(zhì)。即 如果X(s)中有s=0的一階極點(diǎn)，被乘以s抵消，則sX(s)的ROC可能比R大。例如，若x(t)=u(t)，則，，而，其拉氏變換為，ROC為整個(gè)S平面。6.S域微分可見，-tx(t)的拉氏變換就是若則，，對(duì)拉氏變換定義式兩邊對(duì)s微分可得：7.卷積性質(zhì)若則，，，ROC包括如果有零極點(diǎn)相抵消，則收斂域也可能比交集大。如同傅里葉變換的卷積性質(zhì)一樣，利用拉氏變換的卷積性質(zhì)，可以變時(shí)域的卷積運(yùn)算為S域的代數(shù)運(yùn)算，它在LTI系統(tǒng)分析中起著很重要的作用。8.時(shí)域積分若，ROC=R則，ROC包含因?yàn)楦鶕?jù)卷積性質(zhì)有

9.初值和終值定理若t<0，x(t)=0，且在t=0時(shí)，x(t)不包含沖激或者高階奇異函數(shù)，在這些限制下，可以直接從拉普拉斯變換式中計(jì)算出x(t)的初值和x(t)的終值。初值定理 終值定理 終值定理表明，信號(hào)x(t)在時(shí)域中的終值，可以通過(guò)在S域中，將X(s)乘以s后，再取s趨于零的極限得到。但在應(yīng)用這個(gè)定理時(shí)，必須保證存在，這個(gè)條件就意味著在X(s)的極點(diǎn)必定是在s平面的左半平面。1.周期信號(hào)的拉氏變換這里所指的周期信號(hào)是指僅在t>0時(shí)存在的單邊周期信號(hào)x(t)，而時(shí)，x(t)=0。第一個(gè)周期的時(shí)間函數(shù)用x1(t)表示，其拉氏變換用X1(s)表示。設(shè)周期信號(hào)的周期為T，根據(jù)單邊周期信號(hào)x(t)的定義應(yīng)有：

x(t)=x(t-T)，t>T1.周期信號(hào)的拉氏變換當(dāng)時(shí)，上式中的幾何級(jí)數(shù)是收斂的，可得，2.抽樣信號(hào)的拉氏變換為求得任一抽樣信號(hào)拉氏變換的一般形式，先求的拉氏變換。

，若將連續(xù)信號(hào)x(t)以時(shí)間間隔T進(jìn)行沖激抽樣，則被抽樣后信號(hào)的表示式為……圖6-16周期重復(fù)的沖激信號(hào)0T2Tt

T(t)u(t)2.抽樣信號(hào)的拉氏變換它的拉氏變換為

如令，z為復(fù)數(shù)，則有即被抽樣后信號(hào)的拉氏變換可表示為z的冪級(jí)數(shù)，在第九章中將會(huì)看到，上式也正是一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)x[n]的z變換的定義式。1.分母多項(xiàng)式有n個(gè)互異實(shí)根展開成部分分式其中，各系數(shù)例6.11例6.122.分母多項(xiàng)式中包含有重根展開為其中與極點(diǎn)p1無(wú)關(guān)。式中p1為X(s)的k階極點(diǎn)。3.分母多項(xiàng)式中包含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)式中，共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在處；D1(s)表示分母多項(xiàng)式中的其余部分。引入中間函數(shù)可得3.分母多項(xiàng)式中包含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)另一種比較簡(jiǎn)單的方法:保留分母中的二次式，并將它寫成相應(yīng)的余弦或正弦拉氏變換，然后進(jìn)行反變換。共軛極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的信號(hào)部分為：

可以看出k1和k2呈共軛關(guān)系1.時(shí)域微分性質(zhì)若則證明：利用分部積分法，有類似的有

1.時(shí)域微分性質(zhì)推廣到x(t)的n階導(dǎo)數(shù)的單邊拉氏變換，有式中表示的n階導(dǎo)數(shù)。上式中中的(0)均指時(shí)刻。

2.時(shí)域積分性質(zhì)若則式中記為，是積分式在t=0的取值。

證明：由于

，為一常量，故2.時(shí)域積分性質(zhì)第二項(xiàng)可借助分部積分法求得：

所以

3.卷積特性如x1(t)和x2(t)都是單邊信號(hào)，即當(dāng)t<0時(shí)，x1(t)=x2(t)=0，可用于分析一個(gè)輸入在t<0為零的因果LTI系統(tǒng)。

那么有6.7.1系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)est信號(hào)激勵(lì)一個(gè)單位沖激響應(yīng)為h(t)的系統(tǒng)時(shí)，它的響應(yīng)為其中，H(s)為一個(gè)復(fù)常數(shù)，其值與s

有關(guān)，對(duì)某一給定的s值，H(s)是與特征函數(shù)est有關(guān)的特征值。H(s)與h(t)是一對(duì)拉氏變換，它表示了系統(tǒng)在復(fù)頻域的性質(zhì)。對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)時(shí)，就是，即頻率域的頻率響應(yīng)。我們稱H(s)為系統(tǒng)函數(shù)。6.7.1系統(tǒng)函數(shù)一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的N階連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)可用起始狀態(tài)為零的線性常微分方程來(lái)表示，即兩邊進(jìn)行雙邊拉氏變換根據(jù)拉氏變換的卷積特性，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)在復(fù)頻域上可表示為因此，系統(tǒng)函數(shù)的另一種定義，即

6.7.1系統(tǒng)函數(shù)可求得線性常微分方程所表示的LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為該式并沒有包括H(s)收斂域的說(shuō)明,收斂域可以通過(guò)其它條件推演出來(lái)---穩(wěn)定性和因果性

。例如如果系統(tǒng)是初始松弛的,則它是因果的,其ROC一定是位于最右邊極點(diǎn)的右邊。LTI系統(tǒng)的許多性質(zhì)都與H(s)零極點(diǎn)在S平面上的位置分布有關(guān)。6.7.1系統(tǒng)函數(shù)一、系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性和因果性1.因果性：一個(gè)因果LTI系統(tǒng)，其收斂域?yàn)橛野肫矫?；如果系統(tǒng)是反因果的，收斂域?yàn)樽蟀肫矫?。相反的結(jié)論不一定都成立。

2.穩(wěn)定性：穩(wěn)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)應(yīng)該是絕對(duì)可積的：

這表明穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)存在。從而穩(wěn)定系統(tǒng)的H(s)的收斂域應(yīng)包含j

軸。

3.因果穩(wěn)定系統(tǒng)：同時(shí)滿足因果性和穩(wěn)定性的系統(tǒng)，稱為因果穩(wěn)定系統(tǒng)。一個(gè)因果穩(wěn)定的有理系統(tǒng)函數(shù)，其全部極點(diǎn)都分布在S左半平面。6.7.1系統(tǒng)函數(shù)二、系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)的頻率響應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)H(s)在S平面上零點(diǎn)、極點(diǎn)的分布，可在S域上求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(j

)。因?yàn)橄喈?dāng)于由極點(diǎn)pj引向某點(diǎn)s的一個(gè)向量，稱為極點(diǎn)矢量；

相當(dāng)于由零點(diǎn)zi引向某點(diǎn)s的一個(gè)矢量，稱為零點(diǎn)矢量。

6.7.1系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為即在S平面上s沿虛軸移動(dòng)，就可得到系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。零點(diǎn)矢量極點(diǎn)矢量z1p1

1N1M1Im

1ORe圖6.19零點(diǎn)，極點(diǎn)矢量6.7.1系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以改寫為式中當(dāng)

沿虛軸移動(dòng)時(shí)，可畫出幅頻特性和相頻特性。6.7.2S域的元件模型將電路的模型轉(zhuǎn)換為S域模型，再用歐姆定理，基爾霍夫第一，第二定律在S域求解。R，C，L上電壓降與電流間關(guān)系的時(shí)域表示式。

分別進(jìn)行單邊拉氏變換，得到R，C，L元件的S域模型：6.7.2S域的元件模型sL是無(wú)儲(chǔ)能電感元件的復(fù)頻域阻抗，對(duì)應(yīng)于時(shí)域非零的初始電流引入的一個(gè)恒壓源。是無(wú)儲(chǔ)能電容元件的復(fù)頻域阻抗，則是電容的非零起始狀態(tài)電壓引入的等效階躍電壓的拉氏變換式。相應(yīng)的元件R、L、C的S域模型圖所示。

圖6-23元件的S域模型+IL(s)sL-LiL(0–)–IC(s)–+RIR(S)+–6.7.2S域的元件模型上面所示S域模型并非是唯一的形式，如對(duì)電流求解則可得到：圖6-24S域元件模型（節(jié)點(diǎn)分析）RIR(s)+–+–→sL+–→-CvC(0–)6.7.3全響應(yīng)的求解如果系統(tǒng)的狀態(tài)不為零，則可直接從微分方程的起始狀態(tài)求出零輸入響應(yīng)，再加上即可得到全響應(yīng)，也可以直接采用單邊拉氏變換法，由于它自動(dòng)計(jì)入起始狀態(tài)，使求解變得簡(jiǎn)潔。例6.21例6.226.7.4系統(tǒng)函數(shù)代數(shù)屬性和方框圖表示系統(tǒng)的基本連接方式有并聯(lián)連接、串聯(lián)連接、反饋連接。并聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為6.7.4系統(tǒng)函數(shù)代數(shù)屬性和方框圖表示串聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為6.7.4系統(tǒng)函數(shù)代數(shù)屬性和方框圖表示反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為例6.23例6.24例6.25分隔頁(yè)例子例子例子例子例子例子例子例子例子【例6.1】設(shè)信號(hào)；

求，

及其收斂域。

解：根據(jù)定義可得

由絕對(duì)可積條件，得

–a0Im(j

)Re(

)圖6-1X1(s)的收斂域因此例6.1–a0Im(j

)Re(

)圖6-2X2(s)的收斂域要使它滿足絕對(duì)可積條件，

即，例6.1第一項(xiàng)積分的收斂域?yàn)?；第二?xiàng)積分的收斂域?yàn)?，整個(gè)積分的收斂域應(yīng)該是第一項(xiàng)積分和第二項(xiàng)積分收斂域的公共區(qū)域。

【例6.2】求信號(hào)的拉氏變換及其收斂域

(b>0)解：由拉氏變換的定義式有–b0ImRe圖6-3例6.2中信號(hào)的收斂域b當(dāng)時(shí)，的拉氏變換不存在。

例6.2【例6.3】畫出X(s)的零極點(diǎn)圖解：的零點(diǎn)是，極點(diǎn)有兩個(gè)：一個(gè)是–2，一個(gè)是–1。ImRe圖6-4例6.3的收斂域××〇–1–2，例6.3【例6.4】設(shè)拉氏變換，試畫出該變換式的零極點(diǎn)圖及其收斂域的幾種可能情況，見圖。

(a)X(s)的零極點(diǎn)圖

(b)右邊信號(hào)的ROC(c)左邊信號(hào)的ROC(d)雙邊信號(hào)的ROCIm0Re–1–2

Im0Re

–

2

0Re

ReIm0–1–2

Im–1–1–2例6.4例6.5【例6.5】已知：求解：

本例說(shuō)明，由于零點(diǎn)、極點(diǎn)相消，故收斂域擴(kuò)大。例6.6【例6.6】求u(t-1)的拉氏變換，，ImRe圖6-12例6.6的ROC0S平面

例6.7【例6.7】求和的拉氏變換。解： 由S域平移定理

同理可得：例6.8【例6.8】求的拉氏變換。解：由【例6.1】可知：若重復(fù)上式運(yùn)用，可得

例6.8更為一般的關(guān)系是：【例6.9】求圖6.15所示單邊周期矩形脈沖的拉氏變換

解：第一個(gè)周期的拉氏變換為

，0T2Tt…x(t)例6.9【例6.10】求指數(shù)抽樣序列的拉氏變換

解：

例6.10【例6.11】

求下列函數(shù)的反變換

，解：將X(s)寫成部分分式展開形式

分別求出

例6.11因?yàn)椋盘?hào)為右邊信號(hào)。根據(jù)基本信號(hào)的拉氏變換對(duì)，可求得

例6.11例6.11例6.11在以上的討論中，假定表示式中N(s)的階次低于D(s)的階次，即m<n

。如果不滿足此條件，不可以按上面方法展開成部分分式。對(duì)于m≥n的情況，可先用長(zhǎng)除法將分子中的高次項(xiàng)提出，余下的部分滿足m<n，仍按以上方法分析。例6.11【例6.12】求下列函數(shù)的反變換

解：用分子除以分母（長(zhǎng)除法）得到

式中最后一項(xiàng)滿足m<n的要求，展開成部分分式根據(jù)基本信號(hào)的拉氏變換對(duì)，可求得

例6.12【例6.13】求以下函數(shù)的拉氏反變換

解：將寫成展開式

令例6.13于是

例6.13【例6.14】設(shè)，。求

解：將展成部分分式求得整理得：

例6.14用比較系數(shù)法可確定，，因此：逐項(xiàng)進(jìn)行反變換后，得

例6.14【例6.15】試求拉氏變換的收斂域分別是圖所示的三種情況的反變換。

解：將X(s)展成部分分式圖6.17例6.15圖（a）Im

Re–1–2××ImRe（b）–1–2××Re（c）–1–2××Im例6.15（1）

因?yàn)楦鞣质降氖諗坑虮囟ò?，因此有所以?.15（2）

各分式的收斂域應(yīng)包含，故有所以例6.15各分式的收斂域應(yīng)包含，故有：所以

（3）

例6.15【例6.16】求信號(hào)的雙邊和單邊拉氏變換。

解：

根據(jù)時(shí)移性質(zhì)

該信號(hào)的單邊拉氏變換為

例6.16例6.17【例6.17】

已知

利用拉氏變換時(shí)移特性和指數(shù)信號(hào)拉氏變換公式可求得上式表示時(shí)，不等于零，故不是因果系統(tǒng)。

對(duì)一個(gè)有理系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的因果性就等效于收斂域ROC位于最右邊極點(diǎn)的右半平面?！纠?.18】

討論的穩(wěn)定性。

因?yàn)闆]有給出ROC，故ROC存在幾種可能，從而有幾種不同的單位沖激響應(yīng)與上式相聯(lián)系。圖6-18

例6-18圖（a）Im–11××（b）（c）2oIm-11××20

ReReIm

11××2oRe例6.18從h(t)的表達(dá)式也可以看出這一點(diǎn)。1.已知系統(tǒng)是因果系統(tǒng)例6.18則h(t)為右邊信號(hào)，故其H(s)的ROC如圖6-18(a)所示這個(gè)ROC不包括軸，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。例6.182.收斂域如圖6-18(b)所示。其收斂域包括了軸，是個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)。相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)為3.收斂域如圖6-18(c)所示。單位沖激響應(yīng)為系統(tǒng)是反因果的，不穩(wěn)定?！纠?.19】某一因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)可寫成

觀察當(dāng)

從0沿虛軸向∞增長(zhǎng)時(shí)，如何變化。例6.191.當(dāng)

=0，，，，即。2.當(dāng)時(shí)，，，，。故，此點(diǎn)為高通濾波器的截止頻率點(diǎn)。

3.當(dāng)時(shí)，，，，。

例6.19圖6-20系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖0

1M1ImReN1

1=90

o圖6-21系統(tǒng)的幅頻、相頻特性

V2/V1

(

)90

45

00，

【例6.20】RLC串聯(lián)電路如圖所示。已知

，

，

，

，

，

輸入，

求零狀態(tài)響

零輸入響應(yīng)以及全響應(yīng)應(yīng)和解：先轉(zhuǎn)換成S域模型電路

例6.20vC(0–)±+–i(0–)i(t)RLCvs(t)（a）+–sL-Li(0–)RI(s)vs(t)（b）+–圖6-25RLC電路S域模型1/CSvC(0–)第一項(xiàng)僅取決于輸入，與非零起始狀態(tài)無(wú)關(guān)，它是零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換記作。第二項(xiàng)僅取決于非零起始狀態(tài)與輸入無(wú)關(guān)，它是零輸入響應(yīng)的拉氏變換，記作。例6.20因?yàn)樗詫⒔o定的RLC元件值代入，并展成部分分式，

例6.20得

，，于是有對(duì)上式取反變換，得例6.20將代入原式，用系數(shù)比較法，整理可得同樣我們可得到零輸入響應(yīng)的拉氏變換式例6.20對(duì)上式逐項(xiàng)取反變換，得零輸入響應(yīng)

全響應(yīng)

根據(jù)定義

將電路數(shù)值代入后可得：

例6.20【例6.21】設(shè)某因果LTI系統(tǒng)的微分方程如下。

，求全響應(yīng)。

解:系統(tǒng)是零狀態(tài)的,對(duì)以上方程取雙邊拉氏變換,得

由上式解得：

考慮到輸入的拉氏變換式的收斂域及系統(tǒng)的因果性，可知Y(s)

的收斂域?yàn)?。取Y(s)的反變換，得例6.21【例6.22】

已知因果LTI系統(tǒng)的微分方程如下

已知：，，求全響應(yīng)，，。

解：取微分方程兩邊的單邊拉氏變換，得

所以例6.22顯然，第一項(xiàng)是零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換；第二項(xiàng)是零輸入響應(yīng)的拉氏變換。將這兩項(xiàng)分別記為Yzi(s)和Yzs(s)，有

將初始條件，代入上式，經(jīng)整理得例6.22將以上兩式展成部分分式，取反變換，可得，例6.22例6.22系統(tǒng)的全響應(yīng)

例6.23【例6.23】已知一LTI系統(tǒng)的微分方程為畫出其系統(tǒng)方框圖。解：以上微分方程可以改寫為因?yàn)槲⒎制鞑灰讓?shí)現(xiàn)，它對(duì)誤差和噪聲很敏感，一般都會(huì)采用積分器，該系統(tǒng)的時(shí)域模擬框圖如圖6-27所示。圖6-27中例6.23時(shí)域模擬框圖例6.23如用積分器的系統(tǒng)函數(shù)來(lái)表示積分