2024屆二輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 課件（46張）

第4講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)——“形”定個(gè)數(shù)，“離”參轉(zhuǎn)化三次函數(shù)的零點(diǎn)分布三次函數(shù)在存在兩個(gè)極值點(diǎn)的情況下，由于當(dāng)x→∞時(shí)，函數(shù)值也趨向∞，只要按照極值與零的大小關(guān)系確定其零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2且x1<x2的函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零點(diǎn)分布情況如下：a的符號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)充要條件a>0(f(x1)為極大值，f(x2)為極小值)一個(gè)f(x1)<0或f(x2)>0兩個(gè)f(x1)＝0或f(x2)＝0三個(gè)f(x1)>0且f(x2)<0a<0(f(x1)為極小值，f(x2)為極大值)一個(gè)f(x1)>0或f(x2)<0兩個(gè)f(x1)＝0或f(x2)＝0三個(gè)f(x1)<0且f(x2)>0

由(1)知，h′(x)≤－1，所以h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又h(1)＝0，所以當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，h(x)≥0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h(x)<0.則當(dāng)x∈(0，1]時(shí)，g′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)<0.所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又當(dāng)x→0時(shí)，g(x)→＋∞，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)→0，所以a∈(0，＋∞)．歸納總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題的思路(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化為確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解．(2)利用零點(diǎn)存在性定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練[2022·全國(guó)乙卷(理)]已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)＋axe－x.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)若f(x)在區(qū)間(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例2[2023·湖北二模]已知函數(shù)f(x)＝xex－1，g(x)＝a(lnx＋x)．(1)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求正實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：x2ex>(x＋2)lnx＋2sinx．

所以h(x)min＝a－alna－1≥0，設(shè)F(a)＝a－alna－1(a>0)，因?yàn)镕′(a)＝1－(1＋lna)＝－lna，所以F(a)在(0，1)上單調(diào)遞增，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，所以F(a)≤F(1)＝0，而依題意必有F(a)≥0，所以F(a)＝0，此時(shí)a＝1，所以若不等式f(x)≥g(x)恒成立，則正實(shí)數(shù)a的值為1.

歸納總結(jié)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性：若f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，則①?x∈[a，b]，則f(a)≤f(x)≤f(b)；②對(duì)?x1，x2∈[a，b]，且x1<x2，則f(x1)<f(x2).對(duì)于減函數(shù)有類似結(jié)論．(2)利用最值：若f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則對(duì)?x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)．(3)證明f(x)<g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，證明F(x)<0.

解析：(1)由題意得y＝xf(x)＝xln(a－x)，則y′＝ln(a－x)＋x[ln(a－x)]′.因?yàn)閤＝0是函數(shù)y＝xf(x)的極值點(diǎn)，所以y′|x＝0＝lna＝0，所以a＝1.

考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立問題

a<f(x)min[f(x)－g(x)]max<0

a≤f(x)min[f(x)－g(x)]max>0

值域小于③對(duì)?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)<g(x2)成立，等價(jià)于f(x)max<g(x)max.其等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是：函數(shù)f(x)的任意一個(gè)函數(shù)值小于函數(shù)g(x)的某一個(gè)函數(shù)值，但并不要求小于函數(shù)g(x)的________函數(shù)值．④若?x1∈D1，?x2∈D2，使得f(x1)>g(x2)成立，等價(jià)于f(x)max>g(x)min.其等價(jià)轉(zhuǎn)化思想是：函數(shù)f(x)的某一個(gè)函數(shù)值大于函數(shù)g(x)的某一個(gè)函數(shù)值，即只要有這樣的函數(shù)值即可，并不要求________函數(shù)值．所有所有的

2．不等式能成立問題的解題關(guān)鍵

[高考5個(gè)大題]解題研訣竅(六)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題巧在“轉(zhuǎn)”、難在“分”

[思維流程——找突破口][技法指導(dǎo)——遷移搭橋]函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題一般以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，重點(diǎn)考查函數(shù)的一些性質(zhì)，如含參函數(shù)的單調(diào)性、極值或最值的探求與討論，復(fù)雜函數(shù)零點(diǎn)的討論，函數(shù)不等式中參數(shù)范圍的討論，恒成立和能成立問題的討論等，是近幾年高考試題的命題熱點(diǎn)．對(duì)于這類綜合問題，一般是先