高中數(shù)學(xué)選擇性課時評價4等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用（習(xí)題課）

二十八等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(習(xí)題課)(15分鐘30分)1．等比數(shù)列{an}中，若a12＝4，a18＝8，則a36為()A．32 B．64 C．128 D．256【解析】選B.由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，a12，a18，a24，a30，a36成等比數(shù)列，且eq\f(a18,a12)＝2，故a36＝4×24＝64.2．(2021·長春高二檢測)在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a2＝eq\f(1,2)，a6＝8，則a4＝()A．4 B．2 C．±4 D．±2【解析】選B.設(shè)等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的公比為q，則eq\f(a4,a2)＝q2>0，因?yàn)閍2＝eq\f(1,2)>0，所以a4>0.由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝a2a6＝eq\f(1,2)×8＝4，因此a4＝2.3．已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a4＋a8＝－2，則a6(a2＋2a6＋a10)＝________．【解析】a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))＋a6a10＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＋2a4a8＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(8))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋a8))2＝4.答案：44．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，2a3－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝________．【解析】因?yàn)?a3－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＋2a11＝2(a3＋a11)－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝4a7－aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝0，因?yàn)閎7＝a7≠0，所以b7＝a7＝4.所以b6b8＝beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(7))＝16.答案：165．在等比數(shù)列{an}中，a3a4a5＝8，求a2【解析】在等比數(shù)列{an}中，由a3a4a5＝aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＝8，得a4＝2，又因?yàn)閍2a6＝a3a5＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))，故a2a3a4a5a6＝aeq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(4(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分，共20分)1．(2021·鄭州高二檢測)等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則a7＋a8＋a9等于()A．16 B．32 C．64 D．128【解析】選A.因?yàn)閍1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8.所以q3＝2，所以a7＋a8＋a9＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a4＋a5＋a6))q3＝16.2．拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖是指由網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)設(shè)備和通信介質(zhì)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖．某樹形拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖如圖所示，圓圈代表節(jié)點(diǎn)，每一個節(jié)點(diǎn)都有兩個子節(jié)點(diǎn)，則第10層節(jié)點(diǎn)的個數(shù)為()A．100B．128C．512D．1024【解析】選C.由圖可知，每一層的節(jié)點(diǎn)數(shù)組成以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以第10層節(jié)點(diǎn)的個數(shù)是a10＝1×＝512.3．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，若a2，a8是方程x2－6x＋4＝0的兩根，則log2a4＋log2a6＝()A．4B．3C．2D．1【解析】選C.因?yàn)閍2，a8是方程x2－6x＋4＝0的兩根，所以a2a8＝4，因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等比數(shù)列，所以a4a6＝a2a所以log2a4＋log2a6＝log2a44．在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝eq\f(15,8)，a3a4＝－eq\f(9,8)，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a5)＋eq\f(1,a6)＝()A．eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．eq\f(5,3) D．－eq\f(5,3)【解析】選D.eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a5)＋eq\f(1,a6)＝eq\f(a1＋a6,a1a6)＋eq\f(a2＋a5,a2a5)＋eq\f(a3＋a4,a3a4)，因?yàn)榈缺葦?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中a3a4＝－eq\f(9,8)，而a1a6＝a2a5＝a3所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a4)＋eq\f(1,a5)＋eq\f(1,a6)＝－eq\f(8,9)(a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6)＝－eq\f(5,3).二、多選題(每小題5分，共10分，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)5．(2021·徐州高二檢測)已知數(shù)列是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是正項(xiàng)等比數(shù)列，且eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)＝eq\r(6)，則a5的值可能是()A．2 B．4 C．eq\f(8,5) D．eq\f(8,3)【解析】選ABD.依題意，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以a3>0，a7>0，a5>0，所以eq\r(6)＝eq\f(2,a3)＋eq\f(3,a7)≥2eq\r(\f(2,a3)·\f(3,a7))＝eq\f(2\r(6),\r(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(5))))，因?yàn)閍5>0，所以上式可化為a5≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a3＝eq\f(2\r(6),3)，a7＝eq\r(6)時等號成立．6．(2021·寧波高二檢測)已知等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))，公比為q，其前n項(xiàng)積為Tn，并且滿足條件：a1>1，a2020·a2021>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2020－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2021－1))<0，則下列結(jié)論中正確的有()A．q>1B．0<q<1C．a(chǎn)2020·a2022>1D．T2020的值是Tn中最大的【解析】選BD.依題意等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))滿足條件：a1>1，a2020·a2021>1，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2020－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2021－1))<0.若q≥1，則a2020＝a1·q2019>1，a2021＝a1·q2020>1，則a2020－1>0，a2021－1>0，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2020－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2021－1))>0，與已知條件矛盾．所以q≥1不符合，故A選項(xiàng)錯誤；由于a1>1，a2020·a2021>1，(a2020－1)(a2021－1)<0，所以a2020>1，a2021<1，0<q<1，an>0，a2020·a2022＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2021))<1.所以B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)錯誤；因此，前2020項(xiàng)都大于1，從第2021項(xiàng)開始都小于1，因此T2020的值是Tn中最大的．所以D選項(xiàng)正確．三、填空題(每小題5分，共10分)7．(2021·蘇州高二檢測)在等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，已知a3·a8＝10，則aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))·a7的值為________．【解析】因?yàn)閍3·a8＝10，所以aeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(5))·a7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a5))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a5·a7))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a5))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a6))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a5·a6))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3·a8))2＝100.答案：1008．設(shè)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a1＝2，若等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))滿足an＋1＝anbn，且b1010＝1，則a2020＝________．【解析】根據(jù)題意，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))滿足an＋1＝anbn，即eq\f(an＋1,an)＝bn，則有eq\f(a2020,a1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2020,a2019)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2019,a2018)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2018,a2017)))…eq\f(a2,a1)＝b2019·b2018·b2017…b1，而數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))為等比數(shù)列，則b2019·b2018·b2017…b1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b1010))2019＝1，則eq\f(a2020,a1)＝1，又由a1＝2，則a2020＝2.答案：2四、解答題(每小題10分，共20分)9．(1)已知{an}是等比數(shù)列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a(2)若a≠c，三數(shù)a，1，c成等差數(shù)列，a2，1，c2成等比數(shù)列，求eq\f(a＋c,a2＋c2).【解析】(1)因?yàn)閧an}是等比數(shù)列，所以a2a4＋2a3a5＋a4a6＝(a3＋a又an>0，所以a3＋a5＝5.(2)因?yàn)閍，1，c成等差數(shù)列，所以a＋c＝2.又a2，1，c2成等比數(shù)列，所以a2·c2＝1，故ac＝1或ac＝－1，當(dāng)ac＝1時，由a＋c＝2，得a＝1，c＝1，與a≠c矛盾．所以ac＝－1，a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝6.所以eq\f(a＋c,a2＋c2)＝eq\f(1,3).10．已知數(shù)列－1，a1，a2，－4成等差數(shù)列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數(shù)列，求eq\f(a2－a1,b2)的值．【解析】因?yàn)椋?，a1，a2，－4成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則a2－a1＝d＝eq\f(1,3)[(－4)－(－1)]＝－1，因?yàn)椋?，b1，b2，b3，－4成等比數(shù)列，所以beq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝(－1)×(－4)＝4，所以b2＝±2.若設(shè)公比為q，則b2＝(－1)q2，所以b2<0.所以b2＝－2，所以eq\f(a2－a1,b2)＝eq\f(－1,－2)＝eq\f(1,2).1．若一個數(shù)列的第m項(xiàng)等于這個數(shù)列的前m項(xiàng)的乘積，則稱該數(shù)列為“m積列”．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}是一個“2022積數(shù)列”，且a1>1，則當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最大值時，n的最大值為()A．1009 B．1010C．1011 D．2020【解析】選C.根據(jù)題意：a2022＝a1a2…a2022所以a1a2…a2021因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則q>0，所以a1a2021＝a2a2020＝…＝a1011因?yàn)閍1>1，所以0<q<1，所以a1010>1，a1011＝1，0<a1012<1，所以前n項(xiàng)的乘積取最大值時n的最大值為1011.2．(1)(2021·衡水高二檢測)朱載堉(1536～1611)，是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《