第八九章-重積分

12三月2024第八九章重積分§1.二重積分的概念1.平面集合的面積2.二重積分的定義設(shè)是平面上的一個有界閉區(qū)域.是零面積集合.是定義在上的函數(shù).用兩組相互橫截的曲線將分成個小區(qū)域.并進(jìn)一步假定分割的曲線都是零面積的.令.再任取,考察和

記

如果存在數(shù),對,,使得只要,不論分割曲線組及中間點(diǎn)如何選取，那么就稱在上可積.稱為在上的二重積分.記作或.3.可積的必要條件與充分條件定理1.1若在可求面積的有界閉區(qū)域上可積,則在上有界.定理1.2設(shè)是平面上有界閉區(qū)域,邊界是零面積集合.又設(shè)在上連續(xù),則在上可積.4.二重積分的基本性質(zhì)(1)(2)(3)(區(qū)域可加性)設(shè)且,都是可求面積的,在上均可積,則在上可積,且.(4)若,,則.(5)積分中值定理設(shè)在可求面積的有界閉區(qū)域上連續(xù),則在上至少存在一點(diǎn),使得,其中的面積.§2.二重積分的計算1.化二重積分為累次積分定理2.1設(shè)在有界閉區(qū)域連續(xù),,其中是上連續(xù)函數(shù),則,上式右端積分稱為累次積分.例1求.例2求.例3寫出所對應(yīng)的累次積分,其中由所圍.2.利用對稱性化簡計算例4.設(shè),求,.例5.求.3.極坐標(biāo)下二重積分的計算定理2.2設(shè)為可求面積的有界閉區(qū)域,在上可積,則其中.例6.設(shè),,求.例7.將用極坐標(biāo)化成二次積分,其中為(1)(2)由所圍成(3)由所圍成例8.求,其中是在第一卦限的部分.§3.二重積分的一般變元替換法則

設(shè)在可求面積的有界閉區(qū)域中連續(xù).假定是一一對應(yīng),其中是有界閉區(qū)域.,在中有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),并且,.

定理3.1在上述假定下,有下列公式推論.在上述假定下,區(qū)域的面積例1.,求.例2.,求.例3.求所圍區(qū)域的面積.§4.三重積分的概念與計算1.三重積分的概念設(shè)是中可求體積的有界閉區(qū)域.是上函數(shù).分割成個互不重疊的可求體積的小區(qū)域任取,,.

若對的任一分割法及中間點(diǎn)的任意選取,Riemann和的極限總存在,且為同一極限值,則稱為在的三重積分,記為或.定理4.1設(shè)是可求體積的有界閉區(qū)域,在上連續(xù),則在上可積.

2.三重積分的基本性質(zhì)(1)(2)積分可加性設(shè)則(3)積分保序性若則(4)若在可積,則也在可積,且(5)積分中值定理設(shè)在連續(xù),則存在,使得其中是的體積.3.三重積分的計算定理4.2設(shè)其中為平面上的可求面積的有界閉區(qū)域.是上連續(xù)函數(shù),又是上連續(xù)函數(shù).則定理4.3設(shè)是可求體積的有界閉區(qū)域,介于平面之間.,平面與的交集為一平面閉區(qū)域,又在連續(xù),則

例1求,其中例2求,其中由所圍.例3求,其中例4求,其中4.三重積分的換元公式定理4.4設(shè)是可求體積的有界閉區(qū)域.既是單射又是滿射,其中有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),其雅可比式并設(shè)在連續(xù),則5.柱坐標(biāo)變換例5求,6.球坐標(biāo)變換例6求,7.廣義球坐標(biāo)變換例7求,§5.重積分應(yīng)用舉例1.曲面面積例1.求的面積.例2.求圓柱面被所截部分的面積.2.質(zhì)心3.轉(zhuǎn)動慣量4.引力第九章曲線積分與曲面積分§1.第一型曲線積分的概念1.可求長曲線與弧長定理1.1(若當(dāng)定理)若是的一條簡單閉曲線,則是兩個區(qū)域的并.這兩個區(qū)域中的有界區(qū)域稱為的內(nèi)部.定義設(shè)是一條曲線,參數(shù)方程為起點(diǎn),終點(diǎn).對的任意分割在上得到一串點(diǎn),這串點(diǎn)連成的折線長度記作

如果對于任意分割,有上界,那么稱是可求長曲線.稱作的弧長.性質(zhì)1.若可求長,則的任意一段子弧也可求長.性質(zhì)2.(可加性)若則其中分別為的弧長.定理1.2設(shè)是一條空間曲線,參數(shù)方程為并假定在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則是可求長的,且弧長公式為例1.設(shè)求弧長.2.第一型曲線積分的定義與性質(zhì)定義.設(shè)是可求長曲線,起點(diǎn),終點(diǎn).又設(shè)定義在上.分割,上形成個弧段記為的弧長.任取

若對任意分割及任意選取的中間點(diǎn),總存在,且極限值總等于,則稱為在上的第一型曲線積分,記作注.與定積分,重積分類似有線性性,有限可加性,保序性.注.與定積分,重積分類似有線性性,有限可加性,保序性.注.第一型曲線積分與曲線的走向無關(guān).3.第一型曲線積分的計算定義.設(shè)定義在空間曲線上,如果使得只要且那么就稱在連續(xù).若在上每一點(diǎn)連續(xù),則稱在上連續(xù).定理1.3設(shè)是簡單光滑非閉曲線,參數(shù)方程又設(shè)在上連續(xù),則在上的第一型曲線積分存在,且例2.設(shè)又設(shè)求例3.設(shè)求§2.第二型曲線積分

給定用參數(shù)變化的過程來規(guī)定的定向.當(dāng)一條曲線規(guī)定了走向之后,稱之為有定向的曲線.1.第二型曲線積分的概念定義設(shè)是上一條可求長有定向曲線.起點(diǎn),終點(diǎn).是上函數(shù).在上自起點(diǎn)開始,沿給定的定向依次取點(diǎn)其中.對分割成個小弧段.任取

若對任意分割及中間點(diǎn)的任意選取,極限都存在并總等于,稱為在上的第二型曲線積分,記作注.向量表示性質(zhì)12線性性3分段可加性4沒有保序性2.第二型曲線積分的計算定理1.3設(shè)是有定向的簡單光滑非閉曲線,參數(shù)方程假定的定向從到,又設(shè)在上連續(xù),則則在上有第二型曲線積分,且例1.設(shè)圓錐螺線的定向為增加的方向,求3.平面第二型曲線積分格林公式若是簡單閉曲線,將逆時針方向定為曲線的正向,這時記作.定理2.2格林公式設(shè)是平面上一條逐段光滑簡單閉曲線.它所圍有界閉區(qū)域記作.又設(shè)在上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則推論2.1在定理2.2條件下,當(dāng)時,推論2.2若滿足定理2.2條件,則的面積

或注.格林公式可推廣到多條簡單閉曲線所圍成的區(qū)域.例2.求,其中為例3.求面積.例4.求,是任意一條不過原點(diǎn)的光滑簡單閉曲線.4.平面第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件命題2.1設(shè)是平面區(qū)域的連續(xù)函數(shù),在內(nèi)積分與路徑無關(guān)的充要條件是：對內(nèi)任意一條逐段光滑的簡單閉曲線,都有定理2.4設(shè)是平面單連通域,在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在與路徑無關(guān)的充要條件是：在內(nèi)處處成立.5.恰當(dāng)微分形式與原函數(shù)設(shè)是區(qū)域上函數(shù),稱

為一階微分形式.如果在內(nèi)存在一個二元可微函數(shù),使得則稱是恰當(dāng)微分形式,并稱為該微分形式的原函數(shù).定理2.5設(shè)是平面單連通域,在內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則是恰當(dāng)微分形式的充要條件是：在內(nèi)處處成立.例6.設(shè)

證明：為一恰當(dāng)形式,并求其原函數(shù).§3.曲面積分1.關(guān)于曲面的基本概念設(shè)在區(qū)域連續(xù),稱作曲面的參數(shù)方程.若在有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),稱曲面是光滑曲面.

設(shè)是光滑曲面,且曲面每一點(diǎn)處的法向量.曲面面積公式例1.求螺旋曲面的面積.2.第一型曲面積分的定義和計算定義.設(shè)有一曲面：其中為可求面積的有界閉區(qū)域.假定曲面是光滑曲面且.設(shè)是定義在上的函數(shù).將分成有限個小區(qū)域,記為曲面上相應(yīng)于的部分,是的面積.令.任取若極限存在,且極限值總是,不論怎樣分割和中間點(diǎn)如何選取,則稱為在上的第一型曲面積分,記作

若在上連續(xù),且光滑.則例2.求3.曲面的定向設(shè)是光滑曲面.點(diǎn)的法向量有兩個相反的指向.任意指定其中后的法向量記為.在上連續(xù)移動,也隨之連續(xù)變化(不允許突然改取相反的方向).如果具有下列性質(zhì):不論沿怎樣的路線在連續(xù)移動,當(dāng)返回起點(diǎn)時,的指向沒有改變,則稱為雙側(cè)曲面,否則稱為單側(cè)曲面.4.第二型曲面積分定義設(shè)