2024年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn)總結(jié)+題型專訓(xùn)（全國(guó)通用）專題06 全等三角形的性質(zhì)與判定篇（原卷版+解析）

專題06全等三角形的判定與性質(zhì)知識(shí)回顧知識(shí)回顧三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于180°。全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具1.已知：如圖，∠1=∠2,∠3=∠4.求證：AB=AD.2.如圖，△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D,E分別在腰AC,AB上，且BE=CD,連接BD,CE.求證：BD=3.如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,4.如圖，AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分別為B,(1)求證：△ABC≌△ADC;(2)若AB=4,CD=3,求四邊形ABCD的面積.6.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)N,使CN=AM,連接MN交AC于點(diǎn)P,MH⊥AC于點(diǎn)H.(2)若AB=a,求線段PH的長(zhǎng)(結(jié)果用含a的代數(shù)式表示).(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF.你選取的條件為(填寫序號(hào))(只需選一個(gè)條件，多選不得分),你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)(2)利用(1)的結(jié)論△ABC≌△DEF.求證：AB//DE.8.在△ABC中，∠ACB=90°,D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD,DC,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E,使得CE=DC.(1)如圖1,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使得CF=BC,連接AF,EF.若AF⊥EF,求證：BD⊥AF;(1)求證：△ABD≌△ACE;(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度數(shù).10.如圖，在△ABC中(AB<BC),過點(diǎn)C作CD//AB,在CD上截取(1)求證：△ABC≌△ECD;11.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=1,D上的一點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,連接CE.(1)求證：△ABD≌△ACE;(2)若∠BAD=22.5°時(shí)，求BD的長(zhǎng).CD交于點(diǎn)F.(1)求證：△CEF≌△ADF;(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示).(1)如圖②,如圖③,請(qǐng)猜想BC,BE,BF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出猜想結(jié)論；(2)請(qǐng)選擇(1)中任意一種結(jié)論進(jìn)行證明；(3)若AB=6,CE=2,∠F=60°,SAABC=12√3,則BC=,BF=.圖①圖②CC圖③(1)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接BD,CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需證明);(2)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并加以證明；(3)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA、PB、PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論，不需要證明.甲、乙兩個(gè)含45°角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足O處.將甲繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接AG,BH,如【遷移應(yīng)用】延長(zhǎng)GA分別交HO,HB所在直線于點(diǎn)P,D,如圖④,猜想并證明DG與BH的位置關(guān)系.【拓展延伸】小亮將圖②中的甲、乙換成含30°角的直角三角尺如圖⑤,按圖⑤作出示意圖，并連接HB,AG,如圖⑥所示，其他條件不變，請(qǐng)你猜想并證明AG與BH的數(shù)量關(guān)系.圖②圖②專題06全等三角形的判定與性質(zhì)三角形的一個(gè)外角等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。大于它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角。⑤直角三角形判定(HL):直角三角形中全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定1.已知：如圖，∠1=∠2,∠3=∠4.求證：AB=AD.【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得出∠ACB=∠ACD,全等三角形的性質(zhì)即可得解.【解答】證明：∵∠3=∠4,利用ASA證明△ACB≌△ACD,根據(jù)2.如圖，△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D,E分別在腰AC,AB上，且BE=CD,連接BD,【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠EBC=∠DCB,進(jìn)而利用SAS證明△EBC與△DCB全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答即可.【解答】證明：∵△ABC是等腰三角形，3.如圖1是小軍制作的燕子風(fēng)箏，燕子風(fēng)箏的骨架圖如圖2所示，AB=AE,AC=AD,∠【分析】由∠BAD=∠EAC可得∠BAC=∠EAD,根據(jù)SAS可證△BAC≌△EAD,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解.即∠BAC=∠EAD,垂足分別為B,D.(1)求證：△ABC≌△ADC;(2)若AB=4,CD=3,求四邊形ABCD的面積.【分析】(1)由AC平分∠BAD,得∠BAC=∠DAC,根據(jù)CB⊥AB,CD⊥AD,得∠B=6,即可得四邊形ABCD的面積是12.【解答】(1)證明：∵AC平分∠BAD,在△ABC和△ADC中，(2)解：由(1)知：△ABC≌△ADC,答：四邊形ABCD的面積是12.5.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，CD=AB,DE//AB,∠DCE=∠A.求證：DBC.【分析】利用平行線的性質(zhì)得∠EDC=∠B,再利用ASA證明△CDE≌△ABC,可得結(jié)論.【解答】證明：∵DE//AB,6.如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)N,使CN=AM,(1)求證：MP=NP;(2)若AB=a,求線段PH的長(zhǎng)(結(jié)果用含a的代數(shù)式表示).性質(zhì)可得∠AMQ=∠AQM=∠A=60°,可得△AMQ是等邊三角形，易證△QMP≌△(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知AH=HQ,表示出HP的長(zhǎng).【解答】(1)證明：過點(diǎn)M作MQ//BC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知QP=PC,即可在等邊△ABC中，∠A=∠B=∠ACB(2)解：∵△AMQ是等邊三角形，且MH⊥AC,7.如圖，點(diǎn)A,D,C,F在同一條直線上，AB=DE,BC=EF.有下列三個(gè)條件：①AC(1)請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈齻€(gè)條件中選取一個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF.你選取的條件為(填寫序號(hào))(只需選一個(gè)條件，多選不得分),你判定△ABC(2)利用(1)的結(jié)論△ABC≌△DEF.求證：AB//DE.【分析】(1)根據(jù)SSS即可證明△ABC≌△DEF,即可解決問題；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠A=∠EDF,再根據(jù)平行線的判定即可解決問題.【解答】(1)解：在△ABC和△DEF中，選取的條件為①,判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS.故答案為：①,SSS;(答案不唯一).(2)證明：∵△ABC≌△DEF.8.在△ABC中，∠ACB=90°,D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD,DC,延長(zhǎng)DC到點(diǎn)E,使(1)如圖1,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使得CF=BC,連接AF,EF.若AF⊥EF,求證：BD⊥AF;(2)連接AE,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接CH,依題意補(bǔ)全圖2.若AB2=AE2+BD2,用等式表示線段CD與CH的數(shù)量關(guān)系，并證明.【分析】(1)證明△BCD≌△FCE(SAS(2)由題意畫出圖形，延長(zhǎng)BC到F,使CF=BC,連接AF,EF,由(1)可知BD//EF,BD=EF,證出∠AEF=90°,得出∠DHE=90°,由直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論.【解答】(1)證明：在△BCD和△FCE中，(2)解：由題意補(bǔ)全圖形如下：圖2CD=CH.證明：延長(zhǎng)BC到F,使CF=BC,連接AF,EF,由(1)可知BD//EF,BD=EF,且點(diǎn)D在線且點(diǎn)D在線段BC上，連CE.(1)求證：△ABD≌△ACE;(2)若∠EAC=60°,求∠CED的度數(shù).【分析】(1)可利用SAS證明結(jié)論；(2)由全等三角形的性質(zhì)可得∠ACE=∠ABD,利用等腰直角三角形的性質(zhì)可求得∠ACE=∠ABD=∠AED=45°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求解∠AEC的度數(shù)，進(jìn)而可求【解答】(1)證明：∵∠BAC=∠DAE=90°,(2)解：∵△ABD≌△ACE,∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，10.如圖，在△ABC中(AB<BC),過點(diǎn)C作CD//AB,在CD上截取CD=C取CE=AB,連接DE、DB.(1)求證：△ABC≌△ECD;【分析】(1)由CD//AB得∠ABC=∠ECD,而CD=CB,CE=AB,即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABC≌△ECD;(2))由∠A=90°,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等證明∠BED=∠CED=∠A=90°,設(shè)BE=x,由BD2-BE2=CD2-EC2=DE2,列方程(2√5)2-x2=(3+x)2-32,解方程求得符合題意的x的值為2,則BC=5,再根據(jù)勾股定理求出DE的長(zhǎng)，即可求出△BCD的面積.【解答】(1)證明：∵CD//AB,CD=CB,CE=AB,(2)解：∵∠A=90°,設(shè)BE=x;整理得x2+3x-10=0,解得xi=2,x2=-5(不符合題意，舍去),∴△BCD的面積為10.11.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=1,D是BC邊上的一點(diǎn)，以AD為直角邊作等腰Rt△ADE,其中∠DAE=90°,連接CE.(1)求證：△ABD≌△ACE;(2)若∠BAD=22.5°時(shí)，求BD的長(zhǎng).【分析】(1)由“SAS”可證△ABD≌△ACE;可得AC=CD=1,即可求解.【解答】(1)證明：∵∠BAC=90°=∠DAE,(2)解：∵∠BAC=90°,AB=AC=1,的位置，AE和CD交于點(diǎn)F.(1)求證：△CEF≌△ADF;(2)求tan∠DAF的值(用含x的式子表示).將△ACB沿AC對(duì)折到△ACE【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B=∠D=90°,BC=AD,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC=CE,∠E=∠B=90°,等量代換得到∠E=∠D=90°,AD=CE,根據(jù)AAS證明三角(2)設(shè)DF=a,則CF=8-a,根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明AF=CF=8-a,在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理表示出DF的長(zhǎng)，根據(jù)正切的定義即可得出答案，【解答】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BC=CE,∠E=∠B=90°,(2)解：設(shè)DF=a,則CF=8-a,∴AB//CD,AD=BC=x,(1)如圖②,如圖③,請(qǐng)猜想BC,BE,BF之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出猜想結(jié)論；(2)請(qǐng)選擇(1)中任意一種結(jié)論進(jìn)行證明；【分析】(1)根據(jù)圖形分別得出答案；(2)利用AAS證明△ABC≌△DFE,得BC=EF,再根據(jù)圖形可得結(jié)論；(3)首先利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出BH和AH的長(zhǎng)，從而得出BC,再對(duì)點(diǎn)E的位置進(jìn)行分類即可.【解答】解：(1)圖②:BC+BE=BF,圖③:BE-BC=BF;(2)圖②:∵AB=DF,∠A=∠D,∠B=ZF,圖③:∵AB=DF,∠A=∠D,∠B=∠F,(3)當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，如圖，作AH⊥BC于H,同理，當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②,BF=BC+BE=8+10=18,故答案為：8,14或18.14.△ABC和△ADE都是等邊三角形.(1)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接BD,CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需證明);(2)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA、PB、PC之