2023-2024學(xué)年廣東省深大附中教育集團(tuán)九年級下學(xué)期開學(xué)考數(shù)學(xué)試題及答案

初中PAGE1試卷2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期初三年級假期學(xué)習(xí)素養(yǎng)檢測數(shù)學(xué)試卷說明：1.全卷分試卷和答題卡，共4頁，考試時間90分鐘，滿分100分。2.答題前，請將班級、考生號、姓名填（涂）寫在答題卡。不得在答題卡其它區(qū)域做任何標(biāo)記。3.答題卡上的答案必須寫在題目指定位置上。（選擇題答案必須涂在答題卡上，凡答案寫在試卷上不給分）4.考試結(jié)束，請將答題卡上交。第一部分選擇題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根2.矩形、菱形都具有的性質(zhì)是（）A.對角線互相平分 B.對角線互相垂直且相等C.對角線相等 D.對角線互相垂直3.某校即將舉行田徑運(yùn)動會，“體育達(dá)人”小明從“跳高”“跳遠(yuǎn)”“100米”“400米”四個項(xiàng)目中，隨機(jī)選擇兩項(xiàng)，則他選擇“100米”與“400米”兩個項(xiàng)目的概率是（）A. B. C. D.4.關(guān)于x一元二次方程的一個根是0，則a的值為（）A. B.1 C.1或 D.0.55.如果有點(diǎn)在反比例函數(shù)（）圖像上，如果，則、、的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能確定6.拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，若，則直線一定經(jīng)過（）．A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限7.如圖，A，B，C，三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為（）A. B. C. D.8.小華將一副三角板（，，）按如圖所示的方式擺放，其中，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.9.如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長為；④若，則當(dāng)時，取得最大值．其中正確的為（）A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④10.如圖，關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸有且僅有三個交點(diǎn)，分別是，對此，小華認(rèn)為：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，有最小值；③點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，符合要求的點(diǎn)只有1個；④將函數(shù)的圖象向右平移1個或3個單位長度經(jīng)過原點(diǎn).其中正確的結(jié)論有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11.如果，那么______．12.現(xiàn)有兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，每枚骰子的六個面上都分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，同時投擲這兩枚骰子，以朝上一面所標(biāo)的數(shù)字為擲得的結(jié)果，那么所得結(jié)果之和不小于9的概率是________．13.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？”意思是：“幾個人一起去購買某物品，每人出8錢，則多出3錢；每人出7錢，則還差4錢．問人數(shù)、物品的價格分別是多少？”該問題中的人數(shù)為__________.14.如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)首次落在斜邊上，則點(diǎn)的運(yùn)動路徑的長為_________.15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，都在反比例函數(shù)圖象上，延長交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接并延長，交軸于點(diǎn)，連接.若，的面積是，則的值為_________.

三、解答題（本題共7小題，共55分）16.計(jì)算：.17.為了深入推動大眾旅游，滿足人民群眾美好生活需要，我市舉辦中國旅游日惠民周活動，活動主辦方在活動現(xiàn)場提供免費(fèi)門票抽獎箱，里面放有4張相同的卡片，分別寫有景區(qū)：A．宜興竹海，B．宜興善卷洞，C．闔閭城遺址博物館，D．錫惠公園．抽獎規(guī)則如下：攪勻后從抽獎箱中任意抽取一張卡片，記錄后放回，根據(jù)抽獎的結(jié)果獲得相應(yīng)的景區(qū)免費(fèi)門票．（1）小明獲得一次抽獎機(jī)會，他恰好抽到景區(qū)A門票的概率是_________．（2）小亮獲得兩次抽獎機(jī)會，求他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率．18.教室里投影儀投影時，可以把投影光線，及在黑板上的投影圖像高度抽象成如圖所示的，．黑板上投影圖像的高度，與的夾角，求的長．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，）19.某景區(qū)旅游商店以元的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于元，不高于元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量與銷售價格（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式：（2）當(dāng)銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤=（銷售價格一采購價格）×銷售量】20.課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．（1）定理證明：為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在中，對角線，垂足為．求證：是菱形．（2）知識應(yīng)用：如圖，在中，對角線和相交于點(diǎn)，．①求證：菱形；②延長至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的值．21.定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，并且都在坐標(biāo)軸上，則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)．【初步理解】（1）現(xiàn)有以下兩個函數(shù)：①；②，其中，_________為函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)．（填序號）【嘗試應(yīng)用】（2）函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與軸交于點(diǎn)，其軸點(diǎn)函數(shù)與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn).若，求的值．【拓展延伸】（3）如圖，函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上取一點(diǎn)，使得.以線段的長度為長、線段的長度為寬，在軸的上方作矩形.若函數(shù)（為常數(shù)，）的軸點(diǎn)函數(shù)的頂點(diǎn)在矩形的邊上，求的值．22.綜合與實(shí)踐問題提出：某興趣小組開展綜合實(shí)踐活動：在中，，D為上一點(diǎn)，，動點(diǎn)P以每秒1個單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，在三角形邊上沿勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為，正方形的而積為S，探究S與t的關(guān)系（1）初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動到點(diǎn)B時，①當(dāng)時，_______．②S關(guān)于t的函數(shù)解析式為_______．（2）當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示的圖象請根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長．（3）延伸探究：若存在3個時刻（）對應(yīng)的正方形的面積均相等．①_______；②當(dāng)時，求正方形的面積．

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期初三年級假期學(xué)習(xí)素養(yǎng)檢測數(shù)學(xué)試卷說明：1.全卷分試卷和答題卡，共4頁，考試時間90分鐘，滿分100分。2.答題前，請將班級、考生號、姓名填（涂）寫在答題卡。不得在答題卡其它區(qū)域做任何標(biāo)記。3.答題卡上的答案必須寫在題目指定位置上。（選擇題答案必須涂在答題卡上，凡答案寫在試卷上不給分）4.考試結(jié)束，請將答題卡上交。第一部分選擇題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根的判別式進(jìn)行計(jì)算即可；【詳解】根據(jù)一元二次方程得，，，，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；故答案為B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2.矩形、菱形都具有的性質(zhì)是（）A.對角線互相平分 B.對角線互相垂直且相等C.對角線相等 D.對角線互相垂直【答案】A【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)．由矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可直接求解．【詳解】解：∵菱形的對角線互相垂直平分，矩形的對角線互相平分且相等，∴矩形、菱形都具有的性質(zhì)是對角線互相平分，故選：A．3.某校即將舉行田徑運(yùn)動會，“體育達(dá)人”小明從“跳高”“跳遠(yuǎn)”“100米”“400米”四個項(xiàng)目中，隨機(jī)選擇兩項(xiàng)，則他選擇“100米”與“400米”兩個項(xiàng)目的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)“跳高”“跳遠(yuǎn)”“100米”“400米”四個項(xiàng)目分別為，畫出樹狀圖，找到所有情況數(shù)和滿足要求的情況數(shù)，利用概率公式求解即可．【詳解】解：設(shè)“跳高”“跳遠(yuǎn)”“100米”“400米”四個項(xiàng)目分別為，畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知共有12種等可能情況，他選擇“100米”與“400米”兩個項(xiàng)目即選擇C和D的情況數(shù)共有2種，∴選擇“100米”與“400米”兩個項(xiàng)目的概率為，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了樹狀圖或列表法求概率，正確畫出樹狀圖或列表，找到所有等可能情況數(shù)和滿足要求情況數(shù)是解題的關(guān)鍵．4.關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值為（）A. B.1 C.1或 D.0.5【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義以及一元二次方程的定義，難度較小，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的解的定義以及一元二次方程的定義進(jìn)行作答即可．【詳解】解：因?yàn)閤的一元二次方程的一個根是0，所以把代入，得，解得，因?yàn)?，即，所以，故選：A．5.如果有點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖像上，如果，則、、的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能確定【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意確定反比例函數(shù)圖像所在象限，并確定每個象限內(nèi)圖像的增減性，再利用，判斷出每個點(diǎn)所在象限，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：∵反比例函數(shù)，∴函數(shù)圖像在二、四象限，并且在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，，A、B兩點(diǎn)在第四象限，C在第二象限，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像的增減性，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖像所在象限，并且在每個象限內(nèi)的增減性．6.拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，若，則直線一定經(jīng)過（）．A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件可得出，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，分情況討論即可求出答案．詳解】解：拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，，．，∵，．當(dāng)，時，直線經(jīng)過第一、三、四象限，當(dāng)，時，直線經(jīng)過第一、二、四象限，綜上所述，一定經(jīng)過一、四象限．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系公式．7.如圖，A，B，C，三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB．【詳解】過C點(diǎn)作，垂足為D則根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，在中，所以故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法．8.小華將一副三角板（，，）按如圖所示的方式擺放，其中，則的度數(shù)為（）

A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)得出，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：如圖：設(shè)交于點(diǎn)，∵，∴，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9.如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長為；④若，則當(dāng)時，取得最大值．其中正確的為（）A.①④ B.②③ C.①②④ D.①③④【答案】A【解析】【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出的重心，即可求解；當(dāng)，時，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進(jìn)而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時，．【詳解】①有3種情況，如圖，和都是中線，點(diǎn)是重心；如圖，四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，點(diǎn)是重心；如圖，點(diǎn)不是中點(diǎn)，所以點(diǎn)不是重心；①正確②當(dāng)，如圖時最大，，，，，，，②錯誤；③如圖5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③錯誤；④如圖6，，∴，即，在中，，∴，∴，當(dāng)時，最大為5，∴④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．10.如圖，關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸有且僅有三個交點(diǎn)，分別是，對此，小華認(rèn)為：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，有最小值；③點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，符合要求的點(diǎn)只有1個；④將函數(shù)的圖象向右平移1個或3個單位長度經(jīng)過原點(diǎn).其中正確的結(jié)論有（）A.4個 B.3個 C.2個 D.1個【答案】C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖象逐個分析即可．【詳解】由函數(shù)圖象可得：當(dāng)時，或；故①錯誤；當(dāng)時，有最小值；故②正確；點(diǎn)在直線上，直線與函數(shù)圖象有3個交點(diǎn)，故③錯誤；將函數(shù)的圖象向右平移1個或3個單位長度經(jīng)過原點(diǎn)，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11.如果，那么______．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)可得，代入計(jì)算即可．【詳解】解：，，；故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積是解題的關(guān)鍵．12.現(xiàn)有兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，每枚骰子的六個面上都分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，同時投擲這兩枚骰子，以朝上一面所標(biāo)的數(shù)字為擲得的結(jié)果，那么所得結(jié)果之和不小于9的概率是________．【答案】【解析】【分析】直接利用列舉法求概率即可得．【詳解】依題意，畫樹狀圖如下所示：由圖可知，同時投擲這兩枚骰子，所得結(jié)果之和共有36種，它們每一種出現(xiàn)的可能性都相等，其中，所得結(jié)果之和不小于9的共有10種則所求的概率為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了利用列舉法求概率，依據(jù)題意，正確畫出樹狀圖是解題關(guān)鍵．13.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價各幾何？”意思是：“幾個人一起去購買某物品，每人出8錢，則多出3錢；每人出7錢，則還差4錢．問人數(shù)、物品的價格分別是多少？”該問題中的人數(shù)為__________.【答案】7人【解析】【分析】設(shè)共有x人，價格為y錢，根據(jù)題意列出二元一次方程組即可求解．【詳解】解：設(shè)共有x人，價格為y錢，依題意得：，解得：，答：物品價格為53錢，共同購買該物品的人數(shù)有7人,故答案為：7．【點(diǎn)睛】此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程組即可求解．14.如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)首次落在斜邊上，則點(diǎn)的運(yùn)動路徑的長為_________.【答案】【解析】【分析】首先證明是等邊三角形，再根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．【詳解】解：在中，∵，，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∴是等邊三角形，∴，∴點(diǎn)的運(yùn)動路徑的長為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，含直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形．15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，都在反比例函數(shù)的圖象上，延長交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接并延長，交軸于點(diǎn)，連接.若，的面積是，則的值為_________.

【答案】6【解析】【分析】過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，連接，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，證明，則，得到，根據(jù)，進(jìn)一步列式即可求出k的值.【詳解】解：過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，連接，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則，∵，∴，

∵軸于點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴，∵，的面積是，∴，∴，∴，則，即，解得，故答案為：6【點(diǎn)睛】此題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，求出是解題的關(guān)鍵.三、解答題（本題共7小題，共55分）16.計(jì)算：.【答案】【解析】【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪分別化簡，進(jìn)而得出答案．【詳解】原式．【點(diǎn)睛】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．17.為了深入推動大眾旅游，滿足人民群眾美好生活需要，我市舉辦中國旅游日惠民周活動，活動主辦方在活動現(xiàn)場提供免費(fèi)門票抽獎箱，里面放有4張相同的卡片，分別寫有景區(qū)：A．宜興竹海，B．宜興善卷洞，C．闔閭城遺址博物館，D．錫惠公園．抽獎規(guī)則如下：攪勻后從抽獎箱中任意抽取一張卡片，記錄后放回，根據(jù)抽獎的結(jié)果獲得相應(yīng)的景區(qū)免費(fèi)門票．（1）小明獲得一次抽獎機(jī)會，他恰好抽到景區(qū)A門票的概率是_________．（2）小亮獲得兩次抽獎機(jī)會，求他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫出樹狀圖，得出總的結(jié)果數(shù)和恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的情況，即可求解.【小問1詳解】解：∵共有4張相同的卡片且任意抽取一張卡片，記錄后放回，∴每張卡片抽到的概率都是，設(shè)小明恰好抽到景區(qū)A門票為事件，則,故答案為：；【小問2詳解】解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：∴一共有16種等可能的情況，恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的情況有2種，∴他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率為；【點(diǎn)睛】此題考查的是用樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.18.教室里的投影儀投影時，可以把投影光線，及在黑板上的投影圖像高度抽象成如圖所示的，．黑板上投影圖像的高度，與的夾角，求的長．（結(jié)果精確到1cm．參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】的長約為【解析】【分析】在中，由，再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：在中，，，，∴

．∴的長約為．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練的利用銳角的正切求解直角三角形的邊長是解本題的關(guān)鍵．19.某景區(qū)旅游商店以元的價格采購一款旅游食品加工后出售，銷售價格不低于元，不高于元，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)每天的銷售量與銷售價格（元）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式：（2）當(dāng)銷售價格定為多少時，該商店銷售這款食品每天獲得的銷售利潤最大？最大銷售利潤是多少？【銷售利潤=（銷售價格一采購價格）×銷售量】【答案】（1）（2）銷售價格為元時，利潤最大為【解析】【分析】（1）分時，當(dāng)時，分別待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設(shè)利潤為，根據(jù)題意當(dāng)時，得出，當(dāng)時，，進(jìn)而根據(jù)分時，當(dāng)時，分別求得最大值，即可求解．【小問1詳解】當(dāng)時，設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得，∴解得：∴，當(dāng)時，設(shè)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入得，解得：∴，【小問2詳解】設(shè)利潤為當(dāng)時，∵在范圍內(nèi)，隨著的增大而增大，當(dāng)時，取得最大值為；當(dāng)時，∴當(dāng)時，w取得最大值為，當(dāng)銷售價格為元時，利潤最大為．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．20.課本再現(xiàn)思考我們知道，菱形的對角線互相垂直．反過來，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明菱形的一個判定定理；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．（1）定理證明：為了證明該定理，小明同學(xué)畫出了圖形（如圖1），并寫出了“已知”和“求證”，請你完成證明過程．已知：在中，對角線，垂足為．求證：是菱形．（2）知識應(yīng)用：如圖，在中，對角線和相交于點(diǎn)，．①求證：是菱形；②延長至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，求的值．【答案】（1）見解析（2）①見解析；②【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明得出，同理可得，則，，進(jìn)而根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形，即可得證；（2）①勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，得出，即可得證；②根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合已知條件得出，則，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例求得，然后根據(jù)平行線分線段成比例即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形平行四邊形，∴，，∵∴，在中，∴∴，同理可得，則，又∵∴∴四邊形是菱形；【小問2詳解】①證明：∵四邊形是平行四邊形，．∴在中，，，∴，∴是直角三角形，且，∴，∴四邊形是菱形；②∵四邊形是菱形；∴∵，∴，∵，∴，∴，如圖所示，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理以及勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21.定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，并且都在坐標(biāo)軸上，則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)．【初步理解】（1）現(xiàn)有以下兩個函數(shù)：①；②，其中，_________為函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)．（填序號）【嘗試應(yīng)用】（2）函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與軸交于點(diǎn)，其軸點(diǎn)函數(shù)與軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn).若，求的值．【拓展延伸】（3）如圖，函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上取一點(diǎn)，使得.以線段的長度為長、線段的長度為寬，在軸的上方作矩形.若函數(shù)（為常數(shù)，）的軸點(diǎn)函數(shù)的頂點(diǎn)在矩形的邊上，求的值．【答案】（1）①；（2）或；（3）或或【解析】【分析】（1）求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再判斷這兩個點(diǎn)在不在二次函數(shù)圖象上即可；（2）求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再由求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式計(jì)算即可；（3）先求出，的坐標(biāo)，再根據(jù)的頂點(diǎn)在矩形的邊上分類討論即可．【詳解】（1）函數(shù)交軸于，交軸于，∵點(diǎn)、都在函數(shù)圖象上∴①為函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)；∵點(diǎn)不在函數(shù)圖象上∴②不是函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)；故答案為：①；（2）函數(shù)交軸于，交軸于，∵函數(shù)的軸點(diǎn)函數(shù)∴和都在上，∵∴∵，∴∴或當(dāng)時，把代入得，解得，當(dāng)時，把代入得，解得，綜上，或；（3）函數(shù)交軸于，交軸于，∵，以線段的長度為長、線段的長度為寬，在軸的上方作矩形∴，，,∵函數(shù)（為常數(shù)，）的軸點(diǎn)函數(shù)∴和在上∴，整理得∴∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵函數(shù)的頂點(diǎn)在矩形的邊上∴可以分三種情況討論：當(dāng)與重合時；當(dāng)在上時；當(dāng)在上時；當(dāng)與重合時，即，解得；當(dāng)在上時，，整理得，解得此時二次函數(shù)開口向下，則∴整理得：，由整理得，∴解得，∴，當(dāng)在上時，，整理得，解得∴此時對稱軸左邊y隨