福建省福州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

福建省福州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖所表達(dá)的算法，輸出的結(jié)果為（

）Ａ．2

Ｂ．1

Ｃ．

Ｄ．參考答案：D略2.用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═時(shí)，由n=k的假設(shè)到證明n=k+1時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2C．（k+1）2 D．參考答案：B【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，分別寫出n=k與n=k+1時(shí)的結(jié)論，即可得到答案．【解答】解：根據(jù)等式左邊的特點(diǎn)，各數(shù)是先遞增再遞減，由于n=k，左邊=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1時(shí)，左邊=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比較兩式，從而等式左邊應(yīng)添加的式子是（k+1）2+k2故選B．3.一條走廊寬2m,長(zhǎng)8m,用6種顏色的11m的整塊地磚來鋪設(shè)(每塊地磚都是單色的,每種顏色的地磚都足夠多),要求相鄰的兩塊地磚顏色不同,那么所有的不同拼色方法有A.個(gè)

B.個(gè)

C.個(gè)

D.個(gè)參考答案：解析：鋪第一列(兩塊地磚)有

種方法；其次鋪第二列．設(shè)第一列的兩格鋪了、兩色(如圖)，那么，第二列的上格不能鋪

色．若鋪

色，則有

種鋪法；若不鋪

色，則有

種方法.于是第二列上共有

種鋪法.同理，若前一列鋪好，則其后一列都有

種鋪法．因此，共有

種鋪法．故選D．4.下列命題中正確的是（）A．經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直B．經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面平行C．經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直D．經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一平面與已知平面垂直參考答案：A【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】A，如果過一點(diǎn)有兩條直線與平面垂直，那么這兩條直線平行，與兩直線交于一點(diǎn)矛盾；B，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知平面平行，它們?cè)谠撈矫娴囊粋€(gè)平行平面內(nèi)；C，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線垂直，它們?cè)谠撝本€的一個(gè)垂面內(nèi)；D，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直；【解答】解：對(duì)于A，如果過一點(diǎn)有兩條直線與平面垂直，那么這兩條直線平行，與兩直線交于一點(diǎn)矛盾，故正確；對(duì)于B，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知平面平行，它們?cè)谠撈矫娴囊粋€(gè)平行平面內(nèi)，故錯(cuò)；對(duì)于C，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)條直線與已知直線垂直，它們?cè)谠撝本€的一個(gè)垂面內(nèi)，故錯(cuò)；對(duì)于D，經(jīng)過平面外一點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直，故錯(cuò)；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則

A.

B.

C.

D.參考答案：B略6.已知表示兩個(gè)不同的平面，為平面內(nèi)的一條直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分又不必要條件參考答案：B略7.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，則所取的3個(gè)球恰有2個(gè)白球的概率是A.

B.

C.

D.參考答案：D8.設(shè)是虛數(shù)單位），則

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A．(－∞,1)

B．(－∞,0)和(0,1)

C.(－∞,0)

D．(0,1)參考答案：B由題得，令，所以x<1,因?yàn)閤≠0，所以x＜1，且x≠0，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，故選B.

10.已知等比數(shù)列{an}中，，，則（

）A．±2 B．－2 C．2 D．4參考答案：C因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，，所以，，即，，因此，因?yàn)榕c同號(hào)，所以，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則的最小值為_________.參考答案：略12.已知函數(shù)，則不等式的解集為__________．參考答案：（－3,2）【分析】先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式等價(jià)于，利用一元二次不等式的解法可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，時(shí)，，且在上遞增，時(shí)，，且在上遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式等價(jià)于，

解得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式與單調(diào)性，屬于中檔題.解決抽象不等式時(shí)，切勿將自變量代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解，首先應(yīng)該注意判斷函數(shù)的單調(diào)性．若函數(shù)為增函數(shù)，則；若函數(shù)為減函數(shù)，則．13.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是＿＿＿

參考答案：略14.已知點(diǎn)是橢圓上的在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，又、，是原點(diǎn)，則四邊形的面積的最大值是

。參考答案：15.隨機(jī)向邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中投一點(diǎn)P,則點(diǎn)P與A的距離不小于1且使為銳角的概率是__________________．參考答案：=16.正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E為A1B1的中點(diǎn)，則下列五個(gè)命題:①點(diǎn)E到平面ABC1D1的距離為；②直線BC與平面ABC1D1所成的角為450；③空間四邊形ABCD1在正方體六個(gè)面內(nèi)形成的六個(gè)射影平面圖形，其中面積最小值是；④AE與DC1所成的角的余弦值為；⑤二面角A-BD1-C的大小為?．其中真命題是

．（寫出所有真命題的序號(hào)）參考答案：②③④17.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，則

.參考答案：－2－3i由題意得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（2，-3），它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為（-2,3），故，所以．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.對(duì)任意函數(shù)，可按下圖所示構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器,其工作原理如下:①輸入數(shù)據(jù),經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出;②若,則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作;否則計(jì)算.現(xiàn)定義.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若輸入,則由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列，寫出的所有項(xiàng)；（Ⅲ）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)的值。

參考答案：解析：（Ⅰ）

（Ⅱ）由框圖知

，所以當(dāng)時(shí)，則依次可得，即為（Ⅲ）由或，即當(dāng)或時(shí)，故當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，。19.已知圓M：（x+1）2+y2=，圓N：（x﹣1）2+y2=，動(dòng)圓D與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心D的軌跡為曲線E．（1）求曲線E的方程；（2）若雙曲線C的右焦點(diǎn)即為曲線E的右頂點(diǎn)，直線y=x為C的一條漸近線．①求雙曲線C的方程；②過點(diǎn)P（0，4）的直線l，交雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合），當(dāng)，且λ1+λ2=﹣時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由題意的定義可知：長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓，即可求得橢圓方程；（2）①求得雙曲線方程，焦點(diǎn)為（﹣2，0），（2，0），則，即可求得雙曲線C的方程；②方法一：設(shè)l的方程，代入橢圓方程，由向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用λ1，λ1表示出A和B點(diǎn)坐標(biāo)，則λ1，λ2是二次方程的兩根，利用韋達(dá)定理即可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．方法二：設(shè)l的方程：y=kx+4，，﹣4=λ1y1=λ2y2，，將直線方程代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理即可求得k的值，求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，∴|PM|+|PN|=（R+r1）+（r2﹣R）=r1+r2=4，…由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓，…（求出a=2，c=1給，求出得1分）則此方程為．…（2）設(shè)雙曲線方程為，由橢圓，求得兩焦點(diǎn)為（﹣2，0），（2，0），∴對(duì)于雙曲線C：c=2，…又為雙曲線C的一條漸近線，∴，解得a2=1，b2=3，…

故雙曲線C的方程．…（3）解法一：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零．設(shè)l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），則Q（﹣，0），∵，則（﹣，﹣4）=λ1（x1+，y1），…∴，從而，∵A（x1，y1）在雙曲線C上，∴（）2﹣﹣1=0，…16+32λ1+16﹣k2﹣k2λ12=0，同理有．…若16﹣k2=0，則直線l過頂點(diǎn)，不合題意，∴16﹣k2≠0，∴λ1，λ2是二次方程的兩根．∴，∴k2=4，…

此時(shí)△＞0，∴k=±2．∴所求Q的坐標(biāo)為（±2，0）．…解法二：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零設(shè)l的方程：y=kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），則．∵，∴．∴﹣4=λ1y1=λ2y2，∴，，…

又，∴，即3（y1+y2）=2y1y2，…將y=kx+4代入，得（3﹣k2）y2﹣24y+48﹣3k2=0，…∵3﹣k2≠0，否則l與漸近線平行．∴．…∴，∴k=±2，∴Q（±2，0）．…20.（本小題滿分12分）

在等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列中，，的前8項(xiàng)和

(I)求和；

(II)令，求參考答案：21.本小題滿分8分某商場(chǎng)為經(jīng)營(yíng)一批每件進(jìn)價(jià)是10元的小商品，對(duì)該商品進(jìn)行為期5天的市場(chǎng)試銷．下表是市場(chǎng)試銷中獲得的數(shù)據(jù)．銷售單價(jià)/元6550453515日銷售量/件156075105165根據(jù)表中的數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）試銷期間，這個(gè)商場(chǎng)試銷該商品的平均日銷售利潤(rùn)是多少？（2）試建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能較好地反映日銷售量（件）與銷售單價(jià)（元）之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出這個(gè)函數(shù)模型的解析式；（3）如果在今后的銷售中，該商品的日銷售量與銷售單價(jià)仍然滿足（2）中的函數(shù)關(guān)系，試確定該商品的銷售單價(jià)，使得商場(chǎng)銷售該商品能獲得最大日銷售利潤(rùn)，并求出這個(gè)最大的日銷售利潤(rùn)．(提示：必要時(shí)可利用右邊給出的坐標(biāo)紙進(jìn)行數(shù)據(jù)分析)．參考答案：（3）設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷售利潤(rùn)為P元，由（2）知

……………7分即當(dāng)該商品的單價(jià)為每件40元時(shí)，商場(chǎng)銷售該商品的日銷售利潤(rùn)最大，為2700元．

………………822.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸是短軸的兩倍，點(diǎn)P（，）在橢圓上，不過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)直線OA、l、OB的斜率分別為k1、k、k2，且k1、k、k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列，記△AOB的面積為S．（1）求橢圓C的方程；（2）試判斷|OA|2+|OB|2是否為定值？若是，求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由？（3）求△AOB面積S的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)橢圓C：+=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸是短軸的兩倍，點(diǎn)P（，）在橢圓上，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓C的方程．（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消去y，根據(jù)k1、k、k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求出k，進(jìn)而表示出|OA|2+|OB|2，即可得出結(jié)論；（3）表示出△ABO的面積，利用基本不等式，即可求S的最大值．【解答】解：（1）由題意可知a=2b且，∴a=2，b=1，∴橢圓C的方程為：．（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由直線l的方程代入橢圓方程，消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴x1+x