山東省濰坊市2022-2023學(xué)年高三年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷類型：A

局二數(shù)學(xué)

2023.1

本試卷共4頁.滿分150分.考試時間120分鐘.

注意事項：

L答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)全集U=R,集合”=卜7刃，3=印-4之。｝,則集合()

A.1-1B.1C[L?)D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式化簡集合A,B,再利用補集、交集的定義計算作答.

【詳解】解不等式卜得：1SX43,則4=[L3],

解不等式二-420得：1之2,則3=[二+°°),QrB

所以.SiGBEiQ

故選：C

2.若復(fù)數(shù)二滿足--，貝憶4()

12.12.1「一12.

A.55B.55c.55D.55

【答案】D

【解析】

【分析】首先計算1皿=1,再利用復(fù)數(shù)的除法運算求二，再根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的定義求解.

【詳解】1皿=產(chǎn)、,

_r_r(2+i)J—=]%

所以:二有二仁7|(1+|「丁二§一二,

12.

r=-+-t

則55.

故選：D

3.已知函數(shù)[x.xvsinx.則1.6J（）

x.73

A.6B.TC.2D.T

【答案】B

【解析】

2＞nn^/⑶

【分析】根據(jù)。5再利用分段函數(shù)定義即可求得（6）的值.

n一n1

—Nsin-=-

【詳解】由題意可知，b62,滿足12”nx.

/f—=HD—=—

所以⑺62.

故選：B

4.若一組樣本數(shù)據(jù)”、“2、…、。的平均數(shù)為10,另一組樣本數(shù)據(jù)M+4、2.TJ+4...

的方差為8,則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為（）

A.17,54B,17,48C,15,54D,15,48

【答案】A

【解析】

??

Vx

【分析】計算出H'、=的值，再利用平均數(shù)和方差公式可求得合并后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.

1""

一2%=102七=1。神

【詳解】由題意可知，數(shù)據(jù)”、4、…、I的平均數(shù)為10,則"七,則二

所以，數(shù)據(jù)二.+4、1為+4、…、+[的平均數(shù)為

=+4）=二+4=2x10+4=24

案+4）-?？赡巍璚——xnxlO3x-V-400s8

方差為nni

2＞；=10%

所以，i

將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)、、％、…、4、＞】+4、2》）+4、…、二、+」的平均數(shù)為

1■\1

=；工、+4=：（37。+4）=17

丁'1￡（改-】7『+宓28+4-】71=二（5為〈一86力8+45即］

方差為-71-\「】「】

=—（5xl02?-860n+458n）=54

%

故選：A.

5.宋代制酒業(yè)很發(fā)達，為了存儲方便，酒缸是要一層一層堆起來的，形成堆垛，用簡便的方法算出堆垛中

酒缸的總數(shù)，古代稱之為堆垛術(shù).有這么一道關(guān)于“堆垛”求和的問題：將半徑相等的圓球堆成一個三角

垛，底層是每邊為〃個圓球的三角形，向上逐層每邊減少一個圓球，頂層為一個圓球，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)

2,3,4時，圓球總個數(shù)分別為1,4,10,20,則"=5時，圓球總個數(shù)為（）

【答案】B

【解析】

【分析】求出底層個數(shù)，加上前4層總數(shù)20即可.

【詳解】當(dāng)〃一：,2,3,4時，圓球總個數(shù)分別為1,4,10,20,

所以當(dāng)〃=4時，每層圓球的個數(shù)分別為1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,

(1+5)X5

1+24-3+4+5=-------------=15

可得,"=5時，底層有

故一共有20+15=35個球.

故選：B

6.已知正三棱錐尸的側(cè)棱長為方，點E,尸分別在線段FC,3「（不包括端點）上，且

EFPB,乙壯F-90?，若點M為三棱錐尸-,45。的外接球的球面上任意一點，則點到平面

.45C距離的最大值為（）

4次3

A.3B.4C.2D.2

【答案】C

【解析】

【分析】畫出圖形，結(jié)合圖形輔助線，利用已知條件說明線面垂直，找出球心，建立直角三角形中相應(yīng)的

關(guān)系，建立等量關(guān)系，解出三棱錐外接球的半徑，根據(jù)圖形分析最大值即可.

【詳解】取為「的中點D,連接3DFD,如圖所示：

p

在正三棱錐尸-43。中，EA=尸日=尸。=

所以尸DJ_47,

下底面為等邊

所以BD_L4C,

由PDcBD-D,

所以J?平面月8D,

又尸Bu平面尸8D,

所以P8_L47,

因為即PB,ZX5F-90',

所以短，呼，

所以,45_LF8,

由，超CMC=.4,

所以PB_L平面尸

又HFu平面EXC,

所以PB1PA,所以3尸8=90°,

犯=BC=AC=4Pd+PB'=.扃+|6；=#

設(shè)三棱錐的外接球球心為。，75c外接圓的圓心為q,

連接產(chǎn)a?月.，月。，則在正三棱錐中，底面為正三角形,

所以q一定在8。上，且。一定在比1上，

同時尸aJ?平面/5。，

在入西「中由正弦定理得：

2Ao「§^=4=2軍nAO「邪

sin60

在中，股=，4二尸3="肉’-（?’=1

3

在RtAOZQ巾AO=AO^OO^=（0廣+1Poi-POf

IX,十，，

設(shè)球體的半徑為R,

相="（1-R）'=*=2+】?2R+*=R=三

所以2,

歿=『。「尸。|=1-翡?

所以--,

所以三棱錐尸一，鉆，的外接球的球面上任意一點〃到平面距離的最大值為:

歿+匠=架=2

故選：c.

7.已知。為坐標(biāo)原點，A3是拋物線寸=4T上的動點，且Q4_L08,過點。作0H_L43,垂足為

月，下列各點中到點目的距離為定值的是（）

A.（L。）B.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意可設(shè)直線&的方程x-"n、+”，聯(lián)立拋物線方程再利用Q4_L°B,可得，i=4,法

：可知H在圓上運動進行判斷，法二再由W48得出0H的方程為尸=一巾1,解得

，代入選項逐一驗證是否為定值即可得出答案.

【詳解】法一：設(shè)直線.拈方程為XF+"，"彳川凱不"

聯(lián)立直線和拋物線方程整理得『一』“丁一」"=°,

所以."+.?=4m,丁＞匕=-4力

城乃'A

又。4_LOB,即。4?。8=0,所以44可得“、=一16,即”=4；

則直線A3、=可'+4過定點D（4,0）因為OH1AB,則點〃在為直徑的圓上（其中圓心坐標(biāo)為OD

中點（2,0））,故（2,0）到”的距離為定值

故選：B

J4（-,n），3（"[?心）

法二：設(shè)直線&方程為XT節(jié)+L4?"4

聯(lián)立直線和拋物線方程整理得/一」F'?+；二°,

所以】、+=4加,.iv'j■y”

X+_Q

又。4_L08,即。4?。8=0,所以4*4+3^3~可得》g=-16,即〃=4；

(4-4m、

HJ3

又因為。打LAB,所以。月的方程為丁=一所、，解得\m+rw?+1>

4丫+（?4加丫Jwi，+10w，+9

“0到點月的距離為W川+iJ〔一+1"+i不是定值;

對于A,

V4m*+8wJ+4

1,°）到點的距離為J

對于B,Hm+l為定值;

y/5m*+16w,+18w3+16w+13

J3

對于C,到點，的距離為m+Lm+i不是

定值；

y/5>n*+8mJ+10IW1+8>n+5

/*>n

對于D,到點H的距離為不是定

值.

故選：B

【點睛】方法點睛：定值問題通常思路為設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之

積，應(yīng)用設(shè)而不求的思想，進行求解；注意考慮直線方程的斜率存在和不存在的情況.

8.已知定義在E上的函數(shù)?'（”滿足"°）=1,對Yx,PWR,有

目工1

￡?_

2023202420232023

A.4050B,2025c,4048D.五T

【答案】A

【解析】

【分析】由已知可推得/⑴令J'=l,得出/（X+】）=2〃X）T.設(shè)4=/向，"€干則

11____1

。?「5+）=m-（”+1）］,由可得+1又/⑺仆代入求和

即可得出結(jié)果.

【詳解】令x=F=°,由已知可得/⑴⑼+?=；

令'=1,由己知可得了心、+1）=/⑴/⑴T⑴一*+2=-/（二）一、，

設(shè)4=財7?,1=Z,-"，整理可得++

又用=2,所以(岸+、=?[。?一("+11]=°,所以4="1.

]_]_[_J____1_

貝卜〃44&U+1)(1+2>i+1/+2

w1111111112023

所以七233445202420254050

故選：A.

【點睛】方法點睛：對于抽象函數(shù)的問題，常用賦值法：賦確定值求解函數(shù)值，賦確定值及可變值可得函

數(shù)關(guān)系式.

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每個小題給出的選項中，有

多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.關(guān)于下列命題中，說法正確的是()

A.已知X~B(")，若司乃=3。，切工)=，則P=：

B.數(shù)據(jù)91,72,75,85,64,92,76,78,S6,79的45%分位數(shù)為內(nèi)

C.已知少”，若尸-1)=乙則尸—S°)《P

D.某校三個年級，高一有40°人，高二有360人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校抽取，7人，已知從高一抽

取了10人，則應(yīng)從高三抽取19人.

【答案】BCD

【解析】

_￡

【分析】根據(jù)二項分布期望和方差公式可構(gòu)造方程求得‘-3,知A錯誤；將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排

序后，根據(jù)百分位數(shù)的估計方法直接求解知B正確；由正態(tài)分布曲線的對稱性可求得C正確；根據(jù)分層

抽樣原則可計算得到高二應(yīng)抽取學(xué)生數(shù)，由此可得高三數(shù)據(jù)，知D正確.

3(萬)=叩=30,?

【詳解】對于A,(D(X)=np|1-p)=201p~3,解得：P~l,A錯

誤；

對于B,將數(shù)據(jù)從小到大排序為64,72,75,76,78,79,85,86,91,92.

?.?10x45%=4.5,145%分位數(shù)為第5個數(shù)，即內(nèi)，B正確；

對于c,n~N(0J,

---C正確；

對于D,?.?抽樣比為40020,高二應(yīng)抽取20人，則高三應(yīng)抽取5丁-工，-15=19人，D

正確.

故選：BCD.

io.在棱長為i的正方體co4弓口加中，點尸為線段乂A（包括端點）上一動點，則（）

A.異面直線月工；與44所成的角為

B.三棱錐外-尸301的體積為定值

C.不存在點P,使得心上平面PCD

D.網(wǎng)+尸C的最小值為3+#

【答案】AB

【解析】

【分析】證明得到4G"71c求出」D/「=6C「，即可得出A項；證明皿〃平面三。匚瓦，然后求

出一3-66,根據(jù)等積法即可求出B項；取乂4中點為p,

可證明平面尸CD,即可說明c項錯誤；將4員編和A。?也展開到同一平面，當(dāng)點P為

映.交點時，尸3+FC有最小值.在HBC中，由余弦定理求出BC'=3+#,即可得到最小值,

說明D項錯誤.

【詳解】圖?

對于A項，如圖1,連接3".因為皿/C,g都是正方體面對角線，所以皿=AC=CI\

所以是等腰三角形，所以4）/0=60".又44"CG且所以四邊形是平行四

邊形，

所以4G〃4。,所以異面直線段與4cl所成的角即等于皿與4c所成的角C=60',故A項

正確；

對于B項，因為沏且檢=0a,所以四邊形是平行四邊形，所以皿

因為3GU平面4R（z平面BGC14,所以皿〃平面瓦.

所以點尸到平面S°禺:洗巨離即等于點A到平面BcciBi的距離

&_IS-?M='1-x5x5x5lC\=:

l\x.=—xAfixSx.=—xABxxAC,=—l\=—

所以366,又6是個定值，故B項

正確;

圖2

對于C項，如圖2,取皿中點為尸.因為04=皿，尸是心中點，所以0P上股.

又由已知可得，8,平面心44,皿U平面忿)44,所以CDJ?①.又CDCD尸=D,

且COu平面尸CD,DPu平面尸CD,所以皿■*?平面尸CD,即存在點尸，使得曲■*?平面

PCD,故c項錯誤;

圖3

對于D項，如圖3,將0明和二匚碼展開到同一平面，當(dāng)點P為心4。交點時，尸5+P0有最小

值.

因為忿1=＜。="\=上，所以二°/。=60*,又NA4R=90',所以NfiAC=］50,.在a姐C*

中，

=3+4"

由余弦定理可得，5C3=AB3+AC1-2ABA?cos150*

所以產(chǎn)B+尸C的最小值為加存，故D項錯誤.

故選：AB.

，/、aJ-(x+2)(x-6)

〃x)=工'-)

11.已知函數(shù)5+二十"6-，，其中，7為實數(shù)，則()

A.’”的圖象關(guān)于r對稱

B.若''F在區(qū)間［二』上單調(diào)遞增，貝卜,口

C.若;?；=［，則‘,V的極大值為1

D.若則一”的最小值為。

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)定義域為卜？?6］,由=可得人正確；將函數(shù)整理變形，構(gòu)造

(Jx+2+&-x4

函數(shù)?二十一J-求導(dǎo)可得其單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性即可判斷B錯

誤；當(dāng)。=1,由的單調(diào)性可知在X=1處取得極大值為1,即C正確；若加＜0,同理可得

'”的最小值為。，所以D正確；即可得出正確選項.

【詳解】由題意可知，函數(shù)的定義域為卜［6］,

_a'_16-x)(一」-與af(x+2)(x*-6)

則47€卜,6］,所以14—"=k+k=k+g

可得對于［'［-'bl門4-…/E,所以"的圖象關(guān)于、對稱，即A正確；

aJ—(x+2)(x—6)//、aJ6-xyJx+2/Jx+2+J6-x4

由./■+!+、-；可得Jx+2+j6-xI--1+2+J6-Xj

Vx+2+j6-x4

令g("=2E+g,，6卜,6］,

當(dāng)"e【26］時g'(x)＜0,函數(shù)*(*)為單調(diào)遞減;

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，若在區(qū)間［一』上單調(diào)遞增，則：：、0,故B錯誤;

1/、Jx+2+J6--4

/(x)=g?x)-------------------------——.

當(dāng)a=l,則2W77+后；，

所以/⑶在i?2處取得極大值/m=i,

即''”的極大值為1,故C正確；

若白＜°,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知'(、)在區(qū)間「［二］上單調(diào)遞減，［,6］上單調(diào)遞增;

所以-D在處取得極小值，也是最小值,

所以“<°,則一”的最小值為。，即D正確;

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于通過觀察函數(shù)特征，將函數(shù)?門”改寫成

〃加v4—y/x+2+2-yj6-X「Gw4J

再通過構(gòu)造函數(shù)

/\〃+2+出-X4

11

g(=------；-----------，/T

、八1+_—+Jrb——-\,結(jié)合參數(shù)。的正負利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)「?的單調(diào)性和極值

即可.

_1<<<_i<

口.若數(shù)列:“滿足的?$1',則稱數(shù)列SJ為“差半遞增，，數(shù)列，則

()

A.正項遞增數(shù)列均為“差半遞增”數(shù)列

B.若數(shù)列1°.的通項公式為4二q'q,則數(shù)列〔4；為“差半遞增”數(shù)列

C.若數(shù)列〔°*；為公差大于0的等差數(shù)列，則數(shù)列1°*'為“差半遞增”數(shù)列

D.若數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，其前八項和為S”，且滿足Z=%。一二""一’，則實數(shù)r的取值范圍為

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用數(shù)列1,4,5作為反例可判斷A選項，利用作差法結(jié)合等比數(shù)列的通項公式比較得

11

^一一

-可說明B選項，利用作差法結(jié)合等差數(shù)列的通項公式比較得

I(I)

a”]——>4__—(\

J可說明C選項，根據(jù)％,■的關(guān)系求出數(shù)列d-通項公式，再根據(jù)“差半遞

增”數(shù)列的定義列出不等式可求。的取值范圍，從而判斷D選項.

【詳解】對于A,假設(shè)一個正項遞增數(shù)列為：1,4,5,

則.

不滿足“差半遞增”數(shù)列，A錯誤;

對于B,因為q=q"國

因為g>i,所以函數(shù)'二二/一汨+i單調(diào)遞增，所以當(dāng)丁>]_?+[=°,

1a??「7a）>/4-：7一）f\

即'：）'-）恒成立，所以數(shù)列L%，為“差半遞增”數(shù)列，B正確;

對于C,設(shè)公差d>o,a.=%+ST）d,o,4=?,+（?-2）d,&“=%+〃”

a.—o?_i=」+-"d.a*.——CL="+-+-d

所以"2i222^222,

（1W\}

Ia”[■T*^tI>Ia.—彳f\

所以l;>v-J,數(shù)列為“差半遞增”數(shù)列，C正確；

對于D,因為2=4-"-',所以，=SI=%-4T,所以/=4+f,

當(dāng)"2]時，a~S-S-2a-2a-），

所以4-所以丁I。1

所以數(shù)列圖為等差數(shù)列,公差為1,所以等吟—“

=2"（?+1/+1）

q

所以

所以對任意“eNj：C*1鏟）>1"2"力，即

2**\n+—t+2）—-]"（萬++1）〉丁偽+不，+1）（萬+：r）

&”+—f+2)-2(n+—/+1)>4(浦+—z+D-(萬+L)

所以.？222,

-6n-20

t>--------

所以3,因為“eNM：

-6〃一？032

所以當(dāng)％=2時3有最大值為T,

32

￡》——

所以3,D正確；

故選:BCD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.如圖所示，A,B,0,D是正弦函數(shù)r-nni圖象上四個點，且在A,「兩點函數(shù)值最大，在

B,D兩點函數(shù)值最小，則

【答案】1%'

【解析】

【分析】由圖象得出各點的坐標(biāo)，進而表示出向量，根據(jù)向量以及數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可得出答案.

【詳解】由圖象結(jié)合正弦函數(shù)可得，）,V-）,\-）,-）,

所以=I2兀0)OC+OD=(6n.O)

（E+而）（而+而）=2nx6n=12-

故答案為：口兀.

14.已知函數(shù)」?=%11'+'cos;且"1-6由對任意工￡R恒成立，若角￡的終邊經(jīng)過點

尸（4.m,則雨=.

【答案】3

【解析】

【分析】由輔助角公式得e表達式，后可得答案.

［詳解］/(T)-3flnx+4cosx-5sin(K+，i其中t甌**,

=5+2bi.keZ^6=--<p+2hi>kEZ

則.*22,

tan^=tan彳-1=j-■~=~—=—^m=3

則I-Jtan。4,則44

故答案為：3

15.寫出一個同時滿足下列三個性質(zhì)的函數(shù).

①”是奇函數(shù)；②/'"在?’.81單調(diào)遞增；③/<'］有且僅有3個零點.

【答案】x［x+l)(x-1)（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，若函數(shù)有且僅有3個零點則原點兩側(cè)各有一個，再保證

單調(diào)遞增即可寫出解析式.

【詳解】由“"是奇函數(shù)，不妨取二°,且函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱；

又有且僅有3個零點，所以原點兩側(cè)各有一個零點，且關(guān)于原點對稱，

若保證/（*）在（2*8）單調(diào)遞增，顯然〃滿足.

故答案為：-h（答案不唯一）

C'->6>0）_

16.設(shè)雙曲線/的右頂點為A,過點A且斜率為2的直線與。的兩條漸近線分別

交于點尸，Q.若線段的中點為M,5，則.的離心率@=.

屏

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得出直線方程，與漸近線方程聯(lián)立解得交點尸，。的坐標(biāo)，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式求

J2ab3},.J?d

出,4.-b丸-b由直線斜率為2以及I5利用余弦定理解得5,再利用

兩點間距離公式可得關(guān)于的方程，解得I」-s即可求得離心率.

【詳解】由題意可知雙曲線的兩條漸近線方程為」=

過點A且斜率為2的直線方程為〕'=-,

，=2,=_6

不妨設(shè)直線】二一'：|與漸近線‘-a’交于點P,與漸近線‘-交于點0

a如下圖所示:

同理得（勿+丁為+所以改的中點“為1"一"4a'-"

、c…立

設(shè)過點A且斜率為2的直線的傾斜角為a,Bptaiia=2,可得

J5

cosZOAM=_cosa=—~-

所以5,

0/=04、6-2x04x■xcos/O4A/==

由余弦定理可得5

(2abJy8/

14aL%T

叵

故答案為：3

【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題離心率問題時，關(guān)鍵是聯(lián)立直線與漸近線方程解得交點尸，。的坐標(biāo)得

出中點”的坐標(biāo)，再利用斜率以及由余弦定理找出等量關(guān)系，建立關(guān)于°力的方程，即可求得離心

率.

四、解答題：本大題共6道小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知正項數(shù)列滿足勺=1,“7+丁"'N*）

（1）證明：數(shù)列?%+”是等比數(shù)列，并求數(shù)列1°.的通項公式;

（2）設(shè)&=（T）-（4+1）,數(shù)列傳■｝的前〃項和為工，求工.

【答案】（1）證明見解析，4=y-L”eN*

字,”為奇故

4

2.〃為我敢

（2）4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)遞推公式將其分解整理可得小?】二:4+1,兩邊同時加1即可證明數(shù)列〔&+】是等

2=（一】17

比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式即可求出數(shù)列t’A的通項公式；（2）由（1）可寫出2,分

別對“是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進行分類討論即可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

將等式右邊分解得“7(4+>=(%?+1)(4+)

因為已知牝所以優(yōu)+1,

所以%.+l=1q+h,

所以數(shù)列是首項為例+】=2,公比為2的等比數(shù)列,

所以4+】=(%+D

即--―.

所以數(shù)列'的通項公式為4=/一】，"亡N*

【小問2詳解】

4=(-1門。g.丁=(-］「7

結(jié)合(1)知

一力—1”—

--—.〃為奇數(shù)

4

4=

2.〃為偶《(

所以數(shù)列作」的前項和4

18.在銳角三角形3C中，內(nèi)角4的對邊分別為。，b,c,已知

cosCsin(^4-B)=cos5sin(C-^4)

(1)求tan4的最小值;

(2)若tan,4=［，a=475,求c.

【答案】(1).

⑵c=§75"或3\/iF

【解析】

【分析】(1)利用兩角差的正弦公式展開整理可得二cos°co$3=CO￡4,再利用三角形內(nèi)角關(guān)系化簡

得tan8tanC-3,由銳角三角形,45?？芍?，利用兩角和的正切公式和基本不等式即可求得tan.4的最小

值；(2)根據(jù)tanH=2可求得tan(7=l或tan0=3,即可求出角0的正弦值，再由不利用正弦

定理即可求得c.

【小問1詳解】

由已知得c°$C(s1n8-cosAsinB)=cossinCeosA-in>4)

整理得2cosCsinAcotB=cosAMA,

因為sin4>0,所以2cosCeos3=cos.4,

又因為cos4=-cos(5+C)=-cosBcosC+sm5sinC

所以sin36m(?=3cosceosB,

可得tanStan〔'■3,

44/.zvitan3+tanCtan3+tanC、/—=---/r

tanj4=-tan|BB+C)=------------------=-----------------NjtanBtanC=J3

tan5tanC-l2

當(dāng)且僅當(dāng)t809=5C=有時等號成立,

故tan4的最小值為，.

【小問2詳解】

由(1)知tan<=2,所以tanB+tanC=4,

又因為tan8talic-3,所以tanC=l或tanC=3,8分

sinC=——c----smCx5-/2

當(dāng)tan(?=l時，二，由正弦定理得sin.4

3Vli0a__cTT

__sinC=-------c=------sinC=3vi0

當(dāng)tanC=D時，10,由正弦定理得sui^4

綜上，<-=5右或

19.一個不透明箱子中有除顏色外其它都相同的四個小球，其中兩個紅球兩個白球的概率為3,三個紅球

1

一個白球的概率為3.

（1）從箱子中隨機抽取一個小球，求抽到紅球的概率；

（2）現(xiàn)從箱子中隨機一次性抽取兩個或三個小球，已知抽到兩個小球的概率為彳，抽到三個小球的概率

1

為Z,所抽到的小球中，每個紅球記2分，每個白球記-1分，用x表示抽到的小球分?jǐn)?shù)之和，求x的分

布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）12

5（X|=—

（2）分布列見解析，16

【解析】

【分析】（1）根據(jù)離散型隨機變量的性質(zhì)結(jié)合條件概率求解即可；（2）由題意先找出隨機變量X的

值，分別求出各自的概率，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.

【小問1詳解】

記事件A表示“抽取一個小球且為紅球”，周表示“箱子中小球為兩紅兩白”，耳表示，，箱子中小球為三紅

一白”，

*>1137

=點用）氏/I鳥）+戶段）尸（川號）="x-+-x-=—

則323412.

【小問2詳解】

由題意得X的取值可以為一），0,1,3,4,6,

111

P^s0)=r_xr_

211,1137

P?Xv=3)=x—xx

34234448,

隨機變量X的分布列為:

X01346

1111751

P

n1224482448

所以工的分布列及數(shù)學(xué)期望為:

E?A?=|-2)x+。x+lx^-4*3x^―+4x^―+6x^-=^―

12122448244816.

20.已知三棱臺4夕￡-加C中，叢?*■底面用C,AB=AC^2,M=45i=1,陽，4°1,

E,尸分別是3C,3%的中點，。是棱4cl上的點.

小

A

B

(1)求證：HOLDS'；

(2)若D是線段44的中點，平面。E尸與44的交點記為M,求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)13

【解析】

【分析】(1)利用底面3。，,明，4。1以及棱臺的幾何特征即可證明4?_L平面兒&區(qū)8,

再利用線面垂直的判定定理證明工平面即可得出結(jié)論；(2)首先由幾何關(guān)系確定M的位

4MH二

置，即3,再建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量即可求得面角入!一月0-3的余弦值.

【小問1詳解】

如圖所示：

取線段A5的中點G,連接4」，EG,易得口4ER,所以G,4,。四點共面.

因為盟"LAG,44〃/。，所以盟_L4C,又因為M_L底面"c,4Cu平面而

所以陽_L/。，因為檢cA4=4,用u平面以時，Mu平面附用8,

所以4CJ■平面58,

因為E,G分別是BC,34的中點，所以MG.47,所以EGJ?平面4兄

因為44U平面以43,所以4瓦_1_33

因為乂4=44=/G=1,44AGt

又因為制L4G,所以四邊形外國。是正方形，所以徵L《G,

又因為EGPI4G=G,屈3U平面4「EG,4Gu平面4DEG；

所以M_L平面4DEG,因為DEu平面40EG,所以留_LDE.

【小問2詳解】

延長^尸與C】馬相交于點0,連接。。，則DQ與的交點即為

由尸，E分別為踢和RC的中點知M為線段4M的三等分點，且4"一3,

由(1)知4c-L^,所以NC、AB、4兩兩垂直，

以點A為原點，ZC所在的直線為二軸，至所在的直線為.「軸，且為所在的直線為二軸建立空間直角坐

標(biāo)系工一。?

。(20.0)而=(2,0,0)■=［弓1)

'2a=0

設(shè)平面M4C的法向量內(nèi)=(6也。)，則+。一一取b=-3,則％=10「3二)

易得平面ZBC的一個法向量％=(°，°」?,

設(shè)二面角八/一4(?一3為8,由圖易知d為銳角，

所以二面角M-AC-3的余弦值為13

C,-f+J=l(a>6>0)ppr/T。(",一三)

21.已知橢圓。i的左，右焦點分別為“，八,焦距為-J，，點K〃在

C上.

(1)P是。上一動點，求朗M的范圍；

(2)過C的右焦點吊，且斜率不為零的直線，交c于M,N兩點，求一月時7'；的內(nèi)切圓面積的最大值.

【答案】⑴卜二』

K

(2)4

【解析】

士+?3-1

【分析】(1)結(jié)合焦距及點°坐標(biāo)，求得橢圓c的方程：T3~,設(shè)點尸('丁|,得

耳兩

4-一,結(jié)合橢圓有界性解得范圍即可；

(2)設(shè)直線；的方程為1:“尸+6聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達定理得】、+”,】口、，利用等面積法求解內(nèi)切

圓半徑，進而求得內(nèi)切圓面積.

【小問1詳解】

由題意知。=相，所以a'=V+3.

將點。J代入6’+3^^-1,解得b=l,所以橢圓°的方程為：~4+y=1