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文檔簡介
2023年高考數(shù)學總復習第3講:函數(shù)應用
選擇題(共10小題,滿分50分,每小題5分)
x2-l,x≥0,
1.(5分)(2022春?如皋市期中)已知函數(shù)f(χ)[?若/(/(〃))=-1,
X<Cθ,
.X
則a—()
A.1或-1B.1或0C.1或-1或0D.-1或0
2a
X-ax÷^?,x:≥l
2.(5分)(2022春?安徽期中)若函數(shù)f(x)=,在R上單調(diào)遞增,則
(2a+2)χ-5,x<1
實數(shù)。的取值范圍為()
-b
?-(l>?)?(-1.?]C.(-1,2]D.(-I,2)
DD
(9
x?x+lX41,若函數(shù)g(χ)
3.(5分)(2022?南開區(qū)校級模擬)已知函數(shù)f(X)=
,2X2-8X+10x>1
=∕(x)+1X-II-。恰有兩個零點,則實數(shù)α的取值范圍是()
A.∪(4,+8)B?普,4)
C.-KDO)D.(1,+co)
2?θ
4.(5分)(2022?南京三模)已知/(x)=<',若Vx21,f(x+2w)+ιnf(x)
-X2?x<0
>0,則實數(shù)的取值范圍是()
A.(-1,+∞)B.(-?,+8)C.(0,+∞)D.(-?,1)
42
》。
2X-1+21-X.2IX
5.(5分)(2022?江西二模)已知函數(shù)/(x),f(??)=/(X2)
IIog4(-χ)I,x<0
—f(X3)—f(X4),且X1<X2<X3<X4,則Xl+X2+X3+X4的最小值是()
A.-2B.3C.-1d
1^?4
χ-2,x≤m
6.(5分)(2022?鄭州二模)若函數(shù)f(X)=?是定義在R上的增函數(shù),則
x2-2x,x>m
實數(shù)機的取值范圍是()
A.(-∞,1]U{2}B.{1}U[2,+∞)C.(-8,1]D.[2,+∞)
第1頁(共35頁)
J?*-?,x>θ.若小)=_],則實數(shù)
7.(5分)(2022?朝陽區(qū)一模)已知函數(shù)f(
-2x,X<C0.
加的值為()
A.-2B.?C.1D.2
2
f
4x<4
8.(5分)(2022?惠州一模)已知/(x)=.,則當QO時,/(2x)
(χ-16)2-143,X>4
與/(x2)的大小關(guān)系是()
A./(2x)≤∕(x2)B.f(2x)K(√)
C./(2v)=∕(x2)D.不確定
log?5x,x>0,
9.(5分)(2021秋?成都期末)設(shè)函數(shù)f(χ)=<∣-χ若對任意給定的∕n∈
———,X<C0.
22,
(0,2),都存在唯一的非零實數(shù)Xo滿足f(f(χfp)=-2am+am則正實數(shù)。的取值
范圍為()
A.(0,?]B.(0,?)C.(0,2]D.(0,2)
10.(5分)(2021秋?聊城期末)已知函數(shù)/(x)=,-x2+2mχ-m2,x<m,若/(『一幻
Iχ-mI>x>m
>∕(3α),則實數(shù)a的取值范圍是()
A.(-1,4)B.(-∞,-1)U(4,+∞)
C.(-4,1)D.(-∞,-4)U(1,+∞)
二.多選題(共5小題,滿分25分,每小題5分)
'I臚-1IV<1
(多選)11.(5分)(2022?莆田模擬)已知函數(shù)f(χ)={∣1,,函數(shù)g
-4X2+16X-13,X≥1
(x)=∕(x)-a,則下列結(jié)論正確的是()
A.若g(X)有3個不同的零點,則。的取值范圍是[1,2)
B.若g(x)有4個不同的零點,則。的取值范圍是(0,1)
C.若g(X)有4個不同的零點XI,X2,XJ,X4(xi<X2<X3<X4),則X3+X4=4
D.若g(X)有4個不同的零點XI,XI,X3,X4(X1<X2<X3<X4),則X3X4的取值范圍是
第2頁(共35頁)
/137、
(:E)
(多選)12.(5分)(2021秋?南崗區(qū)校級期末)設(shè)函數(shù)f(χ)=∣∣2x^1I'x42,集
-χ+5>X>2
合M={x∣∕2(X)+2f(x)+?=0,kER],則下列命題正確的是()
A.當左=O時,M={0,5,7}
B.當時,M=0
C.若Λ∕={α,b,c},則k的取值范圍為(-15,-3)
D.若M={α,b,c,d}(其中α<6Vc<d),貝∣J2"+2"+c+d=14
(多選)13.(5分)(2021秋?薛城區(qū)期中)德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領(lǐng)域成就顯著,
(1,X為有理數(shù)
是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一,以其名命名的函數(shù)/G)=',稱為狄利克雷
I。,X為無理數(shù)
函數(shù),則關(guān)于/(X)下列說法正確的是()
A.函數(shù)/(x)的值域是[0,1]
B.Vx∈R,f(/(?))=1
C.f(x+2)=∕(x)對任意x∈R恒成立
D.存在三個點4Gi,fQxι)),B(x2./(x2)),C(X3,/(x3)),使得44BC為等腰直
角三角形
(多選)14.(5分)(2021秋?連城縣校級月考)對于實數(shù)X,符號田表示不超過X的最大
整數(shù),例如[ττ]=3,[2.5]=2,[-1.4]=-2,定義函數(shù)/(x)=X-IXl,則下列命題中正
確的是()
A.f(-3.9)=/(4.1)
B.函數(shù)/(x)的最大值是1
C.函數(shù)/(x)的最小值是O
D.方程f(χ)1=O沒有實數(shù)根
‘9xT+91-X一2χ30
(多選)15.(5分)(2021?浙江模擬)已知函數(shù)/G)=(//'"U,若/(%])
IIn(-X)I,x<O
=/(X2)=/(X3)=/(X4),且XlVX2Vx3Vχ4,貝IJ()
A.X3÷X4=2
B.x1x2=1
第3頁(共35頁)
??
-2
C.-a2:≤x]<-1≤x2≤e
?J_
D?2^e2-e2<X]+X2+X3+X4<°
三.填空題(共5小題,滿分25分,每小題5分)
16.(5分)(2022?東城區(qū)一模)已知函數(shù)f(χ)=∣e'+'若k=0,則不等式
kx2-χ+l,x<0.
f(x)<2的解集為;若/G)恰有兩個零點,則上的取值范圍為.
17.(5分)(2022?昌樂縣校級模擬)設(shè)函數(shù)f(X)=:x<θ>已知χ∣<χ2,且一知)
—f(x2),若工2-Xi的最小值為e,則a的值為_______.
18.(5分)(2021秋?松江區(qū)期末)已知函數(shù)/(x)=JXTx<0,若對任意的xι6[2,
[Iχ-aIx≥0
+8),都存在χ2e[-2,-1],使得f(xι)?∕(x2)>α,則實數(shù)α的取值范圍為.
lθgr,X>x>0,
19.(5分)(2021秋?徐匯區(qū)期末)已知函數(shù)f(χ)=]2設(shè)集合Z={(0,
,∣2x+l∣>x≤0?
ft)∣tz≤-1,且〃WbW加,m,A7∈R},若對任意的(4,b)£4,總有α?∕(b)-b-3a^
0成立,則m-n的最大值為.
'Ilog9x+lI,x>0
20.(5分)(2021春?天津期末)已知函數(shù)f(x)Y乙,若存在互不相
-x2-2x÷l,x≤0
等的實數(shù)a,b,c,d,使得/(Q)=∕(b)=∕(c)=八d),則a+b+c+d的取值范圍是.
四.解答題(共5小題,滿分50分,每小題10分)
-X(x+4),
21.(10分)(2021秋?友好區(qū)校級期中)已知/(4)=<
x,x〉0
(1)求/(/(-1));
(2)若/(α)=12,求。的值;
(3)若其圖像與y=b有三個交點,求6的取值范圍.
22.(10分)(2021?河北區(qū)學業(yè)考試)已知函數(shù)/(x)=J×2-4x+6-3
X+6,x<0
(I)求函數(shù)y=∕'(x)的零點;
第4頁(共35頁)
(ID求不等式/(χ)>∕(1)的解集.
R-X2+2X,x>0
23.(10分)(2021秋?香坊區(qū)校級月考)已知函數(shù)/G)=,0,X=O是奇函數(shù).
2
ιx?ιx.x<0
(1)求實數(shù),"的值;
(2)解不等式/(x)>∣χ-2|.
'f(Y)X或3
24.(10分)(2021春?賀蘭縣校級期末)已知/(x)=∣χ-1∣+1,F(X)U
12-3x,X>3
(1)解不等式/(x)≤2Λ-+3;
(2)若方程F(X)="有一個解,求實數(shù)α的取值范圍.
25.(10分)(2022春?天心區(qū)校級期中)已知/(x)是定義在R上的偶函數(shù),/(0)=0,
當x<0時,/(x)=X2+4X.
(1)求/(x)的解析式;
(2)求/(x)在區(qū)間[-6,詞上的值域.
第5頁(共35頁)
2023年高考數(shù)學總復習第3講:函數(shù)應用
參考答案與試題解析
一.選擇題(共10小題,滿分50分,每小題5分)
X2~1JX≥0,
1.(5分)(2022春?如皋市期中)已知函數(shù)f(χ)U1若/(/(α))=-1,
―,x<0,
IX
貝(ja=()
A.1或-1B.1或0C.1或-1或0D,-1或0
【考點】分段函數(shù)的應用.
【專題】計算題;方程思想;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;數(shù)學運算.
【分析】根據(jù)題意,按。的取值范圍分3種情況討論/(/(〃))=-1的解,求出。的值,
綜合可得答案.
【解答】解:根據(jù)題意,當QVO時,/'(。)=-l?<0,f(/(tz))=;=Q=-1,解可得
a?
a
a=-1;
當OWQVl時,f(a)=a2-KO,fQf(〃))=―--=-1,解可得Q=0,
a2-l
當時,f(Q)=CT-120,/(/(〃))=(α2-1)2-1=-1,解可得Q=I;
綜合可得:Q=I或-1或0,
故選:C.
【點評】本題考查函數(shù)值的計算,涉及分段函數(shù)的解析式,屬于基礎(chǔ)題.
2心a-?
2.(5分)(2022春?安徽期中)若函數(shù)f(χ)=(*-ax+q'X在R上單調(diào)遞增,則
(2a+2)x^5,x<1
實數(shù)。的取值范圍為()
A.(-1,?)B.(-1,?]C.(-1,2]D.(-1,2)
55
【考點】分段函數(shù)的應用;函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷.
【專題】計算題;函數(shù)思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;數(shù)學運算.
【分析】根據(jù)分段函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性可建立不等式求解.
第6頁(共35頁)
??1
【解答】解:由題意<2a+2>0,解得
5
l^^^^2a^?3
故選:B.
【點評】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.
(O
x?x+lx≤1
3.(5分)(2022?南開區(qū)校級模擬)已知函數(shù)f(χ)=若函數(shù)g(X)
.2X2-8X+10x>1
=/(x)+∣x-l∣-α恰有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()
【考點】分段函數(shù)的應用;分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法.
【專題】計算題;整體思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;數(shù)學運算.
【分析】今g(X)=0得∕?(X)—f(x)+∣x-l∣=”,作出〃(x)圖象,數(shù)形結(jié)合判斷y
=h(X)與y=α圖象有兩個交點時。的范圍即可.
【解答】解:g(X)=0=>χ,(X)+∣x-1|-α=0≠√^(X)+∣x-??=a,
令h(x)=/(x)+?x-1|,
m/,、[X2+2X+1-X+1,X≤1fχ2+x+2,X≤1
則h(x)R.。,
2x-Sx+10+x-l,x>l2x-7x+9,x>l
作出h(X)的圖象:
第7頁(共35頁)
如圖(x)與歹=。的圖象有兩個交點時,孕)
a∈(?,(J(4,+8).
48
故選:A.
【點評】本題考查了數(shù)形結(jié)合的應用,屬于中檔題.
4.(5分)(2022?南京三模)已知/(x)=4',若Vx21,f(x+2w)+mf(x)
-X2,x<0
>0,則實數(shù)機的取值范圍是()
A.(-1,+8)B.(-?,+8)C.(0.+∞)D.(-?,1)
42
【考點】分段函數(shù)的應用.
【專題】計算題;分類討論;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;數(shù)學運算.
【分析】分和機<0進行分類討論,分別確定W的取值范圍,最后綜合得答案.
【解答】解:①20時,/'(x+2m)+mf(x)=(x÷2∕w)2+mx2>0,符合題意;
加〈0時,fCx+2m)+mf(x)>0,
即f(x+2m)〉-mf(x)=f(V^mx),
顯然/(x)在R上遞增,則x+2m>4^ιχX寸Vx21恒成立,
(1-V^in)x÷2m≥0,對Vx21恒成立,
Rnlfl-√-m>O
則:?I-、≠-4<m<0?
Il-V-m+2m>04
練上,m∈(-?,+∞>
故選:B.
【點評】本題考查了利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍,屬于中檔題.
2X^1+21^X-2,X>0
5.(5分)(2022?江西二模)已知函數(shù)/G)=.,f(XI)=f(X2)
IIog4(-x)I,x<O
=f(X3)=/(X4),且XlVx2Vx3Vx4,則Xl+x2+x3+x4的最小值是()
A.-2B.衛(wèi)C.-1D.」
22
【考點】分段函數(shù)的應用.
【專題】計算題;整體思想:綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;數(shù)學運算.
【分析】設(shè)g(X)=2、+2、,判斷出g(X)是偶函數(shù),結(jié)合圖象平移規(guī)律得出/?)的
圖象,結(jié)合圖象和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出最小值即可.
第8頁(共35頁)
【解答】解:設(shè)g(X)=2?2-Λ因為g(-X)=g(X),所以g(X)是偶函數(shù),
g(0)=0,g(χ)=2X+2f-2>2√F^-2=0(當且僅當x=0時等號成立),故g
(X)是偶函數(shù),且最小值為0,
函數(shù)y=2xr+2∣r-2可以由函數(shù)y=2x+2'-2的圖象向右平移1個單位長度得到,
函數(shù)/(x)的圖象如圖所示:
則X3+X4=2,且f(χ)《f(O)力,
°Z
因為/(XI)=f(X2),所以lθg4(-XI)=TOg4(-X2),
所以lθg4(-XI)+lθg4(-X2)=0,即(-Xl)(-X2)=1,
因為11叫(-乂2)K/'即"g4(-X2)>^?'所以χ2E(j4]'所以
1
x1÷x2=-÷x2-
--,
又因為h(t)=t+Lt∈(-1,-?]1任取t[,t2∈(i,4^1且"四,
tt
rmι./、,/、11/、2^l_(t1-t2)
>?(t1)-h(t2)=t1÷^-t2-=(t1-t2)÷τ-^=R
因為t?-∕2<0,t?t2-KO-
所以∕ι(tι)-h(fe)>0,即〃(力)>h(/2).
所以y=h(t)=tJ"在(-1,-']上單調(diào)遞減,
所以X1+x
所以xι+x2+x3+x4的最小值是-?.
2
第9頁(共35頁)
r2
6.(5分)(2022?鄭州二模)若函數(shù)f(χ)=1;'Xm是定義在R上的增函數(shù),則
X2-2X,x>m
實數(shù)機的取值范圍是()
A.(-8,1]U{2}B.{1}U[2,+8)C.(-∞,1]D.[2,+∞)
【考點】分段函數(shù)的應用;函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷.
【專題】計算題;數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化思想:綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;數(shù)學運算.
【分析】畫出函數(shù)y=x-2與y=x2-2%的圖象,利用分段函數(shù)的單調(diào)性,判斷的范
圍即可.
【解答】解:函數(shù)V=X-2與y=χ2-2x的圖象如圖:由圖象可知m=1時,函數(shù)
χ-2,x≤m
f(x)≈是定義在R上的增函數(shù),
X2-2X,x>m
χ-2,x≤m
當機》2時,函數(shù)f(χ)=∣是定義在R上的增函數(shù),
X2-2X,x〉m
實數(shù)加的取值范圍是{1}U[2,+8).
故選:B.
【點評】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷,考查數(shù)形結(jié)合以及分析問題解決問題的能
力,是中檔題.
7.(5分)(2022?朝陽區(qū)一模)已知函數(shù)f(χ)=[2x-3'X》。,若/(加)=-1,則實數(shù)
-2x,x<C0.
第10頁(共35頁)
m的值為()
A.-2B.?C.1D.2
2
【考點】分段函數(shù)的應用;函數(shù)的值.
【專題】計算題;方程思想;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;數(shù)學運算.
【分析】根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式可得[&*"或]πi<°,由此計算可得答案.
2JR-3=-11-2m=-l
【解答】解:根據(jù)題意,函數(shù)f(χ)=[2*-3'x≥0'
-2x,x<C0.
若/(機)=-1,則有或,m<0,
m
ι2-3=-ll-2m=-l
解可得"7=1;
故選:C.
【點評】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì),涉及函數(shù)值的計算,屬于基礎(chǔ)題.
8.(5分)(2022?惠州一模)已知/(x)=,e,X、,則當XNO時,/QX)
(χ-16)2-143,X>4
與f(χ2)的大小關(guān)系是()
A./(2x)≤∕(x2)B./⑵)珂(W)
C.f(2Λ`)=∕(χ2)D.不確定
【考點】分段函數(shù)的應用.
【專題】分類討論;轉(zhuǎn)化法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;數(shù)學運算.
【分析】根據(jù)條件先判斷2、與X2的大小關(guān)系,然后利用分段函數(shù)的單調(diào)性進行比較即可.
【解答】解:當x20時,由2jc=χ2,得χ=2或χ=4,
當04W2時,422,一20,此時/(x)在(-8,4]上為增函數(shù),則/(2jc)
當2<x<4時,4<2JC<X2<16,
當4<χV16時,/(x)為減函數(shù),則/(2D>∕(x2),
當x24時,2后,》16,此時/(x)為增函數(shù),則/(2jc)?∕(χ2),
綜上/(2、)2/(,),
故選:B.
【點評】本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),先比較2、
第11頁(共35頁)
和χ2的大小關(guān)系,然后利用函數(shù)/(χ)的單調(diào)性進行比較大小是解決本題的關(guān)鍵,是中
檔題.
TOgo×>x>0,
9.(5分)(2021秋?成都期末)設(shè)函數(shù)f(χ)=∣Jv,5若對任意給定的“正
—,x<0.
22,
(0,2),都存在唯一的非零實數(shù)3滿足f(f(χcι))=-2am+aιπ則正實數(shù)”的取值
范圍為()
A.(0,?]B.(0,?)C.(0,2]D.(0,2)
【考點】分段函數(shù)的應用.
【專題】轉(zhuǎn)化思想;數(shù)形結(jié)合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;數(shù)學抽象.
【分析】作出函數(shù)/(X)的圖象,結(jié)合/(X)的值域范圍,可知"?。-2混°22.1,ae(0,
+8),且We(0,2),進一步求解正實數(shù)”的取值范圍.
Iog05×,x>0Γ-log2x,x>0
【解答】解:f(X)
—,x<0?-l,x<0
XX
作出函數(shù)/G)的圖象如圖:
由圖可知,函數(shù)的值域為R,
要使對任意給定的加6(0,2),
22
都存在唯一的非零實數(shù)X。滿足f(f(xo))=-2am+am>
則/(f(xo))>-I,O<∕(xo)≤2,可得JL≤XO<1.
4
[?”74-2加],tz∈(0,+o°),且加∈(0,2),
不等式等價為2ιnλaλ-ma-1≤0,
即(ma-1)(2ma+l)≤0,
*/2mα+l>0,
二不等式等價為ma-l≤0,即a≤A,
m
Vw∈(0,2),.?.A∈(?,+8),Bpα<A,
m2個2
.?.正實數(shù)“的取值范圍為(0,?].
2
故選:A.
第12頁(共35頁)
【點評】本題主要考查了分段函數(shù)的應用,綜合性較強,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)
鍵,難度較大.
-x2+2mχ-m2,x≤∏ι?∕,(2-4)
10.(5分)(2021秋?聊城期末)已知函數(shù)/(x)=,β
Iχ-mI*x>m
>∕(3(z),則實數(shù)α的取值范圍是()
A.(-1,4)B.(-8,-1)u(4,+∞)
C.(-4,1)D.(-8,-4)U(1,+8)
【考點】分段函數(shù)的應用;函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)與判斷.
【專題】分類討論;分類法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;不等式的解法及應用;數(shù)學運算.
【分析】由已知可知/(x)單調(diào)遞增,結(jié)合單調(diào)性即可求解不等式.
-x2+2mχ-m2,x≤m
【解答】解:由分段函數(shù)的性質(zhì),可知/(x)=J
Iχ-mI,X>m
當XW加時,/'(x)=-x2+2mx-“J開口向下,
對稱軸x=m,故此時/(x)遞增,且/(,”)=0,
當x>"?時,/(x)=X-遞增,且/(m)=0,
故/(x)在R上單調(diào)遞增,
若/(J-4)>/(3α),則42-4>30,
解得α>4或“<-1,
所以實數(shù)a的取值范圍為(-8,-DU(4,+∞).
故選:B.
【點評】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式,屬于基礎(chǔ)試題.
二.多選題(共5小題,滿分25分,每小題5分)
第13頁(共35頁)
IRX-II<1
(多選)11.(5分)(2022?莆田模擬)已知函數(shù)f(χ)=12?1>x1,函數(shù)g
-4X2+16X-13,X≥1
(x)=∕(x)-a,則下列結(jié)論正確的是()
A.若g(x)有3個不同的零點,則”的取值范圍是[1,2)
B.若g(x)有4個不同的零點,則α的取值范圍是(0,1)
C.若g(X)有4個不同的零點XI,X2,X3,X4(XlVX2<X3<X4),則X3+X4=4
D.若g(X)有4個不同的零點XI,X2>X3>X4(xi<X2<X3<X4),則X3X4的取值范圍是
【考點】分段函數(shù)的應用;函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系.
【專題】計算題;函數(shù)思想;數(shù)形結(jié)合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;數(shù)學運算.
【分析】根據(jù)題意,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=∕(x)與y=α圖像交點個數(shù)問題,進而數(shù)形
結(jié)合求解即可得答案.
【解答】解:令g(x)=/(x)-α=0,得/(x)=a,
即所以g(X)零點個數(shù)為函數(shù)y=/(x)與y=4圖像交點個數(shù),
作出函數(shù)N=/(x)圖像如圖,
g(x)有4個不同的零點,則。的取值范圍是(0,1),故8選項正確;
第14頁(共35頁)
g(X)有4個不同的零點xi,X2,R3,X4(X1<X2<X3<X4)?
此時X3,X4關(guān)于直線X=2對稱,所以13+X4=4,故C選項正確;
由C選項可知X3=4-X4,所以*3X4=(4-X4)X4=-xj+4x1
由于g(X)有4個不同的零點,。的取值范圍是(O,1),
故0<-4X>16X4-13<L
所以迫<_乂2+4(二故。選項正確.
4Λ442
故選:BCD.
【點評】本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.
(多選)12.(5分)(2021秋?南崗區(qū)校級期末)設(shè)函數(shù)f(χ)=[2'-lI'x≤2,集
-x+5,X>2
合M={x∣∕2QX)+2f(x)+?=0,A∈R},則下列命題正確的是()
A.當%=0時,M={0,5,7}
B.當4>1時,M=0
C.若M={α,b,c},則k的取值范圍為(-15,-3)
D.若M={α,b,c,d}(其中αV6Vc<d),貝∣J2"+2'+c+d=14
【考點】分段函數(shù)的應用.
【專題】函數(shù)思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用:邏輯推理.
【分析】令f=∕(x),則方程y2(x)+2∕r(x)+Ar=O轉(zhuǎn)化為於+2什左=0(*),求出方程(*)
的兩個根,從而求出f(x)=O或f(x)=-2,求解即可判斷選項/,當時,方程
(*)的判別式A=4-4A<0,即可判斷選項8,分類討論,分別研究方程(*)根的情
況,結(jié)合二次方程根的分布以及函數(shù)的圖象分析求解,即可判斷選項C,由題意,得到
方程(*)的兩個根fι<-1且四6(0,1)且/(d)=fι,/(α)=/(?)=f(c)=及,
所以/(d)=-d+5=t?,1-2a=2b-1=-C+5=∕2-求解即可判斷選項D
【解答】解:令f=∕(x),則方程/(X)+2∕,(x)+?=0,即P+2f+左=O(*),
對于當氏=O時,方程(*)的兩個根為八=0,f2=-2,
則/(x)=O或(〉)--2,
解得x=0或X=5或x=7,
所以Λ∕={0,5,7},
故選項/正確;
第15頁(共35頁)
對于8,當4>1時,方程(*)的判別式A=4-4∕<0,
故方程(*)無解,
所以M=0,
故選項8正確;
對于C,若方程(*)有兩個相等的實數(shù)根,設(shè)為fι=f2=-l,
結(jié)合圖象可知,/(x)=-1僅有一解,不符合Λ∕={tz,b,c};
若M={α,b,c},則方程(*)有兩個不相等的實數(shù)根,設(shè)其為f?,攵且fl<f2,
1+t^=-2<0
則I?12,
Ltlt2=k
從而力,/2不可能均為正數(shù),且恒有力<-1,
若M有三個元素,則還需∕2∈[1,3)或/2=0,
令ZZ(E)=A+2Z+%,
則[h(3)=15+k>0,解得-15<反-3或QO,
[h(l)=3+k<0
故選項C錯誤;
對于。,若Λf={α,b,C,d},即方程(*)的兩個根八V-1且/26(0,1)且f(d)=
t?,f(a)=f(b)=f(C)=t2,
所以/(d)=-d+5=t?,1-2a=2b-1=-C+5=∕2,
故2。+2〃=2,
又t↑+t2-(-d+5)+(-c+5)--2,
所以c+d=12,
則2a+2b+c+d=14,
故選項O正確.
故選:ABD.
第16頁(共35頁)
【點評】本題以命題的真假判斷為載體,考查了函數(shù)與方程的綜合應用,分段函數(shù)的理
解與應用,集合的表示方法的應用,對于分段函數(shù)問題,一般運用分類討論或是數(shù)形結(jié)
合法進行研究,考查了邏輯推理能力與化簡運算能力,屬于中檔題.
(多選)13.(5分)(2021秋?薛城區(qū)期中)德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領(lǐng)域成就顯著,
為有理數(shù)
是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一,以其名命名的函數(shù)/(x)=(1,'X,及,稱為狄利克雷
[O,X為無理數(shù)
函數(shù),則關(guān)于/(X)下列說法正確的是()
A.函數(shù)/(x)的值域是[0,1]
B.VxCR,fCf(x))=1
C.f(x+2)=∕(x)對任意x∈R恒成立
D.存在三個點/1(xi,f(xi)),B(X2,f(X2)),C(X3,f(X3)),使得C為等腰直
角三角形
【考點】分段函數(shù)的應用.
【專題】函數(shù)思想;分析法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;邏輯推理.
【分析】直接求得函數(shù)的值域判斷/;對X分類討論判斷8與C;假設(shè)存在三個點/,B,
C,使得BC為等腰直角三角形,利用反證法思想推出矛盾判斷D?
【解答】解:對于/,函數(shù)的值域為{0,1},可知4錯誤;
對于8,當X為有理數(shù)時,/(x)=l,∕(∕(x))=f(x)=1,
當X為無理數(shù)時,f(x)=0,f(/(x))—f(X)=1,
Λ?x∈R,/(/(x))=1,故8正確;
對于C,當X為有理數(shù)時,x+2為有理數(shù),/(x+2)=∕(x)=1,
當X為無理數(shù)時,x+2為無理數(shù),/(r÷2)=∕(x)=0,
:.f(x+2)=/(x)對任意XeR恒成立,故C正確;
對于。,若448C為等腰直角三角形,不妨設(shè)8為直角,
則/(xι),/(X2),/(X3)的取值的可能性為:/(xι)=0,/(X2)=1,/(X3)=0,
或/(xι)=1,∕(X2)=0,/(X3)=1,由等腰直角三角形的性質(zhì)得∣X2-刈=1,
Λ/(XI)=/(X2)>這與/(xi)≠f(X2)矛盾,故。錯誤.
故選:BC.
【點評】本題考查函數(shù)的新定義問題,考查數(shù)學知識的遷移與應用能力,正確理解題意
是關(guān)鍵,是中檔題.
第17頁(共35頁)
(多選)14.(5分)(2021秋?連城縣校級月考)對于實數(shù)X,符號國表示不超過X的最大
整數(shù),例如IXl=3,[2.5]=2,[-1.4]=-2,定義函數(shù)/(x)=X-IXl,則下列命題中正
確的是()
A./(-3.9)=/(4.1)
B.函數(shù)/(x)的最大值是1
C.函數(shù)/(x)的最小值是0
D.方程f(χ)1=0沒有實數(shù)根
【考點】分段函數(shù)的應用;函數(shù)的值.
【專題】計算題;數(shù)形結(jié)合;方程思想;轉(zhuǎn)化思想;綜合法;函數(shù)的性質(zhì)及應用;數(shù)學
運算.
【分析】根據(jù)題意,作出函數(shù)/(x)=X-[X]的簡圖,由此分析選項,即可得答案.
【解答】解:根據(jù)題意,作出函數(shù)圖像:
由此依次分析選項:
對于4f(-3.9)=-3.9-(-4)=0.1,/(4.1)=4.1-4=0.1,故有-3.9)=/
(4.1),N正確:
對于8,由圖可知,函數(shù)/(x)沒有最大值,故8錯誤;
對于C,函數(shù)/(x)的最小值是0,C正確;
對于O,函數(shù)f(x)的圖象每隔一個單位重復一次,所以方程g(X)=∕?(x)-上有無
2
數(shù)個根,
即函數(shù)g(χ)的圖像與X軸有無數(shù)個交點,故。錯誤;
【點評】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)以及應用,關(guān)鍵是作出/(x)=X-團的簡圖,屬于基
第18頁(共35頁)
礎(chǔ)題.
(多選)15.(5分)(2021?浙江模擬)已知函數(shù)[(x)=12X1+21x^2'x)°,若/(χι)
IIn(-X)I
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