2023年九年級中考數(shù)學(xué)突破：圓的綜合壓軸題

(1)求證：AC是NDAB的角平分線;

2023年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)突破：圓的綜合壓軸題

(2)若AD=21AB=3,求AC的長.

一、綜合題

4.如圖，在OO中，AB是直徑，點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，且ZBOD=60°,過點(diǎn)D作O。的切

1.已知：如圖，在AABC中，BC=AC,以BC為直徑的。O與邊AB相交于點(diǎn)D,DElAC,垂足為點(diǎn)E.y

軸于點(diǎn)F,則AF_LoN,利用勾股定理求得AN和EM的長，即可證得.線CZ)交延長線于點(diǎn)C,E為弧AD的中點(diǎn)，連接DE>EB,EB與OD交于點(diǎn)Q.

(1)求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；(1)求證：EB//CD；

(2)判斷DE與OO的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論：(2)已知圖中陰影部分面積為6π.

①求OO的半徑尸：

(3)若。O的直徑為18,CosB=-,求DE的長.

3

②直接寫出圖中陰影部分的周長.

2.如圖，PA、PB是。。的切線，A、B是切點(diǎn)，AC是OO的直徑，連接。尸，交OO

5.如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)C在。O上，半徑OD_LAC,DE_LAB于點(diǎn)E,交弦AC于點(diǎn)F,連接BD,

AD

(1)若NABD=25。，求NDAC的度數(shù)(提示：半徑0D_LAC,可根據(jù)垂徑定理解題)；

(2)若E恰好是OD的中點(diǎn)，且四邊形OAPB的面積是16√3，求陰影部分的面積：

(2)求證：DF=AF.

(3)若sin=1,且JD=2√3，求切線PA的長.

6.如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)C在半圓上，點(diǎn)D在圓外，DE_LAB于點(diǎn)E交AC于點(diǎn)F,且DF=CD

3.如圖，AB為OO的直徑，點(diǎn)C是OO上一點(diǎn)，CD與。。相切于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作ADlDC,

連接AC,BC.

D

(1)求證：CD是OO的切線;

(2)若點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，DF=2EF=2√3,求。O半徑.

7.在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，。。的半徑為r(r>0).給出如下定義：若平面上一點(diǎn)P到圓心O的距離d,滿

足!∕?<d≤∣√?,則稱點(diǎn)P為。O的“隨心點(diǎn)”.

22

外

5-5-

4-4-

3■3-

2-2-

1-1-

345%

1234-5-4-3-2-1012(1)若CE=DF,求證：四邊形AEBF是菱形.

-2(2)過點(diǎn)。作OG_LE8,分別交E8,Oo于點(diǎn)〃，點(diǎn)G,連接SG.

-3

①若/C。G=/E8G,判斷aOBG的形狀，說明理由.

-4

-5②若點(diǎn)E是。。的中點(diǎn)，求器的值.

備用圖HO

；J)中，C)O的“隨

(1)當(dāng)C)O的半徑r=2時(shí)，A(3,O),B(0,4),C(D(10.如圖，AB為OO的直徑，C是OO上的一點(diǎn)，連接AC,BC.D是前的中點(diǎn)，過

22

心點(diǎn)”是.BC于點(diǎn)F.

(2)若點(diǎn)E(4,3)是。O的“隨心點(diǎn)”，求。O的半徑r的取值范圍:

(3)當(dāng)。O的半徑r=2時(shí)，直線y=x+b(b≠0)與X軸交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)N,若線段MN上存在

。。的“隨心點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍.

8.如圖1,/8為圓。直徑，點(diǎn)。為45下方圓上一點(diǎn)，點(diǎn)C為弧力8。中點(diǎn)，連結(jié)CO,CA.

(2)若AC=6,48=10,求DF的長.

11.如圖1,點(diǎn)E為AABC邊力8上的?點(diǎn)，。。為NBCE的外接圓，點(diǎn)D為BDC上任意一點(diǎn).若/E=4O2",

(1)ZABD=IOo,求NBCC的度數(shù)；

(2)如圖2,過點(diǎn)C作CEJ于點(diǎn)H,交,AD于息E,∕CAD=a,求//CE(用含口的代數(shù)式表示)；

(3)在(2)的條件下，若OH=5,AD=24,求線段OE的長.

9.如圖，AB,CZ)是。O的兩條直徑，且45_LCQ,點(diǎn)、E,點(diǎn)E分別在半徑。C,ODk(不與點(diǎn)。點(diǎn)C,點(diǎn)

。重合)，連接EB,BF,FA.

(2)①如圖2,當(dāng)CD過圓心。時(shí)，①將a/CD繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得ZSXEF,連接DR請補(bǔ)全圖形，猜或“=”)：

想8、DE、OF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；②若片3,求4)的長.(2)問題探究

12.閱讀材料：如圖②，。。的直徑為20,點(diǎn)A,B,C都在。O上，AB=T2,求“BC面積的最大值；

(3)問題解決

在平面直角坐標(biāo)系xθy中，點(diǎn)P(X(I,%)至IJ直線o-v+*v+c=0的距圖公式為=.

√4-+Zr如圖③，在"BC中，ZACB=9Qo,AB=20,BC=IO,根據(jù)設(shè)計(jì)要求，點(diǎn)D為ZABC內(nèi)

例如：求點(diǎn)4(0,0)到直線4.Y+3>-3=0的距離.部一點(diǎn)，且ZADB=60°,過點(diǎn)C作CEHAD交BD于點(diǎn)E,連接AE,CD,試求滿足設(shè)計(jì)要求的四邊形

ADCE的最大面積.

解：由直線4x+3y-3=0知，a=4,6=3,c=-3,

14.如圖，矩形ABCD中，AB=6,49=8,動(dòng)點(diǎn)E,F同時(shí)分別從點(diǎn)AB出發(fā)，分別沿著射線AD和

∣4×0+3×0-3∣3射線的方向均以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接以為直徑作。交射線于點(diǎn)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間

???點(diǎn)《(0,0)到直線4x+3y-3=0的距離為-τ==1=7.BD1EF,EFOBDM,

√42+325

為t.

35

(1)問期1：點(diǎn)6(3,4)到直線?=--x+4的距離為_________；

44

(2)當(dāng)點(diǎn)E在線段AD上時(shí)，用關(guān)于t的代數(shù)式表示DE,DM.

(2)問題2：已知OC是以點(diǎn)C(2,l)為圓心，1為半徑的圓，OC與直線y=--x+b相切，求實(shí)

4(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，

數(shù)b的值；

①連接CM,當(dāng)t為何值時(shí)，KDM為等腰三角形；

(3)問題3：如圖，設(shè)點(diǎn)P為問題2中OC上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)、A、B為直線3x+4y+5=0上的②圓心O處在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)時(shí)，求t的取值范圍直接寫出答案.

15.如圖，已知NMON=90。,OT是NMON的平分線，A是射線OM上一點(diǎn)，OA=Scm.動(dòng)

兩點(diǎn)，且AB=2y請求出SMBP的最大值和最小值.

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以ICmZS的速度沿AO水平向左作勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，也以ICmZs

的速度沿ON豎直向上作勻速運(yùn)動(dòng).連接尸。，交OT于點(diǎn)B.經(jīng)過O,P,Q三點(diǎn)作圓，交OT于點(diǎn)

C,連接PC,QC.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/(5),其中0<f<8.

S)問題提出

如圖①，已知直線a∏b,點(diǎn)A,B在直線a上,點(diǎn)C,D在直線b上,則SCtA四S"(填“>皿<”

（1）求OP+O0的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)t,使得線段OB的長度最大？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由.

（3）在點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)過程中（0<f<8）,四邊形OPCQ的面積是否變化.如果面積變化，請說出四邊

形OP面積變化的趨勢；如果四邊形。。。。面積不變化，請求出它的面積.

16.如圖，OO的半徑為5,弦BC=6,A為BC所對優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，ZXABC的外角平分線AP交。O于點(diǎn)P,

（1）求證:BC??PF；

直線AP與直線BC交于點(diǎn)E.

（2）若。O的半徑為石，DE=I,求AE的長度:

（3）在（2）的條件下，求AOCP的面積.

圖1圖2備用圖

（1）如圖1,①求證：點(diǎn)P為瓦它的中點(diǎn)；

②求sin/BAC的值；

（2）如圖2,若點(diǎn)A為麗的中點(diǎn),求CE的長；

（3）若AABC為非銳角三角形，求PA?AE的最大值.

17.如圖，四邊形ABCD為正方形，取AB中點(diǎn)O,以AB為直徑，O圓心作圓.

（1）如圖1,取CD的中點(diǎn)P,連接BP交。O于Q,連接DQ并延長交AB的延長線于E,求證:

QE2-BE×AE：

（2）如圖2,連接CO并延長交。O于M點(diǎn)，求tanM的值.

18.如圖，AB為。O的直徑，C為圓上的一點(diǎn)，D為劣弧前的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作。O的切線與AC的延長線交

于點(diǎn)P,與AB的延長線交于點(diǎn)F,AD與BC交于點(diǎn)E.

答案解析部分???NEOB+NOBE=90。

〈AC是。0的直徑

1.(1)證明：連接CD,

.*.ZABC=90o

VBC為直徑，

NEBo+/CBO=9/

：.ZBDC=90o,

???NEoB=NCBO

ΛCD±AB,

：.BC//OP

又YAC=BC,

(2)解：?.?E是OD的中點(diǎn)，且AB_LOD,

ΛAD=BD,

ΛAOAD,

???點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

又AO=OD

(2)解：DE是G)O的切線.

???aAOD是等邊三角形

證明：連接OD,

.?ZAOD=60o

VOB=OC,AD=BD

〈PA是OO的切線，OA是。。的半徑，

ΛDO是AABC的中位線，

.??ZOAP=90o

ΛDO∕∕AC,

???NAPo=30°

VDE±AC,

ΛPO=2AO

ΛDE±OD,

在RtMOE中，ZAOE=60o

???DE是。O的切線：

o

I：?ZOAE=30

(3)解：VAC=BC,ΛZB=ZA,：.COSB=CoSA=—，

3O

設(shè)OA=R,則OE=一

2

?AE=R

2

，AB=IAE=y∣3R,PO=2AO=2R

Y四邊形OAPB的面積是16√3，

Λ∣JB?PO=16√3,即?JJκ?2H=16√?

BD]

在RtZXBDC中，VcosB=——=-,BC=18,

BC3解得，R=±4(負(fù)值舍去)

.?.BD=6,.?.AD=6,

?JB=4√3,OE=Z

AE1

在Rt△ADE中YcosA==—,.?.AE=2,

AD3；ZAOD=60°

∣22

,DE=yAD-AE=4√2????ZAOB=120°

2.(1)證明：YPA,PB是QO的切線2

.120Λ?×(4)?r-16f-

??S陰影=S網(wǎng)形和8-S08=--------------τ7x4√3×2=-π-4>β

：.POlAB,即NOE3=90。AJ36U23

(3)解：VZJ5C=90o.?ZJCD+ZDJC=90°,

：.sinZ.BAC==—：?NACO=/DAC,

AC3

-OA=OC,

故設(shè)BC=m,則AC=3m,

3ΛZOAC=ZOCA,

：?AO=-m

2,NDAC=NCλ4C,

,,,OE∕∕BC

：.AC是NDAB的角平分線：

：.OE=-BC=-m

22(2)解：Y力8是QO的直徑,

DE=OD-OE=-m--m=m：.ZACB=90°,

22

ΛZD=ZACB=90°,

在RtΔAEO中，AE=4AO1-OE1=√2∕H

VZDAC=ZBAC,

在RtΔAED中，AE2+DE2=AD2

：.RsADCSRSACB,

Λ(√2W)2+W2=(2^)2.ADAC

''~AC~~AB'

.*?rn=2(負(fù)值舍去)

?AC2=ADAB=2×3=6，

?AE=2√2

ΛJC=√6(負(fù)值已舍去).

o

VZOAE+ΛAOE=90tΛAPO+^AOE=90°

4.(1)如圖，連接OE,

???ZOAE=NAPo

sinNAPO=sinZLBAC=-

3

.AE1

1?-----=一

PA3

:?PA=3AE=66

3.(1)證明：連接OC,如圖，

D

VCD為OO的切線，OD為OO的半徑，

ΛOD1CD,ZODC=90°,

VAB為Oo的直徑，ZBOD=60o,E為弧力。的中點(diǎn),

ΛZEOD=60o,OE=OD,

VCP與OO相切于點(diǎn)C,

：.△EOD為等邊三角形，

ΛZOCD=90°,

/.OE=OD=OB,

工∕ACD+NACO=9V,

ΛZEOD=ZBOD=60°,

VAD?DC，

/.OD1EB,

ΛZJZ)C=90°

,OQB=90。=NODC,??AD=DC'

：?EBIlCD；：.NB=NDAC,

(2)?VZEDO=ZBOD=60o,NEQD=/BQO,DE=OBΛZDAC=ZADE,

ΛAF=DF.

：,4BOQMEDQ,

6.(1)證明：連接OC如圖1所示:

?'?S&BOQ=StkEDQ?

.?.陰影部分的面積為扇形BOD的面積，即^-πr1=6π,

360

解得：r=6；

②RIABOQ中，^ρ=O5?sin60o=6×^=3>Λ，

：.EB=2BQ=60，VDElAB,

ΛZAED=90°,

?：八EOD為等邊三角形，

ΛZBAC+ZAFE=90°,

.*.ED=OD=OB=G,

VDF=CD,

???麗=2Q?%=2小6?里=2萬

360360ΛZDFC=ZDCF,

???圖中陰影部分的周長=BD+ED+EB=2π+6+6y∕3.VOA=OC,

5.(1)解：TAB是。O的直徑，ΛZBAC=ZOCA,

ΛZADB=90o,VZDFC=ZAFE,

?：NABD=25。，???NDCF+NOCA=90。，

ΛZDAB=65o,ZDOA=50°,ΛZOCD=90o,

VOD±AC,ΛOClCD,

ΛZEAF=40o,???CD是。O的切線；

ΛZDAC=65o-40o=25o;(2)解：連接BC,作DH_LAC于點(diǎn)H,如圖2所示:

(2)證明：YDELAB于點(diǎn)E,

ΛZDEO=90o,

,NEDB+NB=90。，

VZADB=90o,

ΛZADE÷ZBDE=90o,

AZB=ZADE,

VDF=CD,

VOD±AC,

1

ΛFH=CH=-CF,(3)解：如圖a〃b〃c〃d,

2

Y點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，DF=2EF=2√3,

11-

ΛAF=CF=-AC,FH=-AC,EF=√r3,

24

VZAED=ZDHF=90o,ZAFE=ZDFH,

，△AFEsZXDFH,

.AF_EF

**DF—~FH'

ΛAF?FH=DF?EF,

即：-AC×-AC=2√3×√3?

24

的半徑r=2,隨心點(diǎn)范圍-r<d<-r,

解得：AC=±4√3(負(fù)值不合題意舍去)，22

Λ1<≤3，

Y直線MN的解析式為y=x+b,

2222?'?x=0時(shí)，y=b；y=0時(shí),x=-b,

,AE=y∣AF-EF=√(2√3)-(√3)=3

/.OM=ON,

YAB是。O的直徑，

???直線MN與y軸夾角為45。，

ΛZACB=ZAED=90o,

①點(diǎn)N在y軸正半軸時(shí)，

VZBAC=ZFAE,

當(dāng)點(diǎn)M是。O的“隨心點(diǎn)”，此時(shí)，點(diǎn)M(-1,0),

Λ?BAC<^?FAE,

.AB_AC將M(-1,0)代入直線MN的解析式y(tǒng)=x+b中，O=-l+b,

**AF—AE'

解得，b=l,

??.b的最小值為I,

過點(diǎn)O作OG_LMN于G,

解得：AB=8,

當(dāng)點(diǎn)G是距離OO最遠(yuǎn)的其中一個(gè)“隨心點(diǎn)”時(shí)，此時(shí)0G=3,

，。0半徑=-AB=—×8=4.在?中，。，

22RtZONG/ONG=45

7.(1)A,C.??G0=3

(2)解：Y點(diǎn)E(4,3),

???在RtZ?GNN'中，sinZGN'N=sin45°=—=—，

22ON'2

ΛOE=√3+4=5，即d=5,

Y點(diǎn)E(4,3)是。O的“隨心點(diǎn)”，解得ON=3√2，

,?-r≤5≤-r,將N，(O,3√2)代入直線MN的解析式y(tǒng)=x+b中，30=b，

22

解得—≤r≤10；???b的最大值為30

3

?*?1≤6≤3√2，(3)解：連Co并延長交AD于F,

②當(dāng)點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸時(shí)，同①的方法得出-3√2≤h≤-l?

綜上所述，b的取值范圍為1≤6≤3五或-3√2≤∕>≤-l.

8.(1)解：連結(jié)AD、BC,

TC為弧ABD中點(diǎn)，

.*.CF±AD*FD=AF=-AD=12.

2