分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第1課時(shí)）（人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)）

.1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(第1課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)1.通過實(shí)例能歸納總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理;2.正確理解“完成一件事情”的含義，能根據(jù)具體問題的特征,選擇“分類”或“分步”.3.能利用兩個(gè)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：歸納得出分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，能應(yīng)用它們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.難點(diǎn)：正確地理解“完成一件事”的含義；根據(jù)實(shí)際問題的特征，正確地區(qū)分“分類”或“分步”.教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題汽車號(hào)牌的序號(hào)一般是從26個(gè)英文字母、10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中選出若干個(gè)，并按適當(dāng)順序排列而成．隨著人們生活水平的提高，家庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng)，汽車號(hào)牌序號(hào)需要擴(kuò)容．那么，交通管理部門應(yīng)如何確定序號(hào)的組成方法，才能滿足民眾的需求呢?這就需要“數(shù)(shǔ)出”某種汽車號(hào)牌序號(hào)的組成方案下所有可能的序號(hào)數(shù)，這就是計(jì)數(shù)．日常生活、生產(chǎn)中類似的問題大量存在．例如，幼兒會(huì)通過一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)的方法，計(jì)算自己擁有玩具的數(shù)量；學(xué)校要舉行班際籃球比賽，在確定賽制后，體育組的老師需要知道共需要舉行多少場(chǎng)比賽；用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號(hào)，顏色的不同排列表示不同的信號(hào)，需要知道共可以組成多少種不同的信號(hào)……如果問題中數(shù)量很少，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)也不失為一種計(jì)數(shù)的好方法．但如果問題中數(shù)量很多，我們還一個(gè)一個(gè)地去數(shù)嗎?在小學(xué)我們學(xué)了加法和乘法，這是將若干個(gè)“小”的數(shù)結(jié)合成“較大”的數(shù)最基本的方法．這兩種方法經(jīng)過推廣就成了本章將要學(xué)習(xí)的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．這兩個(gè)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法，利用兩個(gè)計(jì)算原理還可以得到兩類特殊計(jì)數(shù)問題的計(jì)數(shù)公式一排列數(shù)公式和組合數(shù)公式，應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計(jì)數(shù)問題．作為計(jì)數(shù)原理與計(jì)數(shù)公式的一個(gè)應(yīng)用，本章我們還將學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用的二項(xiàng)式定理．計(jì)數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法．但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時(shí)，列舉的方法效率不高．能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”，以提高效率呢?下面先分析一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)計(jì)數(shù)方法．問題1:用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?（因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出種不同的號(hào)碼．）問題2：從甲地到乙地，可以乘火車也可以乘汽車.一天中，火車4班，汽車8班.乘這些交通工具從甲地到乙地，有多少種不同方法？（從甲地到乙地，乘火車有4班，乘汽車有8班，所以不同方法的種數(shù)為4+8=12）探究：你能說一說這個(gè)問題的特征嗎?首先，這里要完成的事情是“給一個(gè)座位編號(hào)”；其次是“或”字的出現(xiàn)：一個(gè)座位編號(hào)用一個(gè)英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示．因?yàn)橛⑽淖帜概c阿拉伯?dāng)?shù)字互不相同，所以用英文字母編出的號(hào)碼與用阿拉伯?dāng)?shù)字編出的號(hào)碼也互不相同．這兩類號(hào)碼數(shù)相加就得到號(hào)碼的總數(shù)．上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是：（1）確定分類標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類；（2）分別計(jì)算各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)；（3）各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù)．教師提出問題，學(xué)生思考、回答.【設(shè)計(jì)意圖】通過設(shè)置問題情境，引出分類計(jì)數(shù)問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念問題3：你能概括一下上述問題的共同特征嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生回答，教師注意引導(dǎo)學(xué)生概括到“分類”和“加法”上.可以由學(xué)生敘述分類加法計(jì)數(shù)原理，教師適當(dāng)補(bǔ)充.歸納概括分類加法計(jì)數(shù)原理：一般地，有如下分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．兩類不同方案中的方法互不相同．教師對(duì)原理進(jìn)行解釋，特別注意強(qiáng)調(diào)明確要完成的“一件事”的重要性.問題1中要完成的一件事是指“給一個(gè)座位編號(hào)”，問題2中要完成的一件事是指“從甲地到乙地”.特別注意：完成一件事都需要分類完成；每一類中的每一種方法都能完成這件事，兩類不同的方案中的方法互不相同.設(shè)計(jì)意圖：概括分類計(jì)數(shù)問題的特征，得出分類加法計(jì)數(shù)原理.你能舉一些生活中類似的例子嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生舉例，教師適當(dāng)評(píng)價(jià)，特別注意讓學(xué)生思考回答要完成的“一件事”是什么.【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生辨析和理解分類加法計(jì)數(shù)原理.例1在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，如表6.1-1．表6.1-1A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)管理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇?分析：要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)”．因?yàn)檫@名同學(xué)在A，B兩所大學(xué)中只能選擇一所，而且只能選擇一個(gè)專業(yè)，又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，所以符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件．解：這名同學(xué)可以選擇A，B兩所大學(xué)中的一所．在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法．因?yàn)闆]有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為．環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念探究：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法，在第3類方案中有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?（完成這件事共有N=++種不同的方法）如果完成一件事情有n類不同方案，在每一類中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?（如果完成一件事情有n類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有機(jī)種不同的方法……在第n類方案中有機(jī)“種不同的方法，那么完成這件事共有N=+++...+種不同的方法）讓學(xué)生自主探究，得出答案.【設(shè)計(jì)意圖】推廣分類加法計(jì)數(shù)原理，加深對(duì)分類加法計(jì)數(shù)原理的理解與認(rèn)識(shí).鞏固概念，學(xué)會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理解答簡(jiǎn)單問題.思考：用前6個(gè)大寫英文字母和1~9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以，，…，，，，…的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生分析、比較，得出：完成問題1的方法可以分類，用26個(gè)英文字母中的任意一個(gè)或10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中的任意一個(gè)，都可以給出一個(gè)座位號(hào)碼.但在這個(gè)問題中，號(hào)碼必須由一個(gè)英文字母和一個(gè)作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成，即得到一個(gè)號(hào)碼要經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個(gè)步驟.需要分步才能完成.【設(shè)計(jì)意圖】比較分類計(jì)數(shù)問題與分步計(jì)數(shù)問題，滲透分步乘法計(jì)數(shù)原理.這里要完成的事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，但與前一問題的要求不同．在前一問題中，用26個(gè)英文字母中的任意一個(gè)或10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中的任意一個(gè)，都可以給出一個(gè)座位號(hào)碼．但在這個(gè)問題中，號(hào)碼必須由一個(gè)英文字母和一個(gè)作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成，即得到一個(gè)號(hào)碼要經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個(gè)步驟．用圖6.1-1所示的方法可以列出所有可能的號(hào)碼．圖6.1-1是解決計(jì)數(shù)問題常用的“樹狀圖”．你能用樹狀圖列出所有可能的號(hào)碼嗎？也可以這樣思考：由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此共有種不同的號(hào)碼．【師生活動(dòng)】學(xué)生列出號(hào)碼，教師注意在“有規(guī)律''"有序”列舉上進(jìn)行引導(dǎo)，可引出“樹狀圖”法.教師和學(xué)生一起列出第一個(gè)樹狀圖，讓學(xué)生列出其他的樹狀圖.問題4：從列號(hào)碼的過程中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生概括出“任意一個(gè)英文字母都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼”.可以這樣思考：由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，因此不同號(hào)碼的種數(shù)為6×9=54.補(bǔ)充問題:從甲地到乙地，需要經(jīng)過丙地，從甲地到丙地有4條路，從丙地到乙地有8條路.從甲地到乙地，有多少條不同的路線？（從甲地到乙地，不同路線的條數(shù)為4×8=32）環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念探究：你能說一說這個(gè)問題的特征嗎?上述問題要完成的一件事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，其中最重要的特征是“和”字的出現(xiàn)：一個(gè)座位編號(hào)由一個(gè)英文字母和一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字構(gòu)成．因此得到一個(gè)座位號(hào)要經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這兩個(gè)步驟，每一個(gè)英文字母與不同的數(shù)字組成的號(hào)碼是互不相同的．【師生活動(dòng)】學(xué)生回答，教師注意引導(dǎo)學(xué)生概括到“分步”和“乘法”上.可以由學(xué)生敘述分步乘法計(jì)數(shù)原理，教師適當(dāng)補(bǔ)充.一般地，有如下分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法．無論第1步采用哪種方法，與之對(duì)應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù)．【設(shè)計(jì)意圖】概括分步計(jì)數(shù)問題的特征，得出分步乘法計(jì)數(shù)原理.問題5：你能舉出生活中的一些分步計(jì)數(shù)問題嗎？【師生活動(dòng)】學(xué)生舉例，教師適當(dāng)評(píng)價(jià).特別注意讓學(xué)生思考回答“一件事”是什么.【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生辨析和理解分步乘法計(jì)數(shù)原理.例2某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法?分析：要完成的一件事是“選男生和女生各1名”，可以分兩個(gè)步驟：第1步，選男生；第2步，選女生．解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為．【設(shè)計(jì)意圖】鞏固概念，學(xué)會(huì)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解答簡(jiǎn)單問題.探究：如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，做第3步有種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?（完成這件事共有N=m1×m2×m3種不同的方法）如果完成一件事情需要n個(gè)步驟，做每一步都有若于種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?【設(shè)計(jì)意圖】推廣分步乘法計(jì)數(shù)原理，加深對(duì)此原理的理解與認(rèn)識(shí).環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例3書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．（1）從書架上任取1本書，有多少種不同取法?（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?教師引導(dǎo)學(xué)生分析：對(duì)于第（1）小題，要完成的一件事是什么？完成這件事需要分類還是分步？（要完成的一件事是“從書架上取1本書”，需要分類完成）對(duì)于第（2）小題，要完成的一件事是什么？完成這件事需要分類還是分步？（要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，需要分步完成）要求學(xué)生自己完成解答過程.完整解答過程如下：分析：（1）要完成的一件事是“從書架上取1本書”，可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案；（2）要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，可以分三個(gè)步驟完成．解：（1）從書架上任取1本書，有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類方案是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方案是從第3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為．（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步，從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步，從第3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)為．【師生活動(dòng)】你能從自己的生活經(jīng)歷中舉出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的例子嗎？學(xué)生舉例.教師針對(duì)學(xué)生舉出的例子，要求學(xué)生回答要完成的“一件事”是什么，為什么可以用相應(yīng)的原理來計(jì)數(shù)等.【設(shè)計(jì)意圖】通過舉例檢查學(xué)生對(duì)概念的理解情況.環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.你能從自己的生活經(jīng)歷中舉出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的例子嗎？學(xué)生舉例.教師針對(duì)學(xué)生舉出的例子，要求學(xué)生回答要完成的“一件事”是什么，為什么可以用相應(yīng)的原理來計(jì)數(shù)等.【設(shè)計(jì)意圖】通過舉例檢查學(xué)生對(duì)概念的理解情況.環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：教材第5?6頁練習(xí)第1,3題.練習(xí)（第5頁）1．填空題（1）一項(xiàng)工作可以用2種方法完成，有5人只會(huì)用第1種方法完成，另有4人只會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來完成這項(xiàng)工作，不同選法的種數(shù)是；【答案】9【解析】由題意，選擇第1種方法來完成工作，共有5種選法；選擇第2種方法完成工作，共有4種選法；所以符合題意得選法共有種．故答案為：9．（2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同路線的條數(shù)是．【解析】因?yàn)閺腁村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，所以從A村經(jīng)B村去C村，共有條不同路線．故答案為：6．2．在例1中，如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，那么A大學(xué)共有6個(gè)專業(yè)可以選擇，B大學(xué)共有4個(gè)專業(yè)可以選擇，應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為．這種算法有什么問題?2．【解析】這種算法不正確．因?yàn)橐_定的是這名同學(xué)的專業(yè)選擇，并不需要考慮學(xué)校的差異，所以應(yīng)當(dāng)是(種)可能的專業(yè)選擇．3．書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法?（2）從書架上任取數(shù)學(xué)書和語文書各1本，有多少種不同的取法?3．【解析】（1）從書架上任取1本書，有兩類方法：第1類方法是從上層取1本數(shù)學(xué)書，有6種取法；第2類方法是從下層取1本語文書，有5種取法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是．（2）從書架的上、下層各取1本書，可以分成兩個(gè)步驟完成：第1步，從上層取1本數(shù)