高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案2-1第2課時(shí)數(shù)列的性質(zhì)與遞推公式

第2課時(shí)數(shù)列的性質(zhì)與遞推公式[目標(biāo)]1.理解遞推公式的含義，能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，并能歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.體會(huì)遞推公式是表示數(shù)列的一種方法；3.體會(huì)數(shù)列單調(diào)性的判斷及簡單應(yīng)用．[重點(diǎn)]利用遞推公式求通項(xiàng)．[難點(diǎn)]遞推公式含義的理解．知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的遞推公式[填一填]一個(gè)數(shù)列若滿足以下兩個(gè)條件：①已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1(或前幾項(xiàng))．②從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任意項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))(n≥2，n∈N*)間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示．則此公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．[答一答]1．遞推公式也是表示數(shù)列的一種方法嗎？提示：遞推公式也是表示數(shù)列的一種重要方法．2．所有的數(shù)列都有遞推公式嗎？提示：并不是所有的數(shù)列都有遞推公式：例如eq\r(2)精確到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值排列成一列數(shù)：1,1.4,1.41,1.414，…就沒有遞推公式．知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的單調(diào)性[填一填]判斷一個(gè)數(shù)列的單調(diào)性，可以利用遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的定義進(jìn)行，通常轉(zhuǎn)化為判斷一個(gè)數(shù)列{an}的任意相鄰兩項(xiàng)之間的大小關(guān)系來確定．(1)若an＋1－an>0恒成立，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；(2)若an＋1－an<0恒成立，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；(3)若an＋1－an＝0恒成立，則數(shù)列{an}是常數(shù)列．[答一答]3．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝eq\f(n－\r(2014),n－\r(2015))，若ap最大，aq最小，則p＋q＝89.解析：an＝eq\f(n－\r(2014),n－\r(2015))＝1＋eq\f(\r(2015)－\r(2014),n－\r(2015)).由于44<eq\r(2015)<45，則當(dāng)n≤44時(shí)，an＝1－eq\f(\r(2015)－\r(2014),\r(2015)－n)<1且遞減；當(dāng)n≥45時(shí)，an＝1＋eq\f(\r(2015)－\r(2014),n－\r(2015))>1且遞減．所以a44最小，a45最大，即p＝45，q＝44，故p＋q＝45＋44＝89.類型一根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的項(xiàng)[例1]已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是2，以后的各項(xiàng)由公式an＝eq\f(an－1,1－an－1)(n＝2,3,4，…)給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[分析]先寫出前5項(xiàng)，再觀察這5項(xiàng)，找出規(guī)律寫出通項(xiàng)．[解]可依次代入項(xiàng)數(shù)進(jìn)行求值．a(chǎn)1＝2，a2＝eq\f(2,1－2)＝－2，a3＝eq\f(－2,1－－2)＝－eq\f(2,3)，a4＝eq\f(－\f(2,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3))))＝－eq\f(2,5)，a5＝eq\f(－\f(2,5),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5))))＝－eq\f(2,7).即數(shù)列{an}的前5項(xiàng)為2，－2，－eq\f(2,3)，－eq\f(2,5)，－eq\f(2,7).也可寫為eq\f(－2,－1)，eq\f(－2,1)，eq\f(－2,3)，eq\f(－2,5)，－eq\f(2,7).即分子都是－2，分母依次加2，且都是奇數(shù)，所以an＝－eq\f(2,2n－3)(n∈N*)．?dāng)?shù)列的遞推公式是數(shù)列規(guī)律的另一種表示形式.知道首項(xiàng)，就可求后面的各項(xiàng)；知道后面的項(xiàng)，也可求出前面的項(xiàng).[變式訓(xùn)練1](1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝1，an＋2＝an＋an＋1(n∈N*)，則a6＝8.解析：因?yàn)閍n＋2＝an＋an＋1，所以a3＝a1＋a2＝2，a4＝a2＋a3＝3，a5＝a3＋a4＝5，a6＝a4＋a5＝8.故填8.(2)數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－1，則此數(shù)列的前4項(xiàng)的和為0.解析：∵a1＝1，∴a2＝0，a3＝－1，a4＝0，∴a1＋a2＋a3＋a4＝0.類型二由遞推公式求通項(xiàng)公式[例2](1)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)(n∈N*)，求通項(xiàng)an.(2)設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n,n＋1)，求它的通項(xiàng)公式．[分析](1)將已知等式化簡、整理，得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，用累加法可求eq\f(1,an)，再求an.(2)可用累乘法求通項(xiàng)．[解](1)∵an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，∴an＋1(an＋2)＝2an.∴an＋1an＝2an－2an＋1.兩邊同除以2an＋1an，得eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2).∴eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,a3)－eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2)，…，eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝eq\f(1,2).把以上各式累加得eq\f(1,an)－eq\f(1,a1)＝eq\f(n－1,2).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(2,n＋1).故數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝eq\f(2,n＋1)(n∈N*)．(2)eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·eq\f(a5,a4)·…·eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·eq\f(3,4)·eq\f(4,5)·…·eq\f(n－1,n)，∴eq\f(an,a1)＝eq\f(1,n).又∵a1＝1，∴an＝eq\f(1,n)a1＝eq\f(1,n).在一個(gè)數(shù)列中，如果從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差構(gòu)成的數(shù)列能夠相加，并求出和，就可用累加法求通項(xiàng)公式；若每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的商構(gòu)成的數(shù)列能夠相乘，并求出積，就可用累乘法求通項(xiàng)公式.[變式訓(xùn)練2](1)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)，則通項(xiàng)公式為(B)A．a(chǎn)n＝3n B．a(chǎn)n＝2nC．a(chǎn)n＝n D．a(chǎn)n＝eq\f(1,2)n解析：由an－an－1＝2，累加法可得an－a1＝2(n－1)，∴an＝2n.(2)已知{an}中，a1＝1，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是(C)A．a(chǎn)n＝2n B．a(chǎn)n＝eq\f(1,2n)C．a(chǎn)n＝eq\f(1,2n－1) D．a(chǎn)n＝eq\f(1,n2)解析：由累乘法可得an＝eq\f(1,2n－1)，故選C.類型三數(shù)列的性質(zhì)命題視角1：數(shù)列的單調(diào)性[例3]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7.))數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[分析]分段數(shù)列遞增首先要確保各段遞增，再使得兩段相鄰處滿足一定的條件即可．[解析]由題意知an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－an－3，n≤7，,an－6，n>7，))因?yàn)閿?shù)列{an}遞增，所以當(dāng)n≤7時(shí)，3－a>0，即a<3；當(dāng)n>7時(shí)，a>1；且a7<a8，即(3－a)×7－3<a8－6，解得a>2或a<－9.故a的取值范圍為2<a<3.[答案]2<a<3分段數(shù)列單調(diào)與相應(yīng)的分段函數(shù)單調(diào)不同，除了確保各段單調(diào)外，還要使得兩段之間滿足一定的條件，如本例中數(shù)列{an}遞增要滿足a7<a8，而若函數(shù)fx遞增則要滿足f7≤a7－6，二者有較大的區(qū)別.[變式訓(xùn)練3]已知數(shù)列{an}，其通項(xiàng)公式為an＝3n2－n(n∈N*)，判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性．解：方法一：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，則an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2>0，即an＋1>an(n∈N*)，故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．方法二：an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，則eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n＋12－n＋1,3n2－n)＝eq\f(n＋1,n)·eq\f(3n＋2,3n－1)>1.又an>0，故an＋1>an，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．(注：這里務(wù)必要確定an的符號(hào)，否則無法判斷an＋1與an的大小)方法三：令y＝3x2－x，則函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸為x＝eq\f(1,6)<1，則函數(shù)y＝3x2－x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，＋∞))上單調(diào)遞增，故數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．命題視角2：數(shù)列的周期性[例4]數(shù)列{an}滿足a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，求a2016.[分析]此題的遞推公式不易直接得到通項(xiàng)公式，故可由遞推公式求出此數(shù)列的前幾項(xiàng)，再觀察其項(xiàng)與項(xiàng)之間的特點(diǎn)．[解]由a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，得a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4＝a3－a2＝3－6＝－3，a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，a6＝a5－a4＝－6－(－3)＝－3，a7＝a6－a5＝－3－(－6)＝3，a8＝a7－a6＝3－(－3)＝6，….∴數(shù)列{an}是以6為周期的數(shù)列，∴a2016＝a6×336＝a6＝－3.1若一個(gè)數(shù)列{an}中的項(xiàng)滿足對任意n∈N*，an＋T＝an都成立其中T∈N*，則稱數(shù)列{an}為周期數(shù)列，T為{an}的一個(gè)周期.2要判斷一個(gè)數(shù)列是否具有周期性或求一個(gè)數(shù)列的周期，主要方法是通過遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)觀察得到或由遞推公式發(fā)現(xiàn)規(guī)律.[變式訓(xùn)練4]在數(shù)列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,1－an－1)(n≥2，n∈N*)，則a2007的值為(A)A．－1 B.eq\f(1,2)C．1 D．2解析：a1＝eq\f(1,2)，a2＝2，a3＝－1，a4＝eq\f(1,2)，a5＝2，a6＝－1，…，歸納得an＋3＝an.∴a2007＝a3×669＝a3＝－1.1．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，則a5為(C)A．13 B．14C．15 D．16解析：由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n，則a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各項(xiàng)相加得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.2．已知數(shù)列an<0，且2an＋1＝an，則數(shù)列{an}是(A)A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列 D．無法判斷解析：∵an<0，∴an＋1－an＝eq\f(1,2)an－an＝－eq\f(1,2)an>0.∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．3．在數(shù)列{an}中，a1＝－2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，則a2014＝(B)A．－2B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,2)D．3解析：∵a1＝－2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，∴a2＝－eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,2)，a4＝3，a5＝－2.∴該數(shù)列是周期數(shù)列，周期T＝4.又2014＝503×4＋2，∴a2014＝a2＝－eq\f(1,3).4．已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，則a10＝－30.解析：令p＝q＝2，則a4＝2a2再令p＝4＝q，則a8＝2a4再令p＝8，q＝2，則a10＝a8＋a2＝－30.5．在數(shù)列{an}中，a1＝a，以后各項(xiàng)由遞推公式an＋1＝eq\f(2an,1＋an)給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)，并由此寫出一個(gè)通項(xiàng)公式．解：由遞推公式得a2＝eq\f(2a1,1＋a1)＝eq\f(2a,1＋a)，a3＝eq\f(2a2,1＋a2)＝eq\f(4a,1＋a)·eq\f(1＋a,1＋3a)＝eq\f(4a,1＋3a)，a4＝eq\f(2a3,1＋a3)＝eq\f(8a,1＋3a)·eq\f(1＋3a,1＋7a)＝eq\f(8a,1＋7a).觀察各項(xiàng)特點(diǎn)，分子為2n－1a則分母為1＋(2n－1－1)a，所以通項(xiàng)公式為an＝eq\f(2n－1a,1＋2n－1－1a).——本課須掌握的三大問題1．遞推公式與通項(xiàng)公式的對比不同點(diǎn)相同點(diǎn)通項(xiàng)公式可根據(jù)某項(xiàng)的序號(hào)，直接用代入法求出該項(xiàng)都可確定一個(gè)數(shù)列，都可求出數(shù)列的任何一項(xiàng)遞推公式可根據(jù)第1項(xiàng)或前幾項(xiàng)的值，通過一次或多次賦值逐項(xiàng)求出數(shù)列的項(xiàng)，直至求出所需的項(xiàng)2.已知數(shù)列的