2023-2024學年北師大版選擇性必修第一冊 分步乘法計數(shù)原理 課件28張

課程標準1.通過實例,了解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.會用這兩個原理分析和解決一些簡單的實際計數(shù)問題.基礎落實·必備知識全過關知識點1

分類加法計數(shù)原理1.內(nèi)容:完成一件事,可以有n類辦法,在第1類辦法中有m1種方法,在第2類辦法中有m2種方法……在第n類辦法中有mn種方法,那么,完成這件事共有N=

種方法.(也稱“加法原理”)

2.特點:①完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類,且類與類之間兩兩不交;

分類標準明確,做到不重不漏

②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事;③把各類的方法數(shù)

,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

m1+m2+…+mn相加

名師點睛1.定性:(1)明確原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)怎樣才算完成這件事;(3)完成這件事可以有哪些辦法.2.獨立性:(1)完成這件事的n類辦法是相互獨立的;(2)每一類辦法中的方法都可以單獨完成這件事,不需要用到其他的方法.3.分類:這是利用分類加法計數(shù)原理解題的關鍵,分類必須明確標準,(1)每一種方法都必須屬于某一類,不同類的任意兩種方法是不同的;(2)每一類中的任意兩種方法也不相同.過關自診1.[人教A版教材習題]一項工作可以用2種方法完成,有5人只會用第1種方法完成,另有4人只會用第2種方法完成,從中選出1人來完成這項工作,不同選法的種數(shù)是

.

9解析

“從中選出1人完成工作”,不同的選法種數(shù)是5+4=9.2.[人教A版教材習題]在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個?提示

第1類:當個位數(shù)字是0時,十位數(shù)字可以是1,2,…,9,所以有9個滿足條件的兩位數(shù);第2類:當個位數(shù)字是1時,十位數(shù)字可以是2,3,…,9,所以有8個滿足條件的兩位數(shù);依此類推:當個位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8時,滿足條件的兩位數(shù)分別有7,6,5,4,3,2,1個.由分類加法計數(shù)原理知,滿足條件的兩位數(shù)的個數(shù)為9+8+7+6+5+4+3+2+1=45.故個位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有45個.3.[人教A版教材習題]一個商店銷售某種型號的電視機,其中本地的產(chǎn)品有4種,外地的產(chǎn)品有7種.要買1臺這種型號的電視機,有多少種不同的選法?提示

這件事情是“買1臺某種型號的電視機”,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,選法有4+7=11(種).知識點2

分步乘法計數(shù)原理1.內(nèi)容:完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么,完成這件事共有N=

種方法(也稱“乘法原理”).

2.特點:①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可;②完成每一步有若干方法;③把各個步驟的方法數(shù)

,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).

這n個步驟都要完成

m1·m2·…·mn相乘

名師點睛1.定性:(1)明確原理中所指的“完成一件事”是什么事;(2)要經(jīng)過幾步才能完成這件事.2.相關性:(1)完成這件事需要分成若干個步驟;(2)只有每個步驟都完成了,才算完成這件事,缺少任一步驟,這件事都不可能完成.3.分步:這是利用分步乘法計數(shù)原理解題的關鍵,(1)準確確定分步的標準,一般地,分步的標準不同,分成的步驟數(shù)也會不同;(2)要注意各步驟之間必須連續(xù);(3)各步驟之間既不能重復,也不能遺漏.過關自診1.[人教A版教材習題]某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由8位數(shù)字組成,其中前4位的數(shù)字是不變的,后4位數(shù)字都是0~9之間的一個數(shù)字,這個電話局不同的電話號碼最多有多少個?提示

要完成的一件事是“確定電話號碼的后4位”.分四步完成,每一步都是從0到9這10個數(shù)字中取一個,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,這個電話局最多共有10×10×10×10=10

000(個)不同的電話號碼.2.[人教A版教材習題]從5名同學中選出正、副組長各1名,有多少種不同的選法?提示

要完成的一件事是“從5名同學中選出正、副組長各1名”,分兩步完成:第1步,選正組長,有5種方法;第2步,選副組長,有4種方法,所以共有5×4

=20(種)選法.3.[人教A版教材習題]由數(shù)字1,2,3,4,5可以組成多少個三位數(shù)(各位上的數(shù)字可以重復)?提示

分3步來解決.由于各位上的數(shù)字可重復,因此三位數(shù)中每一位都有5種取法,所以共可以組成5×5×5=125(個)三位數(shù).重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一分類加法計數(shù)原理【例1】

個位數(shù)字比十位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個?解

(方法一)按個位數(shù)字分類,有以下幾類:個位是9,則十位可以是1,2,3,…,8中的一個,故有8個;個位是8,則十位可以是1,2,3,…,7中的一個,故有7個;同理,個位是7的有6個;個位是6的有5個;……個位是2的有1個.由分類加法計數(shù)原理知,滿足條件的兩位數(shù)有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).(方法二)按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個.由分類加法計數(shù)原理知,滿足條件的兩位數(shù)有1+2+3+4+5+6+7+8=36(個).規(guī)律方法

分類加法計數(shù)原理的示意圖集合S共有m1+m2+…+mn個元素完成事件S共有m1+m2+…+mn種方法

變式訓練1若a,b均屬于{-1,0,1,2},且關于x的方程ax2+2x+b=0有實數(shù)解,則有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為(

)A.14 B.13 C.12 D.10B解析

因為a,b均屬于{-1,0,1,2},可分為兩類:①當a=0時,b可能為-1或0或1或2,即b有4種不同的選法;②當a≠0時,依題意得Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.當a=-1時,b有4種不同的選法;當a=1時,b可能為-1或0或1,即b有3種不同的選法;當a=2時,b可能為-1或0,即b有2種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為4+4+3+2=13.探究點二分步乘法計數(shù)原理【例2】

(1)已知x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},則xy可表示不同的值的個數(shù)為(

)A.8 B.9 C.10 D.12B解析

x∈{1,2,4},y∈{-2,-3,5},從x中選1個值,從y中選1個值,共有3×3=9(種)運算結果,且沒有相同的運算結果.(2)一個科技小組中有4名女同學和5名男同學,從中任選1人參加學科競賽.不同的選派方法共有

種;若從中任選1名女同學和1名男同學參加學科競賽,不同的選派方法共有

種.

920解析

根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從中任選1人參加學科競賽,不同的選派方法共有4+5=9(種);由分步乘法計數(shù)原理知,從中任選1名女同學和1名男同學參加學科競賽,不同的選派方法共有4×5=20(種).規(guī)律方法

利用分步乘法計數(shù)原理的解題流程

變式訓練2(1)4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目,每人必報一項,共有多少種報名方法?(2)4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍(每項冠軍只允許一人獲得),共有多少種可能的結果?解

(1)要完成的是“4名同學每人從3個項目中選一項報名”這件事,因為每人必報一項,4名同學都報完才算完成,于是按人分步,且分為四步,又每人可在三項中選一項,選法為3種,所以共有3×3×3×3=81(種)報名方法.(2)要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事,因為每項冠軍只能由一人獲得,三項冠軍都有得主,這件事才算完成,所以應以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步,而每項冠軍是4名同學中的某一人,有4種可能的情況,于是共有4×4×4=64(種)可能的情況.探究點三兩個計數(shù)原理的綜合應用【例3】

現(xiàn)有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫.(1)從中任選一幅畫布置房間,有幾種不同的選法?(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間,有幾種不同的選法?(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的選法?解

(1)從國畫中選,有5種不同的選法;從油畫中選,有2種不同的選法;從水彩畫中選,有7種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有5+2+7=14(種)不同的選法.(2)從國畫、油畫、水彩畫各選一幅,分別有5種、2種、7種不同的選法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有5×2×7=70(種)不同的選法.(3)第一類是一幅選自國畫,一幅選自油畫,由分步乘法計數(shù)原理知,有5×2=10(種)不同的選法;第二類是一幅選自國畫,一幅選自水彩畫,有5×7=35(種)不同的選法;第三類是一幅選自油畫,一幅選自水彩畫,有2×7=14(種)不同的選法.所以共有10+35+14=59(種)不同的選法.規(guī)律方法

1.在處理具體的應用題時,首先必須弄清是“分類”還是“分步”,其次要搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么,選擇合理的標準處理事件,關鍵是看能否獨立完成這件事,避免計數(shù)的重復或遺漏.2.對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題,我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格,使問題更加直觀、清晰.3.明晰兩個原理,進行正確運算,體現(xiàn)了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).變式訓練3在7名學生中,有3名會下象棋但不會下圍棋,有2名會下圍棋但不會下象棋,另2名既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)在從7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽,共有多少種不同的選法?解

從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6(種)選法;從3名只會下象棋的學生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學生中選1名參加圍棋比賽,有3×2=6(種)選法;從2名只會下