2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊(cè) 　基本計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 課件（29張）

知識(shí)探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一加法原理與乘法原理[問題1]第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年8月18日至29日在成都舉行,某委員打算從泉城濟(jì)南前往成都參加會(huì)議.他有兩類快捷途徑可供選擇:一是乘飛機(jī),二是乘坐動(dòng)車組.假如這天飛機(jī)有3個(gè)航班可乘,動(dòng)車組有4個(gè)班次可乘.此委員這一天從濟(jì)南到成都共有多少種快捷途徑可選?知識(shí)點(diǎn)1:分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事,可以有n類辦法,在第1類辦法中有

,在第2類辦法中有

……在第n類辦法中有

,那么完成這件事共有N=

種方法.(也稱“加法原理”)m1種方法m2種方法mn種方法m1+m2+…+mn知識(shí)點(diǎn)2:分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個(gè)步驟,缺一不可,做第1步有

,做第2步有

……做第n步有

,那么完成這件事共有N=

種方法.(也稱“乘法原理”)[思考1-1]應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是什么?提示:應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是看每一類辦法中的每種方法是否獨(dú)立地完成了這件事.[思考1-2]應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是什么?提示:應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是看每一步中的每種方法并不能完成這件事,只有每一步都完成了,才完成這件事.m1種不同的方法m2種不同的方法mn種不同的方法m1·m2·…·mn[例1]某校高中三年級(jí)一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人,二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人,三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人,學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛國(guó)主義教育基地.(1)推選1人為總負(fù)責(zé)人,有多少種不同的選法?解:(1)分3類,第1類是從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生,共有8種不同的選法;第2類是從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生,共有10種不同的選法;第3類是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生,共有6種不同的選法,由分類加法計(jì)數(shù)原理可得,共有N=8+10+6=24(種)不同的選法.(2)每班選1人為小組長(zhǎng),有多少種不同的選法?(3)從他們中選出2個(gè)人管理生活,要求這2個(gè)人不同班,有多少種不同的選法?解:(2)分3步,第1步從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名組長(zhǎng),共有8種不同的選法;第2步從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名組長(zhǎng),共有10種不同的選法;第3步是從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中選1名組長(zhǎng),共有6種不同的選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得,共有N=8×10×6=480(種)不同的選法.(3)分3類,每1類又分2步,第1類是從一班、二班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人,有8×10種不同的選法;第2類是從二班、三班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人,有10×6種不同的選法;第3類是從一班、三班的優(yōu)秀團(tuán)員中各選1人,有8×6種不同的選法,因此,共有N=8×10+10×6+8×6=188(種)不同的選法.方法總結(jié)(1)運(yùn)用兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于正確區(qū)分“分類”與“分步”,分類就是能“一步到位”,即任何一類中任何一種方法,都能完成這件事;而分步只能是“局部到位”,即任何一步中任何一種方法只能完成事件中的某一部分.(2)在既有分類又有分步的題型中,一般先分類,然后在每一類中再分步.變式訓(xùn)練1-1:若m,n均為非負(fù)整數(shù),在做m+n的加法時(shí)各位均不進(jìn)位(例如:2019+100=2119),則稱(m,n)為“簡(jiǎn)單的”有序?qū)?而m+n稱為有序?qū)?m,n)的值,那么值為2019的“簡(jiǎn)單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是(

)(A)100 (B)96 (C)60 (D)30解析:由題意可知,只要確定了m,n即可確定一個(gè)有序數(shù)對(duì)(m,n),則對(duì)于數(shù)m,利用分步乘法計(jì)數(shù)原理,第一位取法有3種:0,1,2;第二位取法有1種:0;第三位取法有2種:0,1;第四位取法有10種:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;所以值為2019的“簡(jiǎn)單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是3×1×2×10=60.故選C.解析:依題意可知,當(dāng)a=1時(shí),b=5,6,2種情況;當(dāng)a=2時(shí),b=5,6,2種情況;當(dāng)a=3時(shí),b=4,5,6,3種情況;當(dāng)a=4時(shí),b=3,5,6,3種情況;當(dāng)a=5或6時(shí),b各有5種情況.由分類加法計(jì)數(shù)原理,得點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2+2+3+3+5+5=20.變式訓(xùn)練1-2:在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),點(diǎn)P(a,b)的坐標(biāo)滿足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素.又點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離|OP|≥5,則這樣的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為

.

答案:20探究點(diǎn)二組數(shù)問題[思考2]如何求與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問題?提示:

(1)先確定是分類還是分步,分類時(shí)確定好統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn),不重復(fù),也不遺漏,分步時(shí),確定好步驟.(2)先根據(jù)題意確定特殊數(shù)位的數(shù)字(如首位不能為0,奇數(shù)的個(gè)位為奇數(shù)等),再確定其他位置上的數(shù)字.[例2]用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的:(1)銀行存折的四位密碼?解:(1)分步解決.第1步:選取左邊第一個(gè)位置上的數(shù)字,有6種選取方法;第2步:選取左邊第二個(gè)位置上的數(shù)字,有5種選取方法;第3步:選取左邊第三個(gè)位置上的數(shù)字,有4種選取方法;第4步:選取左邊第四個(gè)位置上的數(shù)字,有3種選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,可組成不同的四位密碼共有6×5×4×3=360(個(gè)).(2)四位整數(shù)?解:(2)分步解決.第1步:首位數(shù)字有5種選取方法;第2步:百位數(shù)字有5種選取方法;第3步:十位數(shù)字有4種選取方法;第4步:個(gè)位數(shù)字有3種選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,可組成的四位整數(shù)有5×5×4×3=300(個(gè)).(3)比2000大的四位偶數(shù)?解:(3)法一按末位是0,2,4分為三類:第1類:末位是0的有4×4×3=48(個(gè));第2類:末位是2的有3×4×3=36(個(gè));第3類:末位是4的有3×4×3=36(個(gè)).則由分類加法計(jì)數(shù)原理有N=48+36+36=120(個(gè)).法二按千位是2,3,4,5分四類:第1類:千位是2的有2×4×3=24(個(gè));第2類:千位是3的有3×4×3=36(個(gè));第3類:千位是4的有2×4×3=24(個(gè));第4類:千位是5的有3×4×3=36(個(gè)).則由分類加法計(jì)數(shù)原理有N=24+36+24+36=120(個(gè)).法三用0,1,2,3,4,5可以組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)分兩類:第1類:末位是0的有5×4×3=60(個(gè));第2類:末位是2或4的有2×4×4×3=96(個(gè)).共有60+96=156(個(gè)).其中比2000小的有:千位是1的共有3×4×3=36(個(gè)),所以符合條件的四位偶數(shù)共有156-36=120(個(gè)).方法總結(jié)(1)對(duì)于組數(shù)問題,一般按特殊位置(一般是末位和首位)由誰占領(lǐng)分類,分類中再按特殊位置(或者特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法從反面求解.(2)解決組數(shù)問題,應(yīng)特別注意其限制條件,有些條件是隱藏的,要善于挖掘.排數(shù)時(shí),要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則.變式訓(xùn)練2-1:我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2013是“六合數(shù)”),則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有(

)(A)18個(gè) (B)15個(gè) (C)12個(gè) (D)9個(gè)解析:依題意,這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4,0,0組成3個(gè)數(shù),分別為400,040,004;由3,1,0組成6個(gè)數(shù),分別為310,301,130,103,013,031;由2,2,0組成3個(gè)數(shù),分別為220,202,022;由2,1,1組成3個(gè)數(shù),分別為211,121,112,共計(jì)3+6+3+3=15(個(gè)).故選B.變式訓(xùn)練2-2:我們把中間位數(shù)上的數(shù)字最大,而兩邊依次減小的多位數(shù)稱為“凸數(shù)”.如132,341等,那么由1,2,3,4,5可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)是

.

解析:根據(jù)“凸數(shù)”的特點(diǎn),中間的數(shù)字只能是3,4,5,故分3類,第1類,當(dāng)中間數(shù)字為“3”時(shí),此時(shí)有2種(132,231);第2類,當(dāng)中間數(shù)字為“4”時(shí),從1,2,3中任取兩個(gè)放在4的兩邊,故有6種;第3類,當(dāng)中間數(shù)字為“5”時(shí),從1,2,3,4中任取兩個(gè)放在5的兩邊,故有12種;根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,得到由1,2,3,4,5可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)是2+6+12=20.答案:20探究點(diǎn)三涂色(種植)問題[問題2]解決涂色問題的關(guān)鍵是什么?[思考3]如何求解涂色問題的計(jì)數(shù)?提示:(1)分清所給的顏色是否用完,并選擇恰當(dāng)?shù)耐可樞?(2)選擇好分類標(biāo)準(zhǔn),分清楚哪些可以同色,分類與分步交叉時(shí)不要計(jì)數(shù)重復(fù),也不要遺漏.[例3]將紅、黃、藍(lán)、白、黑5種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法?解:第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí),有4×3=12(種)不同的涂法,第4個(gè)小方格有3種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×12×3=180(種)不同的涂法.②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí),有4種涂法,由于相鄰兩格不同色,因此,第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×4×4=80(種)不同的涂法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180+80=260(種)不同的涂法.方法總結(jié)求解涂色(種植)問題一般是直接利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解,常用方法有(1)按區(qū)域的不同以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù),用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析;(2)以顏色(種植作物)為主分類討論,適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”問題,用分類加法計(jì)數(shù)原理分析;(3)對(duì)于涂色問題可將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題.變式訓(xùn)練3-1:已知一個(gè)公園的形狀如圖所示,現(xiàn)有3種不同的植物要種在此公園的A,B,C,D,E這五個(gè)區(qū)域內(nèi),要求有公共邊界的兩塊相鄰區(qū)域種不同的植物,則不同的種法為

.

解析:根據(jù)題意,分兩步進(jìn)行分析:①對(duì)于A,B,C區(qū)域,三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰,種的植物都不能相同,將3種不同的植物安排在A,B,C區(qū)域,有3×2×1=6(種)情況;②對(duì)于D,E區(qū)域,分2種情況討論:若C,E種的植物相同,則D有2種種法;若C,E種的植物不同,則E有1種種法,D也有1種種法;則D,E區(qū)域共有2+1=3(種)不同種法,故不同的種法為6×3=18.答案:18變式訓(xùn)練3-2:用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1,2,…,9的9個(gè)小正方形(如圖),使得任意相鄰(有公共邊)的小正方形所涂顏色都不相同,且標(biāo)號(hào)為1,5,9的小正方形涂相同的顏色,則符合條件的所有涂法共有

種.

解析:把區(qū)域分為三部分,第一部分1,5,9,有3種涂法.第二部分4,7,8,當(dāng)5,7同色時(shí),4,8各有2種涂法,共4種涂法;當(dāng)5,7異色時(shí),7有2種涂法,4,8均只有1種涂法,故第二部分共4+2=6(種)涂法.第三部分與第二部分一樣,共6種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可得共有3×6×6=108(種)涂法.答案:108探究點(diǎn)四抽取與分配問題[思考4]抽取與分配問題常用方法有哪些?提示:列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法等.[例4]在7名學(xué)生中,有3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋,有2名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋,另2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋.現(xiàn)在從這7人中選2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽,共有多少種不同的選法?解:法一分四類:第1類,從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,有選法3×2=6(種);第2類,從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,有選法3×2=6(種);第3類,從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,有選法2×2=4(種);第4類,從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中各選1名分別參加象棋比賽和圍棋比賽,有選法2×1=2(種).故不同的選法共有6+6+4+2=18(種).法二分兩類:第1類,從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,這時(shí)7人中還有4人會(huì)下圍棋,從中選1名參加圍棋比賽.有選法3×4=12(種).第2類,從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,這時(shí)7人中還有3人會(huì)下圍棋,從中選1名參加圍棋比賽.有選法2×3=6(種).故不同的選法共有12+6=18(種).答案:18種方法總結(jié)求解抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí),一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或者圖表法.(2)當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí),一般有兩種方法①直接法:直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.②間接法:去掉限