教師版-轉(zhuǎn)化與化歸思想

【專題三】轉(zhuǎn)化與化歸思想常見的轉(zhuǎn)化方法有：〔1〕直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為根本定理、根本公式或根本圖形問題；〔2〕換元法：運用“換元”把非標(biāo)準(zhǔn)形式的方程、不等式、函數(shù)轉(zhuǎn)化為容易解決的根本問題；〔3〕參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化；〔4〕構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個適宜的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；〔5〕坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用代數(shù)方法解決解析幾何問題，是轉(zhuǎn)化方法的一種重要途徑；〔6〕類比法：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化的途徑；〔7〕特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題；〔8〕一般化方法：假設(shè)原問題是某個一般化形式問題的特殊形式且有較難解決，可將問題通過一般化的途徑進行轉(zhuǎn)化；〔9〕等價問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，到達(dá)轉(zhuǎn)化目的；〔10〕補集法：〔正難那么反〕假設(shè)過正面問題難以解決，可將問題的結(jié)果看作集合A，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補集獲得原問題的解決。【考點例析】題型1：集合問題例1．設(shè)平面點集，那么所表示的平面圖形的面積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：D；由可知或者，在同一坐標(biāo)系中做出平面區(qū)域如圖：由圖象可知的區(qū)域為陰影局部，根據(jù)對稱性可知，兩局部陰影面積之和為圓面積的一半，所以面積為，選D.〔2〕函數(shù),在區(qū)間上至少存在一個實數(shù)使,求實數(shù)的取值范圍.分析:運用補集概念求解。解答：設(shè)所求的范圍為A,那么注意到函數(shù)的圖象開口向上；點評：對于許多集合問題，通過轉(zhuǎn)化，將不熟悉和難解的集合問題轉(zhuǎn)化為熟知的易解的問題，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題，便于將問題解決。題型2：函數(shù)問題例2．函數(shù)的定義域為．解析：根據(jù)二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件，得：。點評：函數(shù)的定義域，二次根式和對數(shù)函數(shù)有意義的條件，解對數(shù)不等式；還有函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍．題型3：不等式問題例3．〔1〕不等式的解集為〔〕A.B.C.D.對解析：A；原不等式等價于或，即或，所以不等式的解為，選A.〔2〕設(shè)集合,,假設(shè)那么實數(shù)m的取值范圍是___________；〔2〕解析：當(dāng)時，集合A是以〔2，0〕為圓心，以為半徑的圓，集合B是在兩條平行線之間；，因為此時無解；當(dāng)時，集合A是以〔2，0〕為圓心，以和為半徑的圓環(huán)，集合B是在兩條平行線之間，必有。.又因為。【溫馨提示】此題是較為典型的恒成立問題，解決恒成立問題通常可以利用別離變量轉(zhuǎn)化為最值的方法求解。構(gòu)造函數(shù)解題是數(shù)學(xué)中的常用方法，通過巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，把原來的問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì)，從而到達(dá)解題目的。〔3〕某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的方案中，要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產(chǎn)方案，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是〔〕A、1800元B、2400元C、2800元D、3100元解析：C；設(shè)生產(chǎn)桶甲產(chǎn)品，桶乙產(chǎn)品，總利潤為Z，那么約束條件為，目標(biāo)函數(shù)為：可行域為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線經(jīng)過點M時有最大值，聯(lián)立方程組得，代入目標(biāo)函數(shù)得，應(yīng)選C.評析：將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，將m等價為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知答案選C，此題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題。題型4：三角問題4．〔1〕在中，假設(shè)，那么的形狀是〔〕A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定解析：C；根據(jù)正弦定理可知由,可知，在三角形中，所以為鈍角，三角形為鈍角三角形，選C。點評：本小題主要考查解三角形知識，并突出了邊角互化這一轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用?！?〕假設(shè)tan+=4,那么sin2=〔〕A．B.C.D.解析：D由得，，即，所以，選D.點評：此題考查三角函數(shù)的倍角公式以及同角的三角函數(shù)的根本關(guān)系式。表達(dá)在三角函數(shù)中是切化弦、統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)名稱、換元等手段處理求值〔域〕、最值、比擬大小等問題。題型5：數(shù)列問題例5．?dāng)?shù)列滿足那么的最小值為__________.【答案】【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n所以設(shè)，令，那么在上是單調(diào)遞增，在上是遞減的，因為n∈N+,所以當(dāng)n=5或6時有最小值。又因為，，所以，的最小值為.點評：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動態(tài)的函數(shù)觀點是解決數(shù)列問題的有效方法。數(shù)列的項可看作定義在正整數(shù)集〔或它的有限子集〕上的函數(shù)。如等差數(shù)列的通項公式，前n項的和公式。當(dāng)時，可以看作自變量n的一次和二次函數(shù)。因此利用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問題不僅能加深對數(shù)列的理解，也有助于學(xué)生解題思維能力的培養(yǎng)及增強應(yīng)用函數(shù)思想解題的意識。題型6：立體幾何問題例6．如果，三棱錐P—ABC中，PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂線ED=h．求證三棱錐P—ABC的體積。分析：如視P為頂點，△ABC為底面，那么無論是S△ABC以及高h(yuǎn)都不好求．如果觀察圖形，換個角度看問題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，那么可走出困境．解析：如圖，連結(jié)EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．這樣，截面ECD將原三棱錐切割成兩個分別以ECD為底面，以PE、AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以VP－ABC=VP－ECD+VA－ECD=S△ECD?AE+S△ECD?PE=S△ECD?PA=?BC·ED·PA=。點評：輔助截面ECD的添設(shè)使問題轉(zhuǎn)化為問題迎刃而解。題型7：解析幾何問題例7．〔1〕設(shè)x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范圍。分析：設(shè)k＝x＋y，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實數(shù)解時求參數(shù)k范圍的問題。其中要注意隱含條件，即x的范圍。解析：由6x－3x＝2y≥0得0≤x≤2。設(shè)k＝x＋y，那么y＝k－x，代入等式得：x－6x＋2k＝0，即k＝－x＋3x，其對稱軸為x＝3。由0≤x≤2得k∈[0,4]。所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。另解：數(shù)形結(jié)合法〔轉(zhuǎn)化為解析幾何問題〕：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如下圖橢圓，其一個頂點在坐標(biāo)原點。x＋y的范圍就是橢圓上的點到坐標(biāo)原點的距離的平方。由圖可知最小值是0,距離最大的點是以原點為圓心的圓與橢圓相切的切點。設(shè)圓方程為x＋y＝k，代入橢圓中消y得x－6x＋2k＝0。由判別式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。再解：三角換元法，對式和待求式都可以進行三角換元〔轉(zhuǎn)化為三角問題〕：由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，設(shè)，那么x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]所以x＋y的范圍是：0≤x＋y≤4。點評：題運用多種方法進行解答，實現(xiàn)了多種角度的轉(zhuǎn)化，聯(lián)系了多個知識點，有助于提高發(fā)散思維能力。此題還可以利用均值換元法進行解答。各種方法的運用，分別將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為了其它問題，屬于問題轉(zhuǎn)換題型?！?〕兩個非零向量a，b滿足|a+b|=|ab|，那么下面結(jié)論正確的選項是〔〕(A)a∥b(B)a⊥b(C)|a|=|b|(D)a+b=ab解析：B；法一、由|a+b|=|ab|，平方可得ab=0,所以a⊥b，應(yīng)選B法二、根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|ab|分別為以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長，因為|a+b|=|ab|，所以該平行四邊形為矩形，所以a⊥b，應(yīng)選B點評：此題主要考查平面向量的運算、幾何意義以及向量的位置關(guān)系，屬于容易題。解析一是利用向量的運算來解，解析二是利用了向量運算的幾何意義來解。這種通過特殊值確定一般性結(jié)果的思路還有很多，如歸納、猜測、證明的方法，過定點問題，定值問題也可以用這樣的思路。題型8：具體、抽象問題例8．假設(shè)f〔x〕和g〔x〕都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程x－f［g〔x〕］＝0有實數(shù)解，那么g［f〔x〕］不可能是〔〕〔A〕x2＋x－〔B〕x2＋x＋〔C〕x2－〔D〕x2＋分析：此題直接解不容易，不妨令f〔x〕＝x，那么f［g〔x〕］＝g〔x〕，g［f〔x〕］＝g〔x〕，x－f［g〔x〕］＝0有實數(shù)解即x－g〔x〕＝0有實數(shù)解。這樣很明顯得出結(jié)論，B使x－g〔x〕＝0沒有實數(shù)解，選B這種從抽象到具體再到抽象，使學(xué)生從心理上感到非常輕松，象這樣常見抽象函數(shù)式還有一次函數(shù)型f〔x＋y〕＝f〔x〕＋f〔y〕＋m，對數(shù)函數(shù)型f〔xy〕＝f〔x〕＋f〔y〕，冪函數(shù)型f〔xy〕＝f〔x〕f〔y〕。點評：把抽象問題具體化是在數(shù)學(xué)解題中常有的化歸途徑，它是對抽象問題的理解和再認(rèn)識，在抽象語言與具體事物間建立聯(lián)系，從而實現(xiàn)抽象向具體的化歸。題型9：正難那么反轉(zhuǎn)化問題例9．,且.試證:中至少有一個小于2.點評：一些數(shù)學(xué)問題，如果從條件出發(fā)，正面考慮較難較繁，不妨調(diào)整思考方向，從問題的結(jié)論入手，或從問題的條件與結(jié)論的反面入手進行思考，迂回地得到解題思路，這叫做“正難那么反”?！罢y那么反”是一種重要的解題策略，靈活用之，能使許多難題、趣題和生活中的問題獲得巧解。題型10：實際應(yīng)用問題例10．把一塊鋼板沖成上面是半圓形，下面是矩形的零件，其周長是P，怎樣設(shè)計才能使沖成的零件面積最大？并求出它的最大面積。分析：這個實際問題可以轉(zhuǎn)化成一個函數(shù)的最值問題來解決。x·ODCx·ODCBA矩形的另一邊長為=設(shè)零件的面積為S，那么S==∵a＜0∴當(dāng)時，S有最大值，這時AB=?！喈?dāng)矩形的兩鄰邊AB與BC之比為1︰2時，Smax=。點評：實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)結(jié)果解釋最終的實際問題?！緦ｎ}訓(xùn)練】1．向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，那么|b|＝________.2．函數(shù)f(x)＝eq\r(x)＋eq\r(1－x)的值域為________．3．在等比數(shù)列{an}中，a1＝a，前n項和為Sn，假設(shè)數(shù)列{an＋1}成等差數(shù)列，那么Sn＝________.4．在各棱長都等于1的正四面體OABC中，假設(shè)點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，那么|eq\o(OP,\s\up6(→))|的最小值等于________．5．函數(shù)f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，假設(shè)1≤f(x)≤eq\f(17,4)對一切x∈R都成立，那么參數(shù)a的取值范圍為____________．6．假設(shè)二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少有一個值c，使f(c)>0，那么實數(shù)p的取值范圍為____________．7．?dāng)?shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10＝________.8．函數(shù)f(x)＝(4a－3)x＋b－2a，x∈[0,1]，假設(shè)f(x)≤2恒成立，那么a＋9．a(chǎn)1>a2>a3>0，那么使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都成立的x的取值范圍是____________．10．?dāng)?shù)列－1，a1，a2，－4成等差數(shù)列，－1，b1，b2，b3，－4成等比數(shù)列，那么eq\f(a2－a1,b2)的值為________．11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，且BC邊上的高為eq\f(\r(3)a,6)，那么eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)的最大值為________．12．假設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對任意實數(shù)x都有f(x＋3)≤f(x)＋3和f(x＋2)≥f(x)＋2，且f(1)＝1，那么f(2012)＝________.13．設(shè)f(x)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，假設(shè)f(1－ax－x2)≤f(2－a)對任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范圍．A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，假設(shè)A∩R－≠，求實數(shù)m的取值范圍(R－負(fù)實數(shù)集)．15．奇函數(shù)f(x)的定義域為實數(shù)集R，且f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，當(dāng)0≤θ≤eq\f(π,2)時，是否存在這樣的實數(shù)m，使f(cos2θ－3)＋f(4m－2mcosθ)>f(0)對所有的θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))均成立？假設(shè)存在，求出所有適合條件的實數(shù)m；假設(shè)不存在，請說明理由．【參考答案】1．52.[1，eq\r(2)]3.na4.eq\f(\r(6),3)5．3≤a≤46.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(3,2)))7．－308.eq\f(17,4)9．(0，eq\f(2,a1))10.eq\f(1,2)11．412．201213．解:∵f(x)在R上是增函數(shù)，∴由f(1－ax－x2)≤f(2－a)可得1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．∴a(x－1)＋x2＋1≥0，對a∈[－1,1]恒成立．令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1.那么當(dāng)且僅當(dāng)g(－1)＝x2－x＋2≥0，g(1)＝x2＋x≥0，解得x≥0或x≤－1