9.10 因式分解的應(yīng)用及材料閱讀題（重難點培優(yōu)）-蘇科版七年級下冊數(shù)學(xué)第9章《整式的乘法與因式分解》尖子生同步培優(yōu)（附答案解析）

專題9.10因式分解的應(yīng)用及材料閱讀題（重難點培優(yōu)）姓名：__________________班級：______________得分：_________________1．如圖①是由邊長為a的大正方形紙片剪去一個邊長為b的小正方形后余下的圖形．我們把紙片剪開后，拼成一個長方形（如圖②）．（1）探究：上述操作能驗證的等式的序號是．①a2+ab＝a（a+b）②a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2③a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（2）應(yīng)用：利用你從（1）中選出的等式，完成下列各題：①已知4x2﹣9y2＝12，2x+3y＝4，求2x﹣3y的值；②計算（1-122）×（1-132）×（12．如圖1示．用兩塊a×b型長方形和a×a型、b×b型正方形硬紙片拼成一個新的正方形．（1）用兩種不同的方法計算圖1中正方形的面積；（2）如圖2示，用若干塊a×b型長方形和a×a型、b×b型正方形硬紙片拼成一個新的長方形，試由圖形推出2a2+3ab+b2因式分解的結(jié)果；（3）請你用拼圖等方法推出3a2+5ab+2b2因式分解的結(jié)果，畫出你的拼圖．3．已知：x+y＝5，（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3．求下列代數(shù)式的的值．（1）xy；（2）x2+4xy+y2；（3）x2+xy+5y．4．裝飾公司為小明家設(shè)計電視背景墻時需要A、B型板材若干塊，A型板材規(guī)格是a×b，B型板材規(guī)格是b×b．現(xiàn)只能購得規(guī)格是150×b的標(biāo)準(zhǔn)板材．（單位：cm）（1）若設(shè)a＝60cm，b＝30cm．一張標(biāo)準(zhǔn)板材盡可能多的裁出A型、B型板材，共有如表三種裁法，如圖1是裁法一的裁剪示意圖．裁法一裁法二裁法三A型板材塊數(shù)120B型板材塊數(shù)3mn則表中，m＝，n＝；（2）為了裝修的需要，小明家又購買了若干C型板材，其規(guī)格是a×a，并做成如圖2的背景墻．請寫出圖中所表示的等式：；（3）若給定一個二次三項式2a2+5ab+3b2，試用拼圖的方式將其因式分解．（請仿照（2）在幾何圖形中標(biāo)上有關(guān)數(shù)量）5．【知識生成】我們已經(jīng)知道，通過計算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式．例如圖1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，請解答下列問題：（1）根據(jù)圖2，寫出一個代數(shù)恒等式：．（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，則a2+b2+c2＝．（3）小明同學(xué)用圖3中x張邊長為a的正方形，y張邊長為b的正方形，z張寬、長分別為a、b的長方形紙片拼出一個面積為（3a+b）（a+3b）長方形，則x+y+z＝．【知識遷移】（4）事實上，通過計算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示的是一個邊長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖4中圖形的變化關(guān)系，寫出一個代數(shù)恒等式：．6．我們知道形如x2+（a+b）x+ab的二次三項式可以分解因式為（x+a）（x+b），所以x2+6x﹣7＝x2+[7+（﹣1）]x+7×（﹣1）＝（x+7）[x+（﹣1）]＝（x+7）（x﹣1）．但小白在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，對于x2+6x﹣7還可以使用以下方法分解因式．x2+6x﹣7＝x2+6x+9﹣7﹣9＝（x+3）2﹣16＝（x+3）2﹣42＝（x+3+4）（x+3﹣4）＝（x+7）（x﹣1）．這種在二次三項式x2+6x﹣7中先加上9，使它與x2+6x的和成為一個完全平方式，再減去9，整個式子的值不變，從而可以進(jìn)一步使用平方差公式繼續(xù)分解因式了．（1）請使用小白發(fā)現(xiàn)的方法把x2﹣8x+7分解因式；（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy++9y2﹣＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（）2＝[（x﹣5y）+][（x﹣5y）﹣]＝（x﹣y）（x﹣）；（3）請用兩種不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．7．如圖，邊長為a，b的矩形，它的周長為14，面積為10，求下列各式的值：（1）a2b+ab2；（2）a2+b2+ab．8．已知a，b．c為三角形ABC的三邊，且滿足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，試判斷三角形ABC的形狀．9．若一個四位數(shù)A滿足：①千位數(shù)字2﹣百位數(shù)字2＝后兩位數(shù)，則稱A為“美妙數(shù)”．例如：∵62﹣12＝35，∴6135為“美妙數(shù)”．②7×（千位數(shù)字﹣百位數(shù)字）＝后兩位數(shù)，則稱A是“奇特數(shù)”．例如：7×（8﹣5）＝21，∴8521為“奇特數(shù)”．（1）若一個“美妙數(shù)”的千位數(shù)字為8，百位數(shù)字為7，則這個數(shù)是．若一個“美妙數(shù)”的后兩位數(shù)字為16，則這個數(shù)是．（2）一個“美妙數(shù)”與一個“奇特數(shù)”的千位數(shù)字均為m，百位數(shù)字均為n，且這個“美妙數(shù)”比“奇特數(shù)”大14，求滿足條件的“美妙數(shù)”．10．閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：1+x+x（1+x）+x（1+x）2＝（1+x）[1+x+x（1+x）]＝（1+x）2（1+x）＝（1+x）3．（1）上述分解因式的方法是，共應(yīng)用了次．（2）若分解1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）2020，則需應(yīng)用上述方法次，結(jié)果是．（3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n（必須寫出解答過程）．11．若一個三位數(shù)m=xyz（其中x，y，z不全相等且都不為0），現(xiàn)將各數(shù)位上的數(shù)字進(jìn)行重排，將重排后得到的最大數(shù)與最小數(shù)之差稱為原數(shù)的差數(shù)，記作M（m）．例如537，重排后得到357，375，753，735，573，所以537的差數(shù)M（1）若一個三位數(shù)t=abc（其中b＞a＞c且abc≠0），求證：P（t（2）若一個三位數(shù)m，十位數(shù)字為2，個位數(shù)字比百位數(shù)字大2，且m被4除余1，求所有符合條件的M（m）的最小值．12．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如由圖①可以得到兩數(shù)和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．請解答下列問題：（1）寫出由圖②可以得到的數(shù)學(xué)等式；（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面問題：若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值；（3）可愛同學(xué)用圖③中x個邊長為a的正方形，y個寬為a，長為b的長方形，z個邊長為b的正方形，拼出一個面積為（2a+b）（a+4b）的長方形，則x+y+z＝．13．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，借助圖形可以對很多數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．如圖1，有足夠多的A類、C類正方形卡片和B類長方形卡片．用若干張A類、B類、C類卡片可以拼出如圖2的長方形，通過計算面積可以解釋因式分解：2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）．（1）若解釋因式分解3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b），需取A類、B類、C類卡片若干張（三種卡片都要取到），拼成一個長方形，請畫出相應(yīng)的圖形；（2）若取A類、B類、C類卡片若干張（三種卡片都要取到），拼成一個長方形，使其面積為5a2+mab+b2，則m的值為，將此多項式分解因式為．（3）有3張A類，4張B類，5張C類卡片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張，把取出的這些紙片拼成一個正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長為．14．“閱讀素養(yǎng)的培養(yǎng)是構(gòu)建核心素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)，華師中山附中以實施百書計劃為突破口，著力提升學(xué)生的核心素養(yǎng)．”全校師生積極響應(yīng)和配合，開展各種活動豐富其課余生活．在數(shù)學(xué)興趣小組中，同學(xué)們從書上認(rèn)識了很多有趣的數(shù)，其中有一個“和平數(shù)”引起了同學(xué)們的興趣．描述如下：一個四位數(shù)，記千位上和百位上的數(shù)字之和為x，十位上和個位上的數(shù)字之和為y，如果x＝y(tǒng)，那么稱這個四位數(shù)為“和平數(shù)”．例如：1423，x＝1+4，y＝2+3，因為x＝y(tǒng)，所以1423是“和平數(shù)”．（1）直接寫出：最大的“和平數(shù)”是．（2）將一個“和平數(shù)”的個位上與十位上的數(shù)字交換位置，同時，將百位上與千位上的數(shù)字交換位置，稱交換前后這兩個“和平數(shù)”為“相關(guān)和平數(shù)”，例如：1423與4132為“相關(guān)和平數(shù)”．設(shè)任意一個“和平數(shù)”千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，則該“和平數(shù)”和它的“相關(guān)和平數(shù)”的數(shù)值分別為：“和平數(shù)”值，“相關(guān)和平數(shù)”值是．求證：任意的兩個“和平數(shù)”與“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．（3）求同時滿足下列條件的所有“和平數(shù)”：①個位上的數(shù)字是千位上的數(shù)字的兩倍；②百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12．15．閱讀下列材料：已知a2+a﹣3＝0，求a2（a+4）的值．解：∵a2＝3﹣a∴a2（a+4）＝（3﹣a）（a+4）＝3a+12﹣a2﹣4a＝﹣a2﹣a+12＝﹣（3﹣a）﹣a+12＝9∴a2（a+4）＝9根據(jù)上述材料的做法，完成下列各小題：（1）若a2﹣a﹣10＝0，則2（a+4）（a﹣5）的值為．（2）若x2+4x﹣1＝0，求代數(shù)式2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值．16．我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．①分組分解法：將一個多項式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作分組分解法．例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）．②拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法叫作拆項法．例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三項式的分解因式．分解步驟：1．分解二次項，所得結(jié)果分別寫在十字十字交叉線的左上角和左下角；2．分解常數(shù)項，所得結(jié)果分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項；4．觀察得出原二次三項式的兩個因式，并表示出分解結(jié)果．這種分解方法叫作十字相乘法．例如：x2+6x﹣7分析：觀察得出：兩個因式分別為（x+7）與（x﹣1）解：原式＝（x+7）（x﹣1）（1）仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4x2+4x﹣y2+1②（拆項法）x2﹣6x+8③x2﹣5x+6＝．（2）已知：a、b、c為△ABC的三條邊，a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周長．17．中國古賢常說萬物皆自然．而古希臘學(xué)者說萬物皆數(shù)．小學(xué)我們就接觸了自然數(shù)，在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，我們會對其中一些具有某種特性的自然數(shù)進(jìn)行研究，比如奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等，今天我們來研究另一種特殊的自然數(shù)﹣﹣“歡喜數(shù)”．定義：對于一個各數(shù)位不為零的自然數(shù)，如果它正好等于各數(shù)位數(shù)字的和的整數(shù)倍，我們就說這個自然數(shù)是一個“歡喜數(shù)”．例如：24是一個“歡喜數(shù)”，因為24＝4×（2+4），125就不是一個“歡喜數(shù)”因為1+2+5＝8，125不是8的整數(shù)倍．（1）判斷28和135是否是“歡喜數(shù)”？請說明理由；（2）有一類“歡喜數(shù)”，它等于各數(shù)位數(shù)字之和的4倍，求所有這種“歡喜數(shù)”．18．根據(jù)閱讀材料，解決問題．材料1：若一個正整數(shù)，從左到右各位數(shù)上的數(shù)字與從右到左各位數(shù)上的數(shù)字對應(yīng)相同，則稱為“對稱數(shù)”（例如：1、232、4554是對稱數(shù)）．材料2：對于一個三位自然數(shù)A，將它各個數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個位數(shù)字，得到三個新的數(shù)字x，y，z，我們對自然數(shù)A規(guī)定一個運(yùn)算：K（A）＝x2+y2+z2，例如：A＝191是一個三位的“對稱數(shù)”，其各個數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個位數(shù)字分別是：2、8、2．則K（191）＝22+82+22＝72．請解答：（1）請你直接寫出最大的兩位對稱數(shù)：，最小的三位對稱數(shù)：；（2）如果將所有對稱數(shù)按照從小到大的順序排列，請直接寫出第1100個對稱數(shù)；（3）一個四位的“對稱數(shù)”B，若K（B）＝8，請求出B的所有值．19．若一個正整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對稱的，則稱這個數(shù)是優(yōu)雅數(shù)．如33，262，45654都是優(yōu)雅數(shù)，最小的優(yōu)雅數(shù)是11，但沒有最大的優(yōu)雅數(shù)，因為數(shù)位是無窮的．（1）若將任意一個四位優(yōu)雅數(shù)分解為前兩位數(shù)表示的數(shù)和后兩位數(shù)表示的數(shù)，請你證明：這兩個數(shù)的差一定能被9整除；（2）設(shè)一個三位優(yōu)雅數(shù)為aba（a+b＜10）與各數(shù)位上數(shù)字之和的差能被11整除，且該優(yōu)雅數(shù)與11相乘后得到一個四位數(shù)，且該四位數(shù)各位數(shù)字之和為8，求這個三位優(yōu)雅數(shù)．20．在數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，一些具有某種特性的數(shù)總能引起人們的注意，如學(xué)習(xí)自然數(shù)時，我們發(fā)現(xiàn)一種特殊的自然數(shù)﹣﹣“美數(shù)”．定義：對于三位自然數(shù)n，各位數(shù)字都不為0，且百位數(shù)字與個位數(shù)字之和被十位數(shù)字除后余2，則稱這個自然數(shù)n為“美數(shù)”．例如：365是“美數(shù)”，因為3，6，5都不為0，且3+5＝8，8被6除余2；158不是“美數(shù)”，因為1+8＝9，9被5除余4．（1）判斷：779“美數(shù)”，436“美數(shù)”（填“是”或“不是”）；（2）400以內(nèi)，個位數(shù)字比百位數(shù)字大5的所有“美數(shù)”為；（3）求出十位數(shù)字為5且被3整除的所有“美數(shù)”．參考答案1．（1）③．【分析】（1）根據(jù)圖①的面積等于圖②的面積列出等式便可；（2）①運(yùn)用前面得到的平方差公式進(jìn)行解答便可；②運(yùn)用平方差公式解答便可．【解析】（1）圖①的面積可表示為a2﹣b2，圖②的面積可表示為（a+b）（a﹣b），∵圖①的面積＝圖②的面積，∴上述操作能驗證的等式是：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為③；（2）①∵4x2﹣9y2＝12，∴（2x+3y）（2x﹣3y）＝12，∵2x+3y＝4，∴2x﹣3y＝12÷4＝3；②（1-122）×（1-132）×（1-142）×（1-152）×…×（1-11002）＝（1-12．【分析】（1）從整體和部分兩個方面進(jìn)行計算即可；（2）根據(jù)計算圖2面積的不同計算方法可得答案；（3）利用圖形面積法，可以拼成長為（3a+2b），寬為（a+b）的長方形．【解析】（1）從整體上看，圖1是邊長（a+b）的正方形，其面積為（a+b）2，各個部分的面積之和：a2+2ab+b2；（2）根據(jù)計算圖2面積的不同計算方法可得，2a2+3ab+b2＝（a+b）（2a+b）；（3）3a2+5ab+2b2＝（a+b）（3a+2b），3．【分析】（1）原式利用多項式乘以多項式法則計算，（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3的左邊，再將x+y＝5的值代入計算即可求出xy值；（2）原式利用完全平方公式變形，將各自的值代入計算即可求出值；（3）把x2+xy+5y化成x（+y）+5y，再兩次代入x+y＝5的值，便可得最后結(jié)果．【解析】（1）∵（x﹣2）（y﹣2）＝﹣3．∴xy﹣2（x+y）+4＝﹣3∵x+y＝5，∴xy＝3；（2）∵x+y＝5，xy＝3，∴原式＝（x+y）2+2xy＝25+6＝31；（3）原式＝x（x+y）+5y，∵x+y＝5，∴原式＝5x+5y＝5（x+y）＝5×5＝25．4．（1）m＝1，n＝5；（2）（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；【分析】（1）根據(jù)矩形的面積列出m或n的方程，再解答便可；（2）用正方形的面積公式表示出圖形的面積，用各部分面積和表示出圖形的面積，進(jìn)而用等式表示出相等關(guān)系便可；（3）仿樣例畫出長方形，其長為2a+3b，寬為a+b，結(jié)合圖形便可得出結(jié)果．【解析】（1）根據(jù)題意得，2×60×30+302m＝150×30，302n＝150×30解得，m＝1，n＝5，故答案為：1；5；（2）∵正方形的邊長為（a+2b），∴正方形的面積為（a+2b）2；∵正方形的面積等于各部分面積和＝a2+4ab+4b2；∴（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故答案為：（a+2b）2＝a2+4ab+4b2；（3）畫出矩形，其長為2a+3b，寬為a+b，如圖，由圖形可知，2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）．5．（1）：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）30．（3）16．【知識遷移】（4）x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．【分析】（1）依據(jù)正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依據(jù)a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，進(jìn)行計算即可；（3）依據(jù)所拼圖形的面積為：xa2+yb2+zab，而（3a+b）（a+3b）＝3a2+9ab+ab+3b2＝3a2+3b2+10ab，即可得到x，y，z的值；（4）根據(jù)原幾何體的體積＝新幾何體的體積，列式可得結(jié)論．【解析】（1）由圖2得：正方形的面積＝（a+b+c）2；正方形的面積＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案為：30；（3）由題意得：（3a+b）（a+3b）＝xa2+yb2+zab，∴3a2+10ab+3b2＝xa2+yb2+zab，∴x＝3，y＝3，z＝10，∴x+y+z＝16，故答案為：16；（4）∵原幾何體的體積＝x3﹣1×1?x＝x3﹣x，新幾何體的體積＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案為：x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）．6．（2）填空：x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]＝（x﹣y）（x﹣9y）；（3）請用兩種不同方法分解因式x2+12mx﹣13m2．【分析】（1）根據(jù)小白發(fā)現(xiàn)的方法即可分解因式；（2）結(jié)合（1）的方法即可填空；（3）根據(jù)已知所給兩種方法進(jìn)行分解因式即可．【解析】（1）x2﹣8x+7＝x2﹣8x+16+7﹣16＝（x﹣4）2﹣9＝（x﹣4）2﹣32＝（x﹣4+3）（x﹣4﹣3）＝（x﹣1）（x﹣7）；（2）x2﹣10xy+9y2＝x2﹣10xy+25y2+9y2﹣25y2＝（x﹣5y）2﹣16y2＝（x﹣5y）2﹣（4y）2＝[（x﹣5y）+4y][（x﹣5y）﹣4y]＝（x﹣y）（x﹣9y）；故答案為：25y2，25y2，4y，4y，4y，9y；（3）方法1：原式＝x2+[13m+（﹣m）]x﹣13m?（﹣m）＝（x+13m）（x﹣m）；方法二：原式＝x2+12mx+36m2﹣13m2﹣36m2＝（x+6m）2﹣49m2＝（x+6m+7m）（x+6m﹣7m）＝（x+13m）（x﹣m）．7．【分析】（1）應(yīng)把所給式子進(jìn)行因式分解，整理為與所給周長和面積相關(guān)的式子，代入求值即可．（2）先根據(jù)a+b＝7，ab＝10求出a2+b2的值，即可求出a2+b2+ab的值．【解析】（1）∵a+b＝7，ab＝10，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．（2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×10＝29，∴a2+b2+ab＝29+10＝39．8．【分析】根據(jù)a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，可以得到a、b、c的關(guān)系，從而可以判斷三角形ABC的形狀．【解析】∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴三角形ABC是等邊三角形．9．【分析】（1）根據(jù)美妙數(shù)的定義進(jìn)行解答便可；（2）根據(jù)新定義表示出美妙數(shù)與奇特數(shù)，再根據(jù)題意列出方程，求得符合每件的解，進(jìn)而求得結(jié)果．【解析】（1）∵82﹣72＝15，∴若一個“美妙數(shù)”的千位數(shù)字為8，百位數(shù)字為7，則這個數(shù)是8715，∵16＝42﹣02＝52﹣32，∴若一個“美妙數(shù)”的后兩位數(shù)字為16，則這個數(shù)是4016或5316，故答案為8715；4016或5316；（2）根據(jù)題意得，（1000m+100n+m2﹣n2）﹣[1000m+100n+7（m﹣n）]＝14，化簡得（m﹣n）（m+n﹣7）＝14，∵m、n均為整數(shù)，且1≤m≤9，0≤n≤9，∴m＝8，n＝6，∴滿足條件的“美妙數(shù)”為，1000m+100n+m2﹣n2＝8628．10．【分析】（1）根據(jù)閱讀因式分解的過程即可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）和閱讀材料即可得結(jié)論；（3）根據(jù)閱讀材料的計算過程進(jìn)行解答即可．【解析】（1）閱讀因式分解的過程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共應(yīng)用了2次，故答案為：提公因式法，2；（2）原式＝（1+x）2021，則需應(yīng)用上述方法2020次，結(jié)果是（1+x）2021，故答案為：2020，（1+x）2021；（3）原式＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n＝（1+x）（1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣1]＝（1+x）2（1+x+x（1+x）+…+x（1+x）n﹣2]＝（1+x）n（1+x）＝（1+x）n+1．11．【分析】（1）直接表示出重新排列各數(shù)位上的數(shù)字必可得到一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，然后求差，提公因式即可證明．（2）（2）根據(jù)題意寫出滿足條件的三位數(shù)m，再根據(jù)定義求出所有符合條件的M（m）的最小值．【解析】（1）證明：設(shè)三位數(shù)t=abc（其中b＞a＞c且abc最大數(shù)＝100b+10a+c，最小數(shù)＝100c+10a+b，P（abc）＝（100b+10a+c）﹣（100c+10a+b）＝99b﹣99c＝99（b﹣c）．∴P（t）能被99整除；（2）滿足條件的三位數(shù)m有325，729，M（325）＝532﹣235＝297，M（729）＝972﹣279＝693．故所有符合條件的M（m）的最小值為297．12．【分析】（1）觀察圖形可得：大正方形的邊長為：a+b+c，該正方形的面積等于3個小正方形的面積加上6個長方形的面積，由此可得出等式；（2）將a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14代入（1）中所得的等式，計算即可；（3）由題意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，將等式左邊展開，再比較系數(shù)即可得出x，y，z的值，然后求和即可．【解析】（1）觀察圖形可得：大正方形的邊長為：a+b+c，該正方形的面積等于3個小正方形的面積加上6個長方形的面積，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，∴62＝14+2（ab+ac+bc），∴ab+ac+bc＝（36﹣14）÷2＝11．（3）由題意得：（2a+b）（a+4b）＝xa2+yab+zb2，∴2a2+8ab+ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴2a2+9ab+4b2＝xa2+yab+zb2，∴x＝2，y＝9，z＝4，∴x+y+z＝2+9+4＝15．故答案為：15．13．【分析】（1）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形；（2）根據(jù)題意和因式分解的方法可知m的值為6，然后對式子分解因式即可解答本題；（3）根據(jù)3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，4張邊長分別為a、b（b＞a）的矩形紙片的面積是4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，得出a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，再根據(jù)正方形的面積公式即可得出答案．【解析】（1）如圖所示；（2）由題意可得，m＝6，∴5a2+6ab+b2＝（5a+b）（a+b），故答案為：（5a+b）（a+b）；（3）3張邊長為a的正方形紙片的面積是3a2，4張邊長分別為a、b（b＞a）的矩形紙片的面積是4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積是5b2，∵a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，∴拼成的正方形的邊長最長可以為（a+2b），故答案為：a+2b．14．【分析】（1）根據(jù)題意得：最大的和平數(shù)千位和百位要最大，所以取9，所以最大的“和平數(shù)”9999．（2）設(shè)任意一個“和平數(shù)”千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，則它的“相關(guān)和平數(shù)”千位數(shù)字為b，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為d，個位數(shù)字為c，根據(jù)“和平數(shù)”的定義可知a+b＝c+d，再計算（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）＝1100a+1100b+11c+11d＝1100a+1100b+11（a+b）＝1111a+1111b＝1111（a+b），即可證明．（3）設(shè)這個“和平數(shù)”的千位數(shù)字是a，百位數(shù)字是m，十位數(shù)字是n，其中a，m，n均是正整數(shù)且1≤a≤9，0≤m≤9，0≤n≤9，則個位數(shù)字是2a，又由0≤2a≤9，得到a的取值為1，2，3，4；百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12的倍數(shù)，可知m+n＝12，得到a＝2m﹣12，當(dāng)m＝7時，a＝2，這個“和平數(shù)”是2754；當(dāng)m＝8時，a＝4，這個“和平數(shù)”是4848．【解析】（1）最小的“和平數(shù)”1001，最大的“和平數(shù)”9999．故答案為1001，9999．（2）設(shè)任意一個“和平數(shù)”千位數(shù)字為a，百位數(shù)字為b，十位數(shù)字為c，個位數(shù)字為d，則它的“相關(guān)和平數(shù)”千位數(shù)字為b，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為d，個位數(shù)字為c，∴a+b＝c+d因為（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）＝1100a+1100b+11c+11d＝1100a+1100b+11（a+b）＝1111a+1111b＝1111（a+b），所以（1000a+100b+10c+d）+（1000b+100a+10d+c）能被1111整除，故答案為任意的兩個“相關(guān)和平數(shù)”之和是1111的倍數(shù)．（3）設(shè)這個“和平數(shù)”的千位數(shù)字是a，百位數(shù)字是m，十位數(shù)字是n，其中a，m，n均是正整數(shù)且1?a?9，0?m?9，0?n?9，則個位數(shù)字是2a，又∵0?2a?9，∴a的取值為1，2，3，4；∵百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字之和是12的倍數(shù)，∴m+n＝0或m+n＝12，∵“和平數(shù)”中a+m＝n+2a，∴m+n＝12，∴a+m＝12﹣m+2a，即a＝2m﹣12，∴m的取值為7，8，9；當(dāng)m＝7時，a＝2，這個“和平數(shù)”是2754；當(dāng)m＝8時，a＝4，這個“和平數(shù)”是4848；當(dāng)m＝9時，a＝6，不成立；綜上所述，滿足條件的“和平數(shù)”是2754和4848．15．【分析】（1）將a2﹣a﹣10＝0變形為a2＝a+10，再將2（a+4）（a﹣5）利用多項式乘以多項式運(yùn)算展開，然后將a2＝a+10代入降次化簡即可．（2）由x2+4x﹣1＝0，得出x2＝1﹣4x，然后利用提取公因式法對2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1變形，并將x2＝1﹣4x代入化簡即可．【解析】（1）∵a2﹣a﹣10＝0，∴a2＝a+10，∴2（a+4）（a﹣5）＝2（a2﹣a﹣20）＝2（a+10﹣a﹣20）＝2×（﹣10）＝﹣20，故答案為：﹣20．（2）∵x2+4x﹣1＝0，∴x2＝1﹣4x，∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1＝2x2（x2+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2（1﹣4x+4x﹣2）﹣8x+1＝2x2×（﹣1）﹣8x+1＝﹣2（1﹣4x）﹣8x+1＝﹣2+8x﹣8x+1＝﹣1．∴2x4+8x3﹣4x2﹣8x+1的值為﹣1．16．【分析】（1）①將原式化為（4x2+4x+1）﹣y2，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②將原式化為x2﹣6x+9﹣1，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可；（2）先利用完全平方公式對等式a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0的左邊變形，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性可得出a，b，c的值，然后求和即可得出答案．【解析】（1）①4x2+4x﹣y2+1＝（4x2+4x+1）﹣y2＝（2x+1）2﹣y2＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）；②x2﹣6x+8＝x2﹣6x+9﹣1＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1）＝（x﹣4）（x﹣2）；③x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）；故答案為：（x﹣2）（x﹣3）；（2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝2，c＝3，∴a+b+c＝2+2+3＝7．∴△ABC的周長為7．17．【分析】（1）根據(jù)“歡喜數(shù)”的概念進(jìn)行判斷即可；（2）先設(shè)出“歡喜數(shù)”的各個數(shù)位上的數(shù)字，再根據(jù)“歡喜數(shù)”的定義即可得出結(jié)論．【解析】（1）∵2+8＝10，28不是10的整數(shù)倍，∴根據(jù)“歡喜數(shù)”的概念，28不是“歡喜數(shù)”；∵1+3+5＝9，135＝15×9是9的倍數(shù)，∴根據(jù)“歡喜數(shù)”的概念，135是“歡喜數(shù)”；（2）①設(shè)這個數(shù)為一位數(shù)a，且a為自然數(shù)，a≠0，根據(jù)題意可知a＝4a，又a≠0，∴這種情況不存在；②設(shè)這個數(shù)為兩位數(shù)ab，a，b為整數(shù)，∴10a+b＝4（a+b），即b＝2a，∴a=1b=2或a=2b=4或a=3b=6∴這種歡喜數(shù)為12，24，36，48；③設(shè)這個數(shù)為三位數(shù)abc，a，b，c為整數(shù)，∴100a+10b+c＝4（a+b+c），則96a+6b＝3c，又a，b，c為0到9的整數(shù)，且a≥1，∴這種情況不存在；④設(shè)這個數(shù)為四位數(shù)abcd，a，b，c，d為0到9的整數(shù)，且a≥1，∴1000a+100b+10c+d＝4（a+b+c+d），∴996a+96b+6c＝3d，故沒有0到9的整數(shù)a，b，c，d使等式成立，由此類推，當(dāng)這個數(shù)的位數(shù)不斷增加時，更加無法滿足等式，∴當(dāng)一個歡喜數(shù)等于各數(shù)位數(shù)字之和的4倍時，這個數(shù)為：12或24或36或48．18．【分析】（1）根據(jù)對稱數(shù)的概念進(jìn)行求解即可；（2）分別列舉出一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)的對稱數(shù)，進(jìn)一步得出第1100個對稱數(shù)；（3）先根據(jù)K（B）＝8，求出a，b的值，進(jìn)而求出四位的“對稱數(shù)”，即可得出結(jié)論．【解析】（1）最大的兩位對稱數(shù)是99；最小的三位對稱數(shù)是101．故答案為：99；101；（2）∵一位數(shù)的對稱數(shù)有9個；兩位數(shù)的對稱數(shù)有9個，三位數(shù)的對稱數(shù)個位與百位可取1～9，十位可取0～9，∴有90個；四位數(shù)的