兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用（第2課時(shí)）（人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)）

1第6章《計(jì)數(shù)原理》人教A版2019選擇性必修第三冊(cè)6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理（第2課時(shí)）1．進(jìn)一步理解和掌握分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理；2．能應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題.學(xué)習(xí)目標(biāo)完成一件事情，有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法……在第n類方案中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+???+m??種不同的方法.1.分類加法計(jì)數(shù)原理

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟:做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法的種數(shù)問題?.

區(qū)別在于:

分類加法計(jì)數(shù)原理:針對(duì)的是"分類"問題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;

分步乘法計(jì)數(shù)原理:針對(duì)的是"分步"問題,各個(gè)步驟中的方法互相依存,只有各個(gè)步驟都完成才算做完這件事.環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題2.區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個(gè)步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)

兩個(gè)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問題最基本、最重要的方法.例4

要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法?分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成．解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題．區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法互相依存，只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事．例5

給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個(gè)字符要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個(gè)程序模塊命名?分析：要完成的一件事是“給一個(gè)程序模塊命名”，可以分三個(gè)步驟完成：第1步，選首字符；第2步，選中間字符；第3步，選最后一個(gè)字符．而首字符又可以分為兩類．后兩個(gè)字符從1~9中選，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9．環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念例6電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)．因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制．為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用1個(gè)或多個(gè)字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成．（1）1個(gè)字節(jié)(8位)最多可以表示多少個(gè)不同的字符?（2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示?分析：（1）要完成的一件事是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”．由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位，每一位上的值都有0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解；（2）只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個(gè)即可．環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念解：（1）用圖6.1-3表示1個(gè)字節(jié)．（2）由（1）知，1個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個(gè)，我們考慮2個(gè)字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符．前1個(gè)字節(jié)有256種不同的表示方法，后1個(gè)字節(jié)也有256種表示方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，2個(gè)字節(jié)可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是這已經(jīng)大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)6763．因此要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)表示．練習(xí)

第7頁1．某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號(hào)碼由8位數(shù)字組成，其中前4位的數(shù)字是不變的，后4位數(shù)字都是0~9之間的一個(gè)數(shù)字，這個(gè)電話局不同的電話號(hào)碼最多有多少個(gè)?2．從5名同學(xué)中選出正、副組長(zhǎng)各1名，有多少種不同的選法?3．從1，2，…，19，20中任選一個(gè)數(shù)作被減數(shù)，再?gòu)?，2，…，10中任選一個(gè)數(shù)作減數(shù)，然后寫成一個(gè)減法算式，共可得到多少個(gè)不同的算式?第一步：從1，2，…，19，20中選一個(gè)數(shù)作為被減數(shù)，有20種選法；第二步：從1，2，…，10中選一個(gè)數(shù)作為減數(shù)，有10種選法，4．在1，2，…，500中，被5除余2的數(shù)共有多少個(gè)?因?yàn)樵?，2，…，500中，被5除余2的數(shù)有2，7，…，497，這些數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，5．由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)三位數(shù)(各位上的數(shù)字可以重復(fù))?例7

計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開始到結(jié)束的路線)，以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)．

一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成．

圖6.1-4是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑?另外，為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)．

你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方法，以減少測(cè)試次數(shù)嗎?環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運(yùn)用分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束．而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來完成；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來完成．因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．顯然，178與7371的差距是非常大的．你看出了程序員是如何實(shí)現(xiàn)減少測(cè)試次數(shù)的嗎？例8

通常，我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào)，如圖6.1-5所示．其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：（1）由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O，I之外的24個(gè)英文字母組成；（2）最多只能有2個(gè)英文字母．分析：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，序號(hào)的個(gè)數(shù)決定了這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)．按序號(hào)編碼規(guī)則可知，每個(gè)序號(hào)中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號(hào)分為三類：沒有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母．以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個(gè)字母的序號(hào)分為五個(gè)子類，將有2個(gè)字母的序號(hào)分為十個(gè)子類．解：由號(hào)牌編號(hào)的組成可知，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù)．根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則，5位序號(hào)可以分為三類：沒有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母．（1）當(dāng)沒有字母時(shí)，序號(hào)的每一位都是數(shù)字．確定一個(gè)序號(hào)可以分5個(gè)步驟，每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，各有10種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)為（2）當(dāng)有1個(gè)字母時(shí)，這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類．當(dāng)?shù)?位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1步，從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為同樣，其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這類號(hào)牌張數(shù)一共為（3）當(dāng)有2個(gè)字母時(shí)，根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置，可以將這類序號(hào)分為十個(gè)子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位．當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí)，分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字：第1，2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位、第2位，各有24種選法；第3~5步都是從．10個(gè)數(shù)字中選1個(gè)放在相應(yīng)的位置，各有10種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，號(hào)牌張數(shù)為同樣，其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有576000張．于是，這類號(hào)牌張數(shù)一共為綜合（1）（2）（3），根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)為用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分類還是需要分步．分類要做到“不重不漏”．分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．乘法運(yùn)算是特定條件下加法運(yùn)算的簡(jiǎn)化，分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理也有這種類似的關(guān)系嗎?1.分類加法計(jì)數(shù)原理：一般地，如果完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有m＋n種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：一般地，完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有m×n種不同的方法.特別地，如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，

??????在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有m1+m2+

???+mn種不同的方法.特別地，如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，?????，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有m1×m2×???×mn種不同的方法.環(huán)節(jié)六:歸納總結(jié)，反思提升環(huán)節(jié)七：目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：第11頁練習(xí)第1，2，3,4題練習(xí)

第11頁2．在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個(gè)?第1類：當(dāng)個(gè)位數(shù)字是0時(shí)，十位數(shù)字可以是1，2，．．9，所以有9個(gè)滿足條件的兩位數(shù)；第2類：當(dāng)個(gè)位數(shù)字是1時(shí)，十位數(shù)字可以是2，3．．．9．．所以有8個(gè)滿足條件的兩位數(shù)；依此類推，當(dāng)個(gè)位數(shù)字是2，3，4．5，6，7，8時(shí)．滿足條件的兩位數(shù)分別有7，6，5，4，3，2，1個(gè)；3．某商場(chǎng)有6個(gè)門，如果某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)入商場(chǎng)，并且要求從其他的門出去，那么共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式?要完成的“一件事”是“從6個(gè)門中的一個(gè)門進(jìn)人商場(chǎng)并從另一個(gè)門出去”．分兩步完成：先從6個(gè)門中選一個(gè)進(jìn)入，再?gòu)钠溆?個(gè)門中選一個(gè)出去．4．任意畫一條直線，在直線上任取n個(gè)分點(diǎn)．（1）從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段，可得到多少條線段?（2）從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)向量，可得到多少個(gè)向量?4．任意畫一條直線，在直線上任取n個(gè)分點(diǎn)．（1）從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段，可得到多少條線段?（2）從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)向量，可得到多少個(gè)向量?習(xí)題6.1（第11頁）1．一個(gè)商店銷售某種型號(hào)的電視機(jī)，其中本地的產(chǎn)品有4種，外地的產(chǎn)品有7種．要買1臺(tái)這種型號(hào)的電視機(jī)，有多少種不同的選法?甲地乙地丙地丁地(第2題)2．如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路．從甲地到丁地共有多少條不同的路線?AB第3題3．如圖，要讓電路從A處到B處接通，可有多少條不同的路徑?如果電路從上線路接通，共有3條路徑；如果電路從中線路接通，共有1條路徑；4．用1，5，9，13中的任意一個(gè)數(shù)作分子，4，8，12，16中任意一個(gè)數(shù)作分母，可構(gòu)成多少個(gè)不同的分?jǐn)?shù)?可構(gòu)成多少個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)?由真分?jǐn)?shù)的定義，①若1為分子，分母有4種選擇；②若5為分子，分母有3種選擇；③若9為分子，分母有2種選擇；④若13為分子，分母有1種選擇；5．一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有6個(gè)小球，所有這些小球的顏色互不相同．從兩個(gè)袋子中分別取1個(gè)球，共有多少種不同的取法?分兩步進(jìn)行：第一個(gè)口袋內(nèi)取一個(gè)球有5種取法，另一個(gè)口袋內(nèi)取一個(gè)球有6種取法；7．一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤，每個(gè)撥號(hào)盤上有0~9