難點(diǎn)詳解魯教版（五四制）八年級數(shù)學(xué)下冊第九章圖形的相似難點(diǎn)解析試題（無超綱）

八年級數(shù)學(xué)下冊第九章圖形的相似難點(diǎn)解析考試時(shí)間：90分鐘；命題人：數(shù)學(xué)教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題30分）一、單選題（10小題，每小題3分，共計(jì)30分）1、如圖，和中，，則添加下列條件后無法判定的是（）A． B． C． D．2、若，則的值等于（）A． B． C． D．3、如圖，已知，若，，，則的長為（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．34、如圖，在ABC中，EFBC，AE＝2BE，則AEF與梯形BCFE的面積比為（）A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．4：55、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，過點(diǎn)B作BE⊥BC，交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F是線段BE上一點(diǎn)，且∠ADF=45°．則下列結(jié)論：①AE=BE；②△BED∽△ABC；③BD2=AD?DE；④AF=，其中正確的有（）A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④6、如圖，l1∥l2∥l3，直線a，b與l1，l2，l3分別交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若，DE＝4，則DF的長是（）A． B． C．6 D．107、如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到△DEC，此時(shí)點(diǎn)D落在邊AB上，且DE垂直平分BC，則的值是（）A． B． C． D．8、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角是等腰直角△ABC以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且位似比為2：1，點(diǎn)，，C在上，則點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．9、如圖，l1，l2，l3是一組平行線，直線AC，DF分別與這組平行線依次相交于點(diǎn)A，B，E，F(xiàn)．若，則的值為（）A． B． C． D．10、如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，∠BAC的平分線交BD于E，交BC于F，BH⊥AF于H，交AC于G，交CD于P，連接GE、GF，以下結(jié)論：①△OAE≌△OBG；②四邊形BEGF是菱形；③BE=CG；④；⑤S△PBC：S△AFC=1：2，其中正確的有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5第Ⅱ卷（非選擇題70分）二、填空題（5小題，每小題4分，共計(jì)20分）1、如圖，四邊形EFGH與四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)O位似，且OE=2AE，則四邊形EFGH與四邊形ABCD的面積比為______．2、如圖，邊長為5cm的正方形ABCD，E，F(xiàn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以1cm/s速度沿射線AB，射線BC運(yùn)動，連結(jié)AF，DE交于點(diǎn)P，G為AD中點(diǎn)，連結(jié)PG，PB，若與相似，則運(yùn)動時(shí)間t的值為______．3、已知：△ABC和△DEF相似，對應(yīng)邊AB與DE之比為3：4，如果△DEF的周長為12，那么△ABC的周長是_____．4、如圖，將?ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到?A′B′C′D′的位置，使點(diǎn)B′落在BC上，B′C′與CD交于點(diǎn)E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，則CE的長為___．5、定義：如圖1，已知銳角∠AOB內(nèi)有定點(diǎn)P，過點(diǎn)P任意作一條直線MN，分別交射線OA，OB于點(diǎn)M，N．若P是線段MN的中點(diǎn)時(shí)，則稱直線MN是∠AOB的中點(diǎn)直線．如圖2，射線OQ的表達(dá)式為y＝2x（x＞0），射線OQ與x軸正半軸的夾角為∠α，P（3，1），若MN為∠α的中點(diǎn)直線，則直線MN的表達(dá)式為__________________．三、解答題（5小題，每小題10分，共計(jì)50分）1、如圖，線段CD∥AB，AD與BC交于點(diǎn)E．(1)求證；；(2)過點(diǎn)E作EF∥AB，交AC于點(diǎn)F，如果AB=5，EF=2，求CD的長．2、如圖，AB＝4，CD＝6，F(xiàn)在BD上，BC、AD相交于點(diǎn)E，且ABCDEF．(1)若AE＝3，求ED的長．(2)求EF的長．3、如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s速度向點(diǎn)C移動，同時(shí)動點(diǎn)Q從C出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)A移動，設(shè)它們的運(yùn)動時(shí)間為t．(1)根據(jù)題意知：CQ＝，CP＝；（用含t的代數(shù)式表示）(2)t為何值時(shí)，△CPQ的面積等于△ABC面積的？(3)運(yùn)動幾秒時(shí)，△CPQ與△CBA相似？4、菱形ABCD的邊長為6，∠D＝60°，點(diǎn)E在邊AD上運(yùn)動．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，求AO：CO的值；(2)如圖2，F(xiàn)是AB上的動點(diǎn)，且滿足BF+DE＝6，求證：△CEF是等邊三角形．5、如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，△A1B1C1的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)在該網(wǎng)格中畫出△A2B2C2（△A2B2C2的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上），使△A2B2C2∽△A1B1C1；(2)說明△A2B2C2和△A1B1C1相似的依據(jù)，并直接寫出∠B2A2C2的度數(shù)．-參考答案-一、單選題1、D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，故選項(xiàng)A不符合題意；∵，，∴，故選項(xiàng)B不符合題意；∵，，∴，故選項(xiàng)C不符合題意；∵，但不一定相等，∴不一定相似，則添加條件后無法判定；故選項(xiàng)D符合題意．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查條件條件使兩個(gè)三角形相似，掌握相似三角形的判定定理，兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，兩邊對應(yīng)成比例，夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似是解題關(guān)鍵．2、B【解析】【分析】根據(jù)可設(shè)，再代入計(jì)算即可得．【詳解】解：由題意，可設(shè)，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3、D【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，可得，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】解：，，，，，解得：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．4、D【解析】【分析】證明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)比例的性質(zhì)得到△AEF與梯形BCFE的面積比．【詳解】解：∵AE＝2BE，∴＝＝，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴△AEF與梯形BCFE的面積比為4：5．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算．5、D【解析】【分析】由折疊的性質(zhì)可求∠BAD=∠BAC=30°，AD=AC=3，BD=BC=，∠C=∠ADB=90°，可得∠BAE=∠EBA=30°，可證BE=AE，故①正確，由外角的性質(zhì)可得∠BED=∠ABC，可證△BED∽△ABC，故②正確；由相似三角形的性質(zhì)，可得BD2=AD?DE，故③正確；過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，F(xiàn)G⊥BD于G，由面積法求出FH，DH的長，由勾股定理可求AF=，故④正確，即可求解．【詳解】解：∵∠ACB=90°，AC=3，∠BAC=30°，∴∠ABC=60°，BC=，AB=2BC=2，∵BE⊥BC，∴∠EBA=30°，∵把Rt△ABC沿AB翻折得到Rt△ABD，∴∠BAD=∠BAC=30°，AD=AC=3，BD=BC=，∠C=∠ADB=90°，∴∠BAE=∠EBA=30°，∴BE=AE，故①正確，∵∠BED=∠ABE+∠BAE=60°，∴∠BED=∠ABC，又∵∠C=∠ADB，∴△BED∽△ABC，故②正確；∴，∵BD=BC，AD=AC，∴BD2=AD?DE，故③正確；如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AD于H，F(xiàn)G⊥BD于G，∵∠DBE=90°-∠BED=30°，∠BDE=90°，∴BD=DE=，BE=2DE，∴DE=1，BE=2，∵∠ADF=45°=∠BDF，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)G⊥BD，∴FH=FG，∵S△BDE=BD×DE=×DE×HF+×BD×GF，∴HF=，∵∠ADF=45°，∠DHF=90°，∴DH=HF=，∴AH=AD-DH=，∴AF==，故④正確，綜上，①②③④均正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，勾股定理等知識，求出AH的長是解題的關(guān)鍵．6、D【解析】【分析】利用平行線分線段成比例定理列出比例式，求出EF，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，又DE＝4，∴EF＝6，∴DF＝DE+EF＝10，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7、B【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)證明，對應(yīng)邊成比例即可解決問題．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)可知：，，，，垂直平分，，，，，，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到．8、C【解析】【分析】取AB的中點(diǎn)D，連接CD，由等腰直角三角形的性質(zhì)及A、B的坐標(biāo)，可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)兩個(gè)三角形的位似比即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】取AB的中點(diǎn)D，連接CD，如圖∵△ABC是等腰直角三角形∴CD⊥AB∵，∴AB⊥x軸∴CD∥x軸∴D(1，1)∵等腰直角是等腰直角△ABC以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且位似比為2：1∴，∴軸∵C在上∴C(2，1)由位似比為2：1，則點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2)故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了三角形位似的定義及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，掌握三角形位似的定義是關(guān)鍵．9、C【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理（兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，截得對應(yīng)線段的長度成比例）及比例的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵且直線AC、DF均被平行線所截，∴ABBC∴設(shè)DE=2k，則，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查平行線分線段成比例定理及比例的性質(zhì)，深刻理解平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．10、C【解析】【分析】證明，得出，得出是線段的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，由正方形的形狀得出，，，證出，得出，因此，即可得出②正確；設(shè)，菱形的邊長為，證出，由正方形的性質(zhì)得出，，證出，由證明，①正確；求出，是等腰直角三角形，得出，，整理得，得出，，由平行線得出，得出，因此④正確；證明，得出，③正確；證明，得出，因此，⑤錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．【詳解】解：是的平分線，，，，在和中，，，，是線段的垂直平分線，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，四邊形是菱形；②正確；設(shè)，菱形的邊長為，四邊形是菱形，，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，在和中，，，①正確；，是等腰直角三角形，，，整理得，，，四邊形是正方形，，，，，，，④正確；，，，在和中，，，，③正確；在和中，，，，，⑤錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有4個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．二、填空題1、4：9【解析】【分析】根據(jù)題意求出兩個(gè)相似多邊形的相似比，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，位似中心點(diǎn)是點(diǎn)O，且OE=2AE，∴，則，故答案為：4：9．【點(diǎn)睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，掌握位似圖形與相似圖形的關(guān)系、相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2、5或10【解析】【分析】分兩種情況：①點(diǎn)在上；②點(diǎn)在延長線上；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式求出運(yùn)動時(shí)間即可．【詳解】解：分兩種情況：①如圖1，點(diǎn)在上時(shí)，，，，，，，，．，，，，，與是鈍角，，即，解得；②如圖2，點(diǎn)在延長線上時(shí)，，，，，，，，．，，，與，分論討論，當(dāng)，，即，解得，即用時(shí)5秒，不合題意舍去；當(dāng)，，即，解得，即用時(shí)10秒，符合題意；綜上：若與相似，則運(yùn)動時(shí)間t的值為5或10，故答案為：5或10．【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，注意分類思想的運(yùn)用．3、9【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比得C△ABC：C△DEF＝3：4，又因?yàn)椤鱀EF的周長是12，所以C△ABC：12＝3：4，即可得．【詳解】解：∵△ABC和△DEF相似，對應(yīng)邊AB與DE之比為3：4，∴C△ABC：C△DEF＝3：4，∵△DEF的周長是12，∴C△ABC：12＝3：4，∴△ABC的周長是9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的周長之比等于相似比．4、【解析】【分析】如圖，延長交點(diǎn)為，由旋轉(zhuǎn)可知，，求的值；，，求的值；，，求的值即可．【詳解】解：如圖，延長交點(diǎn)為由旋轉(zhuǎn)可知，∴∵∴∵∴∴三點(diǎn)共線∴∴∴∴又∵∴∴∵∴∵∴∵，∴∴∵∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，三角形相似的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于作輔助線找出與所求線段相關(guān)的相似三角形．5、y＝﹣x+【解析】【分析】作MD⊥x軸于D，PE⊥x軸于E，則，設(shè)M（m，2m），由題意得PE＝m，由P（3，1）求得m＝1，即可求得N（5，0），然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線MN的解析式．【詳解】解：如圖，作MD⊥x軸于D，PE⊥x軸于E，則，∵P為MN的中點(diǎn)，∴∴DN=EN，即E為DN中點(diǎn)，∴PE是中位線∴PE＝MD，∵M(jìn)是射線OQ上的點(diǎn)，∴設(shè)M（m，2m），∴MD＝2m，∴PE＝MD＝m，∵P（3，1），∴m=1,OE=3∴M（1，2）∴OD=1，則DE=OE-OD=2∴EN=DE=2∴ON=OE+EN=5∴N（5，0），設(shè)直線MN的解析式為y＝kx+b，把P（3，1），N（5，0）代入得，解得，∴直線MN的解析式為y＝﹣x+，故答案為：y＝﹣x+．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形中位線定理，求得N的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三、解答題1、(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠B＝∠BCD，∠BAE＝∠D，則可判定△ABE∽△DCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，即可得；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠EFC＝∠BAC，∠CEF＝∠B，可判定△CEF∽△CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，則，等量代換得EF∥CD，則，可判定△AEF∽△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，即可得．(1)證明：∵CD∥AB，∴∠B＝∠BCD，∠BAE＝∠D，∴△ABE∽△DCE，∴，∴．(2)解：∵EF∥AB，∴∠EFC＝∠BAC，∠CEF＝∠B，∴△CEF∽△CBA，∴，∴，∵CD∥AB，EF∥AB，∴EF∥CD，∴，，∴△AEF∽△ADC，∴，∴，∴CD=．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．2、(1)(2)【解析】【分析】（1）證明，得到，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)，得到，同理得到，兩個(gè)比例式相加再代入計(jì)算，得到答案．【小題1】解：，，，，，，，解得：；【小題2】，，，同理：，，，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．3、(1)t，4﹣2t(2)或(3)或秒【解析】【分析】（1）結(jié)合題意，直接得出答案即可；（2）根據(jù)三角形的面積列方程即可求出結(jié)果；（3）設(shè)經(jīng)過t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解：①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解．(1)解：AC=3cm，BC=4cm，根據(jù)題意得：經(jīng)過t秒后，BP=t，PC=4-2t，CQ=t，故答案為：t，4-2t；(2)解：當(dāng)△CPQ的面積等于△ABC面積的時(shí)，即（4-2t）?t=××3×4，解得；t=或t=；答：經(jīng)過或秒后，△CPQ的面積等于△ABC面積的；(3)解：設(shè)經(jīng)過t秒后兩三角形相似，則可分下列兩種情況進(jìn)行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC則，即，解得t=；②若Rt△ABC∽Rt△PQC則，即，解得t=；由P點(diǎn)在BC邊上的運(yùn)動速度為2cm/s，Q點(diǎn)在AC邊上的速度為1cm/s，可求出t的取值范圍應(yīng)該為0＜t＜2，驗(yàn)證可知①②兩種情況下所求的t均滿足條件．答：要使△CPQ與△CBA相似，運(yùn)動的時(shí)間為1.2或秒．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，動點(diǎn)問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，掌握相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵；特別是（3）注意分類討論．4、(1)(2)見解析【解析】【分析】（1）先由菱形的性質(zhì)得BC＝AD＝6，AD∥BC，再證△AOE∽△COB，即可得出答案；（2）先證△ABC是等邊三角形，得AC＝BC，∠ACB＝60°，再證△ACE≌△BCF（SAS），得CE＝CF，∠ACE＝∠BCF，然后證∠ECF＝∠ACB＝60°，即可得出結(jié)論．(1)∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝AD＝6，AD