2023-2024學年山東省濟南市濟陽區(qū)九年級（上）期末數學試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學年山東省濟南市濟陽區(qū)九年級（上）期末數學試卷一、選擇題：（每小題4分，共40分）1．（4分）如圖是一個由4個相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．2．（4分）方程4x2﹣4x+1＝0的根的情況是（）A．有一個實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．有兩個相等的實數根 D．無實數根3．（4分）如果，則＝（）A． B． C． D．4．（4分）已知反比例函數的圖象經過點（﹣1，2），則k的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．5．（4分）拋物線y＝（x﹣2）2+1的頂點坐標是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）6．（4分）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，連接OC，OD，則∠BAE﹣∠COD＝（）A．60° B．54° C．48° D．36°7．（4分）如圖，將一個可自由轉動的轉盤平均分成4份，分別標上“最”“美”“咸”“陽”四個字，隨意轉動轉盤一次，待轉盤停止轉動后，記錄下指針所指區(qū)域的漢字（若指針指在分割線上，則重新轉動轉盤），通過轉動兩次轉盤后，指針所指區(qū)域的漢字可以組成詞語“咸陽”的概率為（）A． B． C． D．8．（4分）如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠BAC的正切值是（）A．2 B． C． D．9．（4分）如圖，點D在△ABC的邊BC上，點E是AC的中點，連接AD、DE，若AB＝，AD＝3，BD＝1，DE＝2，則CD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．10．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+3x﹣4與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，Q（0，2），連接PQ，則PC+PQ的最小值是（）A．6 B．8 C．2 D．4二、填空（每小題4分，共24分）11．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝7，則cosB等于．12．（4分）拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，出現(xiàn)一正一反的概率．13．（4分）若二次函數y＝x2﹣x+cosα與x軸只有1個公共點，則銳角α＝度．14．（4分）如圖，OB、OC是⊙O的半徑，A是⊙O上一點，若∠B＝30°，∠C＝20°，則∠BOC＝度．15．（4分）如圖，在△ABC中，點D是AB邊上一點，連接CD．已知AD＝4，BD＝5，AC＝6，CD＝3，那么線段BC的長度是．16．（4分）如圖，A、B兩點在反比例函數的圖象上，過點A作AC⊥x軸于點C，交OB于點D，若BD＝2DO，△AOD的面積為1，則k的值為．三、解答題：（共78分）17．（6分）計算：（π﹣1）0+4sin60°﹣+|﹣3|．18．（6分）用配方法解方程：x2+4x﹣5＝0．19．（6分）如圖，菱形ABCD中，過點C分別作邊AB，AD上的高CE，CF，求證：BE＝DF．20．（8分）如圖1，某款線上教學設備由底座，支撐臂AB，連桿BC，懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖2是該款設備放置在水平桌面上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通過調試懸臂CD與連桿BC的夾角提高拍攝效果．（1）當懸臂CD與桌面l平行時，∠BCD＝°；（2）問懸臂端點C到桌面l的距離約為多少？（3）已知攝像頭點D到桌面l的距離為30cm時拍攝效果較好，那么此時懸臂CD與連桿BC的夾角∠BCD的度數約為多少？（參考數據：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）21．（8分）小穎設計了一個“配紫色”游戲：如圖是兩個可以自由轉動的轉盤A、B，A轉盤被分成了面積1：2的兩個扇形，B轉盤被分成了面積相等的三個扇形，游戲者同時轉動兩個轉盤，如果一個轉盤轉出了紅色，另一個轉盤轉出了藍色，那么他就贏了（紅色與藍色能配成紫色）．（1）轉動B轉盤一次，指針指向紅色的概率是；（2）請利用畫樹狀圖或列表的方法求游戲者獲勝的概率是多少？22．（8分）如圖在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點F，交AC于E．（1）求證：DE⊥AC；（2）若AE＝6，F(xiàn)B＝4，求⊙O的半徑．23．（10分）2022年9月，教育部正式印發(fā)《義務教育課程方案》，《勞動教育》成為一門獨立的課程，某學校率先行動，在校園開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學校的墻（墻的最大可用長度為15米），用長為30米的籬笆，圍成矩形養(yǎng)殖園如圖1，已知矩形的邊CD靠院墻，AD和BC與院墻垂直，設AB的長為xm．（1）當圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為100m2時，求BC的長；（2）如圖2，該學校打算在養(yǎng)殖園飼養(yǎng)雞、鴨、鵝三種家禽，需要在中間多加上兩道籬笆作為隔離網，并與院墻垂直，請問此時養(yǎng)殖園的面積能否達到100m2？若能，求出AB的長；若不能，請說明理由．24．（10分）如圖①，有一塊邊角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是線段，曲線CD可以看成反比例函數圖象的一部分．測量發(fā)現(xiàn)：∠A＝∠E＝90°，AE＝5，AB＝DE＝1，點C到AB，AE所在直線的距離分別為2，4．（1）小寧把A，B，C，D，E這5個點先描到平面直角坐標系上，記點A的坐標為（﹣1，0）；點B的坐標為（﹣1，1）．請你在圖②中補全平面直角坐標系并畫出圖形ABCDE；（2）求直線BC，曲線CD的函數表達式；（3）小寧想利用這塊邊角料截取一個矩形MNQP，其中M，N在AE上（點M在點N左側），點P在線段BC上，點Q在曲線CD上．若矩形MNQP的面積是，則PM＝．25．（12分）【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點，F(xiàn)是BC邊上一點，∠CDF＝45°．求證：AC?BF＝AD?BD；【嘗試應用】（2）如圖2，在四邊形ABFC中，點D是AB邊的中點，∠A＝∠B＝∠CDF＝45°，若AC＝9，BF＝8，求線段CF的長．【拓展提高】（3）在△ABC中．AB＝4，∠B＝45°，以A為直角頂點作等腰直角三角形ADE，點D在BC上，點E在AC上．若CE＝2，求CD的長．26．（12分）如圖①，拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于點A（﹣4，0）和點B（1，0），與y軸交于點C，點P是直線下方拋物線上的點，PD⊥AC于點D，PF⊥x軸于點F，交線段AC于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）當△PDE的周長最大時，求P點的坐標；（3）如圖（2），點M是在直線上方的拋物線上一動點，當∠MAO＝∠OAC時，求點M的坐標．

2023-2024學年山東省濟南市濟陽區(qū)九年級（上）期末數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（每小題4分，共40分）1．（4分）如圖是一個由4個相同的小立方塊搭成的幾何體，這個幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．【解答】解：從正面看易得上面第一層右邊有1個正方形，第二層有兩個正方形，如圖所示：故選：A．2．（4分）方程4x2﹣4x+1＝0的根的情況是（）A．有一個實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．有兩個相等的實數根 D．無實數根【解答】解：∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝16﹣16＝0，∴方程4x2﹣4x+1＝0有兩個相等的實數根．故選：C．3．（4分）如果，則＝（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴＝．故選：C．4．（4分）已知反比例函數的圖象經過點（﹣1，2），則k的值是（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．【解答】解：將點（﹣1，2）代入反比例函數，得：，解得：k＝﹣2，故選：B．5．（4分）拋物線y＝（x﹣2）2+1的頂點坐標是（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1是拋物線的頂點式，根據頂點式的坐標特點可知，對稱軸為直線x＝2，故選：D．6．（4分）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，連接OC，OD，則∠BAE﹣∠COD＝（）A．60° B．54° C．48° D．36°【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BAE＝＝108°，∠COD＝＝72°，∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°，故選：D．7．（4分）如圖，將一個可自由轉動的轉盤平均分成4份，分別標上“最”“美”“咸”“陽”四個字，隨意轉動轉盤一次，待轉盤停止轉動后，記錄下指針所指區(qū)域的漢字（若指針指在分割線上，則重新轉動轉盤），通過轉動兩次轉盤后，指針所指區(qū)域的漢字可以組成詞語“咸陽”的概率為（）A． B． C． D．【解答】解：樹狀圖如下所示，由上可得，一共有16種可能性，其中通過轉動兩次轉盤后，指針所指區(qū)域的漢字可以組成詞語“咸陽”的有2種，∴通過轉動兩次轉盤后，指針所指區(qū)域的漢字可以組成詞語“咸陽”的概率為＝．故選：B．8．（4分）如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，則∠BAC的正切值是（）A．2 B． C． D．【解答】解：連接BC，則BC＝，AC＝＝，AB＝＝2，則BC2+AB2＝AC2，∴∠B＝90°，則tan∠BAC＝＝，故選：D．9．（4分）如圖，點D在△ABC的邊BC上，點E是AC的中點，連接AD、DE，若AB＝，AD＝3，BD＝1，DE＝2，則CD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．【解答】解：在△ADB中，AB＝，AD＝3，BD＝1，∴AD2+BD2＝AB2，∴△ADB是直角三角形，∴∠ADB＝90°，即∠ADC＝90°，∵點E是AC的中點，DE＝2，∴AC＝2DE＝4，在Rt△ADC中，CD＝＝＝．故選：D．10．（4分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+3x﹣4與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，若P是x軸上一動點，Q（0，2），連接PQ，則PC+PQ的最小值是（）A．6 B．8 C．2 D．4【解答】解：連接BC，過P作PH⊥BC，過Q作QH'⊥BC，令y＝0，即x2+3x﹣4＝0，解得x＝﹣4或1，∴A（1，0），C（﹣4，0），∵OB＝OC＝4，∠BOC＝90°，∴∠PCH＝45°，∴PH＝PCsin45°＝PC．∴PC+PQ＝（PQ+PC）＝（PQ+PH），根據垂線段最短可知，PQ+PH的最小值為QH'，∵BQ＝OB+OQ＝4+2＝6，∠QBH′＝45°，∴QH′＝sin45°?BQ＝3，∴PQ+PC的最小值為3．∴PC+PQ的最小值是6，故選：A．二、填空（每小題4分，共24分）11．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝7，則cosB等于．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝25，AC＝7，∴AB＝＝25，∴cosB＝＝．故答案為：．12．（4分）拋擲一枚質地均勻的硬幣兩次，出現(xiàn)一正一反的概率．【解答】解：共（正，正）、（反，反）、（正，反）、（反、正）4種情況，則出現(xiàn)一正一反的概率是＝；故答案為：．13．（4分）若二次函數y＝x2﹣x+cosα與x軸只有1個公共點，則銳角α＝60度．【解答】解：∵二次函數y＝x2﹣x+cosα與x軸只有1個公共點，∴Δ＝（﹣）2﹣4×1×cosα＝0，解得cosα＝，∴銳角α＝60°．故答案為：60．14．（4分）如圖，OB、OC是⊙O的半徑，A是⊙O上一點，若∠B＝30°，∠C＝20°，則∠BOC＝100度．【解答】解：連接OA，如圖，∵OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠B＝30°，∠OAC＝∠C＝20°，∴∠BAC＝∠OAB+∠OAC＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°．故答案為：100．15．（4分）如圖，在△ABC中，點D是AB邊上一點，連接CD．已知AD＝4，BD＝5，AC＝6，CD＝3，那么線段BC的長度是．【解答】解：∵AD＝4，BD＝5，AC＝6，∴，∴，∵∠CAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ACD，∴，∵CD＝3，∴，故答案為：．16．（4分）如圖，A、B兩點在反比例函數的圖象上，過點A作AC⊥x軸于點C，交OB于點D，若BD＝2DO，△AOD的面積為1，則k的值為．【解答】解：過點B作BE⊥x軸于點E，如圖所示：設OC＝a，∵點A在反比例函數的圖象上，且AC⊥x軸于點C，∴點A的坐標為，∴AC＝，∵BD＝2DO，∴OB＝DO+BD＝3DO，∵AC⊥x軸，BE⊥x軸，∴AC∥BE，∴△ODC∽△OBE，∴，∴OE＝3OC＝3a，CD＝，∵點B在反比例函數的圖象上，且BE⊥x軸于點E，∴點B的坐標為，∴BE＝，∴CD＝＝，∴AD＝AC﹣CD＝＝，∵△AOD的面積為1，∴AD?OC＝1，即，解得：k＝．故答案為：．三、解答題：（共78分）17．（6分）計算：（π﹣1）0+4sin60°﹣+|﹣3|．【解答】解：（π﹣1）0+4sin60°﹣+|﹣3|＝＝1+2﹣2+3＝4．18．（6分）用配方法解方程：x2+4x﹣5＝0．【解答】解：由原方程移項，得x2+4x＝5，方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，得到x2+4x+4＝5+4，配方得（x+2）2＝9．開方，得x+2＝±3，解得x1＝1，x2＝﹣5．19．（6分）如圖，菱形ABCD中，過點C分別作邊AB，AD上的高CE，CF，求證：BE＝DF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠B＝∠D，∵CE，CF分別邊AB，AD上的高，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴BE＝DF．20．（8分）如圖1，某款線上教學設備由底座，支撐臂AB，連桿BC，懸臂CD和安裝在D處的攝像頭組成．如圖2是該款設備放置在水平桌面上的示意圖．已知支撐臂AB⊥l，AB＝18cm，BC＝40cm，CD＝44cm，固定∠ABC＝148°，可通過調試懸臂CD與連桿BC的夾角提高拍攝效果．（1）當懸臂CD與桌面l平行時，∠BCD＝58°；（2）問懸臂端點C到桌面l的距離約為多少？（3）已知攝像頭點D到桌面l的距離為30cm時拍攝效果較好，那么此時懸臂CD與連桿BC的夾角∠BCD的度數約為多少？（參考數據：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）【解答】解：（1）過點B作直線MN∥l，∵CD∥l，∴∠ABN＝90°，∵MB∥l，∴MN∥CD，∴∠BCD＝∠CBN＝148°﹣90°＝58°．故答案為：58°．（2）過點C作CF⊥l，垂足為F，過點B作BN⊥CF，垂足為N，過點D作DM⊥CF，垂足為M，設DM與BC交于點G，則FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l，∵∠ABC＝148°，∴∠CBN＝∠ABC﹣∠ABN＝148°﹣90°＝58°，在Rt△CBN中，BC＝40cm，∴CN＝30?sin58°≈40×0.85＝34（cm），∴CF＝CN+NF＝34+18＝52，∴懸臂端點C到桌面l的距離約為52cm．（3）過點D作DM⊥CF，垂足為M，設DM與BC交于點G，則FN＝AB＝18cm，BN＝AF，DM＝EF，DE＝MF，∠ABN＝90°，DM∥l，∵攝像頭點D到桌面l的距離為30cm，∴MF＝30cm，∴CM＝CF﹣MF＝52﹣30＝22cm，在Rt△CDM中，CD＝44cm，CM＝22cm，∴sin∠CDM＝，∴∠CDM＝30°，∠DCM＝60°，在Rt△CBN中，∠CBN＝58°，∴∠BCN＝32°，∴∠BCD＝∠DCM﹣∠BCN＝60°﹣32°＝28°．21．（8分）小穎設計了一個“配紫色”游戲：如圖是兩個可以自由轉動的轉盤A、B，A轉盤被分成了面積1：2的兩個扇形，B轉盤被分成了面積相等的三個扇形，游戲者同時轉動兩個轉盤，如果一個轉盤轉出了紅色，另一個轉盤轉出了藍色，那么他就贏了（紅色與藍色能配成紫色）．（1）轉動B轉盤一次，指針指向紅色的概率是；（2）請利用畫樹狀圖或列表的方法求游戲者獲勝的概率是多少？【解答】解：（1）∵B轉盤被分成了面積相等的三個扇形，且紅色區(qū)域占一個扇形，∴紅色區(qū)域占整體的，∴轉動A轉盤一次，指針指向紅色的概率是；故答案為：；（2）∵B盤中藍色扇形區(qū)域所占的圓心角是120°，∴A盤紅色扇形區(qū)域所占的圓心角是360°﹣120°＝240°，∴在A盤中，S紅色扇形＝2S藍色扇形，用列表法表示同時轉動兩個轉盤，指針指向區(qū)域所有可能出現(xiàn)的結果情況如下：紅紅藍紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，藍）藍（藍，紅）（藍，紅）（藍，藍）藍（藍，紅）（藍，紅）（藍，藍）∵共有9種等可能出現(xiàn)的結果，其中“能配成紫色”的有5種，∴“能配成紫色”的概率為，答：游戲者獲勝的概率是．22．（8分）如圖在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點F，交AC于E．（1）求證：DE⊥AC；（2）若AE＝6，F(xiàn)B＝4，求⊙O的半徑．【解答】解析：（1）連結AD、OD，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，而OA＝OB，∴OD為△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵EF是⊙O的切線；∴OD⊥EFOD∥AC，∴EF⊥AC；（2）設⊙O的半徑為R，∵OD∥AE，∴△FOD∽△FAE，∴＝，∴＝，∴R＝4或（﹣3舍棄）．∴⊙O的半徑為4．23．（10分）2022年9月，教育部正式印發(fā)《義務教育課程方案》，《勞動教育》成為一門獨立的課程，某學校率先行動，在校園開辟了一塊勞動教育基地：一面利用學校的墻（墻的最大可用長度為15米），用長為30米的籬笆，圍成矩形養(yǎng)殖園如圖1，已知矩形的邊CD靠院墻，AD和BC與院墻垂直，設AB的長為xm．（1）當圍成的矩形養(yǎng)殖園面積為100m2時，求BC的長；（2）如圖2，該學校打算在養(yǎng)殖園飼養(yǎng)雞、鴨、鵝三種家禽，需要在中間多加上兩道籬笆作為隔離網，并與院墻垂直，請問此時養(yǎng)殖園的面積能否達到100m2？若能，求出AB的長；若不能，請說明理由．【解答】解：（1）設AB的長為xm，則矩形的寬，由題意得：，解得x1＝10．x2＝20，∵墻的最大可用長度為15米，∴0＜x≤15，∴x＝10，即BC的長為10m；（2）養(yǎng)殖園的面積不能達到100m2，理由如下：假設養(yǎng)殖園的面積能達到100m2，設AB的長為ym，則BC的長為m，根據題意得：y?＝100，整理得：y2﹣30y+400＝0，∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，∴原方程沒有實數根，∴假設不成立，即養(yǎng)殖園的面積不能達到100m2．24．（10分）如圖①，有一塊邊角料ABCDE，其中AB，BC，DE，EA是線段，曲線CD可以看成反比例函數圖象的一部分．測量發(fā)現(xiàn)：∠A＝∠E＝90°，AE＝5，AB＝DE＝1，點C到AB，AE所在直線的距離分別為2，4．（1）小寧把A，B，C，D，E這5個點先描到平面直角坐標系上，記點A的坐標為（﹣1，0）；點B的坐標為（﹣1，1）．請你在圖②中補全平面直角坐標系并畫出圖形ABCDE；（2）求直線BC，曲線CD的函數表達式；（3）小寧想利用這塊邊角料截取一個矩形MNQP，其中M，N在AE上（點M在點N左側），點P在線段BC上，點Q在曲線CD上．若矩形MNQP的面積是，則PM＝．【解答】解：（1）由題意，如圖如下：（2）由題意可得B（﹣1，1），C（1，4），D（4，1）．設直線BC：y＝mx+n．則有，解得，∴直線BC：y＝x+，設曲線CD：y＝，則k＝xy，把C（1，4）代入得k＝1×4＝4，則反比例函數的表達式為：y＝；（3）如圖，設點M的橫坐標為m，則點P坐標為（m，m+），∴MP＝m+，∵四邊形MNQP是矩形，∴QN＝MP＝m+，∴點Q坐標為（，m+），∴MN＝﹣m，∵矩形MNQP的面積為，∴MN?PM＝，∴（﹣m）（m+）＝，解得m＝，∴PM＝m+＝．故答案為：．25．（12分）【基礎鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點，F(xiàn)是BC邊上一點，∠CDF＝45°．求證：AC?BF＝AD?BD；【嘗試應用】（2）如圖2，在四邊形ABFC中，點D是AB邊的中點，∠A＝∠B＝∠CDF＝45°，若AC＝9，BF＝8，求線段CF的長．【拓展提高】（3）在△ABC中．AB＝4，∠B＝45°，以A為直角頂點作等腰直角三角形ADE，點D在BC上，點E在AC上．若CE＝2，求CD的長．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵∠A+∠ACD＝∠CDF+∠BDF，∠A＝∠CDF＝45°，∴∠ACD＝∠BDF，∴△AC