直線與一般圓錐曲線位置關(guān)系的判定(全文)

精品文檔-下載后可編輯直線與一般圓錐曲線位置關(guān)系的判定(全文)【摘要】在初中平面幾何學習中，判定直線與圓的位置關(guān)系時，大多是根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系來確定直線與圓是相交、相切還是相離，那么對于圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）與直線的位置關(guān)系判斷，是否也可以用類似的方法呢？經(jīng)過類比、探索、驗證，得到以下結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】直線；圓錐曲線；位置關(guān)系

定理1設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：（x-m）21a2+（y-n）21b2=1（a>b>0）的兩個焦點，點F1，F(xiàn)2到直線L：Ax+By+C=0的距離分別為d1，d2，且F1，F(xiàn)2在L同側(cè)，則：（1）d1d2b2直線L與橢圓C相離.

證明（1）若A=0時，

F1為（m-c，n），F(xiàn)2為（m+c，n），

則d1=nB+C1B2，d2=nB+C1B2.

所以d1d2=nB+C21B2.

對于方程組（x-m）21a2+（y-n）21b2=1，①

By+C=0.②

由②得y=-C1B.③

把③代入①得b2x2-2b2mx+b2n+a2C21B2+2a2Cn1B+a2n2-a2b2=0.

直線與橢圓相切，由其Δ>0，

整理得B2b2>Bn+C2.

所以d1d2=nB+C21B2

若A≠0時，

F1為（m-c，n），F(xiàn)2為（m+c，n），則

d1=|（m-c）A+nB+C|1A2+B2，

d2=|（m+c）A+nB+C|1A2+B2.

所以d1d2=（m-c）A+nB+C（m+c）A+nB+C1A2+B2=

Am+Bn+C2-c2A21A2+B2.

由其Δ>0整理得A2a2+B2b2>Am+Bn+C2.

所以d1d2=Am+Bn+C2-c2A21A2+B2

同理可證：

（2）d1d2=b2直線L與橢圓C相切；

（2）d1d2>b2直線L與橢圓C相離.

定理2設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：（x-m）21a2-（y-n）21b2=1的兩個焦點，點F1，F(xiàn)2到直線L：Ax+By+C=0的距離分別為d1，d2，且F1，F(xiàn)2在L的兩側(cè)，則：（1）d1d2b2直線與雙曲線C相離.（證明方法與定理1相同）

定理3設(shè)拋物線C：（y-n）2=2P（x-m）（P>0）的對稱軸上有兩點F1（m，n），F(xiàn)2（P+m，n），直線L：Ax+By+C=0，F(xiàn)1，F(xiàn)2到直線L的距離分別為d1，d2，F(xiàn)1，F(xiàn)2在L同側(cè)，則：（1）直線L與拋物線C相交的充要條件是d22-d21P2.（證明方法與定理1相同）

例1已知直線L：5x-3y-13=0，橢圓C：x216+y215=1，試判定直線L與橢圓C的位置關(guān)系.

解a2=6，b2=5，c2=1，F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），

d1d2=132-52×12152+32=72117

所以直線L與橢圓C相交.

例2設(shè)直線Lx=t

y=b+mt（t為參數(shù)），橢圓Cx=1+acosθ

y=sinθ（θ為